25 自伴与正规算子

自伴与正规算子 #

这讲讲什么：给内积空间上的线性映射定义「伴随」$T^*$，再用它切出两类最重要的算子——自伴（$T=T^*$）与正规（$TT^*=T^*T$）
前置：22 讲（内积与范数）、23 讲（规范正交基）、24 讲（正交补）；08 讲的零空间与值域
一句话：伴随是把算子从内积的一侧搬到另一侧的唯一办法；自伴是「与自己对称」，正规是「与自己的伴随时时对得上」。

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一、为什么需要它 #

到 24 讲为止，你手上有两套互不相干的东西。

一套是内积：$\langle u,v\rangle$ 给出长度 $\|v\|$ 和角度，能判断正交。另一套是算子：$T$ 把向量搬来搬去。可这两套东西至今没有真正握手——你会算 $\langle Tv,w\rangle$ 这个数，但它对 $v$ 和 $w$ 是不对称的：把 $T$ 作用在左边那个位置上，结果一般不等于作用在右边那个位置上。

这件事为什么非做不可？看几个现象。

现象一：实对称矩阵的「好运」。 20 讲讲过，一个算子可对角化不是必然的。但实对称矩阵总能正交对角化，而且特征值全是实数、特征向量互相正交。这不像巧合，可「对称」这个词你在抽象层面根本没法说——它只是「矩阵等于它的转置」。

现象二：转置不是算子的性质。 「矩阵等于转置」严重依赖基。同一个算子，换一组基，矩阵可能不再对称。一个只在某些基下成立的描述，没资格当定义。

现象三：$T^*T$ 到处冒头。 最小二乘的正规方程里有它，29 讲的奇异值分解整个建立在 $T^*T$ 的特征值上，量子力学里一个可观测量就是一个自伴算子（它的特征值必须是实数，因为那是测量结果）。

读完这一讲，你应该能回答：

1. 给定 $T$，怎么一步步算出 $T^*$？为什么这个 $T^*$ 一定存在且唯一？
2. 「自伴」「正规」谁包含谁？各自用什么判据一秒认出？
3. 为什么「$\langle Tv,v\rangle$ 恒为实数」这条判据只在复数域上有效？

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二、定义与最小例子 #

2.1 伴随 #

定义（伴随）：设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。$T$ 的伴随是满足

$$\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle$$

对一切 $v\in V$、$w\in W$ 都成立的函数 $T^*:W\to V$。

注意这个定义的写法：它没说「$T^*$ 是某某矩阵的转置」，只说「$T^*$ 是让那条等式成立的东西」。这等于把一个性质当成了定义。所以必须先回答：这样的东西存在吗？只有一个吗？

存在且唯一，靠的是里斯表示定理。 固定 $w\in W$，看 $V$ 上的泛函

$$\varphi_w(v)=\langle Tv,w\rangle .$$

它线性（把 $T$ 的线性与内积第一格的线性合起来）。里斯表示定理说：$V$ 上每个线性泛函都能唯一地写成「与某个固定向量的内积」，即存在唯一的 $u\in V$ 使 $\varphi_w(v)=\langle v,u\rangle$ 对一切 $v$ 成立。就取 $T^*w=u$。

还要注意一件事：等式左边的内积在 $W$ 上算，右边的内积在 $V$ 上算，但记号都写 $\langle\cdot,\cdot\rangle$。这是刻意的：伴随定理之所以好用，正因为它把两个空间的内积「接」在了一起。

2.2 最小的例子：从 $\mathbb{R}^3$ 到 $\mathbb{R}^2$ #

定义 $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ 为

$$T(x_1,x_2,x_3)=(x_2+3x_3,\;2x_1).$$

求 $T^*$ 的办法是只动等式一边：设 $v=(x_1,x_2,x_3)$、$w=(y_1,y_2)$，从 $\langle Tv,w\rangle$ 开始算，一路整理，直到内积第一个位置里只剩 $v$：

$$\begin{aligned} \langle Tv,w\rangle &=\langle (x_2+3x_3,\,2x_1),(y_1,y_2)\rangle\\ &=(x_2+3x_3)y_1+2x_1y_2\\ &=x_1(2y_2)+x_2y_1+x_3(3y_1)\\ &=\langle (x_1,x_2,x_3),\;(2y_2,\,y_1,\,3y_1)\rangle . \end{aligned}$$

