37 行列式

行列式 #

这讲讲什么：给方阵（更准确地说，给算子）配一个数。这个数必须对每一列线性、两列相同就归零、把恒等算子映成 1——三条要求合起来只剩唯一一个函数，那就是行列式；而它同时又是体积的缩放倍数。
前置：36 讲（交错多重线性型、排列与逆序数）、19 讲（上三角矩阵）、10 讲（可逆性与同构）、29 讲（奇异值，仅供理解几何那一节）、34 讲（迹，可对照「和 vs 积」）
一句话：行列式不是一堆符号游戏，它是被三条公理逼出来的唯一一个「交错 $n$ 重线性型」，所以它既是可逆性的开关，也是体积的倍率。

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一、为什么需要它 #

1.1 三个场合在等同一个数 #

你已经不止一次遇到过「某个数决定了一切」的场面：

解线性方程组。 $n$ 个方程 $n$ 个未知数，什么时候有唯一解？把这个问题的答案压成一个数：这个数非零就有唯一解，为零就没有唯一解。这个数必须能用一个公式算出来，不能靠"试"。

判断可逆。 10 讲判定可逆用的是「零空间只有 $0$」或「矩阵的列线性无关」。这两种判定都要做一次完整的高斯消元。有没有一个数，看它是不是 $0$ 就能下结论？有的话，检查可逆性就从"做一遍消元"降级成"算一个数"。

求特征值。 17 讲的特征值定义是「存在 $v\ne0$ 使 $Tv=\lambda v$」，也就是「$T-\lambda I$ 不可逆」。如果可逆性有一个数值判据，那特征值方程就变成一个多项式方程：

$$\lambda \text{ 是 } T \text{ 的特征值}\iff \det(\lambda I-T)=0$$

这一步的意义超出它本身：它把「算子有没有不变方向」这个几何问题，翻译成了「一个多项式有没有根」这个代数问题。后面的特征多项式、代数重数、Cayley–Hamilton 定理，全部从这里出发。

换元积分。 多元微积分里做变量替换 $x\mapsto Tx$，积分要乘一个因子，那个因子是 $|\det T|$。它不是修正项，它是"体积被拉了几倍"的记账。

1.2 尴尬之处：候选太多了 #

想造一个「方阵 $\mapsto$ 数」的函数，你随手能写出一堆：

$$\sum_{j,k}A_{j,k},\qquad \prod_{j}A_{j,j},\qquad \max_{j,k}A_{j,k},\qquad \sum_j A_{j,j}^2$$

这些都是"方阵映成数"的合格函数。为什么偏偏要用那个带正负号、项数为 $n!$ 的怪东西？

因为它们都不是线性的。第一个对列线性（是的，它是），但两列相同时不归零；第二个对每一列都线性、两列相同也归零，可惜它是连乘不是求和——你把第二列乘 $2$，$\prod A_{j,j}$ 未必跟着乘 $2$（只有 $n=1$ 时才是）。

换句话说：我们要的不是"某个函数"，而是满足一组性质的那个函数。这组性质必须强到只留下一根独苗。

1.3 出路：36 讲已经给出了唯一性 #

36 讲证明了一个关键事实：$n$ 维空间上全体交错 $n$ 重线性型构成的空间，维数恰好是 $1$。

一个 $n$ 重线性型，就是"对每个自变量都线性"的函数。
「交错」是说：两个位置放同一个向量，值就是 $0$。

维数是 $1$，这句话的意思非常具体：这类函数全体就是"某一个函数"的所有标量倍数。所以只要指定它在某一组基上的值，整个函数就被钉死了；而如果规定它在标准基上取 $1$，那全世界就只剩一个这样的函数。

这就是行列式的公理化定义，也是本讲的主干：行列式 = 那个唯一满足「交错 + $n$ 重线性 + 归一」的函数。 三种讲法（排列公式 / 公理化 / 体积）里，只有这一种能一句话说清"为什么是它，不是别的"。

读完这一讲，你应该能回答：

1. 三条公理里去掉哪一条，行列式就不再唯一？
2. 为什么 $\det(2A)=2^n\det A$，而不是 $2\det A$？
3. 一个 $3\times3$ 行列式，为什么可以用"按一行展开"和"高斯消元"两种完全不同的路线算，且必然对得上？
4. 「$|\det T|$ 是体积倍率」这条，为什么能推出 $\det T\ne0\iff T$ 可逆？

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二、定义与最小例子 #

2.1 先定义算子的行列式 #

从算子出发，而不是从矩阵出发。理由很实在：矩阵依赖基的选取，而我们想要的是 $T$ 自己的属性。如果先定义矩阵行列式，就得额外花力气证明它换基不变——那是一笔可以省掉的账。

