A1-线性方程组与消元

线性方程组与消元 #

这讲讲什么：把「解线性方程组」变成一套不用动脑的机械流程——写增广矩阵、做行变换、化成阶梯形、回代；再用秩一句话判定解有几个。
前置：矩阵的写法与矩阵乘向量；08 讲的零空间与值域（只用到结论）；会算 $2\times2$、$3\times3$ 行列式更顺，不会也能读。
一句话：消元法把「解方程」换成了「整理矩阵」，而解的情况由两个秩决定——秩相等才有解，秩等于未知数个数才唯一。

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一、为什么需要它 #

理论课讲线性方程组，通常一句话带过：解集是一个仿射子空间，维数是 $n-r$。然后立刻转去讲基、维数、线性映射。

问题是：真给你一个 $3\times3$ 的方程组，你手上得有动作。

工程与化学里天天遇到的正是这件事：

• 配平一个化学方程式，本质是解一个齐次方程组；
• 电路里每个节点写一条基尔霍夫电流方程，得到一个线性方程组；
• 用若干组实验数据拟合一条曲线，还是线性方程组（超定时就变成最小二乘）。

这些场合没人关心「解集是不是子空间」，只关心三件事：

1. 有解吗？（配平配不出来，通常是方程式写错了）
2. 解唯一吗？（不唯一意味着可以有多种配平系数，取最简整数比即可）
3. 怎么把解写出来？（而且要能手算，不能只写在纸上）

这一讲只回答这三问。回答的工具只有一个：高斯消元法，外加一个用来「预判」的判据——秩。

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二、定义与最小例子 #

2.1 从方程到矩阵 #

一个 $n$ 元线性方程，形如

$$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$$

其中 $a_1,\dots,a_n,b$ 是已知数，$x_1,\dots,x_n$ 是未知数。「线性」的意思是：每个未知数只出现一次、只乘一个常数、彼此不相乘。

把 $m$ 个这样的方程摆在一起，就是线性方程组：

$$\begin{cases}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+\cdots+a_{1,n}x_n=b_1\\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+\cdots+a_{2,n}x_n=b_2\\ \qquad\cdots\\ a_{m,1}x_1+a_{m,2}x_2+\cdots+a_{m,n}x_n=b_m\end{cases}$$

一句话把它压成矩阵形式：

$$AX=B$$

其中 $A=(a_{i,j})$ 是 $m\times n$ 的系数矩阵，$X$ 是 $n\times 1$ 的未知列，$B$ 是 $m\times 1$ 的右端项。

如果 $B=0$，方程组叫齐次的；否则叫非齐次的。这个区分在第三节会变成一条很硬的结论。

2.2 增广矩阵：把未知数名字省掉 #

真正动手算时，写 $x_1,x_2,\dots$ 纯属浪费。因为整个消元过程中，未知数的名字从不变化，起作用的只有系数和右端项。

于是把 $B$ 贴在 $A$ 右边，得到 $m\times(n+1)$ 的增广矩阵：

$$[\,A\mid B\,]=\left(\begin{array}{cccc|c}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots&a_{1,n}&b_1\\ a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots&a_{2,n}&b_2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ a_{m,1}&a_{m,2}&\cdots&a_{m,n}&b_m\end{array}\right)$$

竖线只是提醒你「右边这一列不是未知数的系数」。增广矩阵与方程组一一对应：给一个增广矩阵，能原样还原出方程组。

2.3 最小例子：鸡兔同笼 #

假设若干只鸡与兔关在一起。每只鸡 1 个头 2 条腿，每只兔 1 个头 4 条腿。数出一共 35 个头、94 条腿，问各有几只。

设鸡 $x_1$ 只、兔 $x_2$ 只：

$$\begin{cases}x_1+x_2=35\\ 2x_1+4x_2=94\end{cases}$$

增广矩阵是

$$\left(\begin{array}{cc|c}1&1&35\\ 2&4&94\end{array}\right)$$

试一下 $(23,12)$：$23+12=35$ ✓，$2\cdot23+4\cdot12=46+48=94$ ✓。所以 $x_1=23,\ x_2=12$ 是一个解。