按定义，内积第二个位置里的那个向量就是 $T^*w$。所以

$$T^*(y_1,y_2)=(2y_2,\;y_1,\;3y_1).$$

顺便验一下矩阵视角。$T$ 关于两组标准基的矩阵是（第 $k$ 列是 $Te_k$）

$$M(T)=\begin{pmatrix}0&1&3\\ 2&0&0\end{pmatrix},\qquad M(T^*)=\begin{pmatrix}0&2\\ 1&0\\ 3&0\end{pmatrix}.$$

果然 $M(T^*)$ 就是 $M(T)$ 的转置。这件事不是巧合，3.1 节会证明它——但只对规范正交基成立。

2.3 第二个例子：值域维数至多为 1 #

取定 $u\in V$、$x\in W$，定义 $Tv=\langle v,u\rangle x$。这种算子的值域最多一维，是所有算子中最「瘦」的一类。照样整理：

$$\begin{aligned} \langle Tv,w\rangle &=\langle \langle v,u\rangle x,\;w\rangle\\ &=\langle v,u\rangle\langle x,w\rangle\\ &=\langle v,\;\langle w,x\rangle u\rangle . \end{aligned}$$

最后一步用了 $\overline{\langle w,x\rangle}=\langle x,w\rangle$（内积的共轭对称性）。于是

$$T^*w=\langle w,x\rangle u.$$

这个例子值得记：$T$ 与 $T^*$ 长得像「互换 $u$ 与 $x$」。它还是后面练习题里的标准反例来源——取不同的 $u,x$ 就能造出自伴的、正规非自伴的、非正规的各种算子。

2.4 伴随自动是线性的 #

定义只要求 $T^*$ 是函数，没要求它线性。但线性是自动的。以加法为例：

$$\begin{aligned} \langle Tv,\;w_1+w_2\rangle &=\langle Tv,w_1\rangle+\langle Tv,w_2\rangle\\ &=\langle v,T^*w_1\rangle+\langle v,T^*w_2\rangle\\ &=\langle v,\;T^*w_1+T^*w_2\rangle . \end{aligned}$$

三行分别用了：内积对第二格的共轭线性（对加法而言，共轭不影响，所以加法照样拆得开）、伴随的定义、以及内积对第二格的共轭线性再往回用一次。比较两端的内积，得 $T^*(w_1+w_2)=T^*w_1+T^*w_2$。

标量那一步会露出复共轭：

$$\langle Tv,\lambda w\rangle=\overline{\lambda}\langle Tv,w\rangle=\overline{\lambda}\langle v,T^*w\rangle=\langle v,\lambda T^*w\rangle,$$

所以 $T^*(\lambda w)=\lambda T^*w$——注意这里没有共轭。为什么？因为共轭出现两次抵消了。这件事很重要：$T^*$ 本身是线性的，但「取伴随」这个操作 $T\mapsto T^*$ 在复数域上不是线性的，它是共轭线性的：

$$(\lambda T)^*=\overline{\lambda}\,T^* .$$

实数域上没这个问题，$\overline{\lambda}=\lambda$，于是 $T\mapsto T^*$ 是 $\mathcal{L}(V,W)\to\mathcal{L}(W,V)$ 的线性映射。

2.5 伴随的六条性质 #

定理：设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，则

(a) $(S+T)^*=S^*+T^*$；
(b) $(\lambda T)^*=\overline{\lambda}\,T^*$；
(c) $T^{**}=T$；
(d) $(ST)^*=T^*S^*$（$S\in\mathcal{L}(W,U)$）；
(e) $I^*=I$；
(f) $T$ 可逆 $\Rightarrow$ $T^*$ 可逆，且 $(T^*)^{-1}=(T^{-1})^*$。

