18 极小多项式

极小多项式 #

这讲讲什么：给每个算子配一个「最省事的零化多项式」，并用它一次性管住特征值、可逆性，以及所有能把算子打成零的多项式
前置：17 讲（不变子空间与特征值）；13–16 讲（多项式的零点、带余除法、复系数与实系数分解）；08 讲（线性映射基本定理）；04 讲（线性相关性引理）
一句话：极小多项式是让 $p(T)=0$ 成立的次数最低的首一多项式——它整除一切零化多项式，次数不超过 $\dim V$，零点恰好是 $T$ 的特征值。

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一、为什么需要它 #

到 17 讲为止，我们描述一个算子只有一件武器：找特征向量。可这件武器会失效。

取 $\mathbb{R}^2$ 上「逆时针转 $90^\circ$」的算子 $T$。它把每条线都转到另一条线上，没有任何方向被保持，所以 $T$ 一个特征向量都没有。逐条找向量的路就此走不通。

于是换个问法：不去逐条抓向量，而是去找一个多项式 $p$，使得把 $T$ 代进去恰好得到零算子。

这个想法一旦成立，收益是三重的：

1. 降次。若 $p(T)=0$ 且 $p$ 的次数是 $m$，则 $T^m$ 可以写成 $I,T,\dots,T^{m-1}$ 的线性组合；于是 $T^{100}$ 这种量也能压回 $m$ 维里去算。
2. 求逆。只要 $p$ 的常数项不为零，$T^{-1}$ 就能写成 $T$ 的多项式（第三节给公式）。这比解线性方程组快得多。
3. 判别结构。算子的可对角化（20 讲）、上三角化（19 讲）、Jordan 形（33 讲），判据全部落在极小多项式的因式分解形状上。

那么这样的多项式存在吗？有一个朴素观察几乎立刻给出「一半」的答案。

任取 $v\neq 0$，令 $n=\dim V$。组

$$v,\ Tv,\ T^2v,\ \dots,\ T^nv$$

的长度是 $n+1$，而空间只有 $n$ 维，所以它必然线性相关（04 讲的线性相关性引理）。也就是说，存在不全为零的标量 $c_0,\dots,c_n$ 使

$$c_0v+c_1Tv+\cdots+c_nT^nv=0 .$$

记 $q(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n$，就得到一个非零多项式，满足 $q(T)v=0$。

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二、定义与最小例子 #

先约定「首一」 #

首一多项式指最高次项系数等于 $1$ 的多项式。例如 $2+9z^2+z^7$ 是次数 $7$ 的首一多项式，而 $3+3z$ 不是。

首一这个条件看着像装饰，其实是唯一性的全部来源。若不加它，「次数最低的零化多项式」有无穷多个：$z-1$ 零化 $I$，$2z-2$ 也零化 $I$，$7z-7$ 也零化。乘任何非零常数都还是零化多项式，次数不变，永远选不出唯一的一个。加上首一，就把这族按比例缩放的多项式钉死成一个。

定义 #

设 $V$ 有限维，$T\in\mathcal{L}(V)$。$T$ 的极小多项式是满足 $p(T)=0$ 的、次数最低的首一多项式 $p\in\mathcal{P}(\mathbb{F})$。

这个定义能站得住，靠的是三条事实，缺一不可：

要求	若去掉会怎样
$p(T)=0$	那么常数多项式 $1$ 永远合格，定义毫无意义
次数最低	那么零化多项式随便挑，不唯一
首一	那么同一族多项式按比例缩放都合格，仍不唯一

存在性与唯一性不是显然的，第三节给出证明。先看例子。

最小例子表 #

空间	算子	极小多项式	理由
$\{0\}$	$0$	$1$	零维时 $I$ 就是零算子，$1(T)=I=0$
任意	$I$	$z-1$	$I-I=0$；而 $1$ 不行，因为 $1(I)=I\neq 0$
任意	$\lambda I$	$z-\lambda$	同理，$\lambda I-\lambda I=0$
任意	$0$	$z$	$0$ 算子被 $z$ 打成零；常数不行
$\mathbb{R}^2$	转 $90^\circ$	$z^2+1$	$T^2=-I$，故 $T^2+I=0$；一次的不行
$\mathbb{F}^n$	$\mathrm{diag}(2,\dots,2)$	$z-2$	虽然是 $n$ 维，但 $T-2I=0$
$\mathbb{F}^3$	$\mathrm{diag}(1,2,2)$	$(z-1)(z-2)$	两个对角值都要被零化，$T$ 又不等同于数乘

