38 张量积

张量积 #

这讲讲什么：把「双线性」这种两只手同时动的映射，换成「线性」这种只动一只手的映射，代价是换一个新空间 $V\otimes W$。这个新空间的维数是 $(\dim V)(\dim W)$，基是 $e_j\otimes f_k$ 两两配对。
前置：35 讲的双线性型；12 讲的线性泛函与对偶空间（本讲的核心定义是用对偶写出来的，跳过 12 讲会卡住）；05、06 讲的基与维数；07 讲的线性映射引理（3.3、3.4 的两处证明要用）；36 讲的交错多重线性型只在最后一节用到。
一句话：$V\otimes W$ 是「让双线性映射变成线性映射」的那个最小空间。

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一、为什么需要它 #

1.1 一个看起来简单的要求 #

我们手上已经有两个向量空间 $V$ 和 $W$。现在想干一件很小的事：给 $v\in V$ 和 $w\in W$ 定义一个乘积，记作 $v\otimes w$。

这个乘积应该长什么样？凭直觉提三条愿望就够了。

愿望一：对两个变量分别线性。 也就是说，固定 $w$ 不动，让 $v$ 变成 $v_1+v_2$，乘积应该跟着拆开：

$$(v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w.$$

同理，固定 $v$ 不动，让 $w$ 变成 $w_1+w_2$：

$$v\otimes(w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2.$$

愿望二：和标量乘法不打架。 把 $2$ 塞进哪一边都一样：

$$\lambda(v\otimes w)=(\lambda v)\otimes w=v\otimes(\lambda w).$$

注意这条比愿望一更强的地方：$\lambda$ 可以自由地在两边之间搬家，而且搬过去不产生任何额外系数。

愿望三：基的乘积构成基。 设 $e_1,\dots,e_m$ 是 $V$ 的基，$f_1,\dots,f_n$ 是 $W$ 的基。那么希望

$$\{e_j\otimes f_k\}_{j=1,\dots,m;\ k=1,\dots,n}$$

恰好是 $V\otimes W$ 的一组基。这一条一旦成立，维数就定了：一共 $mn$ 个基向量，所以

$$\dim(V\otimes W)=(\dim V)(\dim W).$$

1.2 现成的候选为什么都不行 #

最容易想到的「乘积空间」是笛卡尔积 $V\times W$，它的元素是有序对 $(v,w)$。但它立刻不合格，两条理由：

• 维数不对。 $\dim(V\times W)=\dim V+\dim W=m+n$，是相加。而我们想要的是 $mn$，是相乘。$m=n=2$ 时一边是 $4$、一边是 $4$，看不出差别；换成 $m=2,n=3$，一边是 $5$，一边是 $6$，就分家了。
• 没有自然的乘法。 在 $V\times W$ 里，你手上只有一股加法和一股标量乘法，没有任何东西告诉你「$V$ 里的一个向量」该怎样去乘「$W$ 里的一个向量」。

那能不能干脆把 $V\otimes W$ 定义成「所有 $m\times n$ 矩阵构成的空间」？维数倒是对了（$mn$ 维），但你马上撞上第二个麻烦：给定 $v$ 和 $w$，哪个矩阵是 $v\otimes w$？ 要回答它，你得先挑一组 $V$ 的基、一组 $W$ 的基——换个基，答案就变了。而 $v\otimes w$ 这个概念本身不该依赖你挑了哪组基。

1.3 核心口号：把双线性「线性化」 #

先别急着看定义，先看清楚这件事的形状。

一个双线性映射 $\Gamma:V\times W\to U$ 是「两只手同时动」的：你动 $v$ 它线性，你动 $w$ 它也线性，但同时动两个，它就不是线性的了。比如取 $\Gamma(v,w)=\langle v,w\rangle$（内积），

$$\Gamma(2v,\,2w)=4\,\Gamma(v,w)\neq 2\,\Gamma(v,w).$$

这种「齐次次数是 $2$ 而不是 $1$」的现象，让双线性映射在所有线性工具面前都是二等公民：你不能对它用线性映射基本定理，不能谈它的零空间，不能给它配矩阵（严格说，只能配一个「双下标」的数组）。

张量积要干的事，就是把这只双线性的怪物，换成一个线性的对象。做法是：不再让 $\Gamma$ 直接吃两个向量，而是先把 $(v,w)$ 打包成一个单个的元素 $v\otimes w$，装进一个新空间 $V\otimes W$；然后 $\Gamma$ 变成这个新空间上的线性映射 $\hat\Gamma$。

$$\Gamma:\ V\times W\longrightarrow U\quad(\text{双线性})\qquad\Longleftrightarrow\qquad \hat\Gamma:\ V\otimes W\longrightarrow U\quad(\text{线性})$$

一一对应——这就是张量积的泛性质，也是整个概念的灵魂。第三节会把它写成定理并证明。

1.4 一个具体的靶子：$\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{R}^3$ 是 $6$ 维 #