两条要盯紧：

• (d) 顺序反转。 和 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$、$(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$ 是同一个套路。证明只一行：$\langle (ST)v,u\rangle=\langle S(Tv),u\rangle=\langle Tv,S^*u\rangle=\langle v,T^*S^*u\rangle$。
• (c) 对合。 取两次伴随回到自己。于是 $T\mapsto T^*$ 像复数取共轭一样，是个「二阶」操作。

(f) 的证明很干脆：对 $T^{-1}T=I$ 两边取伴随，用 (d)(e) 得 $T^*(T^{-1})^*=I$；由 $TT^{-1}=I$ 得 $(T^{-1})^*T^*=I$。两边互为逆，故 (f) 成立。

2.6 自伴与正规 #

定义（自伴）：算子 $T\in\mathcal{L}(V)$ 称为自伴的，如果 $T=T^*$。

定义（正规）：算子 $T\in\mathcal{L}(V)$ 称为正规的，如果 $TT^*=T^*T$。

自伴是「等于自己的伴随」，正规是「和自己的伴随可交换」。显然后者更松：

$$T=T^*\;\Longrightarrow\;TT^*=T\,T=T\,T=T^*T .$$

所以每个自伴算子都是正规的，反之不然。

2.7 两个矩阵例子 #

例 A（自伴判据的一次使用）：设 $T$ 是 $\mathbb{F}^2$ 上的算子，关于标准基的矩阵是

$$M(T)=\begin{pmatrix}2&c\\ 3&7\end{pmatrix}.$$

按共轭转置算，$M(T^*)=\begin{pmatrix}2&3\\ \overline{c}&7\end{pmatrix}$。两矩阵相等要求 $c=3$（复数情形要求 $\overline{c}=3$，仍等价于 $c=3$，因为 $3$ 是实数）。所以 $T$ 自伴当且仅当 $c=3$。

例 B（正规但非自伴）：矩阵

$$M(T)=\begin{pmatrix}2&-3\\ 3&2\end{pmatrix}.$$

第 2 行第 1 列是 $3$，第 1 行第 2 列是 $-3$，不相等，所以 $T$ 不自伴。但直接乘：

$$TT^*=\begin{pmatrix}2&-3\\ 3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\ -3&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}13&0\\ 0&13\end{pmatrix},$$

$$T^*T=\begin{pmatrix}2&3\\ -3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\ 3&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}13&0\\ 0&13\end{pmatrix}.$$

两者相等，所以 $T$ 正规。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 伴随的矩阵 = 共轭转置（仅限规范正交基） #

设 $e_1,\dots,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基，$f_1,\dots,f_m$ 是 $W$ 的规范正交基。规范正交基最大的好处是：任何向量都能用内积直接读出坐标。

$$Te_k=\langle Te_k,f_1\rangle f_1+\cdots+\langle Te_k,f_m\rangle f_m .$$

这些系数就是 $M(T)$ 的第 $k$ 列。于是

$$\big(M(T)\big)_{jk}=\langle Te_k,f_j\rangle .$$

把 $T$ 换成 $T^*$、$e$ 与 $f$ 互换，得 $M(T^*)$ 的元素

$$\big(M(T^*)\big)_{jk}=\langle T^*f_k,e_j\rangle=\overline{\langle e_j,T^*f_k\rangle}=\overline{\langle Te_j,f_k\rangle}=\overline{\big(M(T)\big)_{kj}} .$$

第二步用共轭对称，第三步用伴随的定义。于是

$$M(T^*)=\big(M(T)\big)^{*},$$

即「行列互换 + 逐项取共轭」。

3.2 自伴算子的特征值全是实数 #

设 $T=T^*$，$\lambda$ 是特征值，$v\neq 0$ 满足 $Tv=\lambda v$。从 $\langle Tv,v\rangle$ 两头夹：

$$\lambda\|v\|^2=\langle \lambda v,v\rangle=\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle=\langle v,\lambda v\rangle=\overline{\lambda}\|v\|^2 .$$

第二、三个等号用了自伴（$\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle$），第四个用了内积对第二格的共轭线性。因为 $v\neq0$，$\|v\|^2>0$，可以除，得 $\lambda=\overline{\lambda}$。