再试 $(12,23)$：$12+23=35$ ✓，但 $2\cdot12+4\cdot23=24+92=116\neq94$ ✗。

2.4 三种行变换 #

解方程时你本能会做的事只有三种，它们作用在增广矩阵上叫初等行变换：

记号	操作	为什么合法
$R_i\leftrightarrow R_j$	交换两行	方程的顺序无关紧要
$R_i\leftarrow cR_i\ (c\neq0)$	某行乘非零常数	等式两边同乘非零数，解集不变
$R_i\leftarrow R_i+cR_j\ (i\neq j)$	某行加上另一行的 $c$ 倍	若两式都成立，则「式 $i$ 加式 $j$ 的 $c$ 倍」也成立；且这步可逆（再减回去）

关键在最后那句可逆：每一步都有一步能把它撤销，所以新方程组与原方程组同解。不是「差不多」，是解集完全一样。

2.5 阶梯形与主元 #

消元的目标形态是行阶梯形（REF），三条要求：

1. 全零行排在最后；
2. 每个非零行的第一个非零元，位置严格在上一行第一个非零元的右边；
3. 该非零元所在列，在它下方全是 $0$。

这个「每行第一个非零元」叫主元（pivot）。例如

$$\left(\begin{array}{cccc}2&1&-1&8\\ 0&1&1&5\\ 0&0&2&6\end{array}\right)$$

主元在 $(1,1),(2,2),(3,3)$，呈阶梯状。

再加两条要求——主元全化为 $1$，且主元所在列的其余元素全为 $0$——就得到简化行阶梯形（RREF）。RREF 里解已经直接读出来了，连回代都省了，代价是多做几步计算。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 手算例一：唯一解（完整四步） #

解

$$\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=8\\ 2x_1+5x_2+3x_3=21\\ x_1+3x_2+4x_3=19\end{cases}\tag{3.1}$$

第一步：写增广矩阵。

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\ 2&5&3&21\\ 1&3&4&19\end{array}\right)$$

第二步：用第 1 行消掉下面两行的 $x_1$。

$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：$(2,5,3\mid21)-2(1,2,1\mid8)=(0,1,1\mid5)$。

$R_3\leftarrow R_3-R_1$：$(1,3,4\mid19)-(1,2,1\mid8)=(0,1,3\mid11)$。

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\ 0&1&1&5\\ 0&1&3&11\end{array}\right)$$

第三步：用第 2 行消掉第 3 行的 $x_2$。

$R_3\leftarrow R_3-R_2$：$(0,1,3\mid11)-(0,1,1\mid5)=(0,0,2\mid6)$。

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&1&8\\ 0&1&1&5\\ 0&0&2&6\end{array}\right)$$

已是阶梯形，主元 $1,1,2$ 分别在列 $1,2,3$。三个主元，正好每个未知数一个。

第四步：回代（从最后一行往上）。

第三行 $2x_3=6$，得 $x_3=3$。

第二行 $x_2+x_3=5$，得 $x_2=5-3=2$。

第一行 $x_1+2x_2+x_3=8$，得 $x_1=8-2\cdot2-3=1$。

所以解是 $(x_1,x_2,x_3)=(1,2,3)$。

验算（必须做）：$1+4+3=8$ ✓，$2+10+9=21$ ✓，$1+6+12=19$ ✓。

3.2 手算例二：无穷多解（同一个系数矩阵，换个右端项） #

$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=3\\ 2x_1+3x_2+4x_3=8\\ 3x_1+5x_2+7x_3=13\end{cases}\tag{3.2}$$

增广矩阵，照 3.1 的流程走：

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 2&3&4&8\\ 3&5&7&13\end{array}\right)\xrightarrow[R_3-3R_1]{R_2-2R_1}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 0&1&2&2\\ 0&2&4&4\end{array}\right)\xrightarrow{R_3-2R_2}\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 0&1&2&2\\ 0&0&0&0\end{array}\right)$$

第三行整体归零——这一行没有给出任何新信息（它等价于 $0=0$，是恒等式，可以划掉）。

剩下的方程：

$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=3\\ x_2+2x_3=2\end{cases}$$

两个方程、三个未知数。方程组「欠定」了：有一个未知数可以随便取。

取 $x_3=t$（$t$ 为任意实数）：

$$x_2=2-2t,\qquad x_1=3-x_2-x_3=3-(2-2t)-t=1+t$$

所以全部解是

$$(x_1,x_2,x_3)=(1+t,\ 2-2t,\ t)=(1,2,0)+t\,(1,-2,1),\qquad t\in\mathbb{R}\tag{3.3}$$

