26 谱定理

谱定理 #

这讲讲什么：讲清「哪些算子能关于规范正交基对角化」——实数域上是自伴算子，复数域上是正规算子，以及为什么两边条件不一样
前置：25 讲（自伴算子、正规算子、伴随）、23 讲（规范正交基与 Gram–Schmidt）、19 讲（上三角矩阵）、18 讲（极小多项式）、20 讲（可对角化）
一句话：自伴（实）或正规（复）的算子，一定能沿着互相垂直的方向被拉长或压缩，一个方向都不歪。

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一、为什么需要它 #

1.1 从「可对角化」到「可正交对角化」 #

20 讲给过一个判据：算子 $T$ 可对角化，当且仅当 $V$ 有一组由 $T$ 的特征向量构成的基。

这个结论很强，但它对基没有任何要求。而基可以长得很丑：

$$v_1=(1,0),\qquad v_2=(1,0.001)$$

这两条向量几乎平行——它们确实是 $\mathbb{R}^2$ 的一组基，但用这组基写坐标时，一点小扰动就会让坐标剧烈跳动。数值上这叫「病态」。

所以真正想要的是：特征向量不仅构成基，还两两垂直、长度都是 1。也就是规范正交基。

用规范正交基有立竿见影的好处。如果 $e_1,\dots,e_n$ 是规范正交基且 $Te_k=\lambda_k e_k$，那么

• 任意 $v=c_1e_1+\cdots+c_ne_n$，直接有 $Tv=\lambda_1c_1e_1+\cdots+\lambda_nc_ne_n$——没有交叉项；
• 坐标就是内积 $c_k=\langle v,e_k\rangle$，不用解线性方程组；
• 以这组基为列的矩阵 $Q$ 满足 $Q^{\mathsf T}Q=I$，于是

$$A=Q\Lambda Q^{\mathsf T},\qquad Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$$

求逆变成转置，这是计算上最便宜的一种对角化。

于是问题变成一句话：什么样的算子，拥有由特征向量构成的规范正交基？

1.2 这个问题为什么不好回答 #

要凑出「$n$ 个两两正交的单位特征向量」，得同时跨过三道坎：

1. 实特征值存在吗？ 实向量空间上，算子可能一个实特征值都没有。最简单的例子是平面旋转 $90^\circ$：

$$T(x,y)=(-y,x)$$

它把每个非零向量都转离原方向，所以没有（实）特征向量。
2. 特征向量够多吗？ 就算特征值都是实的，代数量数还可能大于几何重数。例如

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$$

只有一个特征值 $1$，特征空间却只有一维，凑不出两个特征向量。
3. 凑出来的向量互相垂直吗？ 这一条最容易被误以为「自动成立」。它确实在特定条件下自动成立（见 3.2），但不是无条件成立。

谱定理的贡献就是：对自伴（实）或正规（复）算子，这三道坎同时消失。

1.3 它到底解决了什么：对称矩阵为什么一定能正交对角化 #

这是本讲最该带走的答案。设 $A$ 是 $n\times n$ 实对称矩阵（$A^{\mathsf T}=A$）。谱定理说：

存在正交矩阵 $Q$（$Q^{\mathsf T}Q=I$）和对角矩阵 $\Lambda$，使 $A=Q\Lambda Q^{\mathsf T}$。

换句话说，实对称矩阵的特征值全为实数，且其特征向量可以选成两两正交的单位向量。

这是很多人在别处被当作「结论」硬记下来的东西，而它其实需要证明。证明的骨架正好对应上面三道坎：

坎	谱定理里由谁解决
实特征值存在	自伴算子的极小多项式在 $\mathbb{R}$ 上完全裂成一次因子（3.4）
特征向量够多	极小多项式裂 ⟹ 关于某规范正交基有上三角矩阵（23 讲），再配合对称性逼成对角（3.5）
互相垂直	不同特征值的特征向量自动正交（3.2）；同一特征值内部用 Gram–Schmidt 处理（3.6 有手算）

三块拼起来，才得到「对称矩阵必可正交对角化」。

1.4 为什么实情形要「自伴」，复情形只要「正规」 #

这是本讲第二个必须讲清的点，先给结论，理由在第三、五节展开。

复数域上：代数基本定理保证每个算子的极小多项式都裂成一次因子，于是舒尔定理（23 讲）直接给出「关于某规范正交基上三角」。剩下的工作只是把上三角的非对角元清零，而正规性恰好等价于 $\|Tv\|=\|T^*v\|$（25 讲），用它逐行清零即可。自伴是正规的特例，比需要的更强。

