16 实系数分解

实系数分解 #

这讲讲什么：给出实系数多项式的唯一分解式——一次因式与「判别式为负的二次因式」之积，并解释为什么实数域上的算子不能像复数域上那样总被上三角化或对角化
前置：13 讲（多项式的零点）、15 讲（复系数分解）；线性映射与矩阵的基本语言（07、09 讲）
一句话：复系数多项式总能拆到底，实系数多项式拆不动的只剩「没有实零点的二次」，而一个非实零点必然带着它的共轭成对出现。

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一、为什么需要它 #

15 讲给出了代数基本定理的一个版本：任意非常值的复系数多项式都能分解成一次因式之积。这个结论在复数域上是彻底的——再没有拆不动的东西。

可是现实里遇到的多数不是复系数：

• 实矩阵 $A$ 的特征多项式 $\det(A-tI)$ 是实系数的；
• 实线性方程组的系数全是实数；
• 物理、化学里的模型参数也都是实数。

如果只承认 $\mathbb{C}$ 上的定理，会立刻撞上两个麻烦。

麻烦一：实系数多项式可以没有实零点。 $x^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上一个零点也没有。于是「$p$ 的零点」这套语言不足以描述 $p$——零点的信息丢在 $\mathbb{R}$ 外面了。

麻烦二：由麻烦一，「每个算子都有特征值」这条结论在实空间上失效。 平面上逆时针转 $90^\circ$ 的矩阵

$$R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$$

没有任何实特征向量：转完之后没有一个向量还在原来那条直线上。它的特征多项式是 $t^2+1$，在 $\mathbb{R}$ 上没有根。

但「拆不动」只是相对的。在 $\mathbb{R}$ 上，一次因式拆不动，没有实零点的二次也拆不动，而除了这两类，再没有第三种拆不动的实系数因式。这就是本讲的主定理：它给出一条退路——在实数域内部，分解仍然能进行到底，只是「底」比复数域粗一档。

这条退路在后面的作用很具体：

讲次	用到本讲的地方
19 讲（上三角矩阵）	复算子总能上三角化；实算子一般不行，但能做成「对角线上是 $1\times1$ 或 $2\times2$ 块」的分块上三角
20 讲（可对角化）	可对角化的判据在 $\mathbb{C}$ 上干净，在 $\mathbb{R}$ 上要把不可约二次的重数也算进去
26 讲（谱定理）	实对称矩阵的特征多项式在 $\mathbb{R}$ 上完全分裂——这是额外的好运气，不是实算子的通性

读完这一讲，你应该能回答三个问题：

1. 给一个实系数多项式，怎么判断它在 $\mathbb{R}$ 上还能不能继续拆？
2. 为什么非实零点必须成对出现，而且必须重数相同？
3. 一个不含实特征值的实算子，它的特征多项式长什么样？

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二、定义与最小例子 #

2.1 先定义「拆不动」 #

设 $p$ 是实系数多项式，$\deg p\ge 1$。如果 $p$ 不能写成两个次数都 $\ge 1$ 的实系数多项式之积，就说 $p$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可约。

同样的定义对 $\mathbb{C}$ 也适用，把「实系数」换成「复系数」即可。

$\mathbb{R}$ 上到底有哪些不可约多项式？只有两类：

• 一次：$x-\lambda$，$\lambda\in\mathbb{R}$；
• 二次且判别式为负：$x^2+bx+c$，其中 $b^2<4c$。

第二类为什么「不可约」，第三节要算；先接受它，看主定理。

2.2 主定理（实系数分解定理） #

设 $p$ 是不恒为常数的实系数多项式。那么存在实数

$$c,\ \lambda_1,\dots,\lambda_m,\ b_1,\dots,b_M,\ c_1,\dots,c_M$$

使得

$$p(x)=c\,(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)\,(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_Mx+c_M)$$