取 $t=0$ 得 $(1,2,0)$，代回原式：$1+2+0=3$ ✓，$2+6+0=8$ ✓，$3+10+0=13$ ✓。

3.3 手算例三：无解（还是同一个 $A$） #

把 3.2 的右端项稍微改一下：

$$\begin{cases}x_1+x_2+x_3=3\\ 2x_1+3x_2+4x_3=8\\ 3x_1+5x_2+7x_3=14\end{cases}\tag{3.4}$$

同样的消元：

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 2&3&4&8\\ 3&5&7&14\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 0&1&2&2\\ 0&2&4&5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&3\\ 0&1&2&2\\ 0&0&0&1\end{array}\right)$$

第三行是 $0x_1+0x_2+0x_3=1$，即 $0=1$。矛盾，无解。

注意这三个例子的差别有多小：$A$ 一模一样，右端项只差一个数（$13$ 变 $14$），解的命运就完全不同。这说明——有没有解，取决于右端项 $B$ 与 $A$ 的「匹配程度」，而匹配程度正好可以用秩量化。

3.4 判据：用秩一句话说完 #

先说秩在方程组里的含义：秩 $r=\operatorname{rank}(A)$ 就是这个方程组里「真正独立的方程条数」。把 $m$ 条方程消完，剩下 $r$ 条非零的，其余全是 $0=0$。

再记 $G=[\,A\mid B\,]$ 是增广矩阵。$A$ 的所有列都在 $G$ 里，所以 $\operatorname{rank}(A)\le\operatorname{rank}(G)$，而且 $\operatorname{rank}(G)$ 最多比 $\operatorname{rank}(A)$ 大 $1$（右端项那一列最多贡献一个主元）。

于是判据只有三种情形：

秩的关系	解的情况	理由
$\operatorname{rank}(A)<\operatorname{rank}(G)$	无解	阶梯形里出现 $0=\text{非零}$ 的行
$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(G)=n$	唯一解	每个未知数都拿到一个主元，可逐个回代
$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(G)=r<n$	无穷多解，自由参数 $n-r$ 个	有 $n-r$ 个未知数没有主元，可任意赋值

这就是本讲的主定理。用矩阵语言重述一遍，更便于记忆：

$$AX=B\ \text{有解}\iff \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([\,A\mid B\,])$$

而「有解且唯一」再补一个条件：$\operatorname{rank}(A)=n$（列满秩）。

把三个例子放进一张表，规律立刻清楚：

例子	$n$	$\operatorname{rank}(A)$	$\operatorname{rank}(G)$	结论
3.1	$3$	$3$	$3$	唯一解
3.2	$3$	$2$	$2$	无穷多解（$1$ 个自由参数）
3.3	$3$	$2$	$3$	无解

3.5 Cramer 法则：唯一解情形的显式公式 #

当 $m=n$ 且 $\det A\neq0$ 时，解可以直接写成分式，不用消元。

设 $A$ 是 $n$ 级方阵，$\det A\neq0$。记 $A_i$ 为「把 $A$ 的第 $i$ 列换成 $B$」得到的方阵，则

$$x_i=\frac{\det A_i}{\det A},\qquad i=1,2,\dots,n$$

2 级的情形写开就是中学的「十字相减」：

$$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\ b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\qquad x_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\ a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}$$

为什么分母一定是 $\det A$？ 从消元看最清楚：对 2 级情形做一次 $R_2\leftarrow a_{11}R_2-a_{21}R_1$（先假定 $a_{11}\neq0$），得

$$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\ \big(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\big)x_2=a_{11}b_2-a_{21}b_1\end{cases}$$

第二行括号里正是 $\det A$，右端正是 $\det A_2$。所以 $x_2=\det A_2/\det A$。$x_1$ 同理。

这个「用行列式解方程」的思路，本质是把解写成系数与右端项的代数式，好处是理论分析极方便（能一眼看出解如何随参数变化），坏处是计算量爆炸。

用 2.3 的鸡兔同笼试一遍：

$$\det A=\begin{vmatrix}1&1\\ 2&4\end{vmatrix}=1\cdot4-1\cdot2=2\neq0$$

$$x_1=\frac{\begin{vmatrix}35&1\\ 94&4\end{vmatrix}}{2}=\frac{35\cdot4-1\cdot94}{2}=\frac{140-94}{2}=23,\qquad x_2=\frac{\begin{vmatrix}1&35\\ 2&94\end{vmatrix}}{2}=\frac{94-70}{2}=12$$