实数域上：上三角这一步不白送。旋转 $90^\circ$ 的极小多项式是 $z^2+1$，在 $\mathbb{R}$ 上不裂，一个实特征值都没有。此时「正规」不够用——

$$T(x,y)=(-y,x)\ \text{是正规的（}TT^*=T^*T=I\text{），但没有实特征向量}$$

所以实情形必须换一个更强的条件，把「极小多项式必须裂成实线性因子」这件事强行逼出来。这个条件就是自伴：$T=T^*$。它的作用由 3.3 那条「可逆二次表达式」完成——正是它排除了所有不可约二次因子。

一句话对比：

复情形是「结构已给，只差清理」；实情形是「结构都得自己挣」。

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二、定义与最小例子 #

2.1 三个定义 #

伴随：设 $T\in\mathcal{L}(V)$。$T$ 的伴随 $T^*$ 是唯一满足

$$\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle\quad\text{对所有 }v,w\in V$$

的算子。在规范正交基下，$T^*$ 的矩阵就是 $T$ 的矩阵的共轭转置（实情形就是转置）。这一点是后面所有计算的支点：只有在规范正交基下，伴随才等于转置。

自伴：$T=T^*$，即 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,Tw\rangle$ 对所有 $v,w$ 成立。

正规：$TT^*=T^*T$。

两者的关系：$T$ 自伴 $\Rightarrow$ $T^*=T$ $\Rightarrow$ $TT^*=T^2=T^*T$，所以自伴必正规，反之不然。

2.2 实谱定理 #

实谱定理　设 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$，$T\in\mathcal{L}(V)$。则下列三条等价：
(a) $T$ 是自伴的；
(b) $T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基有对角矩阵；
(c) $V$ 有由 $T$ 的特征向量构成的规范正交基。

2.3 复谱定理 #

复谱定理　设 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$T\in\mathcal{L}(V)$。则下列三条等价：
(a) $T$ 是正规的；
(b) $T$ 关于 $V$ 的某个规范正交基有对角矩阵；
(c) $V$ 有由 $T$ 的特征向量构成的规范正交基。

两条定理的字面差别只有一处：(a) 从「自伴」换成「正规」。但这一处差别背后是两种完全不同的证明路线。

2.4 最小例子一：$2\times2$ 对称矩阵 #

$$A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

特征多项式：

$$\det(A-\lambda I)=(2-\lambda)^2-1=\lambda^2-4\lambda+3=(\lambda-3)(\lambda-1)$$

所以 $\lambda=3,1$，都是实数。特征向量：

• $\lambda=3$：$A-3I=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-1\end{pmatrix}$，解 $-x+y=0$，取 $v_1=(1,1)$；
• $\lambda=1$：$A-I=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，解 $x+y=0$，取 $v_2=(1,-1)$。

检查内积：$\langle v_1,v_2\rangle=1\cdot1+1\cdot(-1)=0$。自动正交——这不是巧合，(a) 成立就保证了它。

单位化：$e_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$，$e_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$。于是

$$A=Q\Lambda Q^{\mathsf T},\qquad Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\quad \Lambda=\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}$$

回代验一遍：$Q\Lambda Q^{\mathsf T}=\frac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$ ✓

这个例子里两道坎都没出现：特征值不同，所以特征空间都是一维的，「够多」和「正交」一步到位。

2.5 最小例子二：一个反例（不是对称，就不行） #

$$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$$

它可对角化：特征值 $1,2$，特征向量 $(1,0)$ 与 $(1,1)$，构成基。所以 $B$ 满足 20 讲的判据。

但它不能正交对角化。理由有两层：

• 直接算：$\langle(1,0),(1,1)\rangle=1\neq0$，两个特征向量不正交；而特征空间都是一维的，没有别的选择余地。
• 根本原因：$B$ 不对称。谱定理说「可正交对角化 $\Rightarrow$ 自伴 $\Rightarrow$ 矩阵对称」，所以不对称就自动排除。

2.6 最小例子三：正规但不自伴（复情形） #

$$T(w,z)=(2w-3z,\ 3w+2z),\qquad M(T)=\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}$$

不是自伴：矩阵的 $(1,2)$ 元是 $-3$，$(2,1)$ 元是 $3$，共轭不相等。

是正规的：

$$M(T)M(T)^*=\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&3\\-3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&0\\0&13\end{pmatrix}$$

$$M(T)^*M(T)=\begin{pmatrix}2&3\\-3&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}13&0\\0&13\end{pmatrix}$$

