10 可逆性与同构

可逆性与同构 #

这讲讲什么：什么时候一个线性映射能「倒着走」；为什么在有限维里「不会撞车」和「覆盖全部」其实是同一件事；以及「两个空间本质上一样」到底该怎么判
前置：07 线性映射、08 零空间与值域（尤其线性映射基本定理）、09 矩阵（矩阵乘法、列的概念）、06 维数
一句话：有限维把单射与满射这两件看似无关的事焊成了一件——这是维数守恒的红利，也是无限维给不了的东西。

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一、为什么需要「倒着走」 #

前面几讲都在朝一个方向走：给一个线性映射 $T:V\to W$，研究它把什么映成 $0$（零空间）、能映出什么（值域）、写成矩阵长什么样。

现在反过来问一个很自然的问题：

知道输出，能不能唯一地还原输入？

这个问题的现实版本到处都是。解线性方程组 $Ax=b$ 就是在问：给定输出 $b$，输入 $x$ 能不能还原？如果两个不同的 $x$ 给出同一个 $b$，还原就失败了；如果有些 $b$ 根本没有任何 $x$ 能产生，那也还原不了。

所以「能倒着走」这件事必须拆成两个独立的关卡：

关卡	通俗说法	数学名字	失败的样子
关卡一	不同的输入不会撞到同一个输出	单射	撞车，还原不唯一
关卡二	每个输出都真的被某个输入产生过	满射	空白，还原不出来

两关都过，才谈得上「倒着走」。这话说得很平常，本讲真正的内容是：

当 $V$ 和 $W$ 是维数相同的有限维空间时，这两关会一起过或一起不过。
过了关卡一，关卡二自动免费；过了关卡二，关卡一自动免费。
这在无限维空间里是假的——那里两关完全独立。

顺带，这一讲还会回答另一个问题：什么时候能把两个向量空间看成「同一个东西、只是元素改了名字」。答案是同构，而判据简单得令人意外：只看维数。

读完后你应该能回答：

1. 为什么「可逆」的定义里要写两条等式，而不是一条？
2. 凭什么一个映射是单射就能推出它满射？用到了哪两条定理？
3. 为什么在多项式空间里「乘 $x^2$」是单射却不可逆？
4. $\dim\mathcal{L}(V,W)$ 等于多少，为什么？
5. 一个 $3\times3$ 矩阵，能不能只看「它是不是满射」就断定它可逆？

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二、定义与最小例子 #

定义：可逆与逆 #

设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。如果存在线性映射 $S\in\mathcal{L}(W,V)$，使得

$$ST=I_V,\qquad TS=I_W,$$

则称 $T$ 是可逆的，并称这样的 $S$ 是 $T$ 的一个逆。

两条等式里的 $I$ 不是同一个东西：第一个是 $V$ 上的恒等算子，第二个是 $W$ 上的恒等算子。这一点的意思是：「先 $T$ 后 $S$，回到原地；先 $S$ 后 $T$，也回到原地。」两条都要。

最小例子：一个不能倒着走的映射 #

取 $V=W=\mathbb{R}^2$，令 $T$ 是零映射 $Tv=0$（对每个 $v$）。

想找 $S$ 满足 $TS=I$：对任意 $w$ 都要有 $T(Sw)=w$。但 $T$ 把一切都打成 $0$，所以左边永远是 $0$，只能 $w=0$。也就是说 $TS=I_{\mathbb{R}^2}$ 在 $w\neq0$ 时不可能成立。零映射不可逆（除非定义域是 $\{0\}$，那里只有一个元素，零映射就是恒等算子，它可逆）。

这个例子的教训：$T$ 把两个不同的输入压成同一个输出，信息已经丢了，再怎么设计 $S$ 也捡不回来。

逆是唯一的 #

定义说的是「一个逆」，但结论是「那个逆」。

设 $S_1,S_2$ 都是 $T$ 的逆，则

$$\begin{aligned}S_1 &= S_1 I_W &&(\text{$I_W$ 是恒等算子})\\ &= S_1(TS_2) &&(\text{$S_2$ 是右逆}: TS_2=I_W)\\ &= (S_1T)S_2 &&(\text{映射复合的结合律})\\ &= I_V S_2 &&(\text{$S_1$ 是左逆}: S_1T=I_V)\\ &= S_2. &&(\text{$I_V$ 是恒等算子})\end{aligned}$$

于是 $S_1=S_2$。既然唯一，就可以给它一个专有记号：$T$ 的逆记作 $T^{-1}$。

例：把逆算出来 #

设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ 定义为

$$T(x,y,z)=(-y,\ x,\ 4z).$$

它的几何动作分两步：在 $xy$ 平面上把向量逆时针转 $90^\circ$（即 $(x,y)\mapsto(-y,x)$），再把 $z$ 方向的分量拉长 4 倍。

要倒着走，就把两个动作各自反着做：平面内顺时针转 $90^\circ$（即 $(x,y)\mapsto(y,-x)$），$z$ 分量压缩到 $\dfrac14$。所以

$$T^{-1}(x,y,z)=\Big(y,\ -x,\ \frac{z}{4}\Big).$$

自己验一遍两条等式（这是最容易偷懒、也最该动手的地方）。以 $T^{-1}T$ 为例，取 $(x,y,z)$：

$$T^{-1}\big(T(x,y,z)\big)=T^{-1}(-y,\ x,\ 4z)=\Big(x,\ -(-y),\ \frac{4z}{4}\Big)=(x,y,z).$$