定义（算子的行列式） 设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$\dim V=n$。对 $\alpha\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}}$，定义 $\alpha T$ 为

$$\alpha T(v_1,\dots,v_n)=\alpha(Tv_1,\dots,Tv_n)$$

也就是说：先用 $T$ 把每个输入推过去，再交给 $\alpha$ 去读。

$\alpha T$ 是不是也属于 $V^{(n)}_{\mathrm{alt}}$？逐个查：

• $n$ 重线性：每个 $Tv_k$ 对 $v_k$ 线性，$\alpha$ 对它线性，复合起来仍线性。
• 交错：若 $v_j=v_k$，则 $Tv_j=Tv_k$，于是 $\alpha(\dots,Tv_j,\dots,Tv_k,\dots)=0$。

所以 $\alpha T\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}}$。于是「$\alpha\mapsto\alpha T$」是一个从 $V^{(n)}_{\mathrm{alt}}$ 到它自身的线性映射。

而 36 讲说过，这个空间是一维的。一维空间到自身的线性映射，只能是把每个向量乘上某个固定的标量。那个标量，就定义作 $\det T$：

$$\alpha T=(\det T)\,\alpha\qquad\text{对一切 } \alpha\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}} \tag{37.1}$$

2.2 四个立刻能读出的事实 #

从 (37.1) 出发，不用算任何东西就能得到四条。这也是公理化定义的价值——性质是"读"出来的，不是"算"出来的。

① $\det I=1$。 $\alpha I=\alpha$，所以乘的标量是 $1$。

② $\det(\lambda I)=\lambda^n$。 $\alpha(\lambda I)$ 把每个输入都乘了 $\lambda$，而 $\alpha$ 是 $n$ 重线性的，$n$ 个自变量各提一个 $\lambda$ 出来，共 $\lambda^n$。

③ $\det(\lambda T)=\lambda^n\det T$。 同一个道理：$n$ 个位置，每个提一个 $\lambda$。这一个式子就能挡掉"$\det(2A)=2\det A$"这个最常见的错。$n=3$ 时，$\det(2A)=8\det A$——边长都乘 $2$，体积当然乘 $8$。

④ 若有由特征向量构成的基，则 $\det T=\lambda_1\cdots\lambda_n$。 设 $e_1,\dots,e_n$ 是 $T$ 的特征向量，$Te_k=\lambda_k e_k$。取 $\alpha\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}}$ 且 $\alpha\ne0$，由交错性知 $\alpha(e_1,\dots,e_n)\ne0$（这组是基，线性无关），于是

$$\alpha T(e_1,\dots,e_n)=\alpha(\lambda_1e_1,\dots,\lambda_ne_n)=(\lambda_1\cdots\lambda_n)\,\alpha(e_1,\dots,e_n)$$

两边的 $\alpha(e_1,\dots,e_n)$ 都不是 $0$，消掉即得 $\det T=\lambda_1\cdots\lambda_n$。

这条是整个理论的枢纽。它说：行列式在"能被特征向量张满"的情形下，就是特征值之积。 后面 19 讲的「上三角化」会告诉你，换成复空间或加上基的条件，几乎总能做到这一点；于是"$\det=$ 特征值之积"从特例升级成通例。

2.3 矩阵的行列式 #

定义：设 $A$ 是 $n\times n$ 方阵，令 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^n)$ 是关于标准基的矩阵等于 $A$ 的那个算子，定义

$$\det A=\det T$$

也就是说：矩阵的行列式，就是"它所代表的那个算子"的行列式。这个定义暂时看着有点绕——它取决于"矩阵对应的算子"这一中间物。但很快（3.6 节之后）会看到，它其实可以直接用矩阵元素写出来。

例（对角矩阵）：$A=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$。标准基就是特征向量基，于是

$$\det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n \tag{37.2}$$

例（上三角）：对角元是 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 的上三角矩阵，也有 $\det A=\lambda_1\cdots\lambda_n$（3.3 节证）。注意这里已经不只是对角矩阵了——右上角那一堆非零元素都不影响结果。

2.4 从公理推出 $2\times2$ 的公式 #

不要背 $ad-bc$，把它推出来。这一步是整讲的模板：后面 $3\times3$、$n\times n$ 的公式，全是同一套动作。

设 $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$，两列是 $v_1=\binom{a}{c}$、$v_2=\binom{b}{d}$。把每列按标准基 $e_1,e_2$ 拆开：

$$v_1=ae_1+ce_2,\qquad v_2=be_1+de_2$$

现在让 $\det$ 上场。由多重线性，可以逐列展开（先展第一列，再展第二列）：

$$\begin{aligned}\det(v_1,v_2)&=\det(ae_1+ce_2,\ be_1+de_2)\\ &=ab\det(e_1,e_1)+ad\det(e_1,e_2)+cb\det(e_2,e_1)+cd\det(e_2,e_2)\end{aligned}$$

四项分别处理：

• $\det(e_1,e_1)=0$：交错，两个位置放同一个向量。
• $\det(e_2,e_2)=0$：同上。
• $\det(e_1,e_2)=1$：归一。
• $\det(e_2,e_1)=-1$：交换两个位置，符号翻转（这条是从交错 + 多重线性推出来的，见 3.1 节）。

