17 不变子空间

不变子空间 #

这讲讲什么：给「被算子映回自己内部的那块子空间」一个名字，然后证明它和特征值、特征向量、上三角矩阵其实是同一件事的三种说法。
前置：03 讲（子空间）、07 讲（线性映射）、08 讲（零空间与值域）、09 讲（矩阵）；10 讲里「有限维空间上单射 ⟺ 满射 ⟺ 可逆」这一条会反复用到
一句话：不变子空间是「$T$ 管得住的一块地」；一维的那种，恰好就是特征向量张成的那条直线。

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一、为什么需要它 #

1.1 一个具体的技术麻烦 #

设 $T\in\mathcal{L}(V)$ 是 $V$ 上的算子。如果能把 $V$ 拆成几块

$$V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_m,$$

那么「理解 $T$」这件事似乎可以拆小：分别理解 $T$ 在每一块上的作用就够了。毕竟 $V_k$ 比 $V$ 小，讨论起来该更容易。

麻烦在于：$T|_{V_k}$ 的定义域是 $V_k$，但它未必把 $V_k$ 的值域也留在 $V_k$ 里。它可能只是把 $V_k$ 甩到 $V$ 的其他角落去了。

具体反例。 取 $V=\mathbb{R}^2$，$T(w,z)=(z,w)$（交换两个坐标），取 $U=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}$ 即 $x$ 轴。那么

$$T(1,0)=(0,1)\notin U .$$

所以 $T|_U$ 根本不是「$U$ 上的算子」——它是从 $U$ 打到 $V$ 的一个映射，连复合都做不了，更别说取幂、取多项式。

这不是小毛病。算子比一般线性映射内容丰富，主要就靠能自乘（$T^2=T\circ T$、$T^m$、$p(T)$ 全都要建立在「定义域等于陪域」上）。如果 $T|_{V_k}$ 连这一步都迈不出去，这套工具在每一块上都失效了。

于是把问题剪干净：只研究那些 $T$ 把整块映回整块的子空间。 给它起个名字，就是本讲的主角。

1.2 第二个动机：简单矩阵从哪来 #

09 讲里算子的矩阵 $M(T)$ 依赖于基的选取。选基的自由度，全部用在「让矩阵里多几个 $0$」上。

一个方阵能有多简单？最理想是对角阵。次一等是上三角：对角线以下的元素全是 $0$。而「$M(T)$ 是上三角」这件事，翻译过来恰恰是

$$\operatorname{span}(v_1)\subset\operatorname{span}(v_1,v_2)\subset\cdots\subset\operatorname{span}(v_1,\dots,v_n)=V$$

这样一条层层加高的不变子空间链。也就是说：想让矩阵变简单，就得先会找不变子空间。

1.3 读完这一讲你应该能回答 #

1. 给定 $T$ 和一个子空间 $U$，怎么最快判断 $U$ 在 $T$ 下变不变？
2. 「$T$ 有一个一维不变子空间」与「$T$ 有特征值」，为什么是同一句话？
3. 一个 $n$ 维空间上的算子最多能有几个互不相同的特征值？为什么？

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二、定义与最小例子 #

2.1 定义 #

定义（不变子空间）：设 $T\in\mathcal{L}(V)$。称 $V$ 的子空间 $U$ 在 $T$ 下不变，若对每个 $u\in U$ 都有

$$Tu\in U .$$

等价记号：$T(U)\subseteq U$。

读这个定义有三个地方要咬住：

（i）$U$ 得先是子空间。 任意子集谈不上「不变」，因为定义里要写 $Tu\in U$ 对每个 $u$ 成立，这句话对集合也能说，但后面的定理全部依赖 $U$ 是子空间（比如要谈 $\dim U$、要谈 $T|_U$ 是不是算子）。