另一条方向同理。注意 $T^{-1}$ 是线性的——它的每个坐标都是输入坐标的一次齐次式，这跟可逆定义里「$S$ 必须是线性映射」的要求对上了。

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三、可逆 $\iff$ 既单射又满射 #

这是本讲的第一块基石。先把两个词的定义摆出来（都只针对函数本身，跟线性无关）：

• $T:V\to W$ 是单射：$Tu=Tv$ 蕴涵 $u=v$。等价说法：不同的输入给出不同的输出。
• $T$ 是满射：每个 $w\in W$ 都等于某个 $Tv$，即 $\operatorname{range}T=W$。

对于线性映射，单射有一个极好用的等价判据：

$$T\ \text{单射}\iff \operatorname{null}T=\{0\}.$$

（理由：若 $Tu=Tv$，则 $T(u-v)=0$，即 $u-v$ 落在零空间里；反过来，若零空间只有 $0$，则 $u-v=0$。）所以实际检验单射时，你去解 $Tv=0$，看是不是只有零解。

结论：$T$ 可逆 $\iff$ $T$ 既单射又满射。

方向一：可逆 $\Rightarrow$ 单射且满射。

单射：设 $Tu=Tv$。把 $T^{-1}$ 作用上去：

$$u=T^{-1}(Tu)=T^{-1}(Tv)=v.$$

第一步用的是 $T^{-1}T=I_V$。注意这里只用了左逆。

满射：任取 $w\in W$，则 $w=T(T^{-1}w)$，这说明 $w$ 确实是某个向量的像（那个向量就是 $T^{-1}w$）。于是 $\operatorname{range}T=W$。这一步只用了右逆。

方向二：单射且满射 $\Rightarrow$ 可逆。

思路是「把还原规则写出来，再验证它是线性的」。

对每个 $w\in W$，定义 $S(w)$ 为 $V$ 中那个唯一满足 $T(S(w))=w$ 的向量。

• 存在性来自满射：$w$ 一定被某个向量映到。
• 唯一性来自单射：这样的向量至多一个。

于是 $S$ 是一个从 $W$ 到 $V$ 的函数，而且按定义立刻有 $TS=I_W$。

接下来证 $ST=I_V$。任取 $v\in V$，则

$$T\big((ST)v\big)=(TS)(Tv)=I_W(Tv)=Tv.$$

（第一个等号是复合的结合律，第二个等号用 $TS=I_W$。）既然 $T$ 是单射，从 $T((ST)v)=Tv$ 就能消去 $T$，得 $(ST)v=v$。

最后一步是这场证明的关键：$S$ 必须是线性的。验证可加性：任取 $w_1,w_2\in W$，则

$$T\big(S(w_1)+S(w_2)\big)=T(S(w_1))+T(S(w_2))=w_1+w_2$$

（第一个等号用了 $T$ 的线性）。这句话是说：$S(w_1)+S(w_2)$ 是 $V$ 中被 $T$ 映到 $w_1+w_2$ 的那个元素。而这样的元素唯一，按 $S$ 的定义它就是 $S(w_1+w_2)$。所以

$$S(w_1+w_2)=S(w_1)+S(w_2).$$

齐次性一模一样：任取 $w\in W$、$\lambda\in\mathbb{F}$，

$$T\big(\lambda S(w)\big)=\lambda T(S(w))=\lambda w$$

说明 $\lambda S(w)$ 是那个被映到 $\lambda w$ 的唯一元素，故 $S(\lambda w)=\lambda S(w)$。$S$ 是线性的，证明完毕。

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四、有限维的魔法：单射与满射等价 #

结论 #

设 $V,W$ 都是有限维的，$\dim V=\dim W$，$T\in\mathcal{L}(V,W)$。那么

$$T\ \text{可逆}\iff T\ \text{是单射}\iff T\ \text{是满射}.$$

三个条件完全等价，任取一个都能推出另外两个。特别地，若 $T$ 是从 $V$ 到它自己的算子（$W=V$），那么 $\dim V=\dim W$ 自动成立，于是对算子有：

算子：单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 可逆。

证明：只用两条工具 #

工具一：线性映射基本定理（第 08 讲的维数公式）

$$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T. \tag{3.66}$$

工具二：维数与空间相等：有限维空间 $V$ 的子空间 $U$ 若满足 $\dim U=\dim V$，则 $U=V$。

现在开始。若 $T$ 单射，则 $\operatorname{null}T=\{0\}$，即 $\dim\operatorname{null}T=0$。代入基本定理：

$$\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T=\dim V=\dim W.$$

而 $\operatorname{range}T$ 是 $W$ 的子空间，维数已经等于 $W$ 的维数，由工具二得 $\operatorname{range}T=W$，即 $T$ 满射。

若 $T$ 满射，则 $\operatorname{range}T=W$，$\dim\operatorname{range}T=\dim W$。代入基本定理：

$$\dim\operatorname{null}T=\dim V-\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim W=0,$$

故 $\operatorname{null}T=\{0\}$，即 $T$ 单射。

于是单射与满射互相推出。再加上上一节的等价关系，任何一个都能推出可逆。

无限维为什么不行：两个具体反例 #

$\dim V=\dim W$ 这个前提，在无限维情形会变成 $\dim V=\dim W=\infty$，而 $\infty-\infty$ 没有意义——减法失效，论证第 5 行就断了。这不是技术瑕疵，而是真的会出事。

$$T(p)=x^2p.$$

这是线性的。它是单射：$x^2p=0$ 作为多项式恒等于零，而 $x^2$ 不是零多项式，
只能是 $p=0$，故 $\operatorname{null}T=\{0\}$。

