12 对偶

对偶 #

这讲讲什么：把「向量」和「测量向量的规则」拆成两套对象——前者构成 $V$，后者构成 $V'$；并证明有限维时两者一样大、彼此有一部可以直接翻查的词典
前置：05 讲（基）、06 讲（维数）、07 讲（线性映射）、08 讲（零空间、值域与线性映射基本定理）、09 讲（矩阵与矩阵乘法）
一句话：$V'$ 是「所有把向量变成数的线性规则」组成的空间——它和 $V$ 一样大，但箭头全部反过来。

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一、为什么需要它 #

从「数出第 $j$ 个坐标」这件小事说起 #

设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基。那么每个 $v\in V$ 都能唯一地写成

$$v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$$

现在问一个很朴素的问题：给定 $v$，$c_j$ 等于多少？

你可能会说：解方程组。对，但解法有很多种，而这里想抓的不是算法，是结构。注意「取出第 $j$ 个系数」这件事本身是一个函数：

$$\varphi_j:V\to\mathbb{F},\qquad \varphi_j(v)=c_j$$

它吃进一个向量，吐出一个数。而且它是线性的——系数唯一，所以 $u+v$ 的第 $j$ 个系数正好是两者第 $j$ 个系数之和。

关键的一步就在这里：把这个动作从「操作」升格为「对象」。 一旦它是对象，就可以问：两个这样的规则能不能相加？能不能乘标量？它们自己构成一个什么空间？

答案是：能加、能乘、构成一个向量空间。这个空间就是本讲的主角——对偶空间 $V'$。

你早就在用这些规则，只是没给它们名字 #

规则	写成 $\varphi(v)$	线性吗
取第 $j$ 个坐标	$\varphi_j(x_1,\dots,x_n)=x_j$	是
加权求和	$\varphi(x_1,\dots,x_n)=c_1x_1+\cdots+c_nx_n$	是
在一点求值	$\varphi(p)=p(3)$	是
求导后再求值	$\varphi(p)=3p''(5)+7p(4)$	是
积分	$\varphi(p)=\displaystyle\int_0^1 p(x)\,dx$	是
矩阵的迹	$\varphi(A)=\operatorname{tr}A$	是

这六条的共同点一句话能说完：吃一个向量，吐一个数，且保持加法与标量乘法。 你在解方程、在数值积分、在算平均值时，用的全是这类规则。本讲只是把它们摆到台面上，当作一等公民。

没有这套语言会怎样 #

举一个具体的地方。解齐次线性方程组 $Ax=0$，$A$ 是 $m\times n$ 矩阵。你早就知道：解空间维数等于 $n-\operatorname{rank}A$。

可是为什么「每多一个独立方程，解空间就少一维」？这句话在矩阵语言里是算出来的，不是看出来的。而用对偶的语言，它变成一句结构性的陈述：

$$\dim U^0=\dim V-\dim U$$

这里 $U$ 是解空间，$U^0$ 是由那些「在 $U$ 上恒为零」的泛函（也就是方程的系数行）组成的空间。方程组的行空间与解空间互为对偶的补——这句话只有在本讲的语言里才说得出口。第三节会把它算清楚。

「对偶」这个词的味道 #

$V$ 与 $V'$ 维数相同，所以它们同构。但请注意一件事：你没有办法在不选基的情况下，把某个具体的 $v$ 指定配给某个具体的 $\varphi$。 想配对，就得先选基（$\varphi_j$ 配 $v_j$），换一组基，配对全变。

而 $V$ 与它的双重对偶 $V''$ 之间，却存在一个完全不用选基的同构。这个「差一点点」正是「对偶」这个词的分量所在——它是第六节的内容。

再往后，22 讲起的内积部分会给 $V$ 与 $V'$ 之间搭一条不依赖基的桥，那时 $V$ 与 $V'$ 才真正被「焊」在一起，而伴随映射 $T^*$ 就是在这个焊点上定义的（见 25 讲附近）。所以本讲是那条路的第一段。

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二、定义与最小例子 #

定义：线性泛函 #

线性泛函：$V$ 上的线性泛函是从 $V$ 到 $\mathbb{F}$ 