（ii）关系是 $\subseteq$，不是 $=$。 值域 $T(U)$ 完全可能比 $U$ 小。这一点后面会变成最常见的一类错误（见第五节误区 2）。

（iii）$T$ 必须是 $V$ 上的算子，即定义空间就是 $V$、目标空间也是 $V$。「从 $V$ 到 $W$ 的线性映射」在 $W\neq V$ 时谈不上不变子空间——$TU$ 住在 $W$ 里，而 $U$ 住在 $V$ 里，两个东西没法比大小。

2.2 四个白送的例子 #

对任意 $T\in\mathcal{L}(V)$，下面四个子空间一定不变。自己把理由说一遍，这是最快的上手方式：

子空间	为什么不变
$\{0\}$	若 $u\in\{0\}$ 则 $u=0$，于是 $Tu=T0=0\in\{0\}$
$V$	若 $u\in V$，则 $Tu\in V$（算子的陪域就是 $V$）
$\operatorname{null}T$	若 $u\in\operatorname{null}T$ 则 $Tu=0$，而 $0\in\operatorname{null}T$
$\operatorname{range}T$	若 $u\in\operatorname{range}T$，则 $u=Tv$ 对某 $v$ 成立，于是 $Tu=T(Tv)=T^2v\in\operatorname{range}T$

2.3 一个非 $\mathbb{F}^n$ 的例子：微分算子 #

取 $V=\mathcal{P}(\mathbb{R})$（全体实系数多项式），$T=D$ 定义为 $Dp=p'$。

那么 $U=\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$（次数不超过 $4$ 的多项式）在 $D$ 下不变：$p$ 的次数 $\le 4$，求导后次数只会降，不会升，所以 $p'\in\mathcal{P}_4(\mathbb{R})$。

更进一步，整条链都不变：

$$\mathcal{P}_0\subset\mathcal{P}_1\subset\mathcal{P}_2\subset\cdots\subset\mathcal{P}_4 .$$

而 $\mathcal{P}_5$ 在 $D$ 下呢？仍然不变（次数照样只降）。想找一个「求导会跑出来」的例子，得反过来：取 $U=\operatorname{span}(1+x^3)$ 这种一维的，$D(1+x^3)=3x^2\notin U$，不变性立刻破。

2.4 一个不变、一个不变的反例 #

同一个 $T$，问两个子空间。

取 $V=\mathbb{R}^2$，$T(w,z)=(z,w)$。

• $U_1=\{(x,x):x\in\mathbb{R}\}$（直线 $y=x$）：$T(x,x)=(x,x)\in U_1$。不变，而且每个向量都被原地不动。
• $U_2=\{(x,-x):x\in\mathbb{R}\}$（直线 $y=-x$）：$T(x,-x)=(-x,x)=-(x,-x)\in U_2$。不变，但每个向量都被翻了个方向（乘 $-1$）。
• $U_3=\{(x,0)\}$（$x$ 轴）：$T(x,0)=(0,x)$，除非 $x=0$ 否则跑出去了。不变性失败。

三条直线都过原点、都是一维子空间，命运完全不同。区分它们的不是「长得像不像」，而是$T$ 把它们映到哪里。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 一维不变子空间 ⟺ 特征向量 #

设 $v\neq 0$，$U=\operatorname{span}(v)=\{\lambda v:\lambda\in\mathbb{F}\}$。这是 $V$ 的一维子空间（反过来，$V$ 的每个一维子空间都能写成这种形式：取其中任一非零向量即可）。

若 $U$ 在 $T$ 下不变，则 $Tv\in U$，即存在 $\lambda\in\mathbb{F}$ 使

$$Tv=\lambda v .$$

反之，若对某个 $\lambda\in\mathbb{F}$ 有 $Tv=\lambda v$，那么对任意 $\mu$，

$$T(\mu v)=\mu\,Tv=\mu\lambda v=(\mu\lambda)v\in\operatorname{span}(v),$$

所以 $\operatorname{span}(v)$ 不变。

于是得到这一讲的核心等价：

$V$ 有在 $T$ 下不变的一维子空间 $\iff$ $T$ 有特征值。

一句话都不多：找一维不变子空间 = 解 $Tv=\lambda v$。

3.2 特征值与特征向量 #

定义（特征值）：设 $T\in\mathcal{L}(V)$。称 $\lambda\in\mathbb{F}$ 为 $T$ 的特征值，若存在 $v\in V$ 使得 $v\neq 0$ 且 $Tv=\lambda v$。