代回去：

$$\det\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=ad-bc \tag{37.3}$$

2.5 $3\times3$ 的六项式 #

同样的流程走 $n=3$，得到

$$\det\begin{pmatrix}a&b&c\\ d&e&f\\ g&h&i\end{pmatrix}=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh \tag{37.4}$$

六项，三项带 $+$、三项带 $-$。看图记：从左上往右下的三条"主方向"对角线取正，从右上往左下的三条取负（这就是中学的"对角线法则"）。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 行列式是交错 $n$ 重线性型 #

这是全部性质的源头。结论：把 $\mathbb{F}^n$ 中 $n$ 个向量 $v_1,\dots,v_n$ 映成 $\det\begin{pmatrix}v_1&\cdots&v_n\end{pmatrix}$ 的那个函数，是 $\mathbb{F}^n$ 上的交错 $n$ 重线性型。

证明（短，但要看清每一行的出处）。设 $T$ 是满足 $Te_k=v_k$ 的算子——它的矩阵正是 $(v_1\ \cdots\ v_n)$。取 $\alpha$ 是任一交错 $n$ 重线性型且 $\alpha(e_1,\dots,e_n)=1$。那么

$$\begin{aligned}\det(v_1\ \cdots\ v_n)&=\det T\\ &=(\det T)\,\alpha(e_1,\dots,e_n)\\ &=\alpha(Te_1,\dots,Te_n)\\ &=\alpha(v_1,\dots,v_n)\end{aligned}$$

第二行用归一，第三行用 $\det T$ 的定义 (37.1)，第四行用 $Te_k=v_k$。

于是"取行列式"这个函数就是 $\alpha$，当然交错、当然 $n$ 重线性。$\blacksquare$

由它立刻掉出一条：

两列相同 $\Rightarrow$ 行列式为 $0$。 交错性的定义就是这么写的。

更一般地，两列成比例也归零：$\det(cv,v)=c\det(v,v)=0$。这条马上要在"可逆性"和"体积"两处各用一次。

3.2 排列公式：把行列式写成 $n!$ 项之和 #

把 2.4 的推导推到一般 $n$。设 $A$ 的列是 $v_1,\dots,v_n$，写成 $v_k=\sum_{j}b_{j,k}e_j$。代进去，用 $n$ 重线性炸开：

$$\det A=\sum_{j_1=1}^{n}\cdots\sum_{j_n=1}^{n}b_{j_1,1}\cdots b_{j_n,n}\,\alpha(e_{j_1},\dots,e_{j_n})$$

$n^n$ 项。但由交错性，只要某个下标重复，$\alpha(e_{j_1},\dots,e_{j_n})=0$。所以只有 $(j_1,\dots,j_n)$ 互不相同——也就是 $1,\dots,n$ 的一个排列——才有贡献。剩下的项用"交换一次变号"归一：

$$\det A=\sum_{(j_1,\dots,j_n)\in\operatorname{perm}_n}\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_n)\,A_{j_1,1}A_{j_2,2}\cdots A_{j_n,n} \tag{37.5}$$

其中 $\operatorname{perm}_n$ 是 $1,\dots,n$ 的全部排列，$\operatorname{sign}$ 是排列的符号：

$$\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_n)=(-1)^{N},\quad N=\#\{(k,\ell):k<\ell\ \text{但}\ k\ \text{排在}\ \ell\ \text{之后}\} \tag{37.6}$$

$N$ 叫逆序数。一句话记：数一数"大数跑到了小数前面"的次数，偶数次为正，奇数次为负。

用 (37.5) 核对 $3\times3$：六个排列的符号是 $+,-,-,+,+,-$，展开正好是 (37.4)。你也应当自己手推一次 $2\times2$ 的四个排列，确认只有 $(1,2)$ 和 $(2,1)$ 两项。

(37.5) 的代价：$n!$ 项。$n=10$ 时超过三百万项，$n=100$ 时是 $10^{158}$ 量级——比宇宙原子数还多。所以这个公式是用来推导性质的，不是用来算数的。真正算数请走 3.7 节。

3.3 上三角矩阵：乘积只剩一项 #

设 $A$ 上三角，对角元 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$。在 (37.5) 里看：若某个排列 $(j_1,\dots,j_n)\ne(1,\dots,n)$，必存在某个 $k$ 使得 $j_k>k$——因为它不能一直"$j_k\le k$"（那样每个位置都被前 $k$ 个下标占满，只能是恒等排列）。而 $j_k>k$ 意味着 $A_{j_k,k}$ 位于对角线下方，上三角矩阵在那里的元素是 $0$。

于是整项为 $0$。只剩 $(1,\dots,n)$ 这一项，符号 $+1$，值是 $\lambda_1\cdots\lambda_n$：

$$\det A=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n\qquad(A\ \text{上三角}) \tag{37.7}$$