3.3 复数域：$\langle Tv,v\rangle$ 恒为实数 $\iff$ $T$ 自伴 #

先要一个引理，它是复内积空间的「极化恒等式」。

引理：设 $V$ 是复内积空间，$T\in\mathcal{L}(V)$。若 $\langle Tv,v\rangle=0$ 对一切 $v\in V$ 成立，则 $T=0$。

为什么需要它？因为在实数域上，「$\langle Tv,v\rangle$ 恒为 $0$」几乎不含信息（见第五节的反例）。复数域上则完全不同，原因是多了一个 $i$，可以把「双线性」的部分从「二次型」的部分里撬出来：

$$\begin{aligned} \langle Tu,w\rangle &=\frac{\langle T(u+w),u+w\rangle-\langle T(u-w),u-w\rangle}{4}\\ &\quad+\frac{\langle T(u+iw),u+iw\rangle-\langle T(u-iw),u-iw\rangle}{4}\,i . \end{aligned}$$

这个恒等式直接把 $\langle Tu,w\rangle$ 写成四个 $\langle T\square,\square\rangle$ 形状的组合。所以只要所有 $\langle Tv,v\rangle$ 都是 $0$，右边就是 $0$，即 $\langle Tu,w\rangle=0$ 对一切 $u,w$ 成立；取 $w=Tu$ 得 $\|Tu\|^2=0$，故 $T=0$。

有了引理，主定理就好证了。关键是一个小恒等式：

$$\langle T^*v,v\rangle=\overline{\langle v,T^*v\rangle}=\overline{\langle Tv,v\rangle}. \tag{3.1}$$

于是

$$\begin{aligned} T\ \text{自伴} &\iff T-T^*=0\\ &\iff \langle (T-T^*)v,v\rangle=0\quad(\forall v)\\ &\iff \langle Tv,v\rangle-\overline{\langle Tv,v\rangle}=0\quad(\forall v)\\ &\iff \langle Tv,v\rangle\in\mathbb{R}\quad(\forall v). \end{aligned}$$

第二步对算子 $T-T^*$ 用了引理（注意引理不需要 $T$ 自伴）；第三步用 (3.1)。

3.4 自伴算子的「非零」判据（实数域也成立） #

复情形：由 3.3 的引理，不需要自伴假设就成立。

实情形：需要自伴假设，并且极化恒等式退化成一项：

$$\langle Tu,w\rangle=\frac{\langle T(u+w),u+w\rangle-\langle T(u-w),u-w\rangle}{4}. \tag{3.2}$$

验算 (3.2) 时要用 $\langle Tw,u\rangle=\langle w,Tu\rangle=\langle Tu,w\rangle$：第一个等号是自伴，第二个等号是实数域（共轭不起作用）。

所以：自伴且 $\langle Tv,v\rangle=0$ 对一切 $v$ 成立 $\Longrightarrow$ $T=0$。

3.5 正规算子的范数判据 #

定理：$T\in\mathcal{L}(V)$ 正规 $\iff$ $\|Tv\|=\|T^*v\|$ 对一切 $v\in V$ 成立。

推导是一条链：

$$\begin{aligned} T\ \text{正规} &\iff T^*T-TT^*=0\\ &\iff \langle (T^*T-TT^*)v,v\rangle=0\quad(\forall v)\\ &\iff \langle T^*Tv,v\rangle=\langle TT^*v,v\rangle\quad(\forall v)\\ &\iff \langle Tv,Tv\rangle=\langle T^*v,T^*v\rangle\quad(\forall v)\\ &\iff \|Tv\|^2=\|T^*v\|^2\quad(\forall v). \end{aligned}$$

第二步是关键：算子 $T^*T-TT^*$ 是自伴的（因为 $(T^*T)^*=T^*T^{**}=T^*T$，同理 $(TT^*)^*=TT^*$，两者相减仍自伴），所以可以对它用 3.4 的判据。

3.6 正规算子的四条推论 #

定理：设 $T$ 正规，则

(a) $\operatorname{null}T=\operatorname{null}T^*$；
(b) $\operatorname{range}T=\operatorname{range}T^*$；
(c) $V=\operatorname{null}T\oplus\operatorname{range}T$；
(d) 对任意 $\lambda$，$T-\lambda I$ 正规，且 $Tv=\lambda v\iff T^*v=\overline{\lambda}v$。

