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11 积与商空间

直积的维数 · 商空间怎么读 · 商映射

积与商空间

这讲讲什么：怎么把几个向量空间拼成一个大空间，怎么把「某个子空间方向上的信息全部抹掉」这件事变成一个有定义的向量空间
前置：03 讲（子空间、和与直和）、07 讲（线性映射）、08 讲（零空间与值域）
一句话：积是「并排放」，商是「选择性失明」——两者是同一枚硬币的两面。

一、为什么需要它

前面十讲研究的都是单个向量空间、以及空间之间的线性映射。这一讲补上两种从旧空间造出新空间的操作。它们看起来抽象，但动机非常具体。

动机一：把几样东西并排放

只要你在同一批对象上同时携带两类不同的数据，就用到积。

一个多项式 5−6x+4x25-6x+4x^2 和一个三维向量 (3,8,7)(3,8,7) 放在一起，写成

(5−6x+4x2, (3,8,7))\bigl(5-6x+4x^2,\ (3,8,7)\bigr)

这是人为的吗？不是。工程里到处是这种结构：一个信号既有时域采样又有频域系数；一个分子既有构型坐标又有能量参数。「并排放」这件事本身应该保持线性结构——两个这样的对相加，应该就是各自分量相加；乘一个标量，应该就是各自分量乘这个标量。

问题随之而来：并排放出来的东西还是向量空间吗？它的维数是多少？能拆回去吗？

动机二：把「UU 方向的信息抹掉」形式化

这个动机更根本。

考虑 R2\mathbb{R}^2 里的投影：只保留 xx 坐标，把 yy 坐标扔掉。这是一个线性映射 P(x,y)=(x,0)P(x,y)=(x,0)。它做的事情说成白话就是：

把所有「yy 方向上的差别」当作不存在。

具体地，点 (3,1)(3,1)、(3,5)(3,5)、(3,−2)(3,-2) 在 PP 眼中没有区别——它们全都映到 xx 轴上的同一个点 (3,0)(3,0)。

现在要问一句很要紧的话：「看成同一个」这件事本身，能不能构成一个向量空间？

这不是文字游戏。你要拿这个「看成同一个」的东西去做运算，就必须回答：

  • 「(3,1)(3,1) 那一类」加上「(1,7)(1,7) 那一类」，等于哪一类？
  • 如果同一类可以用不同的代表元写出来（(3,1)(3,1) 和 (3,5)(3,5) 都代表同一类），那么换一个代表元重新算，答案会不会变？

第二个问题是最危险的地方。如果答案会变，整个定义就是坏的。 数学里给它起了个名字：这类定义必须证明良定义（well-defined）。

「抹掉 UU 方向的信息」这件事的一般版本，就是商空间 V/UV/U：把整个子空间 UU 压成一个点，把每个 vv 变成「vv 加上 UU 的全部平移」。

先记住这两个动机的对比
  • 积是「加法」：把 V1,…,VmV_1,\dots,V_m 摆在一起，得 dim⁡\dim 相加的新空间。
  • 商是「减法」：从 VV 里把 UU 除掉，得维数相减的新空间。

一句话：积往上加，商往下减。 这两个维数公式本讲都会证。

底下还会看到一个额外收获：08 讲的线性映射基本定理可以改写成

V/null⁡T≅range⁡T,V/\operatorname{null}T\cong\operatorname{range}T,

也就是「把 TT 吃掉的部分除掉，剩下的与 TT 的像一模一样」。这正是商空间最有用的一张脸。

二、定义与最小例子

2.1 积（直积）

定义（向量空间的积）：设 V1,…,VmV_1,\dots,V_m 都是同一个数域 F\mathbb{F} 上的向量空间。它们的积定义为

V1×⋯×Vm={(v1,…,vm): v1∈V1, …, vm∈Vm},V_1\times\cdots\times V_m=\{(v_1,\dots,v_m):\ v_1\in V_1,\ \dots,\ v_m\in V_m\},

其上的加法与标量乘法逐坐标定义：

(u1,…,um)+(v1,…,vm)=(u1+v1, …, um+vm),(u_1,\dots,u_m)+(v_1,\dots,v_m)=(u_1+v_1,\ \dots,\ u_m+v_m),

λ(v1,…,vm)=(λv1, …, λvm).\lambda(v_1,\dots,v_m)=(\lambda v_1,\ \dots,\ \lambda v_m).

这个集合的元素是长度为 mm 的组，第 kk 项住在 VkV_k 里。

最小例子。 取 V1=P2(R)V_1=\mathcal{P}_2(\mathbb{R})（次数不超过 22 的实系数多项式），V2=R2V_2=\mathbb{R}^2。那么

(1−2x+x2, (3,−1)),(x, (0,0)),(0, (0,0))(1-2x+x^2,\ (3,-1)),\qquad (x,\ (0,0)),\qquad (0,\ (0,0))

都是 P2(R)×R2\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\times\mathbb{R}^2 的元素。加法是

(1−2x+x2, (3,−1))+(x, (0,0))=(1−x+x2, (3,−1)),(1-2x+x^2,\ (3,-1))+(x,\ (0,0))=(1-x+x^2,\ (3,-1)),

标量乘法是

3(1−2x+x2, (3,−1))=(3−6x+3x2, (9,−3)).3(1-2x+x^2,\ (3,-1))=(3-6x+3x^2,\ (9,-3)).