定义（特征向量）：设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda$ 是 $T$ 的特征值。若 $v\neq 0$ 且 $Tv=\lambda v$，则称 $v$ 是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量。

为什么非要 $v\neq 0$？ 因为 $T0=\lambda 0$ 对每个标量 $\lambda$ 都成立。若不排除零向量，任何数都是特征值，这个概念就没用了。这是定义里唯一一个「为了不退化而加的」条件，务必记住。

特征向量的另一种描述：$v\neq 0$ 是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的特征向量，当且仅当

$$(T-\lambda I)v=0,\qquad\text{即}\qquad v\in\operatorname{null}(T-\lambda I),\ v\neq 0 .$$

也就是说：对应 $\lambda$ 的全部特征向量（再加 $0$）恰好构成子空间 $\operatorname{null}(T-\lambda I)$。所以「特征向量」不是散的，它们天然成块。

3.3 当特征值的四个等价条件 #

下面这一条只在有限维成立，而且它把「解方程」翻译成「判断可逆性」：

定理：设 $V$ 有限维，$T\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda\in\mathbb{F}$。则下列等价：

(a) $\lambda$ 是 $T$ 的特征值；
(b) $T-\lambda I$ 不是单射；
(c) $T-\lambda I$ 不是满射；
(d) $T-\lambda I$ 不可逆。

证明的骨架。 (a)$\iff$(b)：$Tv=\lambda v$ 移项就是 $(T-\lambda I)v=0$，所以「存在 $v\neq 0$ 被映成 $0$」恰好是「$T-\lambda I$ 的零空间非平凡」，即不是单射。

(b)、(c)、(d) 三者等价，用的正是 10 讲那条：有限维空间上，单射 ⟺ 满射 ⟺ 可逆。 注意这里的「有限维」不能去掉——无穷维时单射不必满射（例如多项式上的移位算子）。

3.4 例一：先动手验一个 #

定义 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^3)$ 为

$$T(x,y,z)=(7x+3z,\ 3x+6y+9z,\ -6y).$$

直接代 $v=(3,1,-1)$：

$$\begin{aligned}T(3,1,-1)&=(21-3,\ 9+6-9,\ -6)\\&=(18,\ 6,\ -6)=6(3,1,-1).\end{aligned}$$

所以 $6$ 是 $T$ 的特征值，$(3,1,-1)$ 是它对应的特征向量。

注意这题只验证了「$6$ 是特征值」，没有说「$6$ 是唯一的特征值」。 要找出全部特征值，得解 $T-\lambda I$ 不可逆，那是后面的技术活。这里先建立手感：给一个数、给一个向量，代入验证是最快的入门动作。

3.5 例二：同一个算子，换个数域就换个答案 #

设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2)$ 为 $T(w,z)=(-z,w)$。这是「逆时针转 $90^\circ$」。

当 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$：$T$ 没有特征值。

几何理由一句话：把非零向量转 $90^\circ$，得到的向量与原来垂直，绝不可能是原向量的标量倍。代数上，$T-\lambda I$ 对应的矩阵是

$$\begin{pmatrix}-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end{pmatrix},$$