最后两行值得盯住：维数只是次数的上界，不是次数本身。 $n$ 维空间上的算子，极小多项式可能只有一次。

用旋转例子回看定义 #

$\mathbb{R}^2$ 上的 $90^\circ$ 旋转 $T$，$T^2=-I$，于是 $z^2+1$ 零化 $T$。次数能不能降到 $1$？一次首一多项式只有 $z-\lambda$ 这一种形状，$T-\lambda I=0$ 意味着 $T=\lambda I$，而旋转显然不是数乘。所以极小多项式就是 $z^2+1$，次数 $2=\dim V$。

注意 $z^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上没有零点——这与「$T$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上没有特征值」是同一句话的两种说法。若把数域换成 $\mathbb{C}$，$z^2+1=(z-i)(z+i)$，零点出现了，$\pm i$ 也正是复情形下 $T$ 的两个特征值。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 存在性，并且 $\deg p\le\dim V$ #

设 $n=\dim V$，对 $n$ 归纳。

$n=0$ 时 $I$ 是零算子，取 $p=1$，成立。

设 $n>0$。取 $u\neq 0$。组 $u,Tu,\dots,T^nu$ 长度 $n+1$ 必线性相关，其中必有一个最小的 $m\le n$ 使得 $T^mu$ 落在前 $m$ 个的 span 里。于是存在 $c_0,\dots,c_{m-1}$ 使

$$c_0u+c_1Tu+\cdots+c_{m-1}T^{m-1}u+T^mu=0 .$$

令

$$q(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_{m-1}z^{m-1}+z^m,$$

则 $q(T)u=0$，且 $\deg q=m$。这里 $m$ 的「最小」用在了关键处：正因为 $m$ 最小，$u,Tu,\dots,T^{m-1}u$ 线性无关。

对任意非负整数 $k$，

$$q(T)\bigl(T^ku\bigr)=T^k\bigl(q(T)u\bigr)=T^k(0)=0 .$$

所以 $\operatorname{span}(u,Tu,\dots,T^{m-1}u)\subseteq\operatorname{null}q(T)$。左边这 $m$ 个向量线性无关，于是

$$\dim\operatorname{null}q(T)\ge m .$$

由 08 讲的线性映射基本定理，

$$\dim\operatorname{range}q(T)=n-\dim\operatorname{null}q(T)\le n-m\le n-1 .$$

再看 $\operatorname{range}q(T)$ 是否在 $T$ 下不变。任取 $q(T)v$，有（多项式在 $T$ 里可交换）

$$T\bigl(q(T)v\bigr)=q(T)(Tv)\in\operatorname{range}q(T),$$

所以它确实不变。维数严格小于 $n$，可以对这个子空间上的限制算子用归纳假设：存在首一多项式 $s$，$\deg s\le n-m$，使得 $s(T)$ 在 $\operatorname{range}q(T)$ 上恒为零。

于是对任意 $v\in V$，$q(T)v\in\operatorname{range}q(T)$，从而

$$\bigl(sq\bigr)(T)v=s(T)\bigl(q(T)v\bigr)=0 .$$

所以 $sq$ 是零化 $T$ 的首一多项式，次数

$$\deg(sq)=\deg s+\deg q\le (n-m)+m=n .$$

存在性得证：至少有一个次数不超过 $n$ 的首一零化多项式。既然非空的自然数集合（次数）必有最小值，次数最低的那个就存在。

3.2 唯一性 #

设 $p$ 与 $r$ 都是次数最低的首一零化多项式，且同次。那么

$$\bigl(p-r\bigr)(T)=p(T)-r(T)=0,\qquad \deg(p-r)<\deg p .$$

若 $p-r\neq 0$，把 $p-r$ 除以它自己的首项系数，得到一个首一多项式，它仍零化 $T$，而次数比 $p$ 还低——这与 $p$ 的次数最低矛盾。所以 $p-r=0$，即 $p=r$。