但它不满射：常数多项式 $1$ 不在值域里。
因为 $x^2p$ 只要 $p\neq0$，次数就 $\ge2$；$p=0$ 时是零多项式。
无论如何凑不出次数为 $0,1$ 的多项式。
于是 $T$ 单射却不可逆。

$$T(x_1,x_2,x_3,\dots)=(x_2,x_3,x_4,\dots).$$

它满射：给定任意 $(y_1,y_2,\dots)$，取 $(0,y_1,y_2,\dots)$ 就被映成它。
（随手补的那个 $0$，正说明前置有自由度。）

但它不单射：$(1,0,0,0,\dots)$ 非零却被映成 $(0,0,0,\dots)$，
所以 $\operatorname{null}T\supsetneq\{0\}$。
于是 $T$ 满射却不可逆。

把两个反例并排放，本讲的核心就显出来了：

	乘 $x^2$（多项式空间）	后向移位（序列空间）
零空间	$\{0\}$（单射）	非平凡（不单射）
值域	缺了低次多项式（不满射）	是整个空间（满射）
可逆	✗	✗
几何图像	「往里塞，塞不满」	「往外挤，有重叠」

有限维里之所以不会出现这两种病，靠的是「维数守恒」：输入侧的维数就那么多，一笔账（基本定理）把它分成「漏掉的（零空间）」和「覆盖的（值域）」两部分。零空间小了，值域必然大；值域满了，零空间必然空。没有多余的空间让信息既丢失又覆盖不全。

一个有限维的漂亮应用 #

问题：设 $q$ 是任意实系数多项式，是否总存在多项式 $p$ 使得

$$\big((x^2+5x+7)p\big)''=q\ ?$$

直觉上这像是个微分方程问题，不太好办。用第四节的办法，它变得很容易。

先看算子 $T(p)=\big((x^2+5x+7)p\big)''$ 在全体多项式空间上：它是单射。为什么？乘上 $x^2+5x+7$ 会把非零多项式的次数加 2；再求两次导，次数至少降 2。两个方向合起来看：若 $p$ 的最高次项是 $a_mx^m$（$a_m\neq0$），则 $(x^2+5x+7)p$ 的最高次项是 $a_mx^{m+2}$，求两次导后变成 $(m+2)(m+1)a_mx^m$——系数非零，所以 $Tp$ 的最高次项仍在，次数仍是 $m$，不可能被压成零多项式。

麻烦在于：在无限维空间上，单射推不出满射（反例一就是同类毛病，那里乘 $x^2$ 只加次数、没有求导抵消，所以 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 上确实不满射）。所以不能直接在 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 上用第四节的结论。

正确的做法是把问题装进有限维。给定 $q$，取一个足够大的 $m$ 使 $q\in\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$（次数不超过 $m$ 的多项式空间），然后只在 $\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 上考虑

$$T:\mathcal{P}_m(\mathbb{R})\to\mathcal{P}_m(\mathbb{R}),\qquad Tp=\big((x^2+5x+7)p\big)''.$$

这个 $T$ 确实把 $\mathcal{P}_m$ 映到 $\mathcal{P}_m$：$p$ 次数 $\le m$，乘完 $\le m+2$，求两次导 $\le m$。（当 $m=0$ 也成立：常数 $p=c$ 时 $Tp=2c$，还是常数。）

在 $\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 上，输入空间与输出空间是同一个有限维空间，维数自动相等。又已知 $T$ 单射（零空间里只有零多项式），由第四节的结论，$T$ 必满射，于是 $q$ 一定在值域里——所需的多项式 $p$ 存在。

附带收获：一条等式就够了 #

同一个「维数相等的有限维」前提，还能得到一条非常省事的结论。

设 $V,W$ 是维数相同的有限维空间，$S\in\mathcal{L}(W,V)$、$T\in\mathcal{L}(V,W)$。那么

$$ST=I_V\iff TS=I_W.$$

证一边（另一边把 $S,T$ 与 $V,W$ 的角色对调即可）：设 $ST=I_V$。若 $Tv=0$，则

$$v=I_Vv=(ST)v=S(Tv)=S(0)=0,$$

所以 $\operatorname{null}T=\{0\}$，$T$ 单射。由第四节的结论，$T$ 可逆。现在把 $ST=I_V$ 两边右乘 $T^{-1}$：

$$S=STT^{-1}=I_VT^{-1}=T^{-1},$$

于是 $TS=T^{-1}T=I_W$。

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五、同构：两个空间什么时候「本质上是同一个」 #

定义 #

同构就是可逆线性映射。如果存在一个把 $V$ 映成 $W$ 的同构，就说 $V$ 与 $W$ 同构。

理解方式：把同构 $T:V\to W$ 看成「把 $v\in V$ 改写成 $Tv\in W$」的一套改名规则。

为什么这套改名不损失任何信息？因为 $T$ 是线性的且可逆：

$$T(u+v)=Tu+Tv,\qquad T(\lambda v)=\lambda Tv,\qquad T^{-1}(Tu)=u.$$

也就是说，$V$ 里怎么加、怎么乘标量，改名之后在 $W$ 里照原样进行；而且改名是可逆的，不丢元素也不多出元素。所以凡是只用「加法、标量乘法」这两样东西写出来的性质，两个空间要么都有、要么都没有——维数、零空间和值域的结构、线性无关组的长度，全都一样。