现在回头逐条看定义里要求了什么。 三件事值得点明：

  1. 各 VkV_k 必须共用同一个数域 F\mathbb{F}。 否则 λ(v1,…,vm)\lambda(v_1,\dots,v_m) 没办法对每个坐标都定义——λ∈F\lambda\in\mathbb{F} 未必能乘 VkV_k 的元素。
  2. 加法与标量乘法都是「逐坐标」的，坐标之间绝不混合。第 11 个坐标的加法只用到第 11 个坐标。
  3. 零元是 (0,…,0)(0,\dots,0)，其中第 kk 个 00 是 VkV_k 自己的零元；(v1,…,vm)(v_1,\dots,v_m) 的逆元是 (−v1,…,−vm)(-v_1,\dots,-v_m)。
积本身是向量空间

若 V1,…,VmV_1,\dots,V_m 都是 F\mathbb{F} 上的向量空间，则 V1×⋯×VmV_1\times\cdots\times V_m 也是。证明只需把 VkV_k 里成立的六条公理逐坐标搬过来：每一条公理在每一层坐标上分别成立，合起来就成立。这一步很常规，但你应该自己动手写一遍——它顺便提醒你，「逐坐标定义」这种构造是安全区。

2.2 R2×R3\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3 不等于 R5\mathbb{R}^5

这是一个必须现在就掰清的细节。看两边的元素长什么样：

R2×R3 的元素: ((x1,x2), (x3,x4,x5)),R5 的元素: (x1,x2,x3,x4,x5).\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3\ \text{的元素}:\ \bigl((x_1,x_2),\ (x_3,x_4,x_5)\bigr),\qquad \mathbb{R}^5\ \text{的元素}:\ (x_1,x_2,x_3,x_4,x_5).

第一个是长度为 22 的组（它的第一项本身就是长度为 22 的组），第二个是长度为 55 的组。它们不是同一类对象，所以

R2×R3≠R5.\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3\neq\mathbb{R}^5.

但有一个极其自然的对应：

((x1,x2), (x3,x4,x5))⟼(x1,x2,x3,x4,x5).\bigl((x_1,x_2),\ (x_3,x_4,x_5)\bigr)\longmapsto(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5).

这个映射是线性、单射、满射的，因此是同构（10 讲）。所以两个空间同构但不相等。

「改写即可」

日常做事时把 R2×R3\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3 直接当 R5\mathbb{R}^5 用，一点问题都没有——它们只差一层括号。
但论证时必须守住区别：说「同构」永远安全，说「相等」严格来讲是错的。
这就是「通俗说法」与「严格说法」的分界线。

2.3 商空间

先要一个记号。

记号（v+Uv+U）：设 v∈Vv\in V，U⊆VU\subseteq V。定义

v+U={v+u: u∈U}.v+U=\{v+u:\ u\in U\}.

最小例子。 取 V=R2V=\mathbb{R}^2，U={(x,2x):x∈R}U=\{(x,2x):x\in\mathbb{R}\}，即过原点、斜率为 22 的直线。取 v=(17,20)v=(17,20)，则

(17,20)+U={(17,20)+(x,2x):x∈R}={(17+x, 20+2x):x∈R}.(17,20)+U=\{(17,20)+(x,2x):x\in\mathbb{R}\}=\{(17+x,\ 20+2x):x\in\mathbb{R}\}.

令 t=17+xt=17+x，这可以写成 {(t, 2t−14)}\{(t,\ 2t-14)\}——它是一条斜率为 22、过点 (17,20)(17,20) 的直线。

注意 (10,20)∈U(10,20)\in U（因为 20=2⋅1020=2\cdot 10）。于是

(17,20)=(7,0)+(10,20),(17,20)=(7,0)+(10,20),

所以 (17,20)+U(17,20)+U 就是把 UU 向右平移 77 个单位。这就是为什么 v+Uv+U 被称为 UU 的一个平移。

定义（商空间）：设 UU 是 VV 的子空间。VV 的商空间 V/UV/U 是 UU 的所有平移组成的集合：

V/U={v+U: v∈V}.V/U=\{v+U:\ v\in V\}.

在刚才的例子中，R2/U\mathbb{R}^2/U 就是 R2\mathbb{R}^2 中所有斜率为 22 的直线组成的集合。类似地：

UU V/UV/U 是什么
R3\mathbb{R}^3 中过原点的直线 所有与它平行的直线
R3\mathbb{R}^3 中过原点的平面 所有与它平行的平面

注意 V/UV/U 的元素本身是集合（一条直线、一个平面），不是点。这一点初学时极容易滑过去。

三、几个必须自己算一遍的结论

3.1 平移要么相等要么不相交

要让 V/UV/U 变成向量空间，危险只有一个：同一个平移有很多种写法。(17,20)+U(17,20)+U 也可以用 (10,20)+U(10,20)+U 来写吗？如果能，运算就必须对这种写法替换免疫。

下面这条结论一次性解决它。

结论（平移的相等判据）：设 UU 是 VV 的子空间，v,w∈Vv,w\in V。则

v−w∈U⟺v+U=w+U⟺(v+U)∩(w+U)≠∅.v-w\in U\quad\Longleftrightarrow\quad v+U=w+U\quad\Longleftrightarrow\quad (v+U)\cap(w+U)\neq\varnothing.

证明。

先证 v−w∈U⇒v+U=w+Uv-w\in U\Rightarrow v+U=w+U。任取 u∈Uu\in U，则

v+u=w+((v−w)+u).v+u=w+\bigl((v-w)+u\bigr).