(a) 一行：$v\in\operatorname{null}T\iff\|Tv\|=0\iff\|T^*v\|=0\iff v\in\operatorname{null}T^*$，中间那步用 3.5。

(b) 串三次：$\operatorname{range}T=(\operatorname{null}T^*)^\perp=(\operatorname{null}T)^\perp=\operatorname{range}T^*$。第一次用「值域等于伴随零空间的正交补」，第二次用 (a)，第三次再用一次那条关系（这次是对 $T^*$ 用，注意 $T^{**}=T$）。

(c) 用 24 讲的正交分解 $V=\operatorname{null}T\oplus(\operatorname{null}T)^\perp$，再把 $(\operatorname{null}T)^\perp$ 换成 $\operatorname{range}T^*=\operatorname{range}T$。

(d) 先算交换性：

$$(T-\lambda I)(T-\lambda I)^*=TT^*-\overline{\lambda}T-\lambda T^*+|\lambda|^2I,$$

$$(T-\lambda I)^*(T-\lambda I)=T^*T-\overline{\lambda}T-\lambda T^*+|\lambda|^2I .$$

两式只差第一项，而 $TT^*=T^*T$，所以相等。于是 $T-\lambda I$ 正规，对它用 3.5：

$$\|(T-\lambda I)v\|=\|(T-\lambda I)^*v\|=\|(T^*-\overline{\lambda}I)v\| .$$

左边为 $0$ 当且仅当右边为 $0$，即 $Tv=\lambda v\iff T^*v=\overline{\lambda}v$。

有了 (d)，正交性就顺手了。设 $\alpha\neq\beta$ 是 $T$ 的两个不同特征值，$u,v$ 是对应特征向量。由 (d)，$T^*v=\overline{\beta}v$。于是

$$(\alpha-\beta)\langle u,v\rangle=\langle \alpha u,v\rangle-\langle u,\overline{\beta}v\rangle=\langle Tu,v\rangle-\langle u,T^*v\rangle=0 .$$

中间那个等号用了 $\langle u,\overline{\beta}v\rangle=\beta\langle u,v\rangle$ 和 $\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle$。因为 $\alpha\neq\beta$，得 $\langle u,v\rangle=0$。

3.7 正规 = 实部虚部可交换（复数域） #

$\mathcal{L}(V)$ 像 $\mathbb{C}$，伴随像共轭。那么每个算子都该能写成「实部 + $i$ 乘虚部」。定义

$$A=\frac{T+T^*}{2},\qquad B=\frac{T-T^*}{2i}. \tag{3.3}$$

直接验：$A^*=A$、$B^*=B$（自伴），且 $A+iB=T$。再算交换子：

$$\begin{aligned} AB-BA&=\frac{(T+T^*)(T-T^*)-(T-T^*)(T+T^*)}{4i}\\ &=\frac{T^*T-TT^*}{2i}. \tag{3.4} \end{aligned}$$

于是 $T$ 正规 $\iff$ $T^*T-TT^*=0$ $\iff$ $AB-BA=0$。反方向同理：若 $T=A+iB$ 且 $A,B$ 自伴可交换，则 $T^*=A-iB$，代回 (3.4) 得 $AB-BA=(T^*T-TT^*)/(2i)=0$，故正规。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

钩子一：伴随是「搬家」。 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle$ 说的就是：想检查 $Tv$ 和 $w$ 的关系，可以改成检查 $v$ 和 $T^*w$ 的关系。$T$ 从内积左边搬到了右边，代价是换成 $T^*$。这和「转置」在点积里的角色完全一样：$Ax\cdot y=x\cdot A^{t}y$。

钩子二：自伴 = 镜子里的自己。 在规范正交基下，自伴算子的矩阵关于主对角线「镜像 + 共轭」不变。实情形就是老老实实的对称矩阵。所以看到对称矩阵，就往「特征值实、特征向量正交」上想；看到自伴算子，同理。