惊人的判据：只看维数 #

设 $V,W$ 是 $\mathbb{F}$ 上的有限维向量空间。那么

$$V\ \text{与}\ W\ \text{同构}\iff \dim V=\dim W.$$

$\Rightarrow$ 方向：设 $T:V\to W$ 是同构，则 $T$ 可逆，故 $\operatorname{null}T=\{0\}$ 且 $\operatorname{range}T=W$。代入线性映射基本定理：

$$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T=0+\dim W=\dim W.$$

$\Leftarrow$ 方向：设 $\dim V=\dim W=n$。取 $V$ 的一组基 $v_1,\dots,v_n$、$W$ 的一组基 $w_1,\dots,w_n$——两边基的长度一样，这全靠维数相等。定义

$$T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n.$$

这个定义是良定义的：每个 $v$ 写成基的线性组合的方式唯一，所以右边不会因为写法不同而出问题。$T$ 显然线性。

• $T$ 满射：$w_1,\dots,w_n$ 已经张成 $W$，而它们全是 $T$ 的像（$Tv_k=w_k$）。
• $T$ 单射：若 $Tv=0$ 即 $c_1w_1+\cdots+c_nw_n=0$，由 $w_1,\dots,w_n$ 线性无关得 $c_1=\cdots=c_n=0$，故 $v=0$。

单射且满射，所以 $T$ 可逆，即同构。

一个立刻能用的例子 #

第 02 讲留过一个钉子：正实数集 $(0,+\infty)$ 配上「加法 = 普通乘法、标量乘 = 乘方」构成一个向量空间。当时说它其实是一维的。

现在能说清楚了。用取对数

$$T(v)=\ln v$$

把它映到 $\mathbb{R}$（加法照常、标量乘照常）。两条运算都保持得干干净净：

$$T(u\oplus v)=\ln(uv)=\ln u+\ln v=T(u)+T(v),$$

$$T(\lambda\odot v)=\ln(v^{\lambda})=\lambda\ln v=\lambda T(v).$$

取对数在正实数与全体实数之间是一一对应（$T^{-1}(y)=e^{y}$），所以 $T$ 是线性且可逆的，是一个同构。这个空间就是换了一层皮的 $\mathbb{R}$：所谓「加法」就是乘法，「零元」就是 $1$。这也解释了为什么它的「维数」是 $1$。

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六、矩阵与算子的对应 #

矩阵表示是一个同构 #

固定 $V$ 的基 $v_1,\dots,v_n$ 和 $W$ 的基 $w_1,\dots,w_m$。每个 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 都有唯一的矩阵 $\mathcal{M}(T)\in\mathbb{F}^{m,n}$（$m$ 行 $n$ 列），第 $k$ 列就是把 $Tv_k$ 写成 $w_1,\dots,w_m$ 的线性组合时的系数。

于是 $\mathcal{M}$ 是一个从 $\mathcal{L}(V,W)$ 到 $\mathbb{F}^{m,n}$ 的函数，而且它是线性的（矩阵的加法与标量乘法就是照线性映射的加法与标量乘法定义的）。下面两条让它升级为同构：

• $\mathcal{M}$ 是单射：若 $\mathcal{M}(T)=0$，则矩阵的每一列都是零，即每个 $Tv_k=0$。$v_1,\dots,v_n$ 是基，于是 $T=0$。所以零空间只有零映射。
• $\mathcal{M}$ 是满射：任给 $A\in\mathbb{F}^{m,n}$，用「线性映射引理」按 $Tv_k=\displaystyle\sum_{j=1}^{m}A_{j,k}w_j$ 定义 $T$（在基上随便指定像，总有唯一的线性映射实现它），就有 $\mathcal{M}(T)=A$。

所以 $\mathcal{M}$ 是 $\mathcal{L}(V,W)$ 与 $\mathbb{F}^{m,n}$ 之间的同构。

维数公式 #

把一个 $m\times n$ 矩阵看成一堆数：第 1 行 $n$ 个、第 2 行 $n$ 个……共 $m$ 行，所以

$$\dim\mathbb{F}^{m,n}=mn.$$

同构保持维数（第五节第一段的直接后果），于是

$$\dim\mathcal{L}(V,W)=\dim\mathbb{F}^{m,n}=mn=(\dim V)(\dim W).$$

也就是说：

从 $V$ 到 $W$ 的全部线性映射构成一个有限维向量空间，其维数等于 $\dim V$ 与 $\dim W$ 的乘积。

对照一下：$\dim V=3$、$\dim W=2$ 时，$\dim\mathcal{L}(V,W)=6$——随便挑一组基，一个线性映射就对应一个 $2\times3$ 矩阵，六个位置随便填，正好六个自由度。这就是「矩阵有六个元素」为什么不是巧合。