3.3 $q(T)=0$ 当且仅当 $q$ 是极小多项式的倍式 #

设 $p$ 是极小多项式。

（$\Leftarrow$）若 $q=ps$，则 $q(T)=p(T)s(T)=0\cdot s(T)=0$。

（$\Rightarrow$）设 $q(T)=0$。由带余除法（14 讲），存在多项式 $s,r$ 使

$$q=ps+r,\qquad \deg r<\deg p .$$

代入得

$$0=q(T)=p(T)s(T)+r(T)=r(T).$$

若 $r\neq 0$，把它除以首项系数就得到一个次数低于 $p$ 的首一零化多项式，矛盾。故 $r=0$，即 $q=ps$。

这条结论的份量比它看起来大：它说所有零化多项式的集合恰好是 $\{ps:s\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\}$——极小多项式是这个集合的「生成元」。判断某个多项式能不能零化 $T$，不必代入去算，只要看 $p$ 整不整除它。

3.4 极小多项式的零点就是特征值 #

(a) 特征值是零点。 若 $Tv=\lambda v$，$v\neq0$，则反复作用得 $T^kv=\lambda^kv$，于是

$$p(T)v=\bigl(c_0+c_1T+\cdots+c_mT^m\bigr)v=\bigl(c_0+c_1\lambda+\cdots+c_m\lambda^m\bigr)v=p(\lambda)v .$$

左边 $p(T)v=0$，$v\neq0$，故 $p(\lambda)=0$。

(b) 零点是特征值。 设 $p(\lambda)=0$。由 13 讲，可提出一次因式：

$$p(z)=(z-\lambda)\,q(z),$$

其中 $q$ 是首一多项式，$\deg q=\deg p-1$。因为 $q$ 的次数比极小多项式低，它不可能零化 $T$，故存在某个 $v\in V$ 使 $q(T)v\neq 0$。记 $w=q(T)v\neq0$，则

$$0=p(T)v=(T-\lambda I)q(T)v=(T-\lambda I)w .$$

即 $Tw=\lambda w$，$w$ 是特征向量。

$$p(z)=(z-\lambda_1)(z-\lambda_2)\cdots(z-\lambda_m),$$

其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 恰好是 $T$ 的全部特征值，允许重复。
于是「互异特征值的个数 $\le\deg p$」立刻成立；再叠上 $\deg p\le\dim V$，就得到「$n$ 维空间上的算子至多有 $n$ 个互异特征值」。

3.5 $T$ 可逆当且仅当常数项不为零 #

$p$ 的常数项就是 $p(0)$。按 17 讲，$T$ 不可逆与「$0$ 是 $T$ 的特征值」是同一件事：不可逆意味着 $\operatorname{null}T\neq\{0\}$，即存在 $v\neq0$ 使 $Tv=0\cdot v$。再由 3.4，

$$T\text{ 不可逆}\iff 0\text{ 是特征值}\iff 0\text{ 是 }p\text{ 的零点}\iff p(0)=0 .$$

常数项非零时还能把逆算出来。设

$$p(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_{m-1}z^{m-1}+z^m,\qquad c_0\neq0 .$$

由 $p(T)=0$：

$$c_0I=-T\bigl(c_1I+c_2T+\cdots+c_{m-1}T^{m-2}+T^{m-1}\bigr),$$

两边左乘 $T^{-1}$（可逆时存在）并除以 $c_0$：

$$T^{-1}=-\frac{1}{c_0}\Bigl(c_1I+c_2T+\cdots+c_{m-1}T^{m-2}+T^{m-1}\Bigr).$$

$m=1$ 时退化成一个熟悉的式子：$p=z-\lambda$，$\lambda\neq0$，公式给出 $T^{-1}=\dfrac{1}{\lambda}I$，正是 $\lambda I$ 的逆。

3.6 手算的关键：零化单个向量的多项式整除极小多项式 #

固定 $v\neq0$，记 $m_v$ 为使 $q(T)v=0$ 成立的次数最低的首一多项式。那么

$$m_v\mid p .$$

证法与 3.3 完全一样：写 $p=m_vs+r$，$\deg r<\deg m_v$，则 $0=p(T)v=r(T)v$，故 $r=0$。

由此得到一条非常实用的判据：$m_v$ 的次数不超过 $\deg p\le\dim V$；若 $\deg m_v=\dim V$，则必有 $p=m_v$。

这就是手算极小多项式的首选路线：挑一个 $v$，逐个算 $v,Tv,T^2v,\dots$ 直到出现线性相关，读出的那个关系式就是 $m_v$；若它已经升到 $\dim V$ 次，直接收工。