和消元结果一致。

再用 3.1 的方程组算一个分量，体会一下代价：

$$\det A=\begin{vmatrix}1&2&1\\ 2&5&3\\ 1&3&4\end{vmatrix}=2,\qquad x_1=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}8&2&1\\ 21&5&3\\ 19&3&4\end{vmatrix}=\frac{1}{2}\big(8\cdot11-2\cdot27+1\cdot(-32)\big)=\frac{2}{2}=1$$

只求一个分量，就要算 $\det A$ 和 $\det A_1$ 两个 $3$ 级行列式，展开成六个 $2\times2$；要求全部三个分量，得算四个 $3$ 级行列式，即十二个 $2\times2$。

3.6 齐次与非齐次：一个结构性结论 #

这是本讲最有「理论味」的一条，也是把消元与 08 讲接起来的地方。

(a) 齐次组永远有解。 $A\cdot 0=0$，所以零向量一定是解，叫零解。齐次组的问题不是「有没有解」，而是「有没有非零解」。

(b) 齐次组的解集是子空间。 若 $AX_1=0$、$AX_2=0$，则

$$A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=0,\qquad A(\lambda X_1)=\lambda AX_1=0$$

对加法、数乘都封闭，且含零向量。这个子空间就是 08 讲说的零空间 $\operatorname{null}A$，维数是 $n-\operatorname{rank}A$（线性映射基本定理）。

举个具体例子：

$$\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\\ 4x_1+5x_2+6x_3=0\end{cases}$$

$R_2\leftarrow R_2-4R_1$ 得 $(0,-3,-6\mid0)$，即 $x_2=-2x_3$。取 $x_3=t$，则 $x_1=-2x_2-3x_3=4t-3t=t$。解集是

$$\{(t,-2t,t)\}=\operatorname{span}\{(1,-2,1)\}$$

一维，基是 $(1,-2,1)$。秩是 $2$，$n=3$，维数 $3-2=1$ ✓。

(c) 非齐次组的解集 = 一个特解 + 齐次组的解集。 设 $X_0$ 是 $AX=B$ 的某个解（特解），则

$$AX=B\iff A(X-X_0)=B-B=0\iff X-X_0\in\operatorname{null}A\iff X=X_0+Z,\ Z\in\operatorname{null}A$$

证明只有一行代换，但它把 3.2 的答案解释得干干净净：那里 $X_0=(1,2,0)$，齐次解是 $t(1,-2,1)$，通解正是两者相加。

(d) 由此得到「唯一性」的另一个说法： 非齐次组有解时，解唯一 $\iff \operatorname{null}A=\{0\}\iff \operatorname{rank}A=n$。这与 3.4 的判据完全一致——同一件事的两种讲法。

(e) 一个常用推论： 若 $m<n$（方程比未知数少），齐次组 $AX=0$ 必有非零解。理由是 $\operatorname{rank}A\le m<n$，所以零空间维数 $n-\operatorname{rank}A\ge n-m>0$，里面不止零向量。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 两条直线、三个平面 #

$2$ 元方程在平面上是一条直线，解方程组就是求公共点。三种可能全在秩里：

图形	秩语言	解
两直线交于一点	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}G=2=n$	唯一
两直线平行（不重合）	$\operatorname{rank}A=1<2=\operatorname{rank}G$	无解
两直线重合	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}G=1<n=2$	无穷多（$1$ 个自由参数）

$3$ 元方程是空间中的平面，$3$ 个平面求公共点：交于一点（$r=3$）、交于一条直线（$r=2$，无穷多，一个参数）、交于一个平面（$r=1$）、或者根本无公共点（两秩不等）。

4.2 三个数就够：$m,n,r$ #

拿到任何方程组，先数三个数，别急着算：

• $m$ = 方程条数（增广矩阵的行数）；
• $n$ = 未知数个数（系数矩阵的列数）；
• $r=\operatorname{rank}A$ = 真正独立的方程条数。

然后：

• 自由度 $=n-r$。这是唯一需要记的公式。
• $m$ 从不出现在判据里。$m$ 只影响「能提出多少条独立方程」，也就是 $r\le m$。

4.3 两个比喻 #

比喻一：主元是「每个方程带来的新信息」。 一个方程如果没有主元（整行归零），说明它能被前面的方程凑出来，是「重复的话」。$r$ 就是有效信息的条数。

比喻二：行变换是「整理书架」。 你只是把书从这一格搬到那一格、把重复的书并到一处，书的总数没变。所以解集不变。而对列做操作，相当于把两册的内容撕下来重新装订——那就不是原来那一册了。