要它不可逆就要求 $\lambda^2=-1$，而实数里无解。

当 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$：$T$ 有两个特征值 $i$ 与 $-i$。

解方程 $-z=\lambda w$、$w=\lambda z$。把第二式代入第一式：$-z=\lambda^2 z$。因 $z\neq 0$（否则 $w=0$，得零向量，不算），可约掉 $z$ 得

$$\lambda^2=-1 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\pm i .$$

代入验证：$T(w,-wi)=(wi,\ w)$，而 $i(w,-wi)=(iw,\ i\cdot(-wi))=(iw,\ w)$。两者相等，所以 $(w,-wi)$（$w\neq 0$）是对应 $i$ 的特征向量。同理 $(w,wi)$ 对应 $-i$。

3.6 不同特征值的特征向量线性无关 #

定理：设 $T\in\mathcal{L}(V)$。那么分别对应于 $T$ 的互不相同特征值的特征向量，构成的每个组都线性无关。

这条比它看起来强。它说的是：只要特征值互不相同，向量自动无关，不需要额外检查。

证明（反证 + 取最小 $m$）。

假设结论不成立。那么存在最小的正整数 $m$，使得「对应互异特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 的特征向量 $v_1,\dots,v_m$」线性相关。

注意 $m\ge 2$：单个特征向量按定义非零，一个非零向量自己就线性无关，凑不出相关组。

于是有不全为零的系数使

$$a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0. \tag{3.1}$$

第一步：这些系数全都不为零。 若某个 $a_j=0$，那 (3.1) 里就只剩 $m-1$ 项，它们仍然线性相关，与 $m$ 的最小性矛盾。所以 $a_1,\dots,a_m$ 全非零。

第二步：用 $T-\lambda_mI$ 作用在 (3.1) 两边。 关键观察是

$$(T-\lambda_mI)v_k=Tv_k-\lambda_mv_k=\lambda_kv_k-\lambda_mv_k=(\lambda_k-\lambda_m)v_k,$$

而 $(T-\lambda_mI)v_m=0$。于是

$$a_1(\lambda_1-\lambda_m)v_1+\cdots+a_{m-1}(\lambda_{m-1}-\lambda_m)v_{m-1}=0. \tag{3.2}$$

第三步：读出矛盾。 因为 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 互不相同，每个 $\lambda_k-\lambda_m\neq 0$（$k<m$）；又 $a_k\neq 0$，所以 (3.2) 里每个系数 $a_k(\lambda_k-\lambda_m)$ 都非零。

这说明 $v_1,\dots,v_{m-1}$（$m-1$ 个对应互异特征值的特征向量）也线性相关——直接违反 $m$ 的最小性。

矛盾，故结论成立。$\blacksquare$

3.7 推论：特征值个数不超过维数 #

定理：设 $V$ 有限维。则 $V$ 上每个算子最多有 $\dim V$ 个互不相同的特征值。

证明只需两行：设 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 是互异特征值，取对应的特征向量 $v_1,\dots,v_m$。由 3.6，它们线性无关。而 $m$ 维空间里线性无关组的长度不超过 $m$（04 讲的长度不等式），故 $m\le\dim V$。

$\blacksquare$

于是：$\mathbb{R}^2$ 上的算子最多 $2$ 个实特征值，$\mathbb{C}^5$ 上的最多 $5$ 个。上界是维数，不是元素个数。

3.8 上三角矩阵 ⟺ 一条不变子空间链 #

这一节把「矩阵好看」与「子空间不变」正式焊在一起。

定理：设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基。则下列等价：

(a) $T$ 关于该基的矩阵是上三角矩阵；
(b) 对每个 $k=1,\dots,n$，$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$ 在 $T$ 下不变；
(c) 对每个 $k=1,\dots,n$，$Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$。