抽象之前先把答案摆出来，后面每一步都对着它验。

取 $V=\mathbb{R}^2$，标准基 $e_1,e_2$；$W=\mathbb{R}^3$，标准基 $f_1,f_2,f_3$。按愿望三，$V\otimes W$ 的基是

$$e_1\otimes f_1,\quad e_1\otimes f_2,\quad e_1\otimes f_3,\quad e_2\otimes f_1,\quad e_2\otimes f_2,\quad e_2\otimes f_3.$$

六个别的东西，六维。$V\otimes W$ 里的一个一般元素长这样：

$$\sum_{j=1}^{2}\sum_{k=1}^{3}a_{jk}\,e_j\otimes f_k,$$

也就是六个系数 $a_{jk}$。请把眼睛盯在这六个系数上：它们天然排成一个 $2\times 3$ 的表格

$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix}.$$

这就是为什么张量积总跟「双下标的数组」一起出现。$V\otimes W$ 本质上就是「把 $2\times 3$ 矩阵看成一个 $6$ 维向量空间」，只不过这个「看成」是不需要挑基就说得清的。

具体一点：取 $v=(2,1)\in\mathbb{R}^2$、$w=(1,0,3)\in\mathbb{R}^3$。那么

$$v\otimes w=(2e_1+e_2)\otimes(f_1+3f_3)=2\,e_1\otimes f_1+6\,e_1\otimes f_3+e_2\otimes f_1+3\,e_2\otimes f_3,$$

对应矩阵

$$\begin{pmatrix}2&0&6\\ 1&0&3\end{pmatrix}.$$

自己看一眼：这个矩阵的每一行都是 $w$ 的倍数，每一列都是 $v$ 的倍数。这就是纯张量的特征——它是一张「秩一」的表。第五节会拿它当反例的起点。

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二、定义与最小例子 #

2.1 第一步：双线性泛函 #

「泛函」的意思是输出落在标量域 $\mathbb{F}$ 里（而不是落在某个向量空间里）。这个限制是为了先在最简单的情形下把话说清楚。

定义（双线性泛函）：$V\times W$ 上的双线性泛函是一个函数 $\beta:V\times W\to\mathbb{F}$，满足

• 对每个固定的 $w\in W$，映射 $v\mapsto\beta(v,w)$ 是 $V$ 上的线性泛函；
• 对每个固定的 $v\in V$，映射 $w\mapsto\beta(v,w)$ 是 $W$ 上的线性泛函。

全体这样的 $\beta$ 在逐点加法与标量乘法下构成向量空间，记作 $\mathcal{B}(V,W)$：

$$(\beta_1+\beta_2)(v,w)=\beta_1(v,w)+\beta_2(v,w),\qquad (\lambda\beta)(v,w)=\lambda\,\beta(v,w).$$

零元是把一切映成 $0$ 的零函数。

三个立刻能用的例子（都很便宜，但每个都会在后面派上用场）：

1. 取 $\varphi\in V'$、$\tau\in W'$（$V'$ 表示 $V$ 的对偶空间，即 $V$ 上全体线性泛函），令 $\beta(v,w)=\varphi(v)\tau(w)$。固定 $w$ 时它是「$\varphi$ 乘一个常数」，线性；固定 $v$ 时同理。所以双线性。
2. 取 $V=W$ 且 $\beta$ 是实内积，则 $\beta$ 双线性。这就是为什么实内积是「双线性型」的标准例子。（复内积不是：按 22、35 讲的约定，它在第二个槽是共轭线性的，属于「半双线性」。本讲除 3.5 外一律在一般数域 $\mathbb{F}$ 上谈，3.5 会明确处理共轭。）
3. 取 $\beta(A,B)=\operatorname{tr}(AB)$，其中 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵、$B$ 是 $n\times m$ 矩阵。迹对每个矩阵元素都是线性的，而 $AB$ 的元素是 $A$ 与 $B$ 的双线性组合，所以 $\beta$ 双线性。

2.2 第二步：张量积的定义 #

现在给出正式定义。请先接受它的「怪」，再看它为什么必须这么怪。

定义（张量积）：设 $V,W$ 是 $\mathbb{F}$ 上的有限维向量空间。它们的张量积定义为

$$V\otimes W\ :=\ \mathcal{B}(V',\,W'),$$

也就是「$V'$ 与 $W'$ 上的全体双线性泛函」构成的空间。对 $v\in V$、$w\in W$，元素 $v\otimes w\in V\otimes W$ 定义为：对每个 $(\varphi,\tau)\in V'\times W'$，

$$(v\otimes w)(\varphi,\tau)\ :=\ \varphi(v)\,\tau(w).$$

先把类型捋清楚。 $V\otimes W$ 的元素是函数，吃进去一对线性泛函 $(\varphi,\tau)$，吐出一个数。$v\otimes w$ 就是其中一个特定的函数。它不是 $v$ 和 $w$，也不是有序对 $(v,w)$，而是「把 $(\varphi,\tau)$ 送到 $\varphi(v)\tau(w)$ 的那条规则」。