把算子可逆翻译成矩阵可逆 #

方阵 $A$ 可逆的定义与算子那边完全平行：存在同阶方阵 $B$ 使 $AB=BA=I$，记 $B=A^{-1}$。同样有「逆唯一」，同样有

$$(A^{-1})^{-1}=A,\qquad (AC)^{-1}=C^{-1}A^{-1}.$$

后一条注意顺序要反过来——它对应的是 $(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}$：先做的映射后撤。可以自己代进去验：

$$(AC)(C^{-1}A^{-1})=A(CC^{-1})A^{-1}=AIA^{-1}=AA^{-1}=I.$$

现在把两边接上。因为 $\mathcal{M}$ 是同构，它保持复合与恒等：

$$ST=I_V\iff \mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)=I,\qquad TS=I_W\iff \mathcal{M}(T)\mathcal{M}(S)=I.$$

于是对算子 $T\in\mathcal{L}(V)$ 和它的矩阵 $\mathcal{M}(T)$：

$$T\ \text{可逆}\iff \mathcal{M}(T)\ \text{可逆},\qquad \mathcal{M}(T^{-1})=\big(\mathcal{M}(T)\big)^{-1}.$$

结论是：要判断算子可逆，随便挑一组基算矩阵就行，通常挑最好算的那组。

换基：同一个算子换一组基，矩阵怎么变 #

前面几段反复说「随便挑一组基算矩阵就行」。可是换一组基之后矩阵究竟怎么变，还没有算过。这一小节把这笔账结清：同一个算子在两组基下的矩阵，只差一个能明确写出来的可逆矩阵。

① 记号先省一半。 若 $T\in\mathcal{L}(V)$ 的定义空间与目标空间是同一个 $V$，习惯上两边取同一组基，于是基只写一次：

$$\mathcal{M}\big(T,(v_1,\dots,v_n)\big)=\mathcal{M}\big(T,(v_1,\dots,v_n),(v_1,\dots,v_n)\big).$$

上下文能确定基时干脆写 $\mathcal{M}(T)$。为省地方，下面把 $(u_1,\dots,u_n)$ 简写成 $(u)$，其余同理。顺手补一个一直没单独定义的记号：对角线全为 $1$、其余位置全为 $0$ 的 $n\times n$ 矩阵叫恒等矩阵，也记 $I$（同一个符号兼指恒等算子与恒等矩阵，靠上下文分辨）。恒等算子关于任何一组基的矩阵都是它，即 $\mathcal{M}(I)=I$。

② 乘积的矩阵：中间那组基要对上。 设 $T\in\mathcal{L}(U,V)$、$S\in\mathcal{L}(V,W)$，分别取基 $(u)$、$(v)$、$(w)$，则

$$\mathcal{M}\big(ST,(u),(w)\big)=\mathcal{M}\big(S,(v),(w)\big)\mathcal{M}\big(T,(u),(v)\big).$$

左边只出现两组基，右边出现三组：中间的 $(v)$ 既是 $S$ 的输入基，又是 $T$ 的输出基，这两处必须是同一组基。否则 $T$ 吐出的坐标和 $S$ 要吃的坐标不是用同一把尺子量的，乘积就没有意义。09 讲那条「先做映射再读坐标 = 先读坐标再做矩阵乘法」，做的正是这件事。

③ 恒等算子把两组基互相翻译。 设 $(u_1,\dots,u_n)$ 与 $(v_1,\dots,v_n)$ 都是 $V$ 的基，记

$$C=\mathcal{M}\big(I,(u_1,\dots,u_n),(v_1,\dots,v_n)\big),$$

它的第 $k$ 列就是把 $u_k$ 写成 $v_1,\dots,v_n$ 的线性组合所需的系数（因为 $Iu_k=u_k$）。在②的等式里取 $S=T=I$、每个 $w_k$ 换成 $u_k$：

$$I=\mathcal{M}\big(I,(v),(u)\big)\mathcal{M}\big(I,(u),(v)\big);$$

再把 $u$ 与 $v$ 的角色对调，又得

$$I=\mathcal{M}\big(I,(u),(v)\big)\mathcal{M}\big(I,(v),(u)\big).$$

两条合起来正是矩阵可逆的定义：$\mathcal{M}(I,(u),(v))$ 与 $\mathcal{M}(I,(v),(u))$ 互为逆矩阵。道理很直白——翻译过去再翻译回来，坐标必须回到原位。

动手算一遍。 取 $\mathbb{F}^2$ 的两组基 $(u_1,u_2)=\big((4,2),(5,3)\big)$ 与标准基 $(v_1,v_2)=\big((1,0),(0,1)\big)$。由

$$I(4,2)=4(1,0)+2(0,1),\qquad I(5,3)=5(1,0)+3(0,1)$$

得

$$C=\begin{pmatrix}4&5\\2&3\end{pmatrix},\qquad C^{-1}=\begin{pmatrix}\frac32&-\frac52\\-1&2\end{pmatrix}.$$

$C$ 的样子好记：两列就是 $u_1,u_2$ 自己（它们正是用标准基读出来的）。$C^{-1}$ 直接乘一遍就能验（$CC^{-1}=I$），它读作「把 $v$ 坐标翻译成 $u$ 坐标的矩阵」。

④ 换基公式。 设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$(u_1,\dots,u_n)$ 与 $(v_1,\dots,v_n)$ 是 $V$ 的两组基，令

$$A=\mathcal{M}\big(T,(u_1,\dots,u_n)\big),\qquad B=\mathcal{M}\big(T,(v_1,\dots,v_n)\big),\qquad C=\mathcal{M}\big(I,(u_1,\dots,u_n),(v_1,\dots,v_n)\big),$$