证明（循环证 (a)$\Rightarrow$(b)$\Rightarrow$(c)$\Rightarrow$(a)）。

先看清 (a) 到底说了什么。 $M(T)$ 的第 $k$ 列是 $Tv_k$ 用基展开的系数。矩阵上三角意味着「对角线以下全是 $0$」，也就是第 $k$ 列里第 $k+1,k+2,\dots,n$ 行的系数都是 $0$。翻译成向量语言：

$$Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k).$$

这一句就是 (c)。 所以 (a) 与 (c) 其实是同一句话的矩阵版和向量版。

(a)$\Rightarrow$(b)：设 $k$ 固定，$j\le k$。由上面，$Tv_j\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_j)\subseteq\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$（因为 $j\le k$，张成组越加越大）。而 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$ 中任一元素是 $v_1,\dots,v_k$ 的线性组合，由 $T$ 线性，它的像仍是这些 $Tv_j$ 的线性组合，落在同一个张成里。所以该张成在 $T$ 下不变。

(b)$\Rightarrow$(c)：取 $k$，因 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$ 不变且 $v_k$ 在其中，故 $Tv_k$ 在其中。这正是 (c)。

(c)$\Rightarrow$(a)：若每个 $Tv_k$ 都只用 $v_1,\dots,v_k$ 表示，那么用基展开 $Tv_k$ 时，$v_k$ 之后的系数全是 $0$，即 $M(T)$ 第 $k$ 列在第 $k$ 行以下全为 $0$。对每个 $k$ 都成立，故 $M(T)$ 上三角。$\blacksquare$

这条定理最有用的读法：

$$\operatorname{span}(v_1)\subset\operatorname{span}(v_1,v_2)\subset\cdots\subset V$$

一串每一个都不变、且每步维数恰好加 $1$ 的子空间。反过来，任意一条这样的链，配上在每层里挑出的新向量，就给出一个上三角化的基。

一个具体例子。 $T(x,y,z)=(2x+y,\ 5y+3z,\ 8z)$，关于标准基的矩阵是

$$M(T)=\begin{pmatrix}2&1&0\\ 0&5&3\\ 0&0&8\end{pmatrix}.$$

上三角，对角线是 $2,5,8$，所以 $T$ 的特征值就是 $2,5,8$——看一眼就报出来，不用解任何方程。这就是「选对基」的回报。

3.9 多项式算子的零空间与值域也不变 #

设 $p$ 是多项式，$T$ 是算子。$p(T)$ 是算子（把 $p$ 里的 $z$ 换成 $T$，常数项 $a_0$ 换成 $a_0I$）。结论：

定理：$\operatorname{null}p(T)$ 与 $\operatorname{range}p(T)$ 都在 $T$ 下不变。

证明。 关键在于 $T$ 与 $p(T)$ 可交换：$T\,p(T)=p(T)\,T$（因为 $T$ 与 $T^k$ 当然交换，而 $p(T)$ 是 $T$ 的各次幂的线性组合）。

设 $u\in\operatorname{null}p(T)$，即 $p(T)u=0$。则

$$p(T)(Tu)=\bigl(p(T)T\bigr)u=\bigl(Tp(T)\bigr)u=T\bigl(p(T)u\bigr)=T0=0,$$

所以 $Tu\in\operatorname{null}p(T)$。

设 $u\in\operatorname{range}p(T)$，即 $u=p(T)v$。则

$$Tu=T\bigl(p(T)v\bigr)=p(T)(Tv)\in\operatorname{range}p(T).$$

$\blacksquare$

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

看图说话：

• 红色向量变换后与原来共线，只是长度变了。这就是特征向量：$Tv=\lambda v$，方向不动，长度乘 $|\lambda|$。它张成的那条直线，就是这块区域里唯一被 $T$ 完整保留的一维不变子空间。
• 蓝色向量变换后偏离了原来的方向。它张成的直线没有被 $T$ 保住——$Tw$ 跑到那条直线外面去了，所以 $\operatorname{span}(w)$ 不变性失败。

三个记忆钩子：

钩子一：把「不变」读成「关得住」。
$T$ 是一台机器，$U$ 是一间屋子。$Tu\in U$ 的意思是：屋子里的东西被机器加工后，还在屋子里，没漏出去。漏出去了，$T|_U$ 就不再是这间屋子上的算子。