因为 UU 是子空间，对加法封闭，所以 (v−w)+u∈U(v-w)+u\in U。于是 v+u∈w+Uv+u\in w+U，即 v+U⊆w+Uv+U\subseteq w+U。把 vv 与 ww 互换，同样得到 w+U⊆v+Uw+U\subseteq v+U。故 v+U=w+Uv+U=w+U。

第二步是显然的：v+U=w+U⇒(v+U)∩(w+U)≠∅v+U=w+U\Rightarrow(v+U)\cap(w+U)\neq\varnothing（它们相等且非空，因为 v∈v+Uv\in v+U）。

再证 (v+U)∩(w+U)≠∅⇒v−w∈U(v+U)\cap(w+U)\neq\varnothing\Rightarrow v-w\in U。设有交，则存在 u1,u2∈Uu_1,u_2\in U 使 v+u1=w+u2v+u_1=w+u_2，于是

v−w=u2−u1∈Uv-w=u_2-u_1\in U

（子空间对减法封闭）。■\blacksquare

这条结论的两种读法
  • 几何读法：两条平行的平移要么完全重合，要么毫无交集，永远不「部分重叠」。
  • 代数读法：v+U=w+Uv+U=w+U 完全由「v−wv-w 落不落在 UU 里」决定。这正是「把 UU 方向的信息抹掉」的精确含义——vv 与 ww 被看成同一类，当且仅当它们只差一个 UU 里的向量。

3.2 商空间上的运算，以及为什么它是良定义的

定义（V/UV/U 上的运算）：对一切 v,w∈Vv,w\in V、λ∈F\lambda\in\mathbb{F}，

(v+U)+(w+U)=(v+w)+U,λ(v+U)=(λv)+U.(v+U)+(w+U)=(v+w)+U,\qquad \lambda(v+U)=(\lambda v)+U.

左边的运算由代表元写出，所以必须验证：换代表元不改变结果。

加法的良定义性。 设 v1+U=v2+Uv_1+U=v_2+U 且 w1+U=w2+Uw_1+U=w_2+U，要证

(v1+w1)+U=(v2+w2)+U.(v_1+w_1)+U=(v_2+w_2)+U.

由 3.1，v1−v2∈Uv_1-v_2\in U 且 w1−w2∈Uw_1-w_2\in U。因为 UU 对加法封闭，

(v1−v2)+(w1−w2)=(v1+w1)−(v2+w2)∈U.(v_1-v_2)+(w_1-w_2)=(v_1+w_1)-(v_2+w_2)\in U.

再由 3.1 即得 (v1+w1)+U=(v2+w2)+U(v_1+w_1)+U=(v_2+w_2)+U。

标量乘法的良定义性。 设 v1+U=v2+Uv_1+U=v_2+U，即 v1−v2∈Uv_1-v_2\in U。因为 UU 对标量乘法封闭，λ(v1−v2)=λv1−λv2∈U\lambda(v_1-v_2)=\lambda v_1-\lambda v_2\in U，再由 3.1 得 (λv1)+U=(λv2)+U(\lambda v_1)+U=(\lambda v_2)+U。

两个运算都良定义。而六条公理现在是免费的：每一条都在 VV 里成立，而 V/UV/U 的运算定义就是「先提升到代表元、算完再落回来」，所以等式逐条继承。于是：

结论：带上述运算的 V/UV/U 是 F\mathbb{F} 上的向量空间。其零元是

0+U=U,0+U=U,

而 v+Uv+U 的加法逆元是 (−v)+U(-v)+U。

「零元是 UU」这句话要读三遍

商空间的零元是一个子空间。这不是排版错误。
「零元」的含义是「加谁都不变的那个元素」，而在 V/UV/U 里，那个元素就是 UU 自己：

(v+U)+U=(v+0)+U=v+U.(v+U)+U=(v+0)+U=v+U.

顺便：UU 最自然的身份本是个集合，现在它同时是商空间里的一个点。同一对象两种身份，是这讲最主要的心智跳跃。

3.3 商映射 π\pi

定义（商映射）：设 UU 是 VV 的子空间。商映射是

π:V→V/U,π(v)=v+U.\pi:V\to V/U,\qquad \pi(v)=v+U.

先验证 π\pi 是线性的。 对 v,w∈Vv,w\in V 与 λ∈F\lambda\in\mathbb{F}：

π(v+w)=(v+w)+U=(v+U)+(w+U)=π(v)+π(w),\pi(v+w)=(v+w)+U=(v+U)+(w+U)=\pi(v)+\pi(w),

π(λv)=(λv)+U=λ(v+U)=λπ(v).\pi(\lambda v)=(\lambda v)+U=\lambda(v+U)=\lambda\pi(v).

两个等号用的正是 3.2 里定义的运算。所以 π\pi 确实是线性映射。它显然满射（V/UV/U 的每个元素按定义都形如 v+Uv+U）。

π\pi 的零空间是什么？ 由 3.1，

π(v)=0+U ⟺ v+U=U ⟺ v−0=v∈U.\pi(v)=0+U\ \Longleftrightarrow\ v+U=U\ \Longleftrightarrow\ v-0=v\in U.

所以

null⁡π=U,range⁡π=V/U.\operatorname{null}\pi=U,\qquad \operatorname{range}\pi=V/U.

这两个等式是本讲的技术核心

记住它们，下面三个结论都是一行的事：
维数公式用线性映射基本定理；TT 诱导的商映射用它加 TT 的零空间。
商映射就是把 UU 压成零元的那个映射——「抹掉 UU」这件事，从此有了一个具体的线性映射来执行。

3.4 维数公式

结论（商空间的维数）：设 VV 有限维，UU 是 VV 的子空间。则

dim⁡V/U=dim⁡V−dim⁡U.\dim V/U=\dim V-\dim U.

证明。 对 π:V→V/U\pi:V\to V/U 用 08 讲的线性映射基本定理 dim⁡V=dim⁡null⁡π+dim⁡range⁡π\dim V=\dim\operatorname{null}\pi+\dim\operatorname{range}\pi。代入 3.3 的两个等式：

dim⁡V=dim⁡U+dim⁡V/U,\dim V=\dim U+\dim V/U,

移项即得。■\blacksquare

手算一例。 V=R3V=\mathbb{R}^3，U={(x,2x,0):x∈R}U=\{(x,2x,0):x\in\mathbb{R}\}（过原点的一条直线）。则

dim⁡V/U=3−1=2.\dim V/U=3-1=2.