3.7 完整手算一例 #

取 $\mathbb{R}^3$ 上矩阵为

$$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2\end{pmatrix}$$

的算子。先做排除：

• 次数不能是 $1$。一次首一多项式只有 $z-\lambda$；$A=\lambda I$ 意味着非对角元全零，而这里 $a_{12}=1$。
• 次数 $2$ 的候选只剩一个。上三角矩阵的特征值就是对角元 $1,2$；而由 3.4，极小多项式的零点集合恰好是特征值集合，不能多也不能少。次数 $2$ 又把因式个数限死为两个，于是候选只有 $(z-1)(z-2)$——$(z-1)^2$ 的零点集是 $\{1\}$、$(z-2)^2$ 的零点集是 $\{2\}$，都不对。

先试 $(z-1)(z-2)=z^2-3z+2$。算

$$A^2=\begin{pmatrix}1&2&0\\ 0&1&0\\ 0&0&4\end{pmatrix},\qquad A^2-3A+2I=\begin{pmatrix}0&-1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}\neq0 .$$

一次项凑不出来，说明 $(z-1)(z-2)$ 不够，次数必须升到 $3$，而 $3=\dim V$ 已是上限。

再试 $(z-1)^2(z-2)$。注意

$$A-I=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix},\qquad (A-I)^2=\begin{pmatrix}0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&1\end{pmatrix},$$

$$A-2I=\begin{pmatrix}-1&1&0\\ 0&-1&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}.$$

$(A-I)^2$ 只有第三行非零，而 $A-2I$ 的第三行是零行，故

$$(A-I)^2(A-2I)=0 .$$

所以极小多项式是

$$p(z)=(z-1)^2(z-2)=z^3-4z^2+5z-2 .$$

常数项 $-2\neq0$，与「特征值 $1,2$ 都非零、$A$ 可逆」一致。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

三个数字，一句话 #

$$\deg p\le\dim V,\qquad \#\{\text{互异特征值}\}\le\deg p,\qquad p(0)\neq0\iff T\text{ 可逆}.$$

左边是上界，中间是下界，右边是开关。三个数把这一讲的全部结论压缩成一行。

类比：整数的最小公倍数 #

把「零化 $T$ 的多项式」想成「$a$ 与 $b$ 的公倍数」：

整数世界	算子世界
公倍数有无限多个	零化多项式有无限多个
最小公倍数 $L$ 存在且唯一	极小多项式 $p$ 存在且唯一
每个公倍数都是 $L$ 的倍数	每个零化多项式都是 $p$ 的倍式（3.3）
$L\mid$ 任何公倍数	$p\mid$ 任何零化多项式

这个类比在结构上是准确的，不是比喻：所有零化多项式构成的集合对加法与「乘任意多项式」都封闭，恰好是多项式环里由 $p$ 生成的理想，而 $p$ 是这个理想的生成元。

记忆钩子：算子的「极简身份证」 #

拿一个算子，问四个问题，就能报出它的极小多项式：

1. 有哪些特征值？（这是它全部可能的零点）
2. 能不能对角化？（能则每个零点只出现一次）
3. 最小的那个不变子空间是多长？（决定次数上限 $\dim V$）
4. 常数项是不是 $0$？（决定可逆与否）

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五、常见误区 #

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六、拓展（可选，可跳过） #

为什么「精确求特征值」一般办不到。 取 $n$ 维空间上矩阵为

$$\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-a_0\\ 1&0&\cdots&0&-a_1\\ 0&1&\cdots&0&-a_2\\ \vdots&&\ddots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_{n-1}\end{pmatrix}$$

的算子（称为多项式 $a_0+a_1z+\cdots+a_{n-1}z^{n-1}+z^n$ 的友矩阵）。可以验证：它的极小多项式恰好就是那个多项式本身（直接算 $e_1$ 的轨道即可，与 3.6 的思路一致）。