钩子二：$\lambda$ 的四种读法。

$\lambda$	几何动作	直觉
$\lambda>1$	沿该方向拉长	方向被强化
$0<\lambda<1$	沿该方向压缩	方向被削弱
$\lambda=0$	整条线压成原点	方向被抹掉（$v\in\operatorname{null}T$）
$\lambda<0$	反向拉伸	方向被翻转

钩子三：上三角 = 一层层关得住的套娃。
$v_1$ 自己关在一维屋里；$v_2$ 和 $v_1$ 关在二维屋里；$\dots$；全部关在 $n$ 维屋里。套娃每层只多进一个向量，所以矩阵每列只在「自己这一格及左边」有非零元——这正是上三角的形状。

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五、常见误区 #

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六、拓展（可选，可跳过） #

6.1 不变子空间的用处：商算子 #

有了不变子空间，就能在商空间上继承算子。设 $U$ 在 $T$ 下不变，定义

$$(T/U)(v+U)=Tv+U .$$

$U$ 不变在这里是必须的：否则「$v+U$ 的代表元换一个」时，$Tv+U$ 可能变，定义就不是良定义。这正是 11 讲讲过的「商」的那套注意事项。

于是「$T$ 管得住 $U$」换来一个新东西：$T$ 在 $V/U$ 上诱导出一个算子。算子可以顺着不变子空间往下传，这是后面很多结构定理的起点。

6.2 平凡的不变子空间什么时候一定存在 #

如果 $\dim V=n\ge 1$ 且 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，那么 $T$ 一定有特征值（复系数多项式必有根），于是一定有一维不变子空间。若 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 而 $n$ 是奇数，实系数奇次多项式必有实根，同样保证有。

但 $\mathbb{R}^2$ 上的旋转说明：实数域 + 偶数维时可以一个都没有。

6.3 一条更细的观察 #

「$U$ 在 $T$ 下不变」会自动升级为「$U$ 在任意多项式 $p(T)$ 下不变」。理由与 3.9 一样：$p(T)$ 是 $T$ 的各次幂的组合，而 $T^k u$ 反复用不变性就还在 $U$ 里。

这条常被用来做一件事：若 $U$ 不变，则 $U$ 在 $T-\lambda I$ 下也不变（取 $p(z)=z-\lambda$）。于是限制算子 $(T-\lambda I)|_U$ 是 $U$ 上的算子，可以继续对它用本讲的整套工具。这个「限制再限制」的手法，是后面证结构定理时的标准动作。

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七、自测 #

1. 设 $T(x,y)=(3x+y,\ 2y)$。判断 $x$ 轴是否在 $T$ 下不变，并求出 $T$ 的全部特征值。

2. 设 $T(w,z)=(z,w)$。求 $T$ 的全部特征值与对应的特征向量。

3. 设 $U$ 在 $T$ 下不变。证明 $U$ 在 $T^2$ 下不变，并进一步说明 $U$ 在 $p(T)$ 下不变（$p$ 为任意多项式）。

4. 设 $T(z_1,z_2,z_3)=(2z_2,\ 0,\ 5z_3)$。求 $T$ 的全部特征值与特征向量。（提示：$2$ 会误导你。）

5. 设 $U,W$ 都在 $T$ 下不变。证明 $U\cap W$ 与 $U+W$ 也都在 $T$ 下不变。

答案（点开）

1. $x$ 轴上的向量是 $(x,0)$，$T(x,0)=(3x,0)$，仍在 $x$ 轴上，不变。
（顺带：$T(x,0)=3(x,0)$，所以 $e_1$ 是对应 $3$ 的特征向量。）
求特征值：$T(x,y)=\lambda(x,y)$ 给出 $3x+y=\lambda x$ 与 $2y=\lambda y$。
由第二式，要么 $y=0$（此时第一式给 $\lambda=3$），要么 $\lambda=2$（此时第一式给 $x+y=0$，即向量 $(1,-1)$）。
所以特征值是 $3$ 与 $2$；对应 $3$ 的是 $\operatorname{span}(1,0)$，对应 $2$ 的是 $\operatorname{span}(1,-1)$。
矩阵 $\begin{pmatrix}3&1\\0&2\end{pmatrix}$ 是上三角，对角线 $3,2$ 正是答案——与 3.8 节一致。