这条看起来平淡，其实是计算行列式的主力：整个 3.7 节就是在讲"怎么把矩阵变成上三角而把账记清"。

3.4 可乘性：$\det(ST)=\det S\det T$ #

证明只有三行，因为定义里那个"$\alpha\mapsto\alpha T$"是复合：

$$\begin{aligned}\alpha(ST)(v_1,\dots,v_n)&=\alpha(STv_1,\dots,STv_n)\\ &=(\det S)\,\alpha(Tv_1,\dots,Tv_n)\\ &=(\det S)(\det T)\,\alpha(v_1,\dots,v_n)\end{aligned}$$

对一切 $\alpha$ 成立，故 $\det(ST)=\det S\det T$。$\blacksquare$

矩阵版随之而来：取 $S,T$ 使矩阵为 $A,B$，则 $ST$ 的矩阵是 $AB$，于是

$$\det(AB)=\det A\det B \tag{37.8}$$

3.5 可逆 $\iff$ 行列式非零 #

先证 $\Rightarrow$。 设 $T$ 可逆，则 $TT^{-1}=I$。由可乘性：

$$1=\det I=\det(T)\det(T^{-1})$$

所以 $\det T\ne0$，而且 $\det(T^{-1})=\dfrac{1}{\det T}$。

再证 $\Leftarrow$。 设 $\det T\ne0$，要证 $T$ 可逆，即证零空间只有 $0$。取 $v\ne0$，把它扩充成一组基 $v,e_2,\dots,e_n$，取非零的 $\alpha\in V^{(n)}_{\mathrm{alt}}$。因为这组是基，$\alpha(v,e_2,\dots,e_n)\ne0$（3.1 节的交错性 + 线性无关）。于是

$$\alpha(Tv,Te_2,\dots,Te_n)=(\det T)\,\alpha(v,e_2,\dots,e_n)\ne0$$

右边非零（两个因子都非零），所以左边非零，故 $Tv\ne0$——不然整组里有重复向量，值就是 $0$ 了。$v\ne0$ 时必有 $Tv\ne0$，即零空间是 $\{0\}$，$T$ 可逆。$\blacksquare$

于是得到一个只看一个数的判据：

$$T\ \text{可逆}\iff \det T\ne0,\qquad A\ \text{可逆}\iff\det A\ne0 \tag{37.9}$$

结合 2.2 的第四条，还有一句极好记的话：行列式为 $0$ $\iff$ 有特征值 $0$（在复空间上；实空间上等价于"某个特征值为 $0$ 或存在复的零特征值"）。用几何语言说：$T$ 把整个空间压扁了至少一维。

3.6 转置不变：$\det A^{\mathsf{T}}=\det A$ #

这条的价值在于它允许你"行话"与"列话"随意切换。证明的骨架是把 (37.5) 里的求和重排一次。

思路：定义 $\alpha(v_1,\dots,v_n)=\det\left((v_1\ \cdots\ v_n)^{\mathsf{T}}\right)$。由转置矩阵的行列式公式可知 $\alpha$ 是 $n$ 重线性的；若 $v_j=v_k$，则 $(v_1\ \cdots\ v_n)^{\mathsf{T}}$ 的第 $j,k$ 行相同，矩阵不可逆，$\alpha=0$，故 $\alpha$ 交错。又 $\alpha(e_1,\dots,e_n)=\det I=1$。由"交错 $n$ 重线性型空间一维"，$\alpha$ 只能是行列式本身。$\blacksquare$

3.7 行/列操作的记账表：这才是真算法 #

由 3.1 + 3.6，行列式对行和列都满足同样的三条。这张表要背下来，因为它是所有手算的地基。

操作	对 $\det$ 的影响	依据
交换两行（或两列）	变为原来的 $-1$ 倍	交错性
某一行（列）乘 $c$	变为原来的 $c$ 倍	多重线性
某行的 $c$ 倍加到另一行	不变	多重线性 + 交错性
两行（列）相同或成比例	等于 $0$	交错性

第三条要单独推一下，它是消元法的合法性来源：

$$\det(v_1+cv_2,\ v_2,\dots)=\det(v_1,v_2,\dots)+c\det(v_2,v_2,\dots)=\det(v_1,v_2,\dots)+0$$

第一项拆开用多重线性，第二项归零用交错性。一行加上另一行的倍数，行列式一动不动。

于是有了完整算法：

1. 用"倍加"把矩阵消成上三角（这一步不记任何账）；
2. 遇到需要交换两行时，交换并记一个负号；
3. 遇到某行乘了非零常数 $c$，记下 $c$；
4. 上三角后对角元相乘（3.3 节），再按记账的符号与因子还原。

单一交换一次的代价是乘 $-1$，所以交换次数是奇是偶很重要——这就是为什么"逆序数"那套东西会在消元法里再次出现。

3.8 一个 $3\times3$ 的完整手算（两条路线对照） #

取

$$A=\begin{pmatrix}2&-1&3\\ 1&2&-1\\ 4&0&5\end{pmatrix}$$

路线一：按第一行展开（余子式）

$$\det A=2\cdot\det\begin{pmatrix}2&-1\\ 0&5\end{pmatrix}-(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}1&-1\\ 4&5\end{pmatrix}+3\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\ 4&0\end{pmatrix}$$