钩子三：正规 = 范数对得上。 这是最好用的几何图像。正规算子把每个向量拉伸 $\|Tv\|/\|v\|$ 倍，它的伴随把这个向量拉伸同样的倍数。两个方向的「拉伸能力」处处相等。反过来，如果某个方向 $T$ 拉得比 $T^*$ 狠，那它就不正规。

钩子四：顺序反转。 $(TS)^*=S^*T^*$、$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$、$(AB)^{t}=B^{t}A^{t}$——三个式子一个套路。记成「穿衣服：先穿的脱得最晚」。

钩子五：一句口诀。

自伴看自己（$T=T^*$），正规看交换（$TT^*=T^*T$），
判定看范数（$\|Tv\|$ 对 $\|T^*v\|$），实空间看假设（判定要自伴）。

最后半句的意思是：3.3 那条漂亮的等价条件，在实数域上必须换成 3.4 的「自伴 + 二次型为零」。

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五、常见误区 #

$$M(T)=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}.$$

这矩阵等于自己的转置，看上去很「对称」。但取 $p=x$、$q=1$：$\langle Tp,q\rangle=\int_0^1x\,dx=\frac12$，而 $\langle p,Tq\rangle=\langle x,0\rangle=0$。不相等，$T$ 不自伴。
原因就是基 $1,x,x^2$ 不是规范正交的（用 23 讲的 Gram–Schmidt 可以把它正交化，代价是矩阵变复杂）。
结论：判断自伴只能回定义 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,Tw\rangle$，或者先确认基是规范正交的。

$$\langle Tv,v\rangle=\langle(-y,x),(x,y)\rangle=-yx+xy=0 .$$

但 $T\neq 0$，而且 $T^*=-T\neq T$——它甚至不是自伴的，是「斜的」。
所以 3.3 那条定理的证明里为什么需要 $i$，你现在应该看得出来了：实空间缺少 $i$，撬不开。

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六、拓展（可跳过） #

(1) 自伴算子集合是不是子空间？ 在实数域上，两个自伴算子之和自伴、实数乘自伴算子自伴，所以它是 $\mathcal{L}(V)$ 的子空间，维数是 $\frac{n(n+1)}{2}$。在复数域上不是：取自伴的 $T$，则 $iT$ 满足 $(iT)^*=-iT^*=-iT\neq iT$，跑出去了。这道题很好地校准了「自伴像实数」的类比强度——实数不是 $\mathbb{C}$ 的子空间。

(2) 斜算子与实虚分解。 称 $B$ 是斜的（又称反自伴），若 $B^*=-B$。实数域上每个算子都能唯一写成 $T=A+B$，其中 $A=\frac{T+T^*}{2}$ 自伴、$B=\frac{T-T^*}{2}$ 斜；且 $T$ 正规 $\iff$ $A,B$ 可交换。（复数域上的版本就是 3.7。）证明思路与 3.7 完全平行，可以自己补。

(3) 微分算子：正规非自伴的常客。 在 $[-\pi,\pi]$ 上取内积 $\langle f,g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}fg$，考虑子空间

$$V=\operatorname{span}(1,\cos x,\dots,\cos nx,\ \sin x,\dots,\sin nx),$$

令 $Df=f'$。分部积分（边界项因周期性消失）给出 $\langle Df,g\rangle=-\langle f,Dg\rangle$，即 $D^*=-D$。所以 $D$ 是斜的，因而正规（$DD^*=D^*D=-D^2$），但绝不自伴。而 $D^2$（二阶导）是自伴的。

(4) 与对偶映射的关系。 12 讲讲的对偶映射 $T':W'\to V'$ 与本讲的 $T^*$ 是「同一件事的两种写法」：在里斯表示定理给出的 $V\cong V'$、$W\cong W'$ 之下，$T^*$ 对应 $T'$。差别在于，有了内积就不必再绕道对偶空间——这是内积空间比一般向量空间好用的核心原因。