其中对每个 $k=1,\dots,M$ 都有 $b_k^2<4c_k$；并且这个分解在不计因式次序的意义下唯一。

逐条读懂这句话：

成分	含义
$c$	$p$ 的首项系数（一个非零实数）
$x-\lambda_1,\dots,x-\lambda_m$	恰好是 $p$ 的全部实零点，重根按重数重复写
$x^2+b_kx+c_k$	每个都在 $\mathbb{R}$ 上无零点、不可约，且是首一的
$m$ 可以是 $0$	表示 $p$ 没有实零点（如 $x^2+1$）
$M$ 可以是 $0$	表示 $p$ 的零点全是实数（如 $x^3-x$）
「不计次序」	$(x-1)(x-2)$ 与 $(x-2)(x-1)$ 算同一个分解

为什么二次因式要写成首一？因为不写死首一，唯一性就没了：$2x^2+2$ 可以写成 $2(x^2+1)$，也可以写成 $(2x^2+2)$，还可以写成 $(x^2+1)\cdot 2$。把常数因子全部收进 $c$、让每个因式首一，写法就唯一了。

2.3 五个最小例子 #

例 1：$x^2+1$。 取 $c=1$，$m=0$，$M=1$，$b_1=0$，$c_1=1$。检验条件：$b_1^2=0<4=4c_1$ ✓。分解式就是它自己——它在 $\mathbb{R}$ 上不可约。

例 2：$x^4-1$。 先平方差：

$$x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)$$

这里 $m=2$（$\lambda_1=1$，$\lambda_2=-1$），$M=1$（$x^2+1$），$c=1$。次数核对：$2+2\cdot1=4$ ✓。

例 3：$x^2-2x+2$。 配方：$x^2-2x+2=(x-1)^2+1$，恒正，没有实零点。所以它在 $\mathbb{R}$ 上的分解就是它自己：$c=1$，$m=0$，$M=1$，$b_1=-2$，$c_1=2$，而 $b_1^2=4<8=4c_1$ ✓。

但在 $\mathbb{C}$ 上它裂开了，用求根公式：$x=1\pm\mathrm{i}$，于是

$$x^2-2x+2=\bigl(x-(1+\mathrm{i})\bigr)\bigl(x-(1-\mathrm{i})\bigr)$$

同一个多项式，在两个域上的「底」不一样。这就是全讲的要害。

例 4：$2x^3-2x$。 先提出首项系数：

$$2x^3-2x=2x(x^2-1)=2x(x-1)(x+1)$$

$c=2$，$m=3$，$M=0$。

例 5：$(x^2+1)^2$。 展开是 $x^4+2x^2+1$，恒正、无实零点，但它在 $\mathbb{R}$ 上可约：$x^4+2x^2+1=(x^2+1)(x^2+1)$。这里 $m=0$，$M=2$，两个二次因式相同。这是「重数」在 $\mathbb{R}$ 侧的样子——后面 3.4 节会专门算它。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 非实零点成对出现（实系数的「镜像对称」） #

结论：设 $p$ 是实系数多项式。若 $\lambda\in\mathbb{C}$ 是 $p$ 的零点，则共轭 $\overline{\lambda}$ 也是 $p$ 的零点。

证明：把 $p$ 写成

$$p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m,\qquad a_0,\dots,a_m\in\mathbb{R}$$

设 $p(\lambda)=0$，即

$$a_0+a_1\lambda+\cdots+a_m\lambda^m=0$$

等式两边同时取复共轭。利用 $\overline{u+v}=\overline{u}+\overline{v}$、$\overline{uv}=\overline{u}\,\overline{v}$、$\overline{\lambda^k}=\overline{\lambda}^{\,k}$，以及系数是实数这一条关键事实（$\overline{a_j}=a_j$），得

$$a_0+a_1\overline{\lambda}+\cdots+a_m\overline{\lambda}^{\,m}=0$$

左边正是 $p(\overline{\lambda})$。所以 $p(\overline{\lambda})=0$。$\blacksquare$

手算验证：取 $p(x)=x^2-2x+2$，$\lambda=1+\mathrm{i}$。先算 $\lambda^2=(1+\mathrm{i})^2=2\mathrm{i}$，代入