两个相同，所以 $TT^*=T^*T$。按复谱定理，它应该有规范正交的特征向量基。确实有：

$$e_1=\frac{1}{\sqrt2}(i,1),\qquad e_2=\frac{1}{\sqrt2}(-i,1)$$

验第一个：

$$T(i,1)=(2i-3,\ 3i+2)=(-3+2i,\ 2+3i)$$

$$(2+3i)(i,1)=(2i+3i^2,\ 2+3i)=(-3+2i,\ 2+3i)$$

相等，所以 $e_1$ 是特征向量，特征值 $2+3i$。同理 $e_2$ 对应 $2-3i$。正交性：

$$\langle e_1,e_2\rangle=\frac12\big(\overline{i}\cdot(-i)+\overline{1}\cdot1\big)=\frac12\big((-i)(-i)+1\big)=\frac12(-1+1)=0$$

注意：特征值 $2\pm3i$ 不是实数，但照样能正交对角化。这说明「特征值实」不是正交对角化的必要条件，只是自伴带来的副作用。复情形真正起作用的是正规性。

2.7 最小例子四：三重特征值，需要 Gram–Schmidt #

$$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}=J+I\quad(J\ \text{为全 1 矩阵})$$

• 取 $v=(1,1,1)$：$Av=(4,4,4)=4v$，特征值 $4$。
• 在 $x+y+z=0$ 上：$Av=v$，特征值 $1$。这个平面是二维的，所以 $\lambda=1$ 的几何重数是 $2$。

于是特征值 $4,1,1$，重数之和 $3$，够用。但 $\lambda=1$ 的两个特征向量不会自动正交——比如 $u_1=(1,-1,0)$ 与 $u_2=(1,0,-1)$，内积是 $1$。

这一步必须手动 Gram–Schmidt（23 讲）：

$$e_1=\frac{u_1}{\|u_1\|}=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)$$

$$u_2-\langle u_2,e_1\rangle e_1=(1,0,-1)-\frac{1}{\sqrt2}\cdot\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)=\left(\frac12,\frac12,-1\right)$$

它的长度是 $\sqrt{\frac14+\frac14+1}=\sqrt{\frac32}$，所以

$$e_2=\frac{(1/2,\,1/2,\,-1)}{\sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$$

再配上 $e_3=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)$，得到规范正交基。$A$ 关于它的矩阵是 $\operatorname{diag}(1,1,4)$。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 结论一：自伴算子的特征值全是实数 #

设 $T=T^*$，$Tv=\lambda v$，$v\neq0$。核心是拿 $\langle Tv,v\rangle$ 当桥梁，从两个方向算同一个数：

$$\lambda\|v\|^2=\langle\lambda v,v\rangle=\langle Tv,v\rangle=\langle v,Tv\rangle=\langle v,\lambda v\rangle=\bar\lambda\|v\|^2$$

• 第一个等号：内积对第一个变量是线性的；
• 第三个等号：$T$ 自伴，$\langle Tv,v\rangle=\langle v,T^*v\rangle=\langle v,Tv\rangle$；
• 第五个等号：内积对第二个变量是共轭线性的，标量要取共轭提出来。

因为 $v\neq0$，所以 $\|v\|^2>0$，两边约掉得 $\lambda=\bar\lambda$，即 $\lambda\in\mathbb{R}$。

3.2 结论二：正规算子不同特征值的特征向量正交 #

设 $T$ 正规，$Tu=\alpha u$，$Tv=\beta v$，$\alpha\neq\beta$，$u,v\neq0$。要证 $\langle u,v\rangle=0$。

第一步，正规算子的特征向量也是其伴随的特征向量。由 25 讲那条 $\|Tw\|=\|T^*w\|$ 的等价刻画，可以推出

$$Tv=\beta v\iff T^*v=\bar\beta v$$

第二步，算：

$$\begin{aligned}(\alpha-\beta)\langle u,v\rangle&=\langle\alpha u,v\rangle-\langle u,\bar\beta v\rangle\\&=\langle Tu,v\rangle-\langle u,T^*v\rangle\\&=0\end{aligned}$$

• 第二个等号：$Tu=\alpha u$，$T^*v=\bar\beta v$；
• 第三个等号：伴随的定义 $\langle Tu,v\rangle=\langle u,T^*v\rangle$。