这条事实的含义相当重：每个首一多项式都是某个算子的极小多项式。于是「给出算子的特征值的精确表达式」与「给出任意多项式的零点的精确表达式」是同一个问题。后者在五次以上没有根式解，所以前者也不可能有通用公式。有些算子的特征值，只能数值逼近。

无限维时存在性会失效。 在全体复系数多项式构成的空间上定义 $(Tp)(z)=z\,p(z)$。$Tp$ 的次数总比 $p$ 高 $1$，所以 $Tp$ 不可能是 $p$ 的标量倍，$T$ 没有特征值；更彻底地说，没有任何非零多项式能零化 $T$。这说明 $\deg p\le\dim V$ 里的「有限维」不是装饰。

概率算法。 3.6 的路线有个工程版本：随机取一个 $v$，算 $m_v$。实测表明，对随机整数矩阵，$m_v$ 以极高概率就等于真正的极小多项式（四阶、元素在 $[-10,10]$ 内的矩阵，成功率超过 $99.8\%$）。失败时换个 $v$ 重试即可——比逐个次数解线性方程组快得多。

限制与商。 若 $U$ 是 $T$ 的不变子空间，则 $T$ 的极小多项式是 $T|_U$ 的极小多项式的倍式；商算子（11 讲）那边也有对应的整除关系。直观上：子空间上的行为是整体行为的一部分，所以整体的零化多项式必然也零化它，但反过来不一定。这也解释了为什么「限制算子的极小多项式」往往更短——丢掉的信息就是没被 $U$ 看见的那部分。

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七、自测 #

1. 写出 $\mathbb{C}^3$ 上 $T=5I$ 的极小多项式，并说明为什么不是 $z^2-25$。

2. $T=\mathrm{diag}(2,2,3)$。写出极小多项式，并判断 $\deg p$ 与 $\dim V$ 是否相等。

3. 已知某算子的极小多项式是 $p(z)=z^2+3z+2$。判断 $T$ 是否可逆；若可逆，用 $T$ 和 $I$ 表示 $T^{-1}$。

4. 设 $p$ 是 $T$ 的极小多项式且 $p(0)\neq0$。不引用 3.5，直接用 $p(T)=0$ 证明 $T$ 可逆。

5. 设 $\deg p=m$。证明 $I,T,T^2,\dots,T^{m-1}$ 线性无关。

答案（点开）

1. 极小多项式是 $z-5$。因为 $5I-5I=0$，而一次式已是次数最低的可能。
$z^2-25=(z-5)(z+5)$ 确实零化 $T$，但它的次数是 $2$，不是最低的。
（注意 $z^2-25$ 是 $z-5$ 的倍式，正符合 3.3。）

2. $z-2$ 不行吗？$T-2I=\mathrm{diag}(0,0,1)\neq0$，不行。$z-3$ 也不行。
所以极小多项式是 $(z-2)(z-3)=z^2-5z+6$，次数 $2$，而 $\dim V=3$，不相等。
特征值 $2$ 占了二维，但它完全可对角化，不产生额外的因式重数。

3. $p(z)=z^2+3z+2=(z+1)(z+2)$，常数项 $2\neq0$，故 $T$ 可逆。
由 $T^2+3T+2I=0$ 得 $T(T+3I)=-2I$，于是

$$T^{-1}=-\frac{1}{2}\bigl(T+3I\bigr).$$

验算：$T\cdot\left(-\dfrac{T+3I}{2}\right)=-\dfrac{T^2+3T}{2}=-\dfrac{-2I}{2}=I$ ✓

4. 设 $p(z)=c_0+c_1z+\cdots+c_mz^m$，$c_0=p(0)\neq0$。由 $p(T)=0$：

$$c_0I=-T\bigl(c_1I+c_2T+\cdots+c_mT^{m-1}\bigr).$$

记 $S=-\dfrac{1}{c_0}\bigl(c_1I+\cdots+c_mT^{m-1}\bigr)$，上式即 $I=TS$，同理 $I=ST$。
所以 $T$ 可逆且 $T^{-1}=S$。
（这一步只用到了 $p(T)=0$ 与 $c_0\neq0$，比 3.5 的路线更直接——3.5 走的是「特征值」那条路。）