逐个算三个 $2\times2$：

• $\det\begin{pmatrix}2&-1\\ 0&5\end{pmatrix}=2\cdot5-(-1)\cdot0=10$
• $\det\begin{pmatrix}1&-1\\ 4&5\end{pmatrix}=1\cdot5-(-1)\cdot4=5+4=9$
• $\det\begin{pmatrix}1&2\\ 4&0\end{pmatrix}=1\cdot0-2\cdot4=-8$

代回，注意中间的符号是 $-$ 而 $A_{1,2}=-1$，两个负号相乘得 $+$：

$$\det A=2\cdot10+1\cdot9+3\cdot(-8)=20+9-24=5$$

路线二：行变换化上三角

第一行首元是 $2$，不方便；交换第 1、2 行（代价：整体变号）：

$$\det A=-\det\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 2&-1&3\\ 4&0&5\end{pmatrix}\equiv -D_1$$

现在做倍加（不改值）：$R_2\leftarrow R_2-2R_1$、$R_3\leftarrow R_3-4R_1$：

$$D_1=\det\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&-5&5\\ 0&-8&9\end{pmatrix}$$

再做 $R_3\leftarrow R_3-\dfrac{8}{5}R_2$，得 $\begin{pmatrix}0&0&9-8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}$：

$$D_1=\det\begin{pmatrix}1&2&-1\\ 0&-5&5\\ 0&0&1\end{pmatrix}=1\cdot(-5)\cdot1=-5$$

所以 $\det A=-D_1=-(-5)=5$。

两条路线对上，都是 $5$。

3.9 按一行（或一列）展开：Laplace 展开 #

路线一不是巧合，它是一条定理。先定义两个东西。

余子式 $M_{i,j}$：划掉第 $i$ 行与第 $j$ 列后剩下 $(n-1)\times(n-1)$ 矩阵的行列式。
代数余子式 $C_{i,j}=(-1)^{i+j}M_{i,j}$。

定理（按第 $i$ 行展开）

$$\det A=\sum_{j=1}^{n}A_{i,j}C_{i,j}=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}A_{i,j}M_{i,j} \tag{37.10}$$

为什么成立（用 3.7 的"交换两列变号"来做，比数逆序数干净得多）：

固定 $i,j$。把第 $i$ 行向上移到第 $1$ 行，需要 $i-1$ 次相邻交换；把第 $j$ 列向左移到第 $1$ 列，需要 $j-1$ 次。因每次交换变号，总共乘上 $(-1)^{(i-1)+(j-1)}=(-1)^{i+j}$。移完之后矩阵长这样：

$$\begin{pmatrix}A_{i,j} & 0\ \cdots\ 0\\ \ast & M_{i,j}\end{pmatrix}$$

（右下角那一块就是原来的 $M_{i,j}$，尺寸 $(n-1)\times(n-1)$。）第一行只有首元非零，按第一行展开（或者直接由"上三角"的思路）得 $\det=A_{i,j}\cdot\det M_{i,j}$。所以贡献是 $(-1)^{i+j}A_{i,j}M_{i,j}$。

把所有 $j$ 加起来就是 (37.10)——为什么可以"所有 $j$ 加起来"：$\det$ 对第 $i$ 行是线性的，把这一行拆成 $n$ 个"只有一个位置非零"的行之和，逐项用上式即可。$\blacksquare$

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 二维：单位正方形怎么变成平行四边形 #

$|\det A|$" loading="lazy" decoding="async" />

这是本讲最该盯着看的一张图。左图是标准基 $e_1,e_2$ 张成的单位正方形；右图是 $T$ 把它的每一点都送过去之后的像。

看图的关键是：右图的边界，就是 $Te_1$ 与 $Te_2$ 这两条向量。因为正方形是 $\{se_1+te_2:0\le s,t\le 1\}$，$T$ 是线性的，像就是 $\{s(Te_1)+t(Te_2)\}$——正好是那两条边张成的平行四边形。

于是"行列式"这件事就非常具体了：

$$\text{像的面积}=|\det T|\cdot\text{原来的面积}=|\det T|\cdot 1=|\det T| \tag{37.11}$$

图中那个平行四边形的面积，就是单位正方形面积的 $|\det A|$ 倍——具体倍数取决于这张图所用的矩阵，你可以自己从图上读出两条边的坐标，用 $ad-bc$ 验一遍。更有用的是反过来读：底边是 $Te_1$，高是 $Te_2$ 在垂直于 $Te_1$ 方向上的投影，"底 × 高"算出来的正是 $|ad-bc|$。

为什么二维的 $|\det|$ 恰好是"底 × 高"？ 因为 $ad-bc$ 就是 $v_1=(a,c)$ 与 $v_2=(b,d)$ 的叉积的绝对值。这不是巧合，是所有维数下的同一个事实的低维影子。

4.2 一般维数：体积的缩放因子 #

定理：设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$，$\Omega\subseteq\mathbb{R}^n$ 可测，则

$$\operatorname{volume}\big(T(\Omega)\big)=|\det T|\cdot\operatorname{volume}(\Omega) \tag{37.12}$$