那么

$$A=C^{-1}BC.$$

这就是换基公式。推导只用②两次。第一次把 $S$ 换成 $I$、每个 $w_k$ 换成 $u_k$：

$$A=\mathcal{M}\big(T,(u),(u)\big)=\mathcal{M}\big(I,(v),(u)\big)\mathcal{M}\big(T,(u),(v)\big)=C^{-1}\mathcal{M}\big(T,(u),(v)\big),$$

最后一步用了③。第二次把 $S$ 换成 $T$、$T$ 换成 $I$、每个 $w_k$ 换成 $v_k$：

$$\mathcal{M}\big(T,(u),(v)\big)=\mathcal{M}\big(T,(v),(v)\big)\mathcal{M}\big(I,(u),(v)\big)=BC.$$

代回上一行，即得 $A=C^{-1}BC$。

跟着算一个具体算子。 仍用上面那两组基，取 $T(x,y)=(x,0)$（向 $x$ 轴投影）。它在标准基下的矩阵是

$$B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}.$$

先走公式：$BC=\begin{pmatrix}4&5\\0&0\end{pmatrix}$，于是

$$A=C^{-1}BC=\begin{pmatrix}6&\frac{15}{2}\\-4&-5\end{pmatrix}.$$

再直接核一遍：$T(u_1)=(4,0)=6u_1-4u_2$，$T(u_2)=(5,0)=\dfrac{15}{2}u_1-5u_2$，两列与上式一致 ✓。

公式在说什么。 $A$ 与 $B$ 是同一个算子在两把尺子下的读数，$C$ 是把 $u$ 坐标翻译成 $v$ 坐标的字典。所以「先用 $C$ 搬到 $v$ 坐标、用 $B$ 作用、再用 $C^{-1}$ 搬回 $u$ 坐标」与「直接用 $A$ 作用」是同一件事。这也让「可逆性对基免疫」在矩阵层面一眼可见：由 $A=C^{-1}BC$ 得 $B=CAC^{-1}$，而可逆矩阵的乘积仍可逆，所以 $A$ 与 $B$ 要么都可逆、要么都不可逆。20 讲要做的对角化，就是挑一组好基把这个 $B$ 逼成对角阵。

计数直觉：为什么「偶然可逆」是必然 #

把上面几条拼起来看，会发现一个漂亮的平衡。（这一段是启发式的，不是证明——严谨论证仍是第四、六节那两条。）

$\mathcal{L}(V)$ 的维数是 $n^2$（$n=\dim V$）。写成方阵，意味着 $n^2$ 个可自由填的数。

而「$T$ 可逆」等价于「$T$ 单射」等价于「$\operatorname{null}T=\{0\}$」——看起来只是一个条件。$n^2$ 个自由度只被一个条件约束，那不可逆的算子应该很稀少才对，怎么会有「$AB=I\Rightarrow BA=I$」这种一条等式解决一切的怪事？

关键在：$\operatorname{null}T=\{0\}$ 虽然是一句话，但它等价于 $\dim\operatorname{range}T=n$，也就是「$Tv_1,\dots,Tv_n$ 线性无关」。这是 $n$ 个向量同时满足的一组约束，恰好用掉 $n$ 个自由度。不多不少，所以既不会「一般不可逆」，也不会「随便都行」，而是刚好：逆若存在，唯一；若只验了一半（$AB=I$ 或 $ST=I$），另一半自动跟上。

用一句话概括本讲的收获：

有限维让「不撞车」和「覆盖全部」等价，是因为维数把输入侧和输出侧的总量配平了。
无限维没有这个配平，于是出现「塞进去塞不满」和「挤出来有重叠」两种病。

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七、几何直观与记忆钩子 #

• 可逆 = 信息不丢。 单射管「不撞车」（不丢信息），满射管「无空白」（能还原到任意目标），两个一起才叫可逆。
• 单射看图：像集不会两个输入落到同一点。
• 满射看图：目标空间里没有到不了的角落。
• 有限维口诀：

  维数一样，单射满射等价；维数一样，一条等式抵两条。

• 无限维口诀：

  乘 $x^2$ 塞不满，后移一步有重叠。（单射不满射 / 满射不单射，各一个反例）

• 同构口诀：

  同构不看长相，只看维数。

• 维数公式口诀：

  $\dim\mathcal{L}(V,W)$ 就是「$V$ 的维数乘 $W$ 的维数」——矩阵有几个格子，就有几个自由度。

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八、常见误区 #

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九、拓展（可跳过） #

拓展一：判断可逆时不要猜逆映射 #

「可逆 $\iff$ 单射且满射」最实用的形式是把两边都翻译成零空间与值域：

$T$ 可逆 $\iff$ $\operatorname{null}T=\{0\}$ 且 $\operatorname{range}T=W$。

也就是说，判断可逆不要去猜那个 $S$ 长什么样，而是分别查两件事：$Tv=0$ 是不是只有零解，值域是不是铺满了整个 $W$。本讲自测第 3 题就是按这个顺序做的。

顺便提醒：如果把「线性」从条件里去掉，只谈集合之间的函数，「一一对应」与「可逆」仍然等价——但那时你得到的是集合意义上的可逆，与向量空间的结构无关。线性不是可以省掉的条件，它决定了「可逆」能不能升级为「同构」。

拓展二：矩阵乘法的另一种读法 #

第六节说 $\mathcal{M}(Tv)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$，其中 $\mathcal{M}(v)$ 表示「$v$ 关于该基的坐标」这列 $n\times1$ 矩阵。