5. 设 $\sum_{k=0}^{m-1}a_kT^k=0$ 且系数不全为零。令 $q(z)=\sum a_kz^k$，则 $q(T)=0$ 而 $\deg q<m=\deg p$。
若 $q\neq0$，把 $q$ 除以首项系数得到一个次数低于 $p$ 的首一零化多项式，与 $p$ 的次数最低矛盾；若 $q=0$，则全部系数为零，与「不全为零」矛盾。
故这样的组合不存在，$I,T,\dots,T^{m-1}$ 线性无关。
（顺带得到一个漂亮结论：$\{q(T):q\in\mathcal{P}(\mathbb{F})\}$ 这个子空间的维数恰为 $\deg p$。）

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八、复习卡 #

项	内容
首一多项式	最高次项系数等于 $1$ 的多项式
极小多项式	使 $p(T)=0$ 的次数最低的首一多项式
存在性	有限维时必存在，对 $\dim V$ 归纳，靠线性相关性引理
次数上界	$\deg p\le\dim V$
唯一性	两个同次首一零化多项式之差若非零，会造出更低次的，矛盾
整除判据	$q(T)=0\iff p\mid q$（带余除法）
零点 = 特征值	$p(\lambda)=0\iff\lambda$ 是 $T$ 的特征值
复情形	$p$ 可分解为 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$，$\lambda_i$ 为全部特征值（可重复）
互异特征值数	$\le\deg p\le\dim V$
可逆判据	$T$ 可逆 $\iff$ 常数项 $p(0)\neq0$
求逆公式	$c_0\neq0$ 时 $T^{-1}=-\dfrac{1}{c_0}\bigl(c_1I+c_2T+\cdots+T^{m-1}\bigr)$
零化单个向量	$m_v\mid p$；若 $\deg m_v=\dim V$ 则 $p=m_v$
可对角化时	互异一次因式之积，不带重数（20 讲）
不可对角化时	某些因式要带重数，重数 $>1$
不是完全不变量	同一极小多项式可对应结构不同的算子
手算排错	先定特征值 → 定候选因式 → 从低次试起 → 次数到 $\dim V$ 必停

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线来源：本章框架（首一多项式 → 存在唯一性与次数上界 → 零点即特征值 → 零化多项式即倍式 → 常数项与可逆性）取自《线性代数应该这样学》（第 4 版，吴俊达、何阳 译）5B 节「最小多项式」，对应 PDF 第 134–142 页（印刷页码 120–128）。其中定理编号为 5.21（首一）、5.22（存在唯一与次数）、5.24（定义）、5.26（$\mathbb{F}^5$ 上的例子）、5.27（零点即特征值）、5.28（无法确切求特征值的例子）、5.29（倍式判据）、5.31（限制算子）、5.32（常数项与可逆性）。
• 算法段落：手算路线（逐个次数解方程，或取一个 $v$ 解 $c_0v+\cdots+c_{\dim V-1}T^{\dim V-1}v=-T^{\dim V}v$）以及 $99.8\%$ / $99.999\%$ 的成功率数据，出自 5B 节正文；本讲 3.6 节的「$m_v\mid p$」是把它理论化后的表述，原文以式 (5.25) 的方程组形式呈现。
• 友矩阵：把每个首一多项式实现为某个算子的极小多项式，见 5B 节习题 16 的矩阵构造与相应的证明提示，该矩阵通称 companion matrix（友矩阵）。
• 本讲吸收的习题：$\deg p$ 与 $\{q(T)\}$ 维数的关系（习题 19）、$T$ 的矩阵元素为有理数时极小多项式系数亦为有理数（习题 9）、$T-\lambda I$ 与 $\lambda T$ 的极小多项式如何平移伸缩（习题 17、18）、$\deg p\le1+\dim\operatorname{range}T$ 这个更好的上界（习题 21）。这些都没有写进正文，想加练可以找来看。
• 术语别名：「极小多项式」=「最小多项式」= minimal polynomial；「首一」= monic；「零化」= annihilate。不同教材译名不同，含义一致。
• 另一些讲法：有的教材先定义特征多项式（用行列式），再把极小多项式定义为「使 $p(T)=0$ 的次数最低的首一多项式」并证明它整除特征多项式。两条路线顺序相反，结论相同；本课选择先讲极小多项式，好处是不必等行列式。