$$1+2\mathrm{i}-2(1+\mathrm{i})+2=1+2\mathrm{i}-2-2\mathrm{i}+2=0\ ✓$$

再算 $\overline{\lambda}=1-\mathrm{i}$：$(\overline{\lambda})^2=-2\mathrm{i}$，代入

$$1-2\mathrm{i}-2(1-\mathrm{i})+2=1-2\mathrm{i}-2+2\mathrm{i}+2=0\ ✓$$

两个都对。注意两次计算的结果都是实数 $0$——这不是巧合，见 3.4 节的除法论证。

3.2 一对共轭因式合成一个实二次 #

把 3.1 的两个一次因式相乘：

$$(x-\lambda)(x-\overline{\lambda})=x^2-(\lambda+\overline{\lambda})x+\lambda\overline{\lambda}=x^2-2(\operatorname{Re}\lambda)\,x+|\lambda|^2$$

用到了两条基本恒等式 $\lambda+\overline{\lambda}=2\operatorname{Re}\lambda$ 与 $\lambda\overline{\lambda}=|\lambda|^2$。

关键在判别式。记 $b=-2\operatorname{Re}\lambda$，$c=|\lambda|^2$，则

$$b^2-4c=4(\operatorname{Re}\lambda)^2-4|\lambda|^2=4\bigl((\operatorname{Re}\lambda)^2-|\lambda|^2\bigr)=-4(\operatorname{Im}\lambda)^2$$

只要 $\lambda$ 不是实数（$\operatorname{Im}\lambda\ne 0$），右边就严格小于 $0$。于是：

每个非实零点对 $\{\lambda,\overline{\lambda}\}$ 恰好对应一个判别式为负的实二次因式；反过来，每个判别式为负的实二次因式恰好有一对共轭非实零点。

这就是「$\mathbb{R}$ 上第二类不可约因式从哪来」的答案：它们是 $\mathbb{C}$ 上的共轭零点对被打包的结果。

手算：取 $\lambda=2+3\mathrm{i}$。则

$$x^2-2(\operatorname{Re}\lambda)x+|\lambda|^2=x^2-4x+13$$

判别式 $16-52=-36<0$ ✓。代回验证：$x=2+3\mathrm{i}$ 时 $x^2=-5+12\mathrm{i}$，于是

$$(-5+12\mathrm{i})-4(2+3\mathrm{i})+13=-5+12\mathrm{i}-8-12\mathrm{i}+13=0\ ✓$$

3.3 判别式那条界：完整的手算 #

现在补上「$b^2<4c$ 的二次在 $\mathbb{R}$ 上不可约」这一半。核心是配方法：

$$x^2+bx+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4}\right)$$

两个方向分别看。

方向一：设 $b^2<4c$。 此时 $c-\dfrac{b^2}{4}>0$，而平方项 $\ge 0$，所以对一切实数 $x$

$$x^2+bx+c\ge c-\frac{b^2}{4}>0$$

多项式恒正，没有实零点。没有实零点的一次因式不存在（一次因式 $x-\mu$ 的零点就是 $\mu$），所以它不能分解成两个一次之积；而它本身是二次，也不能分解成「一次 × 二次」这种次数更高的组合。故不可约。

方向二：设 $b^2\ge 4c$。 令

$$d=\sqrt{\frac{b^2}{4}-c}\ \ge 0$$

则

$$x^2+bx+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-d^2=\left(x+\frac{b}{2}+d\right)\left(x+\frac{b}{2}-d\right)$$

于是两个实零点为

$$\lambda_{1,2}=-\frac{b}{2}\mp d=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$$

（最后一步用了 $2d=\sqrt{b^2-4c}$。）这正是熟悉的求根公式——求根公式就是配方法的缩写。

手算两组：

• $x^2-3x+2$：$b=-3$，$c=2$，$b^2=9\ge 8=4c$。$d=\sqrt{9/4-2}=\sqrt{1/4}=1/2$，零点 $3/2\pm1/2$，即 $1$ 与 $2$。分解 $=(x-1)(x-2)$ ✓
• $x^2+x+1$：$b=1$，$c=1$，$b^2=1<4=4c$。配方得 $(x+\tfrac12)^2+\tfrac34\ge\tfrac34>0$，不可约 ✓