因为 $\alpha\neq\beta$，只能 $\langle u,v\rangle=0$。

3.3 结论三：可逆二次表达式（实谱定理的发动机） #

设 $T$ 自伴，$b,c\in\mathbb{R}$ 且 $b^2<4c$。则 $T^2+bT+cI$ 可逆。

证明：设 $v\neq0$，把算子「夹」在内积中间：

$$\begin{aligned}\langle(T^2+bT+cI)v,v\rangle&=\langle T^2v,v\rangle+b\langle Tv,v\rangle+c\|v\|^2\\&=\langle Tv,Tv\rangle+b\langle Tv,v\rangle+c\|v\|^2\\&\ge\|Tv\|^2-|b|\,\|Tv\|\,\|v\|+c\|v\|^2\\&=\Big(\|Tv\|-\tfrac{|b|}{2}\|v\|\Big)^2+\Big(c-\tfrac{b^2}{4}\Big)\|v\|^2\\&>0\end{aligned}$$

• 第二个等号：$T$ 自伴，$\langle T^2v,v\rangle=\langle Tv,T^*v\rangle=\langle Tv,Tv\rangle$。这一步就是自伴的全部用处——把 $T^2$ 换成了范数平方，从此可以估下界。
• 第三行：柯西–施瓦茨 $|b\langle Tv,v\rangle|\le|b|\,\|Tv\|\,\|v\|$，取最坏情况。
• 第四行：配方，和实数里配 $x^2+bx+c$ 一模一样。
• 最后严格大于 $0$：平方项 $\ge0$，$c-\frac{b^2}{4}>0$ 且 $\|v\|^2>0$，而 $\|v\|^2>0$ 使第二项严格为正。

所以对每个 $v\neq0$ 都有 $(T^2+bT+cI)v\neq0$，即该算子单射。有限维空间上单射即可逆。

3.4 结论四：自伴算子的极小多项式裂成实线性因子 #

设 $T$ 自伴，则 $T$ 的极小多项式等于 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$，其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_m\in\mathbb{R}$。

分两种情形。

复情形：极小多项式的根就是特征值（18 讲）。由 3.1，所有特征值都是实数，所以极小多项式的根全在 $\mathbb{R}$ 中。又因为极小多项式在 $\mathbb{C}$ 上只能分解成一次因子的乘积（15 讲），它就是 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$，且 $\lambda_k\in\mathbb{R}$。

实情形（这一步才是关键）：实系数多项式只能分解成一次因子与「判别式为负的二次因子」的乘积（16 讲），所以存在 $\lambda_1,\dots,\lambda_m\in\mathbb{R}$ 与若干 $b_k^2<4c_k$ 使

$$p(z)=(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)(z^2+b_1z+c_1)\cdots(z^2+b_Nz+c_N)$$

是 $T$ 的极小多项式。把 $T$ 代进去：

$$(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)(T^2+b_1T+c_1I)\cdots(T^2+b_NT+c_NI)=0$$

若 $N>0$，则由 3.3，最后一个因子 $T^2+b_NT+c_NI$ 可逆。两边同时乘它的逆，得到

$$(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_mI)(T^2+b_1T+c_1I)\cdots(T^2+b_{N-1}T+c_{N-1}I)=0$$

这是次数比 $p$ 低 $2$ 的多项式，却仍然把 $T$ 打成零——与「极小多项式次数最小」矛盾。所以 $N=0$，即没有二次因子。

由这条结论立刻得到一个漂亮推论：每个自伴算子都有特征值（极小多项式至少有一个根，而根就是特征值）。对比之下，旋转 $90^\circ$ 一个都没有——它不是自伴的。

3.5 结论五：实谱定理的证明（三行拼装） #

现在把零件拼起来。设 $T$ 自伴。

第一步，(a)$\Rightarrow$(b)。 由 3.4，$T$ 的极小多项式裂成实线性因子。由 23 讲那条「关于某规范正交基有上三角矩阵 $\iff$ 极小多项式裂成一次因子」，存在 $V$ 的规范正交基，使 $T$ 关于它的矩阵 $M$ 是上三角矩阵。

第二步，用自伴逼成对角。 在规范正交基下，$T^*$ 的矩阵是 $M$ 的共轭转置；实情形就是 $M^{\mathsf T}$。而 $T^*=T$，所以

$$M=M^{\mathsf T}$$

$M$ 是上三角的：对角线下方全为 $0$。而 $M=M^{\mathsf T}$ 意味着 $(i,j)$ 元等于 $(j,i)$ 元。取 $i>j$：$M$ 的 $(i,j)$ 元是 $0$（在下三角），所以 $(j,i)$ 元也是 $0$（在上三角）。上下三角全零，于是 $M$ 是对角矩阵。