2.3 为什么偏偏是对偶空间 #

这是全讲最值得停下来想三十秒的地方。

我们想要在不挑基的前提下定义 $v\otimes w$。如果照最自然的想法，把 $V\otimes W$ 定义为 $\mathcal{B}(V,W)$（$V\times W$ 上的双线性泛函），会怎样？

那你就得回答：给定 $v,w$，$\mathcal{B}(V,W)$ 里哪个元素是 $v\otimes w$？也就是：对 $(x,y)\in V\times W$，$(v\otimes w)(x,y)$ 等于什么？

你需要一个数，它由 $v,w,x,y$ 自然地产生。但 $v$ 与 $x$ 同在 $V$ 里，$w$ 与 $y$ 同在 $W$ 里，你手上有的是两两配对的四种可能，没有任何一种被自然选中。想选一种，就得挑基、写坐标、再定规则——而那就依赖基了。

换成对偶，问题消失了。因为每个 $v\in V$ 都天然地是 $V'$ 上的一个线性泛函：

$$\varphi\ \longmapsto\ \varphi(v).$$

这个映射叫做求值，它把 $v$ 送进 $V$ 的「双对偶」$V''=(V')'$，而且这个送入过程完全不需要基。于是

$$(v\otimes w)(\varphi,\tau)\ :=\ \underbrace{\varphi(v)}_{\text{用 }v\text{ 去作用 }\varphi}\cdot\underbrace{\tau(w)}_{\text{用 }w\text{ 去作用 }\tau}$$

两边都是现成的：$\varphi$ 本来就吃 $v$，$\tau$ 本来就吃 $w$。没有任何选择的余地。

2.4 最小例子，两遍 #

例 A（一维乘一维）：$V=\mathbb{F}$、$W=\mathbb{F}$。那么 $\dim(V\otimes W)=1\cdot 1=1$，所以 $V\otimes W\cong\mathbb{F}$。事实上 $v\otimes w$ 就对应普通乘法 $vw$。这个例子太小，看不出东西，但它是所有验证的起点：如果连一维情形都对不上，定义就是错的。

例 B（$\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{R}^3$）：前面 1.4 已经算过，六维，基六个，具体 $v\otimes w$ 对应一个 $2\times 3$ 矩阵。再补一句关键的反向观察：

$$\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}$$

这个矩阵不是纯张量。为什么？如果是纯张量 $v\otimes w$，那么 $(v_1w_1,v_1w_2,v_1w_3)=(1,0,0)$ 给出 $v_1\neq0$ 且 $w_2=w_3=0$；同理第二行 $(v_2w_1,v_2w_2,v_2w_3)=(0,1,0)$ 给出 $v_2\neq0$、$w_1=w_3=0$。但 $w_1=0$ 与 $v_1w_1=1$ 矛盾。

所以这个矩阵是纯张量的和（$e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2$），但自己不是纯张量。这件事不是边角料，它是本讲最重要的结构性事实之一（3.6 与第五节会反复用它）。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

这一节是全讲重心，每条都写全推导。请拿纸跟一遍，尤其是 3.3 与 3.4。

3.1 张量积确实是双线性的 #

结论：对 $v,v_1,v_2\in V$、$w,w_1,w_2\in W$、$\lambda\in\mathbb{F}$，

$$(v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w,\qquad v\otimes(w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2,$$

$$\lambda(v\otimes w)=(\lambda v)\otimes w=v\otimes(\lambda w).$$

证明：要证两个 $V\otimes W$ 中的元素相等，就是证它们作为函数处处相等。任取 $(\varphi,\tau)\in V'\times W'$，逐点算：

$$\begin{aligned}(v_1+v_2)\otimes w\,(\varphi,\tau)&=\varphi(v_1+v_2)\,\tau(w)\\&=\big(\varphi(v_1)+\varphi(v_2)\big)\tau(w)\\&=\varphi(v_1)\tau(w)+\varphi(v_2)\tau(w)\\&=(v_1\otimes w)(\varphi,\tau)+(v_2\otimes w)(\varphi,\tau)\end{aligned}$$

第二行用了 $\varphi$ 的线性。最后一行是右边两个函数在 $(\varphi,\tau)$ 处的值加起来，正是逐点加法的定义。

再看标量那条。设 $\lambda\in\mathbb{F}$，任取 $(\varphi,\tau)\in V'\times W'$：

$$\begin{aligned}\big(\lambda(v\otimes w)\big)(\varphi,\tau)&=\lambda\cdot\varphi(v)\tau(w)\\[2pt]\big((\lambda v)\otimes w\big)(\varphi,\tau)&=\varphi(\lambda v)\,\tau(w)=\lambda\,\varphi(v)\tau(w)\\[2pt]\big(v\otimes(\lambda w)\big)(\varphi,\tau)&=\varphi(v)\,\tau(\lambda w)=\varphi(v)\cdot\lambda\,\tau(w)\end{aligned}$$