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五、常见误区 #

$$\begin{cases}x+y=3\\ x-y=1\\ 2x+2y=6\end{cases}$$

三条方程、两个未知数，看起来「约束过头」。但第三行就是第一行的 $2$ 倍，它没带来新信息，$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}G=2=n$，解唯一，是 $(2,1)$。
多的方程可能是被凑出来的，秩才是真话。

$$\begin{cases}kx+y=1\\ x+ky=1\end{cases}$$

有人上来就写 $x=y=\dfrac{1}{k+1}$，把 $k=0$、$k=\pm1$ 全丢了。正确做法是先算 $\det A=k^2-1$，再分情形：
$k\neq\pm1$ 时唯一解 $x=y=\frac{1}{k+1}$；$k=1$ 时两行都化成 $x+y=1$，无穷多解；$k=-1$ 时第一式 $-x+y=1$、第二式 $x-y=1$，相加得 $0=2$，无解。
凡是要除，先问「这个量会不会是 $0$」。

$$\begin{cases}x+y=3\\ x-y=1\\ 2x+2y=6\end{cases}$$

消元后 $r=2=n$，第三行归零，解唯一 $(2,1)$。
只有 $r<n$ 才谈得上自由参数。

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六、拓展（可跳过） #

6.1 消元法的代价：为什么工程里不用 Cramer #

$n$ 级方阵用 Cramer 法则，要算 $n+1$ 个 $n$ 级行列式，而 $n$ 级行列式按定义展开是 $n!$ 项。$n=10$ 时约 $3.6\times10^{7}$ 项，$n=20$ 时是天文数字。

高斯消元的乘除次数约为 $\dfrac{2}{3}n^3$：$n=20$ 时约 $5300$ 次。

$n$	Cramer（量级 $(n+1)\,n!$）	高斯消元（量级 $\frac23n^3$）
$3$	约 $24$	约 $18$
$10$	约 $4\times10^{7}$	约 $700$
$20$	约 $5\times10^{19}$	约 $5300$

差距不是「快一点」，是能不能算。所以 Cramer 法则在今天的定位是理论工具：用来写公式、做证明、分析解对参数的依赖，而不是用来出数。

6.2 LU 分解：消元的「存档」版本 #

如果要用同一个 $A$ 解很多个不同的 $B$（工程里极常见：同一张网的电阻矩阵，不同时刻的电流源），就没必要每次都从零消元。

消元的每一步都可以记成一个初等矩阵 $E_i$，于是

$$E_k\cdots E_2E_1A=U\quad(\text{上三角})$$

令 $L=(E_k\cdots E_1)^{-1}$，得 $A=LU$。此后解 $AX=B$ 只需两步：先解 $LY=B$（前代），再解 $UX=Y$（回代），每次都是 $O(n^2)$。矩阵只需分解一次。

6.3 数值稳定：主元不能随便选 #

理论上「用第 1 行消掉下面」就行；浮点计算里不行。若主元很小（比如 $10^{-18}$），除以它会把误差放大 $10^{18}$ 倍。

标准对策是部分选主元：在第 $k$ 步，不固定用第 $k$ 行，而是在第 $k$ 列下方挑绝对值最大的那一行，换上来当主元。这也解释了为什么 3.1 里我们允许 $R_i\leftrightarrow R_j$——它不只是理论上的方便，也是数值算法的必需品。

6.4 化学里的样子：配平就是解齐次组 #

配平 $\mathrm{Fe}+\mathrm{O_2}\to\mathrm{Fe_2O_3}$。设系数 $a,b,c$，按元素守恒：

$$\text{Fe}:a=2c,\qquad \text{O}:2b=3c$$

即

$$\begin{cases}a-2c=0\\ 2b-3c=0\end{cases}$$

这是齐次组，$m=2,n=3$，必有非零解。消元后 $r=2$，自由度 $3-2=1$：解是 $(a,b,c)=\left(2c,\ \frac{3c}{2},\ c\right)$。取 $c=2$ 使全为整数，得 $(4,3,2)$：

$$4\,\mathrm{Fe}+3\,\mathrm{O_2}\to 2\,\mathrm{Fe_2O_3}$$

6.5 一句话指向后面 #

若 $\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}(G)$（无解），工程上不会就此罢休，而是退一步求「最接近的解」——这就是最小二乘，它把矛盾方程组换成一个总是有解的正规方程。那属于内积与正交投影的部分，本讲不展开。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 不解方程，只判类型（唯一 / 无穷多 / 无解）：
(a) $\begin{cases}2x-y=1\\ 4x-2y=3\end{cases}$
(b) $\begin{cases}2x-y=1\\ 4x-2y=2\end{cases}$
(c) $\begin{cases}2x-y=1\\ x+3y=2\end{cases}$