2. 解 $T(w,z)=\lambda(w,z)$：$z=\lambda w$，$w=\lambda z$。代入得 $w=\lambda^2w$，而 $(w,z)\neq 0$ 迫使 $w\neq 0$（若 $w=0$ 则 $z=0$），故 $\lambda^2=1$，
$\lambda=\pm 1$。
$\lambda=1$：$z=w$，特征向量 $(w,w)$，$w\neq 0$，即 $\operatorname{span}(1,1)$。
$\lambda=-1$：$z=-w$，特征向量 $(w,-w)$，$w\neq 0$，即 $\operatorname{span}(1,-1)$。
这正好对上 2.4 节那两条直线：$y=x$ 上的向量不动，$y=-x$ 上的向量被翻转。

3. 设 $u\in U$。由 $U$ 不变，$Tu\in U$；再对 $Tu$ 用一次不变性，$T(Tu)=T^2u\in U$。故 $U$ 在 $T^2$ 下不变。
对 $p(T)=a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m$：归纳可得 $T^ku\in U$ 对每个 $k\ge 0$（$k=0$ 时 $Iu=u\in U$）。
再由 $U$ 是子空间（对加法与标量乘封闭），$a_0u+a_1Tu+\cdots+a_mT^mu\in U$。
所以 $p(T)$ 把 $U$ 映进 $U$。

4. 解 $T(z_1,z_2,z_3)=\lambda(z_1,z_2,z_3)$，即三个方程
$2z_2=\lambda z_1$、$0=\lambda z_2$、$5z_3=\lambda z_3$。

• $\lambda=0$：由第二式无约束，第一式给 $z_2=0$，第三式给 $z_3=0$。向量 $(z_1,0,0)$，$z_1\neq 0$。
• $\lambda=5$：第二式给 $z_2=0$，第一式给 $0=5z_1$ 即 $z_1=0$，第三式自动成立。向量 $(0,0,z_3)$，$z_3\neq 0$。
• $\lambda=2$：第二式给 $z_2=0$，第一式给 $0=2z_1$ 即 $z_1=0$，第三式给 $5z_3=2z_3$ 即 $z_3=0$。只剩零向量，不行。
  所以特征值只有 $0$ 与 $5$，没有 $2$。
  教训：矩阵里出现的数字不必都是特征值——$2$ 坐在第 1 行第 2 列，是非对角元素，它只描述「$z_2$ 会被送进第一个坐标」，不描述任何伸缩倍数。
  $T$ 关于标准基的矩阵是

$$\begin{pmatrix}0&2&0\\ 0&0&0\\ 0&0&5\end{pmatrix},$$

上三角，对角线是 $0,0,5$——按 3.8 节，对角线才给出全部特征值，答案正是 $\{0,5\}$（$0$ 出现两次不意味着有两个互异特征值）。
别把「矩阵元」和「对角线元」混为一谈。

5. $U\cap W$：设 $u\in U\cap W$。则 $u\in U$ 且 $u\in W$，由两者的不变性得 $Tu\in U$ 且 $Tu\in W$，故 $Tu\in U\cap W$。
$U+W$：任一元素形如 $u+w$（$u\in U,w\in W$）。则 $T(u+w)=Tu+Tw\in U+W$（因为 $Tu\in U$，$Tw\in W$）。
注意 $U\cup W$ 不一定不变——它不是子空间，且 $Tu+Tw$ 这类组合会跑出并集。
所以「不变」这件事对交与和封闭，对并不封闭。