这不是形式化的结论，可以直接感知：V/UV/U 中的元素是所有与 UU 平行的直线，而这些直线需要两个参数才能指定（比如「方向」固定了，剩下的是往哪偏、偏多少）。

维数公式没错，但别念错

正确的是 dim⁡V=dim⁡U+dim⁡(V/U)\dim V=\dim U+\dim(V/U)。商空间的维数是减出来的，这一点和「子空间维数 ≤\le 全空间维数」是一致的。
常见的错念法是 dim⁡(V/U)=dim⁡U\dim(V/U)=\dim U 或 dim⁡(V/U)=dim⁡V+dim⁡U\dim(V/U)=\dim V+\dim U，都是把「除」当成了「乘」。

3.5 TT 诱导的商映射

现在把动机二兑现。设 T:V→WT:V\to W 是线性映射。TT 会把 null⁡T\operatorname{null}T 里的向量全部吃成 00，于是同一个 null⁡T\operatorname{null}T 的平移里的向量，TT 值完全相同。那么可以在商空间上重新定义 TT：

定义（诱导映射 T~\tilde T）：设 T:V→WT:V\to W 线性。定义

T~:V/null⁡T→W,T~(v+null⁡T)=Tv.\tilde T:V/\operatorname{null}T\to W,\qquad \tilde T(v+\operatorname{null}T)=Tv.

良定义性。 设 u+null⁡T=v+null⁡Tu+\operatorname{null}T=v+\operatorname{null}T。由 3.1，u−v∈null⁡Tu-v\in\operatorname{null}T，即 T(u−v)=0T(u-v)=0，也就是 Tu=TvTu=Tv。所以换代表元不改变 T~\tilde T 的值。

T~\tilde T 是线性的（常规验证，你应该写一遍）：

T~((u+null⁡T)+(v+null⁡T))=T~((u+v)+null⁡T)=T(u+v)=Tu+Tv.\tilde T\bigl((u+\operatorname{null}T)+(v+\operatorname{null}T)\bigr)=\tilde T\bigl((u+v)+\operatorname{null}T\bigr)=T(u+v)=Tu+Tv.

三条性质。

(a) T~∘π=T\tilde T\circ\pi=T，其中 π:V→V/null⁡T\pi:V\to V/\operatorname{null}T。 取 v∈Vv\in V：

(T~∘π)(v)=T~(π(v))=T~(v+null⁡T)=Tv.(\tilde T\circ\pi)(v)=\tilde T(\pi(v))=\tilde T(v+\operatorname{null}T)=Tv.

也就是说，TT 被分解成两步：先「抹掉零空间」，再「单射地作用」。

(b) T~\tilde T 单射。 设 T~(v+null⁡T)=0\tilde T(v+\operatorname{null}T)=0。则 Tv=0Tv=0，即 v∈null⁡Tv\in\operatorname{null}T。由 3.1，v+null⁡T=0+null⁡Tv+\operatorname{null}T=0+\operatorname{null}T。所以

null⁡T~={0+null⁡T},\operatorname{null}\tilde T=\{0+\operatorname{null}T\},

零空间是商空间的零元，故 T~\tilde T 单射。

(c) range⁡T~=range⁡T\operatorname{range}\tilde T=\operatorname{range}T。 由定义，T~\tilde T 能取到的值恰好是 TT 的全部取值。

(d) V/null⁡T≅range⁡TV/\operatorname{null}T\cong\operatorname{range}T。 由 (b)(c)，把 T~\tilde T 的到达空间限制为 range⁡T\operatorname{range}T 之后，它既单射又满射，因此是同构。

这一条就是「第一同构定理」

它和 08 讲的线性映射基本定理是同一件事的两种说法：
基本定理说的是维数关系 dim⁡V=dim⁡null⁡T+dim⁡range⁡T\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T；
这里说的是空间本身同构。
把 (d) 取维数，并代入 3.4 的 dim⁡(V/null⁡T)=dim⁡V−dim⁡null⁡T\dim\bigl(V/\operatorname{null}T\bigr)=\dim V-\dim\operatorname{null}T，立刻回到基本定理。
商空间给基本定理提供了一个「为什么」：不是数字凑巧相等，而是两个空间真的长得一样。

3.6 积的维数、积与直和

结论（积的维数）：设 V1,…,VmV_1,\dots,V_m 都是有限维向量空间。则 V1×⋯×VmV_1\times\cdots\times V_m 有限维，且

dim⁡(V1×⋯×Vm)=dim⁡V1+⋯+dim⁡Vm.\dim(V_1\times\cdots\times V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m.

证明（构造出基即可）。 对每个 kk，取 VkV_k 的一个基 vk,1,…,vk,nkv_{k,1},\dots,v_{k,n_k}（其中 nk=dim⁡Vkn_k=\dim V_k）。

对每个 kk 与每个 j=1,…,nkj=1,\dots,n_k，在 V1×⋯×VmV_1\times\cdots\times V_m 中构造这样一个元素：第 kk 个坐标等于 vk,jv_{k,j}，其余坐标全取 00。记它为 Ek,jE_{k,j}。

于是 Ek,jE_{k,j} 形如

Ek,j=(0,…,0, vk,j第 k 项, 0,…,0).E_{k,j}=(0,\dots,0,\ \underset{\text{第 }k\text{ 项}}{v_{k,j}},\ 0,\dots,0).