这是整门课里「矩阵乘法规则为什么长这样」的正式答案：它让「先做映射，再读坐标」和「先读坐标，再做矩阵乘法」得到同一结果。那个「行乘列」规则不是人为规定，是被这条等式逼出来的。

拓展三：一条「巧合」的矩阵定理 #

由第五节那条等式（$ST=I\iff TS=I$）直接可得：若 $A,B$ 是同阶方阵且 $AB=I$，则 $BA=I$。也就是说，验一半就够。

这条结论在计算上很省事，但它的证明用到了有限维（因为要在 $\mathcal{L}(V)$ 上用第四节的结果），不是纯粹的形式推导。它和「$AB=I$ 则 $A$ 可逆」是同一件事。

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十、自测（先做，再看答案） #

1. 设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ 由 $T(x,y,z)=(2x,\ y-3z,\ x+z)$ 定义。求 $T^{-1}$，并验证 $T^{-1}T=I$。

2. 设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$ 可逆。证明 $T^{-1}$ 也可逆，且 $(T^{-1})^{-1}=T$。（提示：不要算，直接看定义。）

3. 设 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 为 $T(x,y)=(x+y,\ 2x+2y)$。它单射吗？满射吗？可逆吗？分别用两种办法回答（零空间法、第二节等价链）。

4. 设 $\dim V=4$、$\dim W=7$。从 $V$ 到 $W$ 的线性映射可能是满射吗？可能是单射吗？为什么？（用线性映射基本定理回答。）

5. 把第四节那个多项式例子改成 $T(p)=\big((x^2+1)p\big)''$，问：对任意 $q\in\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$，是否总有 $p\in\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 使 $Tp=q$？先算 $T$ 的零空间，再回答。

6. 证明：若 $V$ 是有限维的，$T\in\mathcal{L}(V)$，且存在 $R,S\in\mathcal{L}(V)$ 使 $RST=I$，那么 $T$ 可逆且 $T^{-1}=SR$。

答案（点开）

1. 分别解方程组即可。设 $(x',y',z')=T(x,y,z)$，则 $x'=2x$ 给 $x=\dfrac{x'}{2}$；
$y'=y-3z$、$z'=x+z=\dfrac{x'}{2}+z$ 给 $z=z'-\dfrac{x'}{2}$，再回代得 $y=y'+3z'-\dfrac{3x'}{2}$。
所以

$$T^{-1}(x,y,z)=\Big(\frac{x}{2},\ y+3z-\frac{3x}{2},\ z-\frac{x}{2}\Big).$$

验证：先算 $z$ 分量 $T(x,y,z)$ 的第三个坐标是 $x+z$，代入 $T^{-1}$ 的第三式：
$\big(x+z\big)-\dfrac{2x}{2}=x+z-x=z$ ✓。第二个坐标：$\big(y-3z\big)+3\big(x+z\big)-\dfrac{3(2x)}{2}=y-3z+3x+3z-3x=y$ ✓。
第一个坐标：$\dfrac{2x}{2}=x$ ✓。三个坐标全回到原位，故 $T^{-1}T=I$。

2. 由定义，$T^{-1}\in\mathcal{L}(W,V)$ 满足

$$T^{-1}T=I_V,\qquad TT^{-1}=I_W.$$

这两条等式同时说明：$T$ 是 $T^{-1}$ 的一个逆（注意两条等式的角色正好互换）。
由逆的唯一性，$T^{-1}$ 的逆就是 $T$，即 $(T^{-1})^{-1}=T$。无需任何计算。

3. 不可逆。零空间法：解 $T(x,y)=(0,0)$，即 $x+y=0$ 且 $2x+2y=0$——两条其实是同一个方程，
解集是直线 $\{(t,-t):t\in\mathbb{R}\}$，维数 $1\neq0$，故不单射。
（顺带看到 $T(-1,1)=(0,0)$，直接给出「撞车」实证。）
等价链：$\dim\mathbb{R}^2=\dim\mathbb{R}^2=2$，有限维且维数相等，
所以不单射立刻推出不满射——具体地 $\operatorname{range}T$ 由 $(1,2)$ 张成，是条直线，不是整个 $\mathbb{R}^2$。
两种办法结论一致：不可逆。

4. 不可能满射：满射要求 $\operatorname{range}T=W$，则 $\dim\operatorname{range}T=7$；
但由基本定理 $\dim\operatorname{range}T\le\dim V=4<7$，矛盾。不可能单射：单射要求 $\dim\operatorname{null}T=0$，
于是 $\dim\operatorname{range}T=\dim V=4\neq7=\dim W$，即 $\operatorname{range}T$ 是 $W$ 的真子空间。
一般规律：$\dim V<\dim W$ 时不可能满射（「塞不满」），$\dim V>\dim W$ 时不可能单射（「必有重叠」）。

5. 先算零空间：$Tp=\big((x^2+1)p\big)''=0$ 意味着 $(x^2+1)p$ 是次数 $\le1$ 的多项式。
若 $p\neq0$，左边次数是 $\deg p+2\ge2$，矛盾；故 $p=0$，即 $\operatorname{null}T=\{0\}$，$T$ 在 $\mathcal{P}_m$ 上单射。
因为 $\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 是有限维、且输入输出同一个空间（维数相等），由等价链 $T$ 可逆，
所以对任意 $q\in\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 都存在 $p$ 使 $Tp=q$。答案是：总有。
（对比：这里乘的是 $x^2+1$ 而不是前面的 $x^2+5x+7$，求导两次后最高次项 $a_mx^{m+2}$ 变成 $(m+2)(m+1)a_mx^m$，次数仍为 $m$，
所以整个论证一字不用改。真正的关键是「乘一次加 2、导两次至多减 2」这个配平。）