第三步，(b)$\Rightarrow$(a)。 若 $T$ 关于某规范正交基有对角矩阵 $D$，则 $T^*$ 关于同一组基的矩阵是 $D^*=\bar D^{\mathsf T}$。对角矩阵取共轭转置还是它自己，所以 $D^*=D$，于是 $T^*=T$。

(b)$\Leftrightarrow$(c) 见 2.3 的注。$\blacksquare$

3.6 结论六：复谱定理的证明（逐行清零） #

复情形走另一条路。

第一步，(a)$\Rightarrow$(b)。 由舒尔定理（23 讲）：有限维复内积空间上每个算子都关于某个规范正交基有上三角矩阵。所以取规范正交基 $e_1,\dots,e_n$，使

$$M=\mathcal{M}\big(T,(e_1,\dots,e_n)\big)=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\0&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}$$

要证非对角元全为 $0$。工具是正规性给出的等式 $\|Te_k\|=\|T^*e_k\|$。

看第一行。 $Te_1=a_{11}e_1$（因为第 1 列只有第一个元可能非零），所以

$$\|Te_1\|^2=|a_{11}|^2$$

而 $T^*$ 的矩阵是 $M$ 的共轭转置，它的第 1 列就是 $M$ 的第 1 行取共轭，所以

$$T^*e_1=\bar a_{11}e_1+\bar a_{12}e_2+\cdots+\bar a_{1n}e_n$$

（规范正交基下各分量互不干扰，这是关键。）

$$\|T^*e_1\|^2=|a_{11}|^2+|a_{12}|^2+\cdots+|a_{1n}|^2$$

两式相等 $\Rightarrow$ $a_{12}=\cdots=a_{1n}=0$。第一行只剩对角元。

看第二行。 现在已知 $a_{12}=0$，所以 $Te_2=a_{22}e_2$，$\|Te_2\|^2=|a_{22}|^2$；而 $T^*e_2=\bar a_{22}e_2+\bar a_{23}e_3+\cdots+\bar a_{2n}e_n$，故 $\|T^*e_2\|^2=|a_{22}|^2+|a_{23}|^2+\cdots+|a_{2n}|^2$。相等 $\Rightarrow$ 第二行也只剩对角元。

依次往下，第 $k$ 行在已知前面各行都已清零之后同理处理，得 $a_{kj}=0$（$j>k$）。于是 $M$ 是对角矩阵。

第二步，(b)$\Rightarrow$(a)。 若 $T$ 关于某规范正交基有对角矩阵 $D$，则 $T^*$ 关于同一基的矩阵是 $D^*$，而 $D^*$ 也是对角矩阵。两个对角矩阵必可交换，所以 $TT^*=T^*T$。

$\blacksquare$

3.7 结论七：等价说法——正交直和分解 #

谱定理还有第三种常见写法，把「有规范正交的特征向量基」翻译成子空间的语言：

$T$ 自伴（实）或正规（复），当且仅当：设 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 是 $T$ 的全部互异特征值，$E(\lambda_k,T)$ 是对应的特征空间，则

$$V=E(\lambda_1,T)\oplus E(\lambda_2,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T)$$

并且这个直和是正交的：$k\neq l$ 时 $E(\lambda_k,T)\perp E(\lambda_l,T)$。

「正交直和」的意思有三层：

1. 每个 $E(\lambda_k,T)$ 都是 $T$-不变的（特征空间当然不变）；
2. 这些子空间加起来是整个 $V$（不遗漏）；
3. 加起来是直和且两两正交（不重叠，且互相垂直）。

第三种说法在应用里最好用：它把一个 $n$ 维问题拆成若干个互不干扰的低维问题。$T$ 在每个 $E(\lambda_k,T)$ 上就是一个标量 $\lambda_k$ 乘恒等算子。

用 2.7 的例子对照：$V=\mathbb{R}^3$ 被拆成 $\operatorname{span}\{(1,1,1)\}$（特征值 $4$）与平面 $x+y+z=0$（特征值 $1$），两个部分是正交的。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 一幅画：球变椭球 #

自伴算子最直观的图像是：把单位球拉成一个椭球，且椭球的三根轴互相垂直。

$$T\ \text{自伴}\iff T(\text{单位球})\ \text{是主轴互相垂直的椭球}$$

• 拉长的方向就是特征向量，拉伸倍数就是（绝对值是）特征值；
• 「主轴互相垂直」正是「特征向量正交」的几何翻译；
• 特征值为负，表示该方向被翻转（椭球在这条轴上反向），形状不变。