(5) 一个陷阱题。 设 $\|T^*v\|\le\|Tv\|$ 对一切 $v$ 成立，能推出 $T$ 正规吗？能，但证明不平凡（对 $\|Tv\|^2-\|T^*v\|^2=\langle(T^*T-TT^*)v,v\rangle$ 用极值论证）。而在无限维内积空间上这条不成立，「只差一点」的算子被称为亚正规算子。这说明本讲所有定理都隐含「有限维」，而有限维这个条件在 23 讲（规范正交基的存在性）就已经用掉了。

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七、自测 #

1. 定义 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^n)$ 为 $T(z_1,\dots,z_n)=(0,z_1,\dots,z_{n-1})$（右移）。求 $T^*(z_1,\dots,z_n)$。并判断 $T$ 是否正规。

2. 设 $A=\begin{pmatrix}1&i\\ i&1\end{pmatrix}$。判断 $A$（作为 $\mathbb{C}^2$ 上的算子）是否自伴、是否正规，并求它的特征值。用 3.2 交叉验证你的结论。

3. 设 $T$ 正规，$v,w$ 满足 $\|v\|=\|w\|=2$、$Tv=3v$、$Tw=4w$。求 $\|T(v+w)\|$。

4. 证明：两个自伴算子 $S,T$ 的乘积 $ST$ 自伴，当且仅当 $ST=TS$。

5. 设 $T\in\mathcal{L}(V)$ 自伴。证明：对任意正整数 $k$，$T^k$ 自伴。

答案（点开）

1. 从 $\langle Tz,w\rangle$ 出发：
$\langle Tz,w\rangle=z_1\overline{w_2}+z_2\overline{w_3}+\cdots+z_{n-1}\overline{w_n}
=\langle z,(w_2,w_3,\dots,w_n,0)\rangle$。
所以 $T^*(w_1,\dots,w_n)=(w_2,\dots,w_n,0)$——左移。

$T$ 不正规。最简单的一击：$T\ne0$ 但 $\operatorname{null}T\ne\operatorname{null}T^*$
（$T$ 的零空间是 $\{z:z_1=\cdots=z_{n-1}=0\}$，一维；$T^*$ 的零空间是 $\{z:w_2=\cdots=w_n=0\}$，也是一维，
但两者作为子集不同）。而由 3.6(a)，正规算子必须有 $\operatorname{null}T=\operatorname{null}T^*$。
更直接的算法：$\|Te_1\|=1$ 但 $\|T^*e_1\|=0$（$e_1$ 左移后是 $0$），范数不等，由 3.5 不正规。

2. $A^*=\begin{pmatrix}1&-i\\ -i&1\end{pmatrix}\neq A$，不自伴。
拆开看：$A=I+i\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$，而 $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ 是自伴的，且与 $I$ 可交换。
由 3.7，$A$ 是「自伴 + $i$ 乘自伴且两者可交换」，所以正规。
特征值：$\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2-i^2=(1-\lambda)^2+1$，令其为 $0$ 得 $(1-\lambda)^2=-1$，
即 $\lambda=1\pm i$。
交叉验证：特征值非实，所以 $A$ 不能自伴（3.2 的逆否命题）。两者一致。

3. 由 3.6(d)，正规算子的不同特征值对应特征向量正交（这正是 3.6 后半的结论），
所以 $\langle v,w\rangle=0$。于是
$\|T(v+w)\|^2=\|3v+4w\|^2=9\|v\|^2+16\|w\|^2=9\cdot4+16\cdot4=100$，
（交叉项 $2\cdot3\cdot4\langle v,w\rangle=0$ 消失）故 $\|T(v+w)\|=10$。

4. 由 $(ST)^*=T^*S^*=TS$（用了 $S,T$ 自伴）。
「$ST$ 自伴」即 $ST=(ST)^*$，故 $ST=TS$；反之若 $ST=TS$，则 $(ST)^*=TS=ST$，自伴。
注意这里必须用 $(ST)^*=T^*S^*$ 的顺序反转——写成 $S^*T^*$ 的话这一步就成了循环论证。