也就是说：$|\det T|$ 就是"每单位体积被放大多少倍"。理由是 29 讲的那条：$|\det T|$ 等于 $T$ 的奇异值之积

$$|\det T|=\sqrt{\det(T^{*}T)}=s_1s_2\cdots s_n \tag{37.13}$$

而奇异值正是"在各个互相垂直的方向上分别拉伸的倍数"。$n$ 个正交方向各拉 $s_k$ 倍，体积就乘 $\prod s_k$。

$T$ 作用后成为长方体，其中 $e_2$ 方向被拉长到 $2e_2$；体积从 1 变成 $|\det T|$——这个例子里正好是 2" loading="lazy" decoding="async" />

上面这张是教材上的插图（不是本课自绘）：单位立方体被送成一个长方体，只有 $e_2$ 方向被拉成两倍，于是体积恰好变成 $2$，与 $|\det T|=2$ 吻合。"立方体变成一个箱子"是最好记的体积图像——它把一个抽象的数变成了一次具体的拉伸。

$v_1,v_2,v_3$ 张成的平行六面体；它的体积是 $|\det(v_1\ v_2\ v_3)|$" loading="lazy" decoding="async" />

这张同样是教材插图。它把"列向量 → 平行六面体"这层对应单独拎出来：矩阵的列不必正交、不必等长，它们张成的那块"斜箱子"的体积就是 $|\det|$。配合 4.3 的哈达马不等式看会更清楚：在棱长固定的所有斜箱子里，正方体（棱两两正交）体积最大。

4.3 符号的含义：定向 #

$|\det|$ 管大小，$\det$ 的符号管"翻没翻个儿"。

• $\det>0$：定向保持（右手还是右手）。
• $\det<0$：定向反转（右手变左手，像是在镜子里的像）。
• $\det=0$：整个空间被压扁到更低维——体积变为 $0$，这正是 3.5 节"不可逆"的几何版本。

交换两列 $\Rightarrow$ 变号，几何上就是"把箱子的两条棱换个顺序，箱子从'右手系'变成'左手系'"。同一块体积，定向相反。

4.4 一个必须亲手验的算例 #

取 $T$ 把 $e_1\mapsto(3,0)$、$e_2\mapsto(1,2)$，矩阵 $\begin{pmatrix}3&1\\ 0&2\end{pmatrix}$，$\det=6$。单位正方形变成底 $3$、高 $2$ 的平行四边形，面积 $6$ ✓。

再取 $S$ 把 $e_1\mapsto(0,1)$、$e_2\mapsto(1,0)$，矩阵 $\begin{pmatrix}0&1\\ 1&0\end{pmatrix}$，$\det=-1$。它把正方形翻成同样的正方形，面积 $1$，符号 $-1$——这就是"交换两列变号"的几何解释。

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五、常见误区 #

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix},\ B=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&1\end{pmatrix},\quad \det A=\det B=0,\ \text{但}\ \det(A+B)=\det I=1$$

行列式对每一列线性，不对方阵整体线性。这也正是"多重线性"这个怪名字的由来。

$$\begin{pmatrix}+&-&+\\ -&+&-\\ +&-&+\end{pmatrix}$$

常见错误：把 $A_{1,2}$ 的项也写成 $+$。注意 3.8 里 $A_{1,2}=-1$ 而符号是 $-$，两个负号相乘得正——符号与元素的正负是两件事，分别记。

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六、拓展（可选，可跳过） #

6.1 特征多项式与 Cayley–Hamilton #

把 $\lambda$ 当变量，$\det(\lambda I-T)$ 是一个关于 $\lambda$ 的 $n$ 次首一多项式，叫特征多项式。由 3.5 节的等价，它的根恰是特征值。展开后

$$\det(zI-T)=z^{n}-(\operatorname{tr}T)z^{n-1}+\cdots+(-1)^{n}\det T \tag{37.14}$$

最高次与次高次系数分别锁住了 $\det$ 与 $\operatorname{tr}$——这就是 34 讲说的"迹与行列式是特征多项式的两个最低次系数"。把 $T$ 代进去还得 $0$，即 Cayley–Hamilton 定理。它在实空间上也成立（借助复化），这也是"用一个多项式刻画算子"这条线的终点之一。

6.2 范德蒙德行列式 #

$$\det\begin{pmatrix}1&\beta_1&\cdots&\beta_1^{n-1}\\ 1&\beta_2&\cdots&\beta_2^{n-1}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 1&\beta_n&\cdots&\beta_n^{n-1}\end{pmatrix}=\prod_{1\le j<k\le n}(\beta_k-\beta_j) \tag{37.15}$$

这个公式一眼看出：$\beta_j$ 互不相同时行列式非零，于是就插值问题"过 $n$ 个不同点的 $n-1$ 次多项式存在且唯一"有了一个干净的证明。这条在数值分析（插值、求积公式）和信号处理（离散傅里叶）里天天出现。