三行都等于同一个数 $\lambda\varphi(v)\tau(w)$。前两行用了 $\varphi(\lambda v)=\lambda\varphi(v)$，第三行用了 $\tau(\lambda w)=\lambda\tau(w)$——这正是「泛函是线性的」在干活。三个函数在每个 $(\varphi,\tau)$ 处取值相同，故三者相等。

3.2 维数是 $mn$ #

结论：$\dim(V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$。

证明：先算 $\mathcal{B}(V,W)$ 的维数。取 $V$ 的基 $e_1,\dots,e_m$、$W$ 的基 $f_1,\dots,f_n$。对任何双线性泛函 $\beta$，把它在基对上的值排成一个 $m\times n$ 矩阵

$$M(\beta)_{jk}:=\beta(e_j,f_k).$$

关键观察：这 $mn$ 个数决定了整个 $\beta$。因为任意 $v=\sum a_je_j$、$w=\sum b_kf_k$，由双线性

$$\beta(v,w)=\beta\Big(\sum_j a_je_j,\ \sum_k b_kf_k\Big)=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_jb_k\,\beta(e_j,f_k).$$

右边只用到那些 $M(\beta)_{jk}$。所以映射 $\beta\mapsto M(\beta)$ 是单射（两个 $\beta$ 若矩阵相同就处处相同）。

它也是满射：给定任意矩阵 $C\in\mathbb{F}^{m,n}$，用上面的公式反过来定义

$$\beta_C(v,w):=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}C_{jk}\,a_jb_k,$$

逐项检查可知 $\beta_C$ 双线性，且 $M(\beta_C)=C$。

于是 $\beta\mapsto M(\beta)$ 是 $\mathcal{B}(V,W)$ 到 $\mathbb{F}^{m,n}$ 的同构，$\dim\mathcal{B}(V,W)=mn$。

最后一步：有限维时 $\dim V'=\dim V$（12 讲），所以

$$\dim(V\otimes W)=\dim\mathcal{B}(V',W')=(\dim V')(\dim W')=(\dim V)(\dim W).$$

$\blacksquare$

3.3 基：两两配对就是基 #

结论：设 $e_1,\dots,e_m$ 是 $V$ 的基，$f_1,\dots,f_n$ 是 $W$ 的基，则

$$\{e_j\otimes f_k\}_{j,k}$$

是 $V\otimes W$ 的基。

拆成两步。第一步（真正有内容的一步）：若 $e_1,\dots,e_m$ 与 $f_1,\dots,f_n$ 都线性无关，则 $\{e_j\otimes f_k\}$ 线性无关。

证明：设标量 $a_{jk}$ 使

$$\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}a_{jk}\,(e_j\otimes f_k)=0.$$

（右边的 $0$ 是 $V\otimes W$ 的零元素，即恒为零函数。）要证所有 $a_{jk}=0$。

手法是造「探测器」。先注意：$e_1,\dots,e_m$ 只是线性无关组，还不是基，所以先由 05 讲的扩充定理把它扩充成 $V$ 的一组基 $e_1,\dots,e_m,g_1,\dots,g_r$。现在对基指定值：令 $\varphi_j(e_k)$ 在 $j=k$ 时为 $1$、$j\neq k$ 时为 $0$，并令 $\varphi_j(g_i)=0$。由 07 讲的线性映射引理（基上的像可以任意指定，且唯一确定一个线性映射），这样的 $\varphi_j\in V'$ 存在且唯一：

$$\varphi_j(e_k)=\begin{cases}1,& j=k,\\ 0,& j\neq k.\end{cases}$$

同理，把 $f_1,\dots,f_n$ 扩充成 $W$ 的基后，存在 $\tau_1,\dots,\tau_n\in W'$ 使 $\tau_j(f_k)=1$（当 $j=k$）、$=0$（当 $j\neq k$），且在扩充进来的那些基向量上取 $0$。

现在挑定一对下标 $(M,N)$，把上面那个恒为零的函数作用在 $(\varphi_M,\tau_N)$ 上：

$$0=\Big(\sum_{k,j}a_{jk}\,e_j\otimes f_k\Big)(\varphi_M,\tau_N)=\sum_{k,j}a_{jk}\,\varphi_M(e_j)\,\tau_N(f_k).$$

而 $\varphi_M(e_j)\tau_N(f_k)$ 只有 $j=M$ 且 $k=N$ 时等于 $1$，其余全为 $0$。于是

$$0=a_{MN}.$$

这对每个 $(M,N)$ 都成立，所以整组系数全零，线性无关。$\blacksquare$

第二步（收尾）：线性无关组的长度是 $mn$，而由 3.2 已知 $\dim(V\otimes W)=mn$。长度恰好等于维数的线性无关组是基（06 讲），故它是基。$\blacksquare$