3.4 为什么「成对」还不够：重数必须相同 #

这是全讲最容易被跳过的一步，也是主定理证明里真正的技术难点。

3.1 只告诉我们：$\lambda$ 是零点 $\Rightarrow$ $\overline{\lambda}$ 也是零点。它没有说两者出现的次数一样。而分解定理要用的是「把 $(x-\lambda)$ 和 $(x-\overline{\lambda})$ 一起除掉」，如果两个因式的重数不同，除掉一对之后剩下的商就未必还是实系数。

先看反例，亲手展开一遍。 取

$$p(x)=(x-\mathrm{i})^2(x+\mathrm{i})$$

这里 $\mathrm{i}$ 出现两次、$-\mathrm{i}$ 出现一次，重数不等。展开：

$$(x-\mathrm{i})^2=x^2-2\mathrm{i}x-1$$

乘以 $(x+\mathrm{i})$：

$$\begin{aligned}(x^2-2\mathrm{i}x-1)(x+\mathrm{i}) &= x^3+\mathrm{i}x^2-2\mathrm{i}x^2-2\mathrm{i}^2x-x-\mathrm{i}\\ &= x^3-\mathrm{i}x^2+2x-x-\mathrm{i}\\ &= x^3-\mathrm{i}x^2+x-\mathrm{i}\end{aligned}$$

系数里有 $-\mathrm{i}$，不是实系数。所以「重数不等」与「实系数」不相容。

再看正例。 $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$，$\mathrm{i}$ 与 $-\mathrm{i}$ 各出现两次，系数全实。

一般论证（思路）：设 $\lambda\notin\mathbb{R}$ 是实系数 $p$ 的零点。由 3.2，$x^2-2(\operatorname{Re}\lambda)x+|\lambda|^2$ 是实系数二次式，它在 $\mathbb{C}$ 上的两个零点恰是 $\lambda$ 与 $\overline{\lambda}$，所以它整除 $p$（在 $\mathbb{C}[x]$ 中；因为 $p$ 同时含这两个一次因式）。设

$$p(x)=\bigl(x^2-2(\operatorname{Re}\lambda)x+|\lambda|^2\bigr)\,q(x)$$

这里 $q\in\mathbb{C}[x]$，次数比 $p$ 低 $2$。要证 $q$ 是实系数。

对每个实数 $x$，分母 $x^2-2(\operatorname{Re}\lambda)x+|\lambda|^2=|\lambda|^2\cdot\ldots>0$（它是那个不可约二次，恒正），所以可以写成

$$q(x)=\frac{p(x)}{x^2-2(\operatorname{Re}\lambda)x+|\lambda|^2}$$

右边分子分母都是实数，故 $q(x)\in\mathbb{R}$ 对一切实 $x$ 成立。

把 $q$ 写成 $q(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-2}x^{n-2}$，$a_j\in\mathbb{C}$。两边取虚部：

$$0=\operatorname{Im}q(x)=(\operatorname{Im}a_0)+(\operatorname{Im}a_1)x+\cdots+(\operatorname{Im}a_{n-2})x^{n-2}$$

这个等式对所有实数 $x$ 成立。左边是一个实系数多项式，它在无穷多个点上取 $0$；由 13 讲的结论（非零多项式的零点个数不超过其次数），它只能是零多项式。于是 $\operatorname{Im}a_0=\cdots=\operatorname{Im}a_{n-2}=0$，即 $q$ 的系数全是实数。

有了「除掉一对共轭因式后商仍实系数」这一条，就可以对 $\deg p$ 归纳：每次消掉一对，次数降 $2$，直到没有非实零点为止，剩下的全是实零点，逐个拆成一次因式。存在性到此证完。