6.3 哈达马不等式 #

$$\left|\det A\right|\le\prod_{k=1}^{n}\|v_k\| \tag{37.16}$$

$v_k$ 是 $A$ 的各列。几何读法（由 4.2）：棱长固定的平行体中，体积最大的是各棱两两正交的那个。 等号成立当且仅当各列两两正交。

6.4 为什么要有"更快的方法" #

排列公式 $n!$ 项，消元 $O(n^3)$。$n=20$ 时前者约 $2.4\times10^{18}$ 项，后者约 $8000$ 步。这个差距不是常数因子，是量级——所以行列式在计算上从来不是"按定义算"的。

顺带一句：算特征值也别指望这条路线。$\det(\lambda I-A)=0$ 对 $n\ge5$ 一般没有根式解，实际用的是迭代法（QR 算法等），行列式在这里的作用是"理论刻画"而不是"数值算法"。

6.5 关于"三种定义" #

本课用"交错多重线性型"这条线定义行列式。你会在别处见到另外两条：排列公式直接定义（先给公式，再证性质），或几何定义（先定义为体积倍率，再证性质）。三条等价，选哪条当定义只是取舍：公理化那条最容易说清"为什么唯一"，排列公式那条最方便算小矩阵，几何那条最有直觉。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 设 $A$ 是 $4\times4$ 矩阵，$\det A=3$。求 $\det(2A)$、$\det(-A)$、$\det(A^{\mathsf{T}}A)$、$\det(A^{-1})$。

2. 不展开，直接说出 $\det\begin{pmatrix}1&2&3\\ 2&4&6\\ 7&8&9\end{pmatrix}$ 的值，并说明理由。

3. 用两种方法求 $\det\begin{pmatrix}0&1&2\\ 1&0&3\\ 4&5&0\end{pmatrix}$，验证结果一致。

4. 设 $A$ 是 $n\times n$ 矩阵且 $A^2=A$（幂等）。证明 $\det A$ 只能是 $0$ 或 $1$。

5. 设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ 把一个体积为 $5$ 的球映成一个体积为 $40$ 的椭球。问 $|\det T|$ 是多少？$\det T$ 可能是 $-2$ 吗？

答案（点开）

1. $\det(2A)=2^4\det A=16\cdot3=48$；$\det(-A)=(-1)^4\det A=3$；$\det(A^{\mathsf{T}}A)=\det(A^{\mathsf{T}})\det A=3\cdot3=9$；$\det(A^{-1})=1/3$。
（第 2 问最容易错成 $-3$：$n$ 是偶数时 $(-1)^n=1$，负号被吃掉了。）

2. 值是 $0$。因为第 2 行 $=2\times$ 第 1 行，两行成比例，由交错性归零。
（顺便：$\det\begin{pmatrix}7&8&9\\ \cdot&\cdot&\cdot\end{pmatrix}$ 不要真的去算——$3\times3$ 一旦出现成比例的行列，答案必然是 $0$。）

3. 按第一行展开：

$$\det=0\cdot\det\begin{pmatrix}0&3\\ 5&0\end{pmatrix}-1\cdot\det\begin{pmatrix}1&3\\ 4&0\end{pmatrix}+2\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\ 4&5\end{pmatrix}=0-(-12)+2\cdot5=22$$

消元：$R_1\leftrightarrow R_2$（记 $-1$），得 $\begin{pmatrix}1&0&3\\ 0&1&2\\ 4&5&0\end{pmatrix}$；$R_3\leftarrow R_3-4R_1$ 得 $(0,5,-12)$；$R_3\leftarrow R_3-5R_2$ 得 $(0,0,-22)$。
上三角对角元 $1\cdot1\cdot(-22)=-22$，故 $\det=(-1)\times(-22)=22$。两种方法一致 ✓

4. 由 $A^2=A$ 与可乘性：$\det A=\det(A^2)=(\det A)^2$。于是 $\det A$ 是方程 $x=x^2$ 的根，只能 $0$ 或 $1$。
（几何意义：幂等就是投影，特征值只有 $0,1$，乘积自然是 $0$ 或 $1$；$\det=1$ 对应"投影到全空间"即 $A=I$，$\det=0$ 对应真投影。）

5. 由 (37.12)，$40=|\det T|\cdot5$，故 $|\det T|=8$。
$\det T=-2$ 不可能，因为 $|\det T|$ 必须等于 $8$；$\det T$ 只能是 $8$ 或 $-8$（后者表示定向被翻）。