这也解释了为什么「一般的可对角化算子」画不出这么干净的图：它的特征方向可以歪着，像被斜着剪了一刀。

4.2 与复数的类比（最好用的记忆钩子） #

在 $\mathcal{L}(V)$ 上，伴随 $T^*$ 扮演的角色和 $\mathbb{C}$ 上的复共轭 $\bar z$ 完全平行：

复数	算子
$z=\bar z$ $\iff$ $z$ 是实数	$T=T^*$ $\iff$ $T$ 自伴
$z\bar z=|z|^2$ 总是实数	$TT^*$ 总是自伴
$z$ 任意	$T$ 正规
$z=a+ib$，$a,b$ 实	$T=A+iB$，$A,B$ 自伴且可交换
$|z|=|\bar z|$ 恒成立	$\|Tv\|=\|T^*v\|$ 只在正规时成立

这张表能解释很多「为什么」：

• 为什么实情形用自伴？ 因为「实数」在算子世界的对应物就是自伴。谱定理要的是「特征值全实、结构最规矩」，自然对应「自伴」。
• 为什么复情形用正规？ 因为复数可以任意，只要写成实部 + 虚部；正规算子的刻画正是「可以写成两个可交换自伴算子之和」，和 $z=a+ib$ 一模一样。
• 为什么 3.1 的证明那么像「$z=\bar z$」？ 因为它就是那件事的算子版本。

4.3 「谱」这个词从哪来 #

「谱」（spectrum）原意是光谱：一束白光通过棱镜，被分解成一排互不干扰的单色光，每种颜色对应一个频率。

谱定理说的是同一件事：算子 $T$ 被分解成一族互不干扰的特征方向，每个方向配一个「频率」$\lambda_k$。规范正交基就是那排棱镜分出来的单色光。

这个类比有个实际好处：它提醒你，谱定理的重点不是「能对角化」，而是「分解后各部分互不干扰（正交、独立）」。
一旦有交叉项，就不再是「谱」。

4.4 一句话口诀 #

自伴管实，正规管复；上三角起步，对称逼对角。

• 「上三角起步」：两条证明都从「关于某规范正交基上三角」出发；
• 「对称逼对角」：实情形靠 $M=M^{\mathsf T}$ 把上三角压成对角；复情形靠 $\|Te_k\|=\|T^*e_k\|$ 逐行压。

再补一句判断用的：

要正交对角化，先看矩阵对称不对称（实）/ 正规不正规（复）。

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五、常见误区 #

$$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$$

$B$ 可对角化（特征值 $1,2$，特征向量 $(1,0),(1,1)$ 构成基），但它不能正交对角化——
那两个特征向量内积为 $1$，而两个特征空间都是一维的，无法替换。
判据：可对角化看「特征向量够不够」，可正交对角化看「能不能选成垂直的」。后者强得多。

$$Tf_1=\big(\tfrac12,\tfrac12\big)=0\cdot f_1+\tfrac12 f_2,\qquad Tf_2=(1,1)=0\cdot f_1+1\cdot f_2$$

所以

$$T\ \text{关于}\ (f_1,f_2)\ \text{的矩阵}=\begin{pmatrix}0&0\\ \tfrac12&1\end{pmatrix}$$

它不对称（是下三角矩阵，且 $(1,2)$ 元为 $0$ 而 $(2,1)$ 元为 $\tfrac12$）。换基会破坏对称性，所以「对称矩阵」这个概念离不开标准（或规范正交）基。

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六、拓展（可跳过） #

6.1 一族算子同时正交对角化 #

如果不止一个算子，而是有一族 $\mathcal{E}$，什么条件下存在同一组规范正交基使每个算子都对角化？

答案是：$\mathcal{E}$ 中任意两个都可交换，且每个都自伴（实）或正规（复）。

理由的直觉：特征值互不相同的算子，其特征空间会被「可交换」这个条件保持，于是两族特征空间必须互相加细；加细到底就是共同的特征方向。

这个推广在物理里无处不在：一组可交换的观测算子（比如总能量、总动量）可以同时被对角化，所以才有「同时测量」这回事。

6.2 无限维的版本 #

谱定理在无限维也成立，但需要额外假设（例如算子是紧的、或自伴且有界）。这时「对角化」要换一种说法：

$$T=\int_{\sigma(T)}\lambda\,dE_\lambda\quad(\text{谱积分})$$

离散的特征值变成一段连续的「谱」。这是泛函分析的核心内容之一，也是量子力学里「连续谱」的数学来源。本讲只处理有限维，不涉及极限，上面的内容不依赖它。

6.3 往后怎么用 #

• 27 讲 正算子：$T$ 自伴且所有特征值 $\ge0$。谱定理立刻给出 $T$ 有唯一的正平方根——把每个 $\lambda_k$ 换成 $\sqrt{\lambda_k}$ 即可。
• 29 讲 奇异值分解：对任意（不必方、不必自伴）的矩阵 $A$，$A^{\mathsf T}A$ 是自伴且半正定的，对它用谱定理，就得到 $A$ 的奇异值分解。SVD 是谱定理的直接后代。
• 35 讲 二次型：$x^{\mathsf T}Ax$ 在约束 $\|x\|=1$ 下的极值就是 $A$ 的特征值，主轴就是特征向量。这是谱定理在优化里的用法。