3.5 数次数：奇偶性与实零点的个数 #

分解式两边数次数：

$$\deg p=m+2M$$

因为每个一次因式贡献 $1$ 次，每个二次因式贡献 $2$ 次，$c$ 贡献 $0$ 次。于是立即得到

$$m\equiv\deg p\pmod 2$$

也就是「实零点的个数（计重数）与多项式的次数同奇偶」。两条推论：

• $\deg p$ 为奇数 $\Rightarrow$ $m$ 为奇数 $\Rightarrow$ $m\ge 1$：任何奇次实系数多项式必有实零点。不需要介值定理，纯代数。
• $\deg p$ 为偶数时 $m$ 可以是 $0$：$x^2+1$、$x^4+4$ 就是。

核对：$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$，$m=1$，$M=1$，$1+2\cdot1=3$ ✓；$x^3-x=x(x-1)(x+1)$，$m=3$，$M=0$ ✓。

3.6 唯一性：退回 $\mathbb{C}$ 去证 #

不用重新做一遍苦工。$\mathbb{C}$ 上的分解唯一（15 讲），而 $\mathbb{R}$ 上的每个不可约二次 $x^2+bx+c$（$b^2<4c$）在 $\mathbb{C}$ 上唯一地裂成

$$x^2+bx+c=(x-\lambda)(x-\overline{\lambda}),\qquad \lambda=\frac{-b+\mathrm{i}\sqrt{4c-b^2}}{2}$$

于是：若 $p$ 在 $\mathbb{R}$ 上有两套不同分解，把每个二次都按上式拆成两个一次，就得到 $p$ 在 $\mathbb{C}$ 上的两套不同分解——与 $\mathbb{C}$ 上唯一性矛盾。

3.7 接口：实矩阵的特征多项式 #

$A$ 是实矩阵，则 $\det(A-tI)$ 是实系数多项式——行列式只是元素的加、减、乘，实数对这些运算封闭。

于是由 3.1：实矩阵的非实特征值必成共轭对出现，且（由 3.4 的论证）代数重数相同。

回到开头的旋转矩阵：

$$R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad \det(R-tI)=\begin{vmatrix}-t&-1\\1&-t\end{vmatrix}=t^2+1$$

在 $\mathbb{R}$ 上不可约（$b=0$，$c=1$，$0<4$ ✓）。后果逐条列：

问题	在 $\mathbb{R}$ 上	在 $\mathbb{C}$ 上
有特征值吗	没有	有：$\mathrm{i}$ 与 $-\mathrm{i}$
有特征向量吗	没有（没有实方向被保持）	有（两个复方向）
能对角化吗	不能	能
能上三角化吗	不能	能

最后一行值得说清：上三角矩阵的特征值就是对角线上的那些数，全是「矩阵里直接看得见」的实数。若 $R$ 在实基下能上三角化，它就得有实特征值——与 $t^2+1$ 无实根矛盾。所以「实算子不能总上三角化」的根源，就是「实系数多项式不能总分解成一次因式」。 这就是本讲与 19 讲的接缝。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 图像视角：穿轴、贴轴、悬空 #

把 $y=p(x)$ 画在实平面上，看它与 $x$ 轴的关系，只有三种：

图像与 $x$ 轴	代数含义	对应因式
穿过（两侧异号）	单重实零点	一个一次因式
相切（同侧、不穿）	偶数重实零点	若干个相同的一次因式
完全不碰（整段在上方或下方）	无实零点	只能由不可约二次承担

第三种正是 $\mathbb{R}$ 上「拆不动」的那部分。$y=x^2+1$ 整条曲线悬在 $x$ 轴上方 $1$ 个单位处——它永远碰不到轴，所以永远给不出实零点。

而对 $y=x^2+bx+c$，最低点（顶点）的纵坐标恰好是 $c-\dfrac{b^2}{4}$，与 3.3 节配方法里那一项完全一致：

• 顶点纵坐标 $>0$ $\iff$ $b^2<4c$ $\iff$ 悬空 $\iff$ 不可约；
• 顶点纵坐标 $\le 0$ $\iff$ $b^2\ge 4c$ $\iff$ 碰轴 $\iff$ 可约。