3.4 泛性质：双线性 $\leftrightarrow$ 线性 #

这条是本讲的主定理。

结论：设 $U$ 是向量空间。

(a) 若 $\Gamma:V\times W\to U$ 双线性，则存在唯一的线性映射 $\hat\Gamma:V\otimes W\to U$ 使

$$\hat\Gamma(v\otimes w)=\Gamma(v,w)$$

对一切 $(v,w)$ 成立。

(b) 反之，若 $T:V\otimes W\to U$ 线性，则存在唯一的双线性映射 $T^{\#}:V\times W\to U$ 使

$$T^{\#}(v,w)=T(v\otimes w)$$

对一切 $(v,w)$ 成立。

证明 (a)：取基 $e_1,\dots,e_m$ 与 $f_1,\dots,f_n$。由 3.3，$\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的基。由 07 讲的线性映射引理，只要指定基向量往哪去，就唯一确定一个线性映射。于是令

$$\hat\Gamma(e_j\otimes f_k):=\Gamma(e_j,f_k).$$

这样就造出了唯一的线性 $\hat\Gamma$。问题是：它满足 $\hat\Gamma(v\otimes w)=\Gamma(v,w)$ 吗？对基向量成立，对一般的 $(v,w)$ 要靠双线性推：

$$\begin{aligned}\hat\Gamma(v\otimes w)&=\hat\Gamma\Big(\Big(\sum_j a_je_j\Big)\otimes\Big(\sum_k b_kf_k\Big)\Big)\\&=\hat\Gamma\Big(\sum_{k}\sum_{j}a_jb_k\,(e_j\otimes f_k)\Big)\\&=\sum_{k}\sum_{j}a_jb_k\,\hat\Gamma(e_j\otimes f_k)\\&=\sum_{k}\sum_{j}a_jb_k\,\Gamma(e_j,f_k)=\Gamma(v,w).\end{aligned}$$

第三行用 $\hat\Gamma$ 线性，第四行用它的定义，最后一行用 $\Gamma$ 双线性。唯一性由「基上的值决定整个线性映射」直接给出。$\blacksquare$

证明 (b)：定义 $T^{\#}(v,w):=T(v\otimes w)$。它是双线性的，因为 $T$ 线性、而 $(v,w)\mapsto v\otimes w$ 双线性（3.1），复合起来仍双线性：

$$T^{\#}(v_1+v_2,w)=T\big((v_1+v_2)\otimes w\big)=T(v_1\otimes w)+T(v_2\otimes w)=T^{\#}(v_1,w)+T^{\#}(v_2,w).$$

唯一性显然（$T^{\#}$ 的值被公式钉死了）。$\blacksquare$

3.5 内积空间的情形：范数相乘 #

设 $V,W$ 是内积空间。$V\otimes W$ 上存在唯一的内积使

$$\langle v\otimes w,\ u\otimes x\rangle=\langle v,u\rangle\,\langle w,x\rangle \tag{38.1}$$

对一切 $v,u\in V$、$w,x\in W$ 成立。构造方式：取 $V$ 的规范正交基 $e_1,\dots,e_m$、$W$ 的规范正交基 $f_1,\dots,f_n$，对

$$A=\sum_{k,j}b_{jk}\,e_j\otimes f_k,\qquad C=\sum_{k,j}c_{jk}\,e_j\otimes f_k$$

定义

$$\langle A,C\rangle:=\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}b_{jk}\,\overline{c_{jk}}. \tag{38.2}$$

也就是「把系数当成 $mn$ 维坐标，做标准内积」——按 22 讲的约定，第一个槽线性、第二个槽共轭线性，所以横杠加在第二组系数上。实数域上横杠不起作用，写不写都一样；写出来是为了在复数域上也不出错。验证它是内积（正性、定性、第一槽线性、共轭对称）是逐项检查，留给你。

要确认它满足 (38.1)，把 $v=\sum v_je_j$、$u=\sum u_je_j$、$w=\sum w_kf_k$、$x=\sum x_kf_k$ 代进去：

$$\begin{aligned}\langle v\otimes w,\ u\otimes x\rangle&=\Big\langle\sum_{k,j}v_jw_k\,e_j\otimes f_k,\ \sum_{k,j}u_jx_k\,e_j\otimes f_k\Big\rangle\\&=\sum_{k,j}v_jw_k\,\overline{u_jx_k}=\sum_{k,j}\big(v_j\overline{u_j}\big)\big(w_k\overline{x_k}\big)=\Big(\sum_j v_j\overline{u_j}\Big)\Big(\sum_k w_k\overline{x_k}\Big)\\&=\langle v,u\rangle\langle w,x\rangle .\end{aligned}$$

最后一步用了「规范正交基下内积等于坐标的配对和」（23 讲）。

取 $u=v$、$x=w$ 再开方，得到一条很好记的公式：

$$\|v\otimes w\|=\|v\|\,\|w\|.$$

还有个漂亮的副产品：由 (38.2)，$\{e_j\otimes f_k\}$ 是 $V\otimes W$ 的规范正交基。而且这条对任意一对规范正交基都成立，不只是构造内积时用的那一对。