6.4 数值上的好处 #

对称矩阵（自伴算子）的特征值问题条件数极好：特征值对矩阵元素的扰动是稳定的（Weyl 不等式保证特征值的移动不超过扰动的大小）。非对称矩阵就没这个保证，特征值可以剧烈移动。

这就是为什么工程上宁可多花功夫把问题「对称化」，也不愿意直接解一个非对称特征值问题。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 判断 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ 能否正交对角化。若能，写出 $Q$ 与 $\Lambda$。

2. 设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$，$T(x,y)=(-y,x)$（逆时针转 $90^\circ$）。它自伴吗？正规吗？有实特征值吗？这说明谱定理的哪个条件不能省？

3. 设 $T$ 自伴，且 $T$ 的所有特征值都等于 $0$。证明 $T=0$。

4. 设 $T$ 正规，$U$ 是 $T$-不变子空间。判断 $U^\perp$ 是否一定 $T$-不变？对自伴情形呢？

5. 给一个 $3\times3$ 实对称矩阵的例子，使它的两个特征值相等、一个不等，并写出它的正交对角化（不必算出具体数字，说明结构即可）。

答案（点开）

1. $A$ 对称，所以可正交对角化。特征多项式

$$\det(A-\lambda I)=(1-\lambda)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=(\lambda-3)(\lambda+1)$$

特征值 $3,-1$。$\lambda=3$：$A-3I=\begin{pmatrix}-2&2\\2&-2\end{pmatrix}$，得 $v_1=(1,1)$；
$\lambda=-1$：$A+I=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}$，得 $v_2=(1,-1)$。
$\langle v_1,v_2\rangle=0$ ✓。单位化：

$$Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad\Lambda=\begin{pmatrix}3&0\\0&-1\end{pmatrix}$$

验：$Q\Lambda Q^{\mathsf T}=\frac12\begin{pmatrix}2&4\\4&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ ✓
（结果必须回到 $A$ 本身；若算出别的矩阵，多半是把 $Q$ 的列写反了。）

2. 矩阵 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$。转置为 $\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}=-M$，
所以 $T^*=-T\neq T$，不自伴。
但 $TT^*=-T^2=I$，$T^*T=-T^2=I$，所以 $TT^*=T^*T$，是正规的。
没有实特征值：$\det(M-\lambda I)=\lambda^2+1$，根为 $\pm i$。
这说明：实情形下「正规」不足以保证有实特征值，从而不足以保证有特征向量基。
谱定理里的「自伴」不能换成「正规」（换成「正规」得到的命题是假的）。

3. 由谱定理，$T$ 有由特征向量构成的规范正交基 $e_1,\dots,e_n$，对应特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，
而题设说它们全是 $0$。于是对每个 $k$ 有 $Te_k=0\cdot e_k=0$。
任意 $v=c_1e_1+\cdots+c_ne_n$，由线性性

$$Tv=c_1Te_1+\cdots+c_nTe_n=0$$

所以 $T=0$。$\blacksquare$
（关键点：谱定理把「证明算子相等」化归为「在一组基上验证」。 没有谱定理这一步就没有基可用。）

4. 一定：有限维下 $U^\perp$ 必定 $T$-不变（自伴情形同理，而且更好证）。
用谱定理证最省力。由复谱定理，$V=\bigoplus_kE(\lambda_k,T)$ 是正交直和。
对每个 $k$，取多项式 $p_k$ 使 $p_k(\lambda_k)=1$、$p_k(\lambda_l)=0$（$l\neq k$）。
因为 $U$ 在 $T$ 下不变，所以 $U$ 在任意 $T$ 的多项式下不变，特别地 $p_k(T)U\subseteq U$。
而对 $u\in U$，把它按特征空间拆开 $u=\sum_l u_l$，则 $p_k(T)u=u_k$。
于是每个 $u_k\in U$——$U$ 的每个特征分量都留在 $U$ 里。
现在取 $w\in U^\perp$，要证 $Tw\in U^\perp$，即对任意 $u\in U$ 有 $\langle Tw,u\rangle=0$。
由伴随，$\langle Tw,u\rangle=\langle w,T^*u\rangle$；而 $T^*$ 保持每个 $E(\lambda_k,T)$
（$T^*u_k=\bar\lambda_ku_k$），所以 $T^*u\in U$，故内积为 $0$。$\blacksquare$
（要点：谱定理把「不变子空间」化归为「逐特征空间的块状结构」，一旦拆成块，就一目了然。
若不用谱定理，就得先证「$T$ 正规 $\Rightarrow$ $T|_U$ 正规」，绕一大圈。）