判别式的符号不是记忆负担，它就是「抛物线顶点在 $x$ 轴哪一侧」。

4.2 复平面视角：照镜子 #

把实系数 $p$ 的零点全画在复平面上：实零点是实轴上的点，非实零点散布在上下两个半平面。3.1 说的事情是——

零点集合关于实轴镜像对称。

原因很直观：实系数多项式在计算时「分不清」$z$ 和 $\overline{z}$，因为它的所有系数都不带虚部；所以 $z$ 被映成 $0$，$\overline{z}$ 也必被映成 $0$。

而 3.2 说的是：一对镜子里的零点，打包起来就是一个实二次因式；这个二次因式在实平面上表现为一条不碰轴的抛物线。

4.3 三条口诀 #

1. 「实系数，零点照镜子。」 非实零点必须成对，且重数相同。
2. 「一对镜子里的零点，合成一个拆不动的二次。」 两个复零点 $\leftrightarrow$ 一个实二次因式。
3. 「奇次必有实根。」 因为次数奇 $\Rightarrow$ 实零点个数奇 $\Rightarrow$ 至少一个。

4.4 一张对照表（本讲的核心差异） #

数域	不可约因式	分解是否彻底	算子能否总被上三角化
$\mathbb{C}$	只有一次	是	能（19 讲）
$\mathbb{R}$	一次 + 判别式为负的二次	是（但「底」更粗）	不能，只能分块上三角（19 讲）

读这张表要抓住一点：两边都「彻底」，只是彻底的标准不同。 $\mathbb{R}$ 上的分解定理同样是完整的定理，不是「差一口气的版本」。

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五、常见误区 #

$$x^4+4=\bigl(x^2+2\bigr)^2-(2x)^2=\bigl(x^2-2x+2\bigr)\bigl(x^2+2x+2\bigr)$$

因式 $x^2-2x+2$ 的判别式 $4-8<0$，$x^2+2x+2$ 的判别式也是 $4-8<0$，两个都不可约。
而 $x^4+4\ge 4>0$，一个实零点也没有。无零点但可约。

正确的等价只对二次成立：二次不可约 $\iff$ 无实零点 $\iff$ 判别式为负。三次以上，「无实零点」是「可约」的常见形态（它必分解成若干个不可约二次）。

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六、拓展（可跳过） #

6.1 奇次多项式必有实零点：两种证法 #

由 3.5，$\deg p$ 奇 $\Rightarrow m$ 为奇数 $\Rightarrow m\ge 1$。这是纯代数证法，只用了分解定理。

另一条常见路线是分析学的：奇次多项式在 $x\to+\infty$ 与 $x\to-\infty$ 时符号相反，由介值定理必有零点。两条路都能走，但纯代数这条更「线性代数」——它不依赖连续性。

6.2 实算子的「分块上三角化」 #

实算子在一组适当的基下，矩阵可以写成对角线上一串 $1\times1$ 或 $2\times2$ 块的准上三角形式。$1\times1$ 块对应实特征值，$2\times2$ 块对应判别式为负的二次因式，其典型形状是

$$\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix},\qquad b\ne0$$

这个矩阵的特征多项式是 $(a-t)^2+b^2=t^2-2at+(a^2+b^2)$，判别式 $4a^2-4(a^2+b^2)=-4b^2<0$。它的几何含义是「旋转 $+$ 伸缩」——正是复平面上乘以 $a+b\mathrm{i}$ 的实矩阵写法。

6.3 为什么谱定理是「特权」 #

26 讲会证明：实对称（自伴）算子的特征值全是实数，其特征多项式在 $\mathbb{R}$ 上完全裂成一次因式。

把这个结论和本讲并排放：同样是实矩阵，旋转矩阵的特征多项式拆不动，对称矩阵的却拆得干干净净。所以「实算子能不能对角化」取决于算子本身，不取决于数域。数域只决定「拆不动的因式长什么样」，不决定「你的算子会不会碰到它们」。