3.6 不是所有元素都是纯张量 #

由 3.3，$V\otimes W$ 的每个元素都能写成 $\sum_i v_i\otimes w_i$（有限和）。但反过来不成立：当 $\dim V>1$ 且 $\dim W>1$ 时，

$$\{v\otimes w:(v,w)\in V\times W\}\ \subsetneq\ V\otimes W.$$

而且这个集合连子空间都不是。为什么？因为它对加法不封闭。$2.4$ 里那个例子就是证据：

$$e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2$$

不是纯张量。更一般地，用矩阵语言看得最清楚：在 $\mathbb{F}^m\otimes\mathbb{F}^n\cong\mathbb{F}^{m,n}$ 这个等同下，纯张量 $v\otimes w$ 对应的矩阵元素是 $v_jw_k$，即秩不超过 $1$ 的矩阵。而秩 $2$ 的矩阵（当 $m,n\ge2$ 时存在）就不是纯张量。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 三个钩子 #

钩子一：维数是乘不是加。

$$\dim(V\times W)=m+n,\qquad \dim(V\otimes W)=mn.$$

记法：$\times$ 像「并排摆」，$\otimes$ 像「两两配对」。$2$ 个人和 $3$ 个人并排站是 $5$ 个人；握手则是 $6$ 次。张量积数的是握手次数。

钩子二：$\otimes$ 是把「两只手」压成「一只手」。

$$\Gamma(v,w)\ \text{（双线性，两只手）}\quad\longleftrightarrow\quad\hat\Gamma(v\otimes w)\ \text{（线性，一只手）}$$

凡是你在某个双线性构造上想做线性代数，就该想到先过一道 $\otimes$。内积、迹、行列式、乘法——全是这么处理的。

钩子三：$V\otimes W$ 是「最小」的那个外壳。

不是随便找一个 $mn$ 维空间都行。$V\otimes W$ 必须恰好满足泛性质：任何从 $V\times W$ 出发的双线性映射，都必须能且只能通过它分解一次。这个「最小」是刻在定义里的，别的 $mn$ 维空间做不到。

4.2 一张对照表 #

你想要的东西	$\mathbb{R}^2$ 与 $\mathbb{R}^3$ 的情形
并排摆（$\times$）	$5$ 维，元素是 $(v,w)$，无自然乘法
两两配对（$\otimes$）	$6$ 维，元素是 $\sum a_{jk}e_j\otimes f_k$，天然是 $2\times3$ 表
纯张量	秩 $\le1$ 的 $2\times3$ 矩阵
一般元素	任意 $2\times3$ 矩阵
双线性映射 $\Gamma$	通过 $\hat\Gamma$ 变成 $6$ 维空间上的线性映射

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五、常见误区 #

$$v\otimes w=(\lambda v)\otimes\Big(\frac{1}{\lambda}w\Big).$$

由 3.1 的标量那条，右边 $=\lambda\cdot\frac1\lambda\,(v\otimes w)=v\otimes w$。
所以「读出 $v$ 和 $w$」这件事，最多只能读到「差一个非零倍数」的程度。
在 $\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{R}^3$ 里，这意味着：同一个 $2\times3$ 矩阵可以对应无穷多对 $(v,w)$。

$$\Gamma(\lambda v,\lambda w)=\lambda^2\,\Gamma(v,w)\neq\lambda\,\Gamma(v,w)\quad(\lambda\neq1,\ \Gamma(v,w)\neq0).$$

同理 $\Gamma(v_1+v_2,\,w_1+w_2)\neq\Gamma(v_1,w_1)+\Gamma(v_2,w_2)$。
双线性是「分别线性」，这两个字不能省。

$$(v\otimes w)(\varphi,\tau)=1\cdot1=1\neq0,$$

与 $v\otimes w=0$ 矛盾。
所以「纯张量为零」与「某个因子为零」是等价的——但这是要证的，不是定义给的。

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六、拓展（可选，可跳过） #

多重张量积。 一切照搬，只是下标变多。定义 $V_1\otimes\cdots\otimes V_m:=\mathcal{B}(V_1',\dots,V_m')$，其中 $\mathcal{B}$ 表示「$m$ 重线性泛函」构成的空间，

$$(v_1\otimes\cdots\otimes v_m)(\varphi_1,\dots,\varphi_m):=\varphi_1(v_1)\cdots\varphi_m(v_m).$$

维数是乘积：

$$\dim(V_1\otimes\cdots\otimes V_m)=(\dim V_1)\cdots(\dim V_m),$$

基是所有 $e^{(1)}_{j_1}\otimes\cdots\otimes e^{(m)}_{j_m}$。这时表示一个元素需要$m$ 个下标的数组，而不是矩阵。