5. 例如

$$A=\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}$$

特征值 $4,1,1$：$4$ 的特征空间是 $\operatorname{span}\{(1,1,1)\}$（一维），
$1$ 的特征空间是平面 $x+y+z=0$（二维）。$A$ 关于规范正交基

$$\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1),\quad\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0),\quad\frac{1}{\sqrt6}(1,1,-2)$$

有矩阵 $\operatorname{diag}(4,1,1)$。
结构要点：重根对应的那个特征空间是二维的，里面要自己选一组规范正交基——
定理只保证它和 $(1,1,1)$ 正交，不保证它内部已经正交。

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八、复习卡 #

项	内容
伴随	$\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^*w\rangle$；规范正交基下矩阵 = 共轭转置
自伴	$T=T^*$；等价于 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,Tw\rangle$ 恒成立
正规	$TT^*=T^*T$；自伴必正规
实谱定理	$\mathbb{R}$ 上：$T$ 自伴 $\iff$ 关于某规范正交基对角 $\iff$ 有规范正交的特征向量基
复谱定理	$\mathbb{C}$ 上：$T$ 正规 $\iff$ 关于某规范正交基对角 $\iff$ 有规范正交的特征向量基
特征值	自伴 $\Rightarrow$ 特征值全实（复情形才需证）
正交性	正规算子不同特征值的特征向量正交
同一特征值	特征空间内部不自动正交，要 Gram–Schmidt
关键引理	自伴 + $b^2<4c$ $\Rightarrow$ $T^2+bT+cI$ 可逆
极小多项式	自伴 $\Rightarrow$ 裂成实线性因子 $\Rightarrow$ 每个自伴算子都有特征值
实情形难点	必须先挣出「关于某规范正交基上三角」
复情形难点	舒尔定理白送上三角，逐行用 $\|Te_k\|=\|T^*e_k\|$ 清零
等价说法	$V=E(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T)$，正交直和
对称矩阵	必可正交对角化：$A=Q\Lambda Q^{\mathsf T}$，$Q^{-1}=Q^{\mathsf T}$
不能换成正规	实情形：旋转 $90^\circ$ 正规但无实特征值
不能要求自伴	复情形：$\begin{pmatrix}2&-3\\3&2\end{pmatrix}$ 正规非自伴，照样可正交对角化
口诀	自伴管实，正规管复；上三角起步，对称逼对角

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线出处：本节内容对应内积空间算子的谱定理部分，印刷第 203–208 页（实谱定理、复谱定理、两个例题与习题）。页码换算到分页文本即第 216–221 个文件。
• 关键引理的位置：可逆二次表达式在正文最前，是本节第一个结果；自伴算子的极小多项式紧随其后；复谱定理的证明依赖舒尔定理，后者属于前一章（内积空间）的规范正交基一节。
• 证明结构上的旁注：实谱定理的证明只有「自伴 ⟹ 极小多项式裂」一处硬活，余下是对称性；复谱定理的证明把硬活放在逐行清零上。想找第三条路，可试「对维数归纳 + 不变子空间」，但需要先证「正规/自伴算子必有特征向量」。
• 术语别名：「谱定理」= spectral theorem；「伴随」= adjoint，也称「共轭转置算子」；「正规」= normal；「规范正交基」= orthonormal basis，有的书叫「标准正交基」；「自伴」在实情形常直接叫「对称算子」。
• 想深挖时可查：任何一本讲内积空间的本科教材都会给出这条定理（《线性代数应该这样学》是其中之一，其证明路线与本文一致）。若想看不依赖舒尔定理的证明，可查「正规算子用归纳法」的写法；若想看无限维推广，可查泛函分析里的「紧自伴算子谱定理」。
• 历史注记：舒尔定理发表于 1909 年；希尔伯特在 1900 年代研究积分方程时首次得到无限维的谱分解，有限维版本是它的简化。