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八、复习卡 #

项	内容
公理化定义	交错 $n$ 重线性 + 归一 $\alpha(e_1,\dots,e_n)=1$；由 36 讲「维数为 1」保证唯一
算子版定义	$\alpha T=(\det T)\alpha$，即 $\det T$ 是 $\alpha\mapsto\alpha T$ 那个标量
矩阵版定义	$\det A=\det T$，$T$ 是标准基下矩阵为 $A$ 的算子
$2\times2$	$\det\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}=ad-bc$
$3\times3$	$aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$（对角线法则，仅 $n\le3$）
排列公式	$\det A=\sum_{\operatorname{perm}}\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_n)A_{j_1,1}\cdots A_{j_n,n}$，共 $n!$ 项
符号	$\operatorname{sign}=(-1)^{\text{逆序数}}$，逆序数 = 大数排在小数前面的次数
上三角	$\det=\prod\lambda_k$（对角元之积），对角、上三角、下三角通用
可乘性	$\det(ST)=\det S\det T$，$\det(AB)=\det A\det B$
可逆判据	$\det T\ne0\iff T$ 可逆；$\det(T^{-1})=1/\det T$
转置	$\det A^{\mathsf{T}}=\det A$；行性质与列性质完全对称
交换两行/列	变号
某行乘 $c$	乘 $c$
倍加	不变（消元法合法性的来源）
成比例	两行/列成比例 $\Rightarrow\det=0$
按一行展开	$\det A=\sum_j(-1)^{i+j}A_{i,j}M_{i,j}$，棋盘格符号 $(-1)^{i+j}$
体积	$|\det T|=\operatorname{volume}(T(\Omega))/\operatorname{volume}(\Omega)$
奇异值	$|\det T|=s_1s_2\cdots s_n=\sqrt{\det(T^{*}T)}$
特征值	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时 $\det T=\prod\lambda_k$（含重数）
与迹对照	迹管加法，行列式管乘法；两者是特征多项式的两个最低次系数
算法	排列公式 $O(n!)$ 只用于推导；实际算用消元 $O(n^3)$，并记好交换与倍乘的账

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线出处：本讲的定义与主要结论系统对应《线性代数应该这样学》（第 4 版，吴俊达、何阳 译）第 9 章 9C 节「行列式」，PDF 页码 p309–322（印刷页码 p296–308）。原文编号：9.40（$\alpha T$ 的定义）、9.41（算子的行列式）、9.42（$\det I$、$\det(\lambda I)$、$\det(\lambda T)$、特征值之积）、9.43（矩阵的行列式）、9.45（行列式是交错多重线性型）、9.46（排列公式）、9.48（上三角）、9.49（可乘性）、9.50（可逆 $\iff$ 非零）、9.51（特征值与 $\det(\lambda I-T)$）、9.52（相似不变）、9.53（算子行列式 = 任一基下矩阵的行列式）、9.55（复空间上 = 特征值之积）、9.56（转置/对偶/伴随）、9.57（行列式计算的五条）、9.60（$|\det T|=$ 奇异值之积）、9.61（$T$ 把体积变为 $|\det T|$ 倍）、9.62–9.63（特征多项式）、9.64（Cayley–Hamilton）、9.65（特征多项式的系数与迹、行列式）、9.66（哈达马不等式）、9.67（范德蒙德行列式）。
• 公理化定义的前置：9.36（交错多重线性型的展开公式）、9.37（$\dim V^{(n)}_{\mathrm{alt}}=1$）、9.39（非零交错 $n$ 重线性型与线性无关的等价）——这三条对应本课 36 讲。
• 本讲的顺序调整：原文先给算子定义、再给矩阵定义与公式；本讲把"为什么必须是它"（第 1.2–1.3 节）提前，并在第 2.4 节把 $2\times2$ 的公式完整推导一遍，因为它是最便宜的"公理 → 公式"演示。逻辑关系未变。
• 本讲自行补充、原文未单列的内容：① 3.9 节的 Laplace 展开。原文只在习题中给出特例（方阵第一列除首元外全为零时 $\det A=A_{1,1}\det B$），本讲把它推广成一般的按行/按列展开，并用"行列交换移动 + 变号"给出证明，未使用逆序数计数。请以本讲的证明为准，若与别处教材陈述有异，按"移动行列 + 每次变号"的逻辑自查即可。② 4.1 节那张示意图中的平行四边形坐标由绘图者选定，本讲不给出其行列式的具体数值，只用它说明"面积 = $|\det|$"这个关系。
• 配图说明：ch37/det-area.png 为本课绘制的示意图；ch37/book-p255.png、ch37/book-p256.png 为教材插图（分别对应平行六面体与单位立方体的像），已在正文注明来源。
• 与其他讲次的关系：可逆性见 10 讲；上三角化见 19 讲；特征值与代数重数见 17 讲；奇异值与 $|\det T|=\prod s_k$ 见 29 讲；迹与特征多项式系数见 34 讲；交错多重线性型与排列符号见 36 讲。
• 术语别名：「行列式」= determinant = Determinante（德）= определитель（俄）；「余子式」= minor；「代数余子式」= cofactor；「逆序数」= number of inversions；「幺正/酉」= unitary。中文教材有时把"按一行展开"称作"拉普拉斯展开"。
• 想深挖时可查：Horn & Johnson《Matrix Analysis》第 0 章关于行列式的公理化处理与哈达马不等式的加强版；《行列式入门》中排列、逆序数与范德蒙德行列式的计算细节；数值线性代数教材中 LU 分解与行列式的关系（$\det A=\pm\prod U_{k,k}$，符号由行交换次数决定）。