与行列式的接点。 $m$ 重线性型就是「每个位置都线性」的函数。把它加上交错性（两个位置取相同向量则为零），得到的东西极其受限：36 讲证明了，在 $n$ 维空间上，交错的 $n$ 重线性型只有一维，归一化之后唯一——那就是行列式。所以行列式的公理化描述可以一句话说完：它是 $n$ 维空间上唯一被归一化的交错 $n$ 重线性型。张量积在这里的作用是提供「多重线性」的统一语言：$V$ 上的 $m$ 重线性型，就是 $V\otimes\cdots\otimes V$ 上的线性泛函。

算子层面的张量积。 设 $S\in\mathcal{L}(V)$、$T\in\mathcal{L}(W)$，则 $V\otimes W$ 上存在唯一算子把每个 $v\otimes w$ 送到 $Sv\otimes Tw$，习惯上也记作 $S\otimes T$（这是记号滥用，因为 $S,T$ 是算子不是向量）。它满足 $(S\otimes T)(S'\otimes T')=SS'\otimes TT'$，且可逆当且仅当 $S,T$ 都可逆，此时 $(S\otimes T)^{-1}=S^{-1}\otimes T^{-1}$。若 $V,W$ 是内积空间，还有 $(S\otimes T)^{*}=S^{*}\otimes T^{*}$。

物理里的样子。 两个量子系统的状态空间，就是各自状态空间的张量积；维数相乘正是「复合系统的自由度是乘积」。而 3.6 说的「非纯张量」，在物理里就是纠缠——两个系统无法分别描述。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 设 $\dim V=3$、$\dim W=4$。求 $\dim(V\otimes W)$、$\dim(V\times W)$、$\dim\mathcal{B}(V,W)$。

2. 在 $\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{R}^2$ 中，判断 $e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2$ 是不是纯张量，并说明理由。

3. 证明：对任何 $v\in V$、$w\in W$ 与 $\lambda\in\mathbb{F}$，有 $v\otimes(\lambda w)=(\lambda v)\otimes w$。（不许引用 3.1，自己从定义算。）

4. 设 $\Gamma:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ 定义为 $\Gamma(v,w)=v_1w_2-v_2w_1$。写出泛性质给出的线性映射 $\hat\Gamma:\mathbb{R}^2\otimes\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$，并用基把它算出来。

5. 设 $\dim V>1$、$\dim W>1$。证明集合 $\{v\otimes w\}$ 不是 $V\otimes W$ 的子空间。

答案（点开）

1. $\dim(V\otimes W)=3\cdot4=12$；$\dim(V\times W)=3+4=7$；$\dim\mathcal{B}(V,W)=3\cdot4=12$。
注意后两个都「对」，但含义完全不同：$\mathcal{B}(V,W)$ 与 $V\otimes W$ 同构，
而 $V\times W$ 是另一个东西（维数相加）。

2. 不是。取 $V=W=\mathbb{R}^2$ 的标准基。若 $e_1\otimes e_1+e_2\otimes e_2=v\otimes w$，
写成矩阵：左边是 $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，右边是 $\begin{pmatrix}v_1w_1&v_1w_2\\v_2w_1&v_2w_2\end{pmatrix}$。
比较得 $v_1w_1=1$、$v_1w_2=0$、$v_2w_1=0$、$v_2w_2=1$。
由第一式 $v_1,w_1$ 都非零，代入第二式得 $w_2=0$，与第四式 $v_2w_2=1$ 矛盾。
所以它不是纯张量，而是秩 $2$ 的矩阵（秩 $>1$）。

3. 任取 $(\varphi,\tau)\in V'\times W'$。
左边：$\big(v\otimes(\lambda w)\big)(\varphi,\tau)=\varphi(v)\,\tau(\lambda w)=\varphi(v)\cdot\lambda\tau(w)$。
右边：$\big((\lambda v)\otimes w\big)(\varphi,\tau)=\varphi(\lambda v)\,\tau(w)=\lambda\varphi(v)\cdot\tau(w)$。
两者都等于 $\lambda\varphi(v)\tau(w)$，故两个函数处处相等，元素相等。

4. 由泛性质，$\hat\Gamma$ 是唯一的线性映射，满足 $\hat\Gamma(v\otimes w)=v_1w_2-v_2w_1$。
在基 $e_1\otimes e_1,\ e_1\otimes e_2,\ e_2\otimes e_1,\ e_2\otimes e_2$ 上取值：
$\hat\Gamma(e_1\otimes e_1)=0$，$\hat\Gamma(e_1\otimes e_2)=1$，$\hat\Gamma(e_2\otimes e_1)=-1$，$\hat\Gamma(e_2\otimes e_2)=0$。
于是对 $A=\sum a_{jk}e_j\otimes e_k$，$\hat\Gamma(A)=a_{12}-a_{21}$。
换句话说：$\hat\Gamma$ 就是「取矩阵右上元减左下元」的线性泛函，即 $2\times2$ 矩阵的反对称部分的那个系数。
顺带一句话：$\Gamma$ 本身是 36 讲的交错 $2$ 重线性型，而 $\hat\Gamma$ 把它变成了矩阵空间上的线性泛函——
「交错」这个条件在 $\hat\Gamma$ 的语言里就是「只看得见 $a_{12}-a_{21}$」。