6. 由 $RST=I_V$ 得 $\operatorname{null}(RST)=\{0\}$，故 $\operatorname{null}T\subseteq\operatorname{null}(RST)=\{0\}$
（若 $Tv=0$，则 $RSTv=0$），即 $T$ 单射。$V$ 有限维且 $T\in\mathcal{L}(V)$，由等价链 $T$ 可逆。
于是把 $RST=I$ 写成 $(RS)T=I$，两边右乘 $T^{-1}$，得 $RS=T^{-1}$。
再验证 $T(RS)=I$：由 $T$ 可逆及上面的等式，$T(RS)=T T^{-1}=I$ ✓。
所以 $T^{-1}=RS$（注意不是 $(RS)^{-1}$——别把结论记反）。

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十一、复习卡 #

项	内容
可逆	存在线性 $S$ 使 $ST=I_V$ 且 $TS=I_W$；$S$ 必须是线性的，两条都要
逆唯一	设两个逆证相等，纯代数结论，与维数无关
$T^{-1}$	可逆映射的唯一逆
单射	$Tu=Tv\Rightarrow u=v$；对线性映射等价于 $\operatorname{null}T=\{0\}$
满射	$\operatorname{range}T=W$
可逆 $\iff$ 单射 + 满射	证明中构造 $S$ 后必须验线性
有限维等价链	$\dim V=\dim W<\infty$ 时：可逆 $\iff$ 单射 $\iff$ 满射
算子的情形	$T\in\mathcal{L}(V)$（$V$ 有限维）：单射 $\iff$ 满射 $\iff$ 可逆
无限维反例	$p\mapsto x^2p$ 单射不满射；后向移位满射不单射
一条件链	$\dim V=\dim W<\infty$ 时 $ST=I\iff TS=I$
同构	可逆线性映射；两个空间同构 = 存在同构
同构判据	有限维时：同构 $\iff$ 维数相等
推论	每个 $n$ 维空间都与 $\mathbb{F}^n$ 同构；$V$ 与 $\mathcal{L}(\mathbb{F},V)$ 同构
矩阵表示	取定基后 $\mathcal{M}:\mathcal{L}(V,W)\to\mathbb{F}^{m,n}$ 是同构
维数公式	$\dim\mathcal{L}(V,W)=(\dim V)(\dim W)$
矩阵可逆	$AB=BA=I$，要求同阶方阵；$(AC)^{-1}=C^{-1}A^{-1}$，$(A^{-1})^{-1}=A$
算子与矩阵	$T$ 可逆 $\iff$ $\mathcal{M}(T)$ 可逆，且 $\mathcal{M}(T^{-1})=(\mathcal{M}(T))^{-1}$
列秩	$\dim\operatorname{range}T$ = $\mathcal{M}(T)$ 的列秩，与基的选取无关
一句话	维数相等的有限维空间之间，「不撞车」与「覆盖全部」是同一件事

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十二、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线框架：《线性代数应该这样学》（第 4 版，吴俊达、何阳 译）第 3 章 3D 节「可逆性和同构」（印刷页码 p69–78）。本讲的编号可与之对应：可逆与逆（3.59）、逆的唯一性（3.60）、记号 $T^{-1}$（3.61）、旋转加缩放的逆（3.62）、可逆 $\iff$ 单射且满射（3.63）、无限维的两个反例（3.64）、维数相等时单射与满射等价（3.65）、$ST=I\iff TS=I$（3.68）、同构的定义（3.69）、同构 $\iff$ 维数相等（3.70）、$\mathcal{L}(V,W)$ 与 $\mathbb{F}^{m,n}$ 同构（3.71）、$\dim\mathcal{L}(V,W)=(\dim V)(\dim W)$（3.72）、列的矩阵（3.73–3.75）、$\mathcal{M}(Tv)=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(v)$（3.76）、列秩（3.78）、方阵可逆与逆（3.80）。
• 多项式例子：同书 3.67（印刷页码 p71）。本讲把它改写成了先看无限维、再缩到 $\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 的两步叙述。
• 习题来源：同书 3D 节习题（印刷页码 p78–80）中的第 1、2、5、11、12、17、22、24 题；本讲自测第 2、6 题分别对应其中两题的思路。
• 另一条路线的表述：多数中文教材把「可逆 $\iff$ 单射且满射」拆成「系数矩阵满秩 $\iff$ 有唯一解」，并从行列式 $\det A\neq0$ 入手。这条路线结论相同，但把「为什么一条等式就够」藏进了计算过程；本讲采用的是映射视角。行列式视角会在第 37 讲补上，届时两条线会合。
• 术语别名：「可逆」也叫「非奇异（nonsingular）」，「不可逆」也叫「奇异（singular）」；「同构」就是「可逆线性映射」；「单射」也叫「一对一的（one-to-one）」；「逆」也叫「反函数」（仅在集合层面时）。称谓不同不影响内容。
• 权威查证：Bronstein《数学手册》俄文第 10 版（1962）与英文第 6 版（2015）均有「线性映射 / 可逆矩阵」条目，可用于核对术语与条件。