6.4 一个反直觉的历史注记：casus irreducibilis #

三次方程 $x^3-3x+1=0$ 有三个实根（图像三次穿过 $x$ 轴）。但用根式写这三个实根时，中间过程必须经过复数——这就是所谓的「不可约情形」。

它提醒一件事：「多项式在 $\mathbb{R}$ 上能分解」和「答案能用实数算出来」是两个不同的问题。前者是结构问题（本讲回答的），后者是计算问题。

6.5 工程视角：一阶与二阶环节 #

实系数传递函数 $H(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)}$ 的分母按本讲分解：

• 一次因式 $s-\lambda$ $\to$ 一阶环节（单调响应）；
• 不可约二次 $s^2+bs+c$（$b^2<4c$）$\to$ 二阶环节（振荡响应，判别式负就意味着有振荡模态）。

所以「分母能不能在 $\mathbb{R}$ 上全拆成一次」这件事，物理上就是「这个系统有没有振荡」。判别式的符号，在这里成了系统性质的判据。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 在 $\mathbb{R}$ 上分解 $x^4-5x^2+4$。

2. 判断 $x^2+3x+5$ 与 $x^2+3x-4$ 在 $\mathbb{R}$ 上是否不可约；对可约的那个写出分解。

3. 在 $\mathbb{R}$ 上分解 $x^4+4$，并验证得到的两个二次因式都不可约。

4. 设 $p$ 是 5 次实系数多项式，已知 $\mathrm{i}$ 与 $1-2\mathrm{i}$ 都是 $p$ 的零点。$p$ 最少有几个实零点？为什么？

5. 用 3.5 节的次数论证证明：任何奇次实系数多项式都有实零点。

6. （稍难）举一个实系数多项式，它在 $\mathbb{R}$ 上没有实零点，但在 $\mathbb{R}$ 上可约。说明为什么这不违反本讲的主定理。

答案（点开）

1. 令 $u=x^2$：$u^2-5u+4=(u-1)(u-4)$，故

$$x^4-5x^2+4=(x^2-1)(x^2-4)=(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$$

四个一次因式，$m=4$，$M=0$，$c=1$，次数 $4+0=4$ ✓。

2. $x^2+3x+5$：$b^2-4c=9-20=-11<0$，不可约（配方 $\left(x+\tfrac32\right)^2+\tfrac{11}{4}>0$）。
$x^2+3x-4$：$b^2-4c=9+16=25>0$，可约，$d=\sqrt{9/4+4}=\sqrt{25/4}=5/2$，
零点 $-\tfrac32\pm\tfrac52$，即 $1$ 与 $-4$，分解 $=(x-1)(x+4)$。
（验算：$(x-1)(x+4)=x^2+3x-4$ ✓）

3. 这是 3.5 节那个例子的推广。注意

$$x^4+4=\left(x^2+2\right)^2-(2x)^2=\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)$$

两个因式的判别式：$4-8=-4<0$（第一个），$4-8=-4<0$（第二个），都不可约。
所以这就是 $x^4+4$ 在 $\mathbb{R}$ 上的完整分解：$c=1$，$m=0$，$M=2$，次数 $0+2\cdot2=4$ ✓。
附带说明：$x^4+4\ge4>0$，确实没有实零点——无零点不代表不可约。

4. 最少 1 个。推理：$\mathrm{i}$ 非实，由 3.1 知 $-\mathrm{i}$ 也是零点，这两个占用 $2$ 次；
$1-2\mathrm{i}$ 非实，由 3.1 知 $1+2\mathrm{i}$ 也是零点，再占 $2$ 次。合计已用 $4$ 次，剩 $5-4=1$ 次。
剩下这 $1$ 次必须是一个一次因式（分解式里剩下的只能是实零点的一次因式，或二次因式——但只剩 $1$ 次，放不下二次），
所以恰有 $1$ 个实零点。（由 3.5 也能直接得：$m\equiv 5\equiv1\pmod 2$，故 $m$ 为奇数且 $\le 5$，结合已占用 $4$ 次得 $m=1$。）

5. 设 $\deg p=n$ 为奇数。由主定理 $p=c\prod_{i=1}^{m}(x-\lambda_i)\prod_{k=1}^{M}(x^2+b_kx+c_k)$，
两边数次数得 $n=m+2M$，即 $m=n-2M$。
因 $n$ 奇、$2M$ 偶，故 $m$ 为奇数，特别地 $m\ne 0$，即 $m\ge 1$。
而每个 $(x-\lambda_i)$ 都是实零点（$\lambda_i\in\mathbb{R}$），所以 $p$ 至少有一个实零点。
注意这里没有用任何极限或连续性，全靠分解式的次数账。