它们线性无关。 设 ∑k,jak,jEk,j=(0,…,0)\sum_{k,j}a_{k,j}E_{k,j}=(0,\dots,0)。左边第 kk 个坐标是 ∑jak,jvk,j\sum_j a_{k,j}v_{k,j}，它必须是 VkV_k 的零元。而 vk,1,…,vk,nkv_{k,1},\dots,v_{k,n_k} 线性无关，故所有 ak,j=0a_{k,j}=0。

它们张成整个积。 任取 (w1,…,wm)(w_1,\dots,w_m)。每个 wk∈Vkw_k\in V_k 可写成 wk=∑jak,jvk,jw_k=\sum_j a_{k,j}v_{k,j}。于是

(w1,…,wm)=∑k,jak,jEk,j.(w_1,\dots,w_m)=\sum_{k,j}a_{k,j}E_{k,j}.

所以这组是一个基，长度为 ∑knk=dim⁡V1+⋯+dim⁡Vm\sum_k n_k=\dim V_1+\cdots+\dim V_m。■\blacksquare

手算一例。 dim⁡(P2(R)×R2)=3+2=5\dim\bigl(\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\times\mathbb{R}^2\bigr)=3+2=5。按证明的构造，一组具体的基是

(1,(0,0)), (x,(0,0)), (x2,(0,0)), (0,(1,0)), (0,(0,1)).\bigl(1,(0,0)\bigr),\ \bigl(x,(0,0)\bigr),\ \bigl(x^2,(0,0)\bigr),\ \bigl(0,(1,0)\bigr),\ \bigl(0,(0,1)\bigr).

现在把积和直和接上。

结论（积与直和）：设 V1,…,VmV_1,\dots,V_m 都是 VV 的子空间，定义线性映射

Γ:V1×⋯×Vm→V1+⋯+Vm,Γ(v1,…,vm)=v1+⋯+vm.\Gamma:V_1\times\cdots\times V_m\to V_1+\cdots+V_m,\qquad \Gamma(v_1,\dots,v_m)=v_1+\cdots+v_m.

则 V1+⋯+VmV_1+\cdots+V_m 是直和，当且仅当 Γ\Gamma 是单射。

为什么 Γ\Gamma 满射？ 由子空间之和的定义，V1+⋯+VmV_1+\cdots+V_m 的每个元素本来就可以写成 v1+⋯+vmv_1+\cdots+v_m，所以 Γ\Gamma 是满射。（于是「Γ\Gamma 单射」也可以等价地改成「Γ\Gamma 可逆」。）

证明思路。 由 07 讲，Γ\Gamma 单射当且仅当「以 v1+⋯+vm=0v_1+\cdots+v_m=0（各 vk∈Vkv_k\in V_k）表达 00 的唯一方式是各 vkv_k 都取 00」。而 03 讲的直和判据说的正是同一句话：00 的表示唯一。两者对上了。■\blacksquare

把这条与积的维数公式接起来，就得到 03 讲直和判据的维数版本：

推论：设 VV 有限维，V1,…,VmV_1,\dots,V_m 是 VV 的子空间。则 V1+⋯+VmV_1+\cdots+V_m 是直和，当且仅当

dim⁡(V1+⋯+Vm)=dim⁡V1+⋯+dim⁡Vm.\dim(V_1+\cdots+V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m.

因为 Γ\Gamma 满射，由线性映射基本定理，Γ\Gamma 单射当且仅当

dim⁡(V1+⋯+Vm)=dim⁡(V1×⋯×Vm)=dim⁡V1+⋯+dim⁡Vm.\dim(V_1+\cdots+V_m)=\dim(V_1\times\cdots\times V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m.

「积」与「直和」的关系，一句话

积 V1×⋯×VmV_1\times\cdots\times V_m 是先把各分量摆好、彼此独立；和 V1+⋯+VmV_1+\cdots+V_m 是把各分量扔进同一个大空间。
Γ\Gamma 就是把前者送到后者的自然映射。直和的意思就是：这个自然映射没有丢失任何信息——每加一个分量，维数就实打实地加一份。

四、几何直观

4.1 商空间：把一条直线压成一个点

回到 V=R2V=\mathbb{R}^2、U={(x,2x)}U=\{(x,2x)\}。

R2/U={所有斜率为 2 的直线}.\mathbb{R}^2/U=\{\text{所有斜率为 }2\text{ 的直线}\}.

把一个整条直线看成一个点。这件事可以这样想：

  1. 每个 v∈R2v\in\mathbb{R}^2 都恰好落在一条斜率为 22 的直线上；
  2. 同一条直线上的点，被商映射 π\pi 映到 V/UV/U 的同一个点；
  3. 于是 π\pi 把整张平面「沿着 UU 的方向卷起来」，把每条平行线压成一个点。

结果是：π\pi 的纤维（同一个像的全部原像）恰好就是 UU 的那些平移；而 UU 本身的全部信息被压成了商空间的那个零元。

一个特别好用的类比

商空间 V/UV/U 像一个「视差为零的方向上的观察站」：你站在与 UU 垂直的方向上往下看，UU 方向上的所有差别你都看不见。
V/UV/U 记录的是垂直于 UU 的那部分信息。

4.2 商映射和投影差在哪

投影与商映射经常被混淆，因为「抹掉信息」的说法两者都用。但它们的输出类型完全不同：

投影 P:R2→R2P:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2，P(x,y)=(x,0)P(x,y)=(x,0) 商映射 π:R2→R2/U\pi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2/U
输出是什么 平面上的一个点（在 xx 轴上） 一条直线（UU 的一个平移）
被抹掉的 yy 坐标的数值 UU 方向的全部差别（整条直线压成一点）
值域 xx 轴，是 R2\mathbb{R}^2 的子空间 V/UV/U，不是 VV 的子空间