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八、复习卡 #

项	内容
不变子空间	$U$ 是子空间，且 $\forall u\in U:\ Tu\in U$，即 $T(U)\subseteq U$
关系是 $\subseteq$	允许 $T(U)$ 比 $U$ 小；不要求 $T|_U$ 可逆
四个白送的例子	$\{0\}$、$V$、$\operatorname{null}T$、$\operatorname{range}T$
一维情形	$\operatorname{span}(v)$ 不变 $\iff$ 存在 $\lambda$ 使 $Tv=\lambda v$
核心等价	$V$ 有不变的一维子空间 $\iff$ $T$ 有特征值
特征值	$\lambda$ 使某 $v\neq 0$ 满足 $Tv=\lambda v$
特征向量	该 $v$；必须 $v\neq 0$，否则任何 $\lambda$ 都合格
特征空间	对应 $\lambda$ 的全部特征向量加 $0$ = $\operatorname{null}(T-\lambda I)$
四个等价	$\lambda$ 是特征值 $\iff$ $T-\lambda I$ 非单射 $\iff$ 非满射 $\iff$ 不可逆（需有限维）
互异特征值	对应的特征向量组必线性无关（极小反例法证）
个数上界	互异特征值个数 $\le\dim V$
上三角等价	$M(T)$ 上三角 $\iff$ 每个 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$ 不变 $\iff$ $Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$
对角线	有上三角矩阵时，对角线元素恰为全部特征值；只有 $v_1$ 一定是特征向量
多项式	$\operatorname{null}p(T)$、$\operatorname{range}p(T)$ 都在 $T$ 下不变（靠 $T$ 与 $p(T)$ 交换）
数域要紧	旋转 $90^\circ$ 在 $\mathbb{R}^2$ 无特征值，在 $\mathbb{C}^2$ 有 $\pm i$
易混	上三角化（换基）$\neq$ 行化简（初等行变换）

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主要出处：Sheldon Axler《线性代数应该这样学》第 4 版，第 5 章 5A 节「不变子空间·特征值」（PDF p126–131，印刷 p113–118）。本讲的定义顺序为：算子（5.1）→ 不变子空间（5.2）→ 微分算子例（5.3）→ 四个不变子空间（5.4）→ 一维情形 → 特征值（5.5）→ 特征值例（5.6）→ 等价条件（5.7）→ 特征向量（5.8）→ 旋转例（5.9）→ 无关性（5.11）→ 个数上界（5.12），与原文一致。
• 多项式算子部分：$p(T)$ 的定义与「乘积性质」见同书 p128–129（5.13–5.17）；「$p(T)$ 的零空间与值域不变」（5.18）见 p130。
• 上三角矩阵：见 5C 节（PDF p142–147，印刷 p129–134）。5.39（三个等价条件）、5.40（$(T-\lambda_1I)\cdots(T-\lambda_nI)=0$）、5.41（对角线即特征值）、5.44（存在上三角矩阵 $\iff$ 最小多项式可完全分解）都在那里。本讲只取 5.39 与 5.41 的结论，最小多项式留到后续讲次。
• 术语别名：不变子空间 = invariant subspace；特征值 = 本征值 = eigenvalue；特征向量 = 本征向量 = eigenvector；「算子的矩阵」记作 $M(T)$，也叫 $T$ 关于某基的表示矩阵。
• 想深挖时可查：
  • 「$U$ 不变 $\Rightarrow$ 商算子 $T/U$」的完整处理见 11 讲（商空间）与本讲 6.1 的组合；
  • 特征值存在性（复空间、有限维必存在）依赖代数基本定理，即「每个复系数多项式有根」；
  • 想找更多反例，可自行构造 $\mathbb{R}^2$ 上的旋转矩阵族 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$，检验 $\theta\notin\{0,\pi\}$ 时无实特征值。