5. 对 $k$ 归纳。$k=1$ 是假设。若 $T^k$ 自伴，则
$(T^{k+1})^*=(T^kT)^*=T^*(T^k)^*=TT^k=T^{k+1}$，
第一个等号用顺序反转，第二个用归纳假设与 $T$ 自伴。
（更省事的说法：$T$ 自伴时 $T$ 与 $T^*=T$ 当然可交换，而自伴算子乘积的自伴性由第 4 题归结为可交换性。）

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八、复习卡 #

项	内容
伴随的定义	$T^*:W\to V$，唯一满足 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle$
存在唯一性	靠里斯表示定理：固定 $w$，$v\mapsto\langle Tv,w\rangle$ 是 $V$ 上的线性泛函
求法口诀	把 $\langle Tv,w\rangle$ 整理成「前一格只有 $v$」，后一格即 $T^*w$
$(S+T)^*$	$S^*+T^*$
$(\lambda T)^*$	$\overline{\lambda}T^*$（复共轭！）
$(ST)^*$	$S^*T^*$（顺序反转）
两次伴随	$T^{**}=T$
$I^*$	$I$
可逆性	$T$ 可逆 $\Rightarrow$ $T^*$ 可逆，$(T^*)^{-1}=(T^{-1})^*$
矩阵视角	两组基都规范正交时 $M(T^*)=\big(M(T)\big)^{*}$（共轭转置）
自伴	$T=T^*$，等价于 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,Tw\rangle$ 对一切 $v,w$
正规	$TT^*=T^*T$；自伴必正规，反之不然
特征值（自伴）	全为实数
等价判据（复）	$T$ 自伴 $\iff\langle Tv,v\rangle\in\mathbb{R}$ 对一切 $v$
范数判据	$T$ 正规 $\iff\|Tv\|=\|T^*v\|$ 对一切 $v$
零空间/值域	正规时 $\operatorname{null}T=\operatorname{null}T^*$，$\operatorname{range}T=\operatorname{range}T^*$，$V=\operatorname{null}T\oplus\operatorname{range}T$
特征向量	正规时 $Tv=\lambda v\iff T^*v=\overline{\lambda}v$；不同特征值的特征向量正交
复分解	$A=\frac{T+T^*}{2}$、$B=\frac{T-T^*}{2i}$ 自伴，$T$ 正规 $\iff AB=BA$
类比	伴随 : 共轭 :: 自伴 : 实数 :: 斜 : 纯虚数
典型反例	$\mathbb{R}^2$ 上 $90^\circ$ 旋转：斜，非自伴；$\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}$：正规非自伴

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主要来源：本讲内容对应 Axler《线性代数应该这样学》（第四版）第 7 章 7A 节「自伴算子和正规算子」，印刷页码 p191–p202（PDF 第 205–216 页）。其中伴随的定义、六条性质、矩阵表示定理、自伴与正规的定义、特征值实性、实数性判据、范数判据与正规算子的四条推论，均出自该节；第六节的斜算子、实虚分解与微分算子例子出自该节习题。
• 页码对照：伴随定义 p191；$T^*$ 的矩阵 p194；自伴定义与特征值 p195–196；正规定义与范数判据 p197–198；正规算子的推论与正交特征向量 p198–199。
• 术语别名：伴随 = adjoint，也译「共轭转置算子」「伴算子」；注意线性代数里「伴随」另有一个与矩阵经典伴随（伴随矩阵 $\operatorname{adj}A$）相关的含义，两者毫无关系，读到别处时看上下文。自伴 = self-adjoint，实情形常直接叫「对称算子」；斜算子 = skew / anti-self-adjoint，也叫「反自伴算子」。
• 想深挖时：谱定理（26 讲）是本讲的直接后续；正算子（27 讲）把「$\langle Tv,v\rangle\ge0$」升格为定义；奇异值分解（29 讲）整个建立在 $T^*T$ 的自伴性上。若想看无限维版本，任何一本泛函分析教材的「Hilbert 空间上的有界算子」一章都以前几节的内容为起点，但要留意本讲若干结论（如 3.5 的充分性方向）在无限维会失效。
• 交叉核对：Bronstein《数学手册》中「线性算子 / 共轭算子」条目可用来核对实情形的转置说法；俄文文献里自伴算子写作 самосопряжённый оператор，正规算子写作 нормальный оператор。