最后一行是关键：投影留在原空间里，商映射跳出原空间。 商空间 V/UV/U 一般不是 VV 的子空间，不能拿 VV 的元素和 V/UV/U 的元素直接相加。

在 23 讲你会看到「正交投影」这个具体工具，它和商映射是同一件事的两种实现：当 UU 是一条过原点的直线时，把 vv 沿垂直于 UU 的方向投影，落点唯一地标出了「vv 属于哪个平移」——这个落点就是 π(v)\pi(v) 的一个坐标。所以那句几何直觉是有硬兜底的：

与 UU 垂直的那部分信息，V/UV/U 一点不少地保留；沿 UU 的信息，一点不留地抹掉。

4.3 积：并排两个坐标系

R2×R3\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3 的直观极其简单：一个二维坐标系和一个三维坐标系并排放着。加法在各自的坐标系里分别做，互不干扰。维数 2+3=52+3=5，与 R5\mathbb{R}^5 同构，所以把它当成 R5\mathbb{R}^5 用是安全的——只是它的元素外面多一层括号。

五、常见误区

误区 1：把 V/UV/U 的元素当成 VV 的元素

v+Uv+U 是一个集合（UU 的一个平移），不是向量 vv。在刚才的例子中它是一条直线。
后果：v+Uv+U 与 ww 之间没有加法定义——前者住在 V/UV/U，后者住在 VV。
能加的是「v+Uv+U 与 w+Uw+U」，不是「v+Uv+U 与 ww」。

误区 2：忘了验证良定义，或者验证得不对

商空间上定义运算时，代表元的选择是任意的。必须证明换代表元结果不变。
具体到加法，要证的是

v1+U=v2+U, w1+U=w2+U ⟹ (v1+w1)+U=(v2+w2)+U.v_1+U=v_2+U,\ w_1+U=w_2+U\ \Longrightarrow\ (v_1+w_1)+U=(v_2+w_2)+U.

常见错法：只取 v1=v2, w1=w2v_1=v_2,\ w_1=w_2 的平凡情形；或者把「v1−v2∈Uv_1-v_2\in U」误写成「v1−v2=0v_1-v_2=0」。
只要 U≠{0}U\neq\{0\}，就有 v1≠v2v_1\neq v_2 却 v1+U=v2+Uv_1+U=v_2+U 的情形——这恰恰是要处理的情况。

误区 3：以为 V/UV/U 是 VV 的子空间

不是。V/UV/U 的元素是子集，运算是在「平移的集合」上重新定义的。
唯一的例外是 U=VU=V：此时 V/U={0+U}V/U=\{0+U\} 只含一个元素，是一维零空间。
想拿子空间来替代商空间时，你需要的是「补子空间」WW 使 V=U⊕WV=U\oplus W——那是 VV 的子空间，与 V/UV/U 同构但不同。

误区 4：商空间「小于」原空间，所以随便除

公式 dim⁡V/U=dim⁡V−dim⁡U\dim V/U=\dim V-\dim U 是在 VV 有限维的前提下说的。
无限维情形不成立：取 F∞\mathbb{F}^\infty（全体序列）与它的子空间 UU（只有有限多个非零项的序列），可以证明 F∞/U\mathbb{F}^\infty/U 是无限维的，尽管 UU 本身也是无限维的。维数减法在这里没有意义。
一般情形下正确的说法只有 dim⁡V=dim⁡U+dim⁡(V/U)\dim V=\dim U+\dim(V/U)（在有限维时成立）。

误区 5：把「抹掉 UU」和「把 UU 映成 00」混为一谈

商映射 π\pi 确实满足 π(u)=0+U\pi(u)=0+U 对一切 u∈Uu\in U 成立，但这不等于「把 UU 变成零向量」。
商空间的零元是 UU 这个平移本身，它是 V/UV/U 的一个点，不是 VV 的零向量。
再说一遍：V/UV/U 与 VV 不在同一个空间里，「零元」是各算各的。

六、拓展（可跳过）

6.1 「积」与「和」的哲学：硬件与软件

把这一讲的两个概念并排看，会浮现出一个漂亮的对称：

空间层面的构造 映到的对象 维数
积 V1×⋯×VmV_1\times\cdots\times V_m 无条件可以造 大空间，含全部「并排」的组 相加
和 V1+⋯+VmV_1+\cdots+V_m 需要各 VkV_k 同住一个 VV VV 的子空间 一般小于相加；直和时才等于相加

也就是说：积是「摆好」，和是「合并」，而 Γ\Gamma 把它们连起来。Γ\Gamma 单射就是「合并过程中没有重叠」。这句话是 03 讲直和判据的重新表述，但它现在有了一个映射来做见证。

6.2 一个惯例：R2×R3\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3 就写 R5\mathbb{R}^5

数学文献里几乎从不区分二者。这不是马虎，而是「同构的自然性」足够强——那个丢括号的映射完全不依赖任何选择（不需要选基、不需要选坐标）。凡是这种「不需要选择」的同构，数学上都允许直接等同看待。

反过来，当同构依赖选择时就必须小心。比如「每个子空间都有补子空间」（03 讲）这个结论：补子空间不唯一，所以不能用它把 VV 直接等同于 U×(补)U\times(\text{补})——不同选择给出不同等同方式。

6.3 商空间和线性方程组

08 讲过，T:V→WT:V\to W 的零空间就是齐次方程 Tx=0Tx=0 的解空间。那么商空间 V/null⁡TV/\operatorname{null}T 就是「把同一个解类看成一个点」的空间。于是：

非齐次方程 Tx=cTx=c 的解集，要么是空集，要么是 null⁡T\operatorname{null}T 的一个平移——也就是说，它在 V/null⁡TV/\operatorname{null}T 里只对应一个点。

这正是「解集是某个子空间的平移」这句话的来源，也是线性方程组解结构的空间说法。

七、自测

1. 设 U={(x,2x)∈R2}U=\{(x,2x)\in\mathbb{R}^2\}。判断下列等式是否成立，并说明理由：
(a) (3,6)+U=(0,0)+U(3,6)+U=(0,0)+U；(b) (3,7)+U=(1,3)+U(3,7)+U=(1,3)+U。