2. 用高斯消元完整求解（写出每步行变换与回代）：

$$\begin{cases}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{cases}$$

3. 用 Cramer 法则解 $\begin{cases}2x+y=5\\ x+3y=10\end{cases}$，并说明为什么这里可以用。

4. 求齐次组

$$\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=0\\ 3x_1+6x_2-3x_3=0\\ x_2+x_3=0\end{cases}$$

的解空间维数与一组基。

5. 设 $A$ 是 $3\times5$ 矩阵，$AX=B$ 有解且 $\operatorname{rank}A=3$。解有几个自由参数？如果把 $B$ 换成 $0$，解集是什么？它是不是子空间？

答案（点开）

1. (a) 第二行是第一行的 $2$ 倍但右端不对：$2\cdot1=2\neq3$，所以 $\operatorname{rank}A=1<\operatorname{rank}G=2$，无解。
(b) 第二行就是第一行的 $2$ 倍，两秩都等于 $1<2$，无穷多解（一个参数：$x=t,\ y=2t-1$）。
(c) $\det A=2\cdot3-(-1)\cdot1=7\neq0$，唯一解。
三题的系数矩阵两两相同（前两题）只差右端，正说明「解的类型由两秩决定」。

2. 增广矩阵

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\ 2&-1&1&3\\ 1&2&-1&2\end{array}\right)$$

$R_2\leftarrow R_2-2R_1$：$(0,-3,-1\mid-9)$；$R_3\leftarrow R_3-R_1$：$(0,1,-2\mid-4)$。
得

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\ 0&-3&-1&-9\\ 0&1&-2&-4\end{array}\right)$$

为免除以 $-3$，先换行 $R_2\leftrightarrow R_3$：

$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\ 0&1&-2&-4\\ 0&-3&-1&-9\end{array}\right)$$

$R_3\leftarrow R_3+3R_2$：$(0,0,-7\mid-21)$，即 $-7z=-21$，$z=3$。
回代：$y-2z=-4\Rightarrow y=2$；$x+y+z=6\Rightarrow x=1$。
解 $(1,2,3)$。验算：$1+2+3=6$ ✓，$2-2+3=3$ ✓，$1+4-3=2$ ✓。

3. $\det A=\begin{vmatrix}2&1\\ 1&3\end{vmatrix}=6-1=5\neq0$，且 $m=n=2$，两条前提都满足，所以可用。

$$x=\frac{\begin{vmatrix}5&1\\ 10&3\end{vmatrix}}{5}=\frac{15-10}{5}=1,\qquad y=\frac{\begin{vmatrix}2&5\\ 1&10\end{vmatrix}}{5}=\frac{20-5}{5}=3$$

验算：$2+3=5$ ✓，$1+9=10$ ✓。

4. 第二行是第一行的 $3$ 倍，消去后剩两行：

$$\begin{cases}x_1+2x_2-x_3=0\\ x_2+x_3=0\end{cases}$$

秩 $r=2$，$n=3$，所以解空间维数 $=3-2=1$。
由 $x_2=-x_3$，代入第一式：$x_1=2x_3+x_3=3x_3$。取 $x_3=1$，得基 $\{(3,-1,1)\}$。
即解集 $=\{t(3,-1,1):t\in\mathbb{R}\}$。

5. 自由参数 $=n-r=5-3=2$。
若 $B=0$，解集就是零空间 $\operatorname{null}A$，维数 $5-3=2$（一个过原点的 $2$ 维平面）。
它是子空间——齐次组的解集总含零向量、对加法与数乘封闭。
注意对比：$B\neq0$ 时解集是「平面 + 一个偏移量」，不含零向量，不是子空间（是仿射子空间）。