6. 例如 $x^4+4$（第 3 题）或 $(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$。
它不违反主定理：主定理只承诺「分解完之后剩下的因式是不可约的一次或二次」，
并没有承诺「不可约的只有一次」。$x^4+4$ 分解成两个不可约二次，完全符合定理的形式。
被推翻的只是那句错误的逆命题「无实零点 $\Rightarrow$ 不可约」，它只在二次时成立。

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八、复习卡 #

项	内容
$\mathbb{R}$ 上的不可约多项式	只有两类：一次 $x-\lambda$；二次 $x^2+bx+c$ 且 $b^2<4c$
主定理	$p=c(x-\lambda_1)\cdots(x-\lambda_m)(x^2+b_1x+c_1)\cdots(x^2+b_Mx+c_M)$，$b_k^2<4c_k$，不计次序唯一
共轭零点	$p$ 实系数、$p(\lambda)=0$ $\Rightarrow$ $p(\overline{\lambda})=0$；证法：两边取共轭，用 $\overline{a_j}=a_j$
配对合成二次	$(x-\lambda)(x-\overline{\lambda})=x^2-2(\operatorname{Re}\lambda)x+|\lambda|^2$，判别式 $=-4(\operatorname{Im}\lambda)^2<0$
判别式判据	$x^2+bx+c$：$b^2<4c$ 不可约；$b^2\ge4c$ 可约，根 $=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$
配方法	$x^2+bx+c=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2+\left(c-\frac{b^2}{4}\right)$；$c-\frac{b^2}{4}$ = 顶点纵坐标
重数配对	3.1 只保证「都是零点」；「重数相同」要另证（除掉一对后商仍实系数）
次数账	$\deg p=m+2M$，故 $m\equiv\deg p\pmod 2$；奇次必有实零点
唯一性	退回 $\mathbb{C}$：$\mathbb{R}$ 上两套分解 $\Rightarrow$ $\mathbb{C}$ 上两套分解，矛盾
旋转矩阵	$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$，特征多项式 $t^2+1$，无实特征值
后果	实算子不能总上三角化／对角化；只能做 $1\times1$ 或 $2\times2$ 块的分块上三角
两个不等价	「无实零点」$\ne$「不可约」（三次以上）；「在 $\mathbb{R}$ 不可约」$\ne$「在 $\mathbb{C}$ 不可约」

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线来源：《线性代数应该这样学》（第 4 版，吴俊达、何阳 译）第 4 章「多项式在 $\mathbb{R}$ 上的分解」，PDF p121–122（印刷页码 107–108）。相应结论的编号是 4.14（非实零点成对）、4.15（二次分解）、4.16（$\mathbb{R}$ 上分解定理）。本文的主定理陈述与 4.16 一致；「商仍为实系数」的论证取自该处证明，我把它改写成先讲「为什么必须重数相同」再给论证的顺序。
• 代数基本定理的两种表述：一种说「非常值复系数多项式有复零点」，另一种说「可唯一分解为一次因式之积」。两者等价，15 讲用的是第二种；本讲把它当作已知。
• 习题呼应：奇次实多项式必有实零点，是该章习题中的一条。本文 3.5、6.1 用的是纯代数证法（数次数），与用介值定理的证法互补。
• 术语别名：「不可约」=「既约」= irreducible；「实系数分解」有时叫「实因式分解」或「$\mathbb{R}$ 上的标准分解」。「判别式」= discriminant，记作 $\Delta=b^2-4ac$。
• 想深挖：分块上三角与实 Jordan 形，见 19 讲与 33 讲；实对称矩阵特征值全实，见 26 讲谱定理；复系数分解的完整证明，见 15 讲。
• 权威查证：Bronstein《数学手册》中 "algebraic equation / algebraische Gleichung" 条目下有实系数多项式因式分解与判别式的标准表述，可用于核对符号约定。