2. 设 V=R4V=\mathbb{R}^4，U=span⁡{(1,1,0,0),(0,0,1,1)}U=\operatorname{span}\{(1,1,0,0),(0,0,1,1)\}。求 dim⁡V/U\dim V/U，并说出 V/UV/U 中的一个非零元素长什么样。

3. 设 T:R3→R2T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 定义为 T(x,y,z)=(2x−y, 4x−2y)T(x,y,z)=(2x-y,\ 4x-2y)。求 null⁡T\operatorname{null}T、range⁡T\operatorname{range}T，并验证 V/null⁡T≅range⁡TV/\operatorname{null}T\cong\operatorname{range}T。

4. 设 dim⁡V=6\dim V=6、UU 是 VV 的子空间且 dim⁡U=0\dim U=0。V/UV/U 等于 VV 吗？说明理由。

5. 设 V1=span⁡{(1,0)}V_1=\operatorname{span}\{(1,0)\}、V2=span⁡{(0,1)}V_2=\operatorname{span}\{(0,1)\} 都是 R2\mathbb{R}^2 的子空间。写出 Γ:V1×V2→R2\Gamma:V_1\times V_2\to\mathbb{R}^2 的表达式，并验证它是同构。

答案（点开）

1. UU 的判据是「v−w∈Uv-w\in U」。
(a) (3,6)−(0,0)=(3,6)(3,6)-(0,0)=(3,6)，而 6=2⋅36=2\cdot 3，所以 (3,6)∈U(3,6)\in U，成立（(3,6)(3,6) 本来就落在 UU 上，两个写法是同一个平移）。
(b) (3,7)−(1,3)=(2,4)(3,7)-(1,3)=(2,4)，而 4≠2⋅2=44\neq 2\cdot 2=4 —— 等等，4=2⋅24=2\cdot 2 确实成立，所以 (2,4)∈U(2,4)\in U，成立。
检查一遍：(1,3)∈(3,7)+U(1,3)\in(3,7)+U 吗？(3,7)+(−2,−4)=(1,3)(3,7)+(-2,-4)=(1,3) ✓，而 (−2,−4)∈U(-2,-4)\in U ✓。

2. dim⁡V/U=4−2=2\dim V/U=4-2=2。V/UV/U 的元素是 v+Uv+U 这种平移。取 v=(1,0,0,0)v=(1,0,0,0)，则 (1,0,0,0)+U(1,0,0,0)+U 是非零元素：若它等于 0+U0+U，则 (1,0,0,0)∈U(1,0,0,0)\in U，但 UU 中的向量形如 (a,a,b,b)(a,a,b,b)，第一、二坐标必须相等，1≠01\neq 0，矛盾。

3. 第一坐标：2x−y=02x-y=0 即 y=2xy=2x，于是

null⁡T={(x,2x,z):x,z∈R},dim⁡null⁡T=2.\operatorname{null}T=\{(x,2x,z):x,z\in\mathbb{R}\},\qquad \dim\operatorname{null}T=2.

值域由 (2x−y)(1,2)(2x-y)(1,2) 生成（第二坐标恒为第一坐标的 22 倍），所以

range⁡T={(a,2a):a∈R},dim⁡range⁡T=1.\operatorname{range}T=\{(a,2a):a\in\mathbb{R}\},\qquad \dim\operatorname{range}T=1.

验算基本定理：3=2+13=2+1 ✓。
商空间维数 dim⁡(R3/null⁡T)=3−2=1\dim\bigl(\mathbb{R}^3/\operatorname{null}T\bigr)=3-2=1，与 range⁡T\operatorname{range}T 同维数；又由本讲 3.5(d)，二者同构 ✓。

4. 不「等于」，但同构。U={0}U=\{0\} 时每个平移 v+{0}={v}v+\{0\}=\{v\} 是单点集，故 V/{0}={{v}:v∈V}V/\{0\}=\{\{v\}:v\in V\}，它的元素是单点集而不是向量。映射 v↦{v}v\mapsto\{v\} 是 V→V/{0}V\to V/\{0\} 的同构。所以答案应当说：V/U≅VV/U\cong V，但 V/U≠VV/U\neq V。

5. Γ(a(1,0), b(0,1))=Γ((a,0),(0,b))=(a,0)+(0,b)=(a,b)\Gamma\bigl(a(1,0),\ b(0,1)\bigr)=\Gamma\bigl((a,0),(0,b)\bigr)=(a,0)+(0,b)=(a,b)。
单射：若 (a,b)=(0,0)(a,b)=(0,0) 则 a=b=0a=b=0，即 (a,0)=(0,0)(a,0)=(0,0)、(0,b)=(0,0)(0,b)=(0,0)，零元唯一 ✓。
满射：任意 (a,b)∈R2(a,b)\in\mathbb{R}^2 都是 Γ((a,0),(0,b))\Gamma\bigl((a,0),(0,b)\bigr) ✓。
线性：Γ((a,0),(0,b))+Γ((a′,0),(0,b′))=(a+a′,b+b′)=Γ((a+a′,0),(0,b+b′))\Gamma\bigl((a,0),(0,b)\bigr)+\Gamma\bigl((a',0),(0,b')\bigr)=(a+a',b+b')=\Gamma\bigl((a+a',0),(0,b+b')\bigr) ✓。
所以 Γ\Gamma 是同构，V1+V2=V1⊕V2V_1+V_2=V_1\oplus V_2 ✓。