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八、复习卡 #

项	内容
增广矩阵	$[\,A\mid B\,]$，尺寸 $m\times(n+1)$；与方程组一一对应
三种行变换	换行；非零倍乘；倍加（$R_i\leftarrow R_i+cR_j$）。都可逆，故解集不变
不许动列	列变换改变未知数含义，解集会变
行阶梯形 REF	零行在下；主元逐行右移；主元下方全 $0$
简化阶梯形 RREF	REF 再加：主元为 $1$，主元所在列其余为 $0$（可直接读解）
主元	每行第一个非零元；个数 $=$ 秩
秩的含义	真正独立的方程条数
无解	$\operatorname{rank}A<\operatorname{rank}[\,A\mid B\,]$（阶梯形出现 $0=\text{非零}$）
唯一解	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[\,A\mid B\,]=n$
无穷多解	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[\,A\mid B\,]=r<n$，自由参数 $n-r$ 个
判据口诀	两秩不等 → 无解；相等 → 有解；秩满 $n$ → 唯一
自由度	恒为 $n-r$；$m$ 不进判据（只保证 $r\le m$）
Cramer	$m=n$ 且 $\det A\neq0$ 时 $x_i=\det A_i/\det A$，$A_i$ 是用 $B$ 换第 $i$ 列
Cramer 局限	必须方阵、必须行列式非零；$\det A=0$ 时它什么都不判定
计算量	Cramer 量级 $(n+1)\,n!$；消元量级 $\frac23n^3$
齐次组	必有零解；解集 $=\operatorname{null}A$，是子空间，维数 $n-r$
非齐次组	解集 $=X_0+\operatorname{null}A$（特解 + 齐次解），不是子空间
唯一性等价	有解时唯一 $\iff \operatorname{null}A=\{0\}\iff \operatorname{rank}A=n$
$m<n$ 的齐次组	必有非零解（$\dim\operatorname{null}\ge n-m>0$）

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 线性方程组的定义、解、零解/非零解：《行列式入门》1.20「线性方程组」（p70 起）把 $n$ 元一次方程、方程组的解、零解与非零解逐个定义，并给出鸡兔同笼的例子。
• Cramer 法则的两种写法：同书 1.21「由 $n$ 个 $n$ 元一次方程作成的方程组 (1)」（p75 起）先给 $X=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}(A)B$，再由伴随矩阵的展开式推出 $x_i=\det A_i/\det A$（p77 附近）。同一节的末尾（p79）明确说 Cramer 公式只是「理论的公式」，实际计算应用代入消元、加减消元——本讲的第 6.1 节就是这个意思。
• $\det A=0$ 时为什么复杂：同书 1.22（p80 起）用具体的 $2$ 级例子说明 $\det A=0$ 时「有解但多解」与「无解」都可能出现，正是第五节误区 2 的反例来源。
• 解的唯一性与齐次组的关系：同书 1.25（p91 起）证明：$AX=0$ 只有零解 ⟹ $AX=B$ 的解唯一；$AX=0$ 有非零解 ⟹ 有解时不唯一。这就是本讲 3.6(d) 的原始出处。
• 秩判据、行阶梯形、增广矩阵：同书附录 C.42「REF 阵、线性方程组、秩」（印刷页码 418 起，正文中的定理在 429–432 页）。该节给出与本讲 3.4 完全一致的三分法判据，并配有 $5\times5$ 的完整算例；书中把「主元」叫 pivot，把「简化阶梯形」叫 SREF。
• 抽象视角（把方程组看成 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$，$B\in\operatorname{range}T$）：《线性代数应该这样学》第三讲 B 节「零空间和值域」（p54–55）。其中「未知数个数多于方程个数的齐次组必有非零解」「方程个数多于未知数个数时某些右端无解」两条结论，正是本讲 3.6(e) 的抽象版；该书也指出这两条可用高斯消元法证明。
• 历史：高斯消元法在《九章算术》「方程」章已有系统运用，比高斯 1809 年的发表早一千六百余年（见上书 p43 的注释）。
• 术语别名：行阶梯形 = REF = 阶梯形矩阵；简化行阶梯形 = RREF = 行最简形 / SREF；主元 = pivot = 首元；增广矩阵 = augmented matrix；自由未知量 = free variable；系数矩阵 = coefficient matrix。不同教材对「阶梯形」是否要求主元为 $1$ 有分歧，用前先确认。
• 想深挖：任何一本数值线性代数教材的「LU 分解与主元选取」一章；最小二乘见 24 讲（正交补与最小化）。