5. 只需找两个纯张量，其和不封闭。因 $\dim V>1$、$\dim W>1$，可取 $v_1,v_2\in V$ 线性无关、$w_1,w_2\in W$ 线性无关。
把它们分别扩充成 $V$、$W$ 的基（05 讲扩充定理），于是由 3.3，
$v_1\otimes w_1+v_2\otimes w_2$ 关于这组乘积基的系数是「$(1,1)$ 位 $=1$、$(2,2)$ 位 $=1$、其余 $=0$」。
若它等于某个纯张量 $v\otimes w$，则 $v\otimes w$ 的系数矩阵元素应为 $v_jw_k$（其中 $v_j,w_k$ 是坐标），
那是秩 $1$ 的矩阵；而「$a_{11}=a_{22}=1$、$a_{12}=a_{21}=0$」的矩阵秩是 $2$，矛盾。
故两个纯张量之和不是纯张量，集合对加法不封闭，不是子空间。

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八、复习卡 #

项	内容
动机	想给 $v\in V,w\in W$ 定义乘积 $v\otimes w$，要求双线性、与标量和谐、基两两配对仍是基
为什么不用 $V\times W$	$\dim=m+n$，且无自然乘法；要的是 $mn$
双线性泛函	$\beta:V\times W\to\mathbb{F}$，固定一边看另一边都线性；全体记 $\mathcal{B}(V,W)$
$\dim\mathcal{B}(V,W)$	$(\dim V)(\dim W)$，靠「基对上的值排成矩阵」证
张量积定义	$V\otimes W:=\mathcal{B}(V',W')$
纯张量	$(v\otimes w)(\varphi,\tau):=\varphi(v)\tau(w)$
为什么要对偶	$v$ 通过求值 $\varphi\mapsto\varphi(v)$ 天然是 $V'$ 上的泛函，故 $v\otimes w$ 的定义不依赖基
维数	$\dim(V\otimes W)=(\dim V)(\dim W)$
基	$e_j\otimes f_k$（$j=1..m,k=1..n$）是基；无关性用「对偶基探测器」证
泛性质	双线性 $\Gamma:V\times W\to U$ $\leftrightarrow$ 唯一线性 $\hat\Gamma:V\otimes W\to U$，$\hat\Gamma(v\otimes w)=\Gamma(v,w)$
泛性质的反向	线性 $T$ $\leftrightarrow$ 双线性 $T^{\#}(v,w)=T(v\otimes w)$
内积	$\langle v\otimes w,u\otimes x\rangle=\langle v,u\rangle\langle w,x\rangle$；由此 $\|v\otimes w\|=\|v\|\|w\|$
纯张量判据	$\mathbb{F}^m\otimes\mathbb{F}^n\cong\mathbb{F}^{m,n}$ 下，纯张量 $\leftrightarrow$ 秩 $\le1$ 矩阵
不是所有元素都纯	$\dim V>1$ 且 $\dim W>1$ 时 $\{v\otimes w\}$ 不是子空间
零的判据	$v\otimes w=0\iff v=0$ 或 $w=0$
多重版	$\dim(V_1\otimes\cdots\otimes V_m)=\prod\dim V_k$
与行列式	$n$ 维空间上归一化的交错 $n$ 重线性型唯一，即行列式（36 讲）

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 本讲内容对应的原文：第 9 章 9D 节「张量积」，p323–p333。该节分三块：两向量空间的张量积（定义与基）、内积空间的张量积（内积与规范正交基）、多个向量空间的张量积（多重线性型与多重线性映射），最后是一组习题。
• 术语别名：$v\otimes w$ 读作「$v$ 张量 $w$」或「$v$ 圈乘 $w$」（后者是为了与点乘、叉乘的叫法对齐）；$V\otimes W$ 同理。「双线性泛函」在只讨论一个空间时也叫「双线性型」，与 35 讲一致。
• 想深挖时：张量积在微分几何里推广成「张量场」（每点一个张量），在表示论里用来把两个表示拼成一个，在量子信息里就是复合系统。三条路都从本讲的泛性质出发，只是把「有限维向量空间」换成更富结构的对象。
• 一个历史注记：张量积的泛性质式定义（而不是「取基、配对、再验证无关」式定义）是 20 世纪代数的主要收获之一。它好在：一旦只写泛性质，同样的定义可以原封不动搬到模、代数、层上——那些对象没有基可挑。
• 提醒：本讲所有结论都假定 $V,W$ 有限维。无限维时张量积仍可定义（用泛性质），但「$\mathcal{B}(V',W')$ 就是张量积」这句话会失效，需要换成另一种构造。初学阶段不必纠缠这一点。