八、复习卡

项 内容
积 V1×⋯×Vm={(v1,…,vm):vk∈Vk}V_1\times\cdots\times V_m=\{(v_1,\dots,v_m):v_k\in V_k\}，各 VkV_k 须同域
积上的运算 逐坐标加法、逐坐标标量乘；零元 (0,…,0)(0,\dots,0)，逆元 (−v1,…,−vm)(-v_1,\dots,-v_m)
积是向量空间 六条公理逐坐标继承
积≠拼接 R2×R3≠R5\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3\neq\mathbb{R}^5，但二者同构（去掉一层括号）
积的维数 dim⁡(V1×⋯×Vm)=dim⁡V1+⋯+dim⁡Vm\dim(V_1\times\cdots\times V_m)=\dim V_1+\cdots+\dim V_m（构造「只有一个坐标非零」的基）
积与直和 Γ(v1,…,vm)=v1+⋯+vm\Gamma(v_1,\dots,v_m)=v_1+\cdots+v_m 满射；和为直和   ⟺  Γ\iff\Gamma 单射
直和的维数判据 V1+⋯+VmV_1+\cdots+V_m 直和   ⟺  dim⁡(V1+⋯+Vm)=∑dim⁡Vk\iff\dim(V_1+\cdots+V_m)=\sum\dim V_k
v+Uv+U ={v+u:u∈U}=\{v+u:u\in U\}，叫 UU 的一个平移
平移相等判据 v−w∈U  ⟺  v+U=w+U  ⟺  (v+U)∩(w+U)≠∅v-w\in U\iff v+U=w+U\iff(v+U)\cap(w+U)\neq\varnothing（要么相等，要么不交）
商空间 V/U={v+U:v∈V}V/U=\{v+U:v\in V\}，元素是平移（集合），不是向量
V/UV/U 上的运算 (v+U)+(w+U)=(v+w)+U(v+U)+(w+U)=(v+w)+U；λ(v+U)=λv+U\lambda(v+U)=\lambda v+U；必须验证良定义
V/UV/U 的零元 0+U=U0+U=U；逆元 (−v)+U(-v)+U
商映射 π\pi π(v)=v+U\pi(v)=v+U，线性、满射；null⁡π=U\operatorname{null}\pi=U、range⁡π=V/U\operatorname{range}\pi=V/U
维数公式 dim⁡V/U=dim⁡V−dim⁡U\dim V/U=\dim V-\dim U（VV 有限维）
诱导映射 T~\tilde T T~(v+null⁡T)=Tv\tilde T(v+\operatorname{null}T)=Tv，良定义且线性
T~\tilde T 的性质 T~∘π=T\tilde T\circ\pi=T；T~\tilde T 单射；range⁡T~=range⁡T\operatorname{range}\tilde T=\operatorname{range}T
同构定理 V/null⁡T≅range⁡TV/\operatorname{null}T\cong\operatorname{range}T——08 讲基本定理的空间版
投影 vs 商映射 投影落在原空间，商映射跳出原空间

九、出处与延伸（可选，不影响阅读）

  • 主线出处：向量空间的积与商空间的内容对应《线性代数应该这样学》（第 4 版，Sheldon Axler 著，吴俊达、何阳 译）第 3 章 3E 节「向量空间的积和商」，PDF 页码 p94–101。按编号回查：积的定义 3.87、例 3.88（P5(R)×R3\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\times\mathbb{R}^3）、积是向量空间 3.89、例 3.90（R2×R3≠R5\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3\neq\mathbb{R}^5 但同构）、例 3.91（P2(R)×R2\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\times\mathbb{R}^2 的一个基）、积的维数 3.92、积与直和 3.93、直和的维数判据 3.94、记号 v+Uv+U 3.95、例 3.96 与 3.98（平移）、商空间定义 3.99、例 3.100、平移相等判据 3.101、V/UV/U 上的运算 3.102、商空间是向量空间 3.103、商映射 3.104、商空间的维数 3.105、记号 T~\tilde T 3.106、T~\tilde T 的零空间与值域 3.107。
  • 与前后讲的接口：和与直和的定义、直和判据见 03 讲；线性映射基本定理见 08 讲；同构的定义与「同构 ≠\neq 相等」的辨析见 10 讲。本讲的 3.94 是 03 讲直和判据的维数版本，两者都可以用。
  • 本讲自测题的来源：第 1 题由 3.96 的直线例子改造；第 3 题是把 3.105 与 3.107 的证明各跑一遍的具体数值版本；第 4 题对应「V/{0}≅VV/\{0\}\cong V」这一常被忽略的边界情形；第 5 题对应 3.93 在同构情形下的正面例子。3E 节习题里还有几个值得做的：习题 6（v+U=x+W⇒U=Wv+U=x+W\Rightarrow U=W）、习题 7（R3\mathbb{R}^3 中平面的全部平移刻画）、习题 13（V≅U×(V/U)V\cong U\times(V/U)）、习题 14–15（商空间与补子空间的基的关系）、习题 19（T=S∘πT=S\circ\pi 当且仅当 U⊆null⁡TU\subseteq\operatorname{null}T）。
  • 想深挖：这类「先造出一个商对象、再把映射分解成单射与满射」的手法在抽象代数里叫同态基本定理，在群、环、模上都有对应版本。线性代数是最容易先看懂它的场合——因为这里所有东西都能用维数算出来。
  • 术语别名：积 = 直积 = 笛卡尔积（product / direct product）；商空间 = 因子空间（quotient space / factor space）；商映射 = 自然投影（quotient map / natural projection）；平移 = 陪集（translate / coset）；同构定理 = 第一同构定理（first isomorphism theorem）。称谓不同不影响内容。
  • 权威查证：Bronstein《数学手册》俄文第 10 版（1962）与英文第 6 版（2015）均可检索 "linear space / quotient space / Faktorraum / факторпространство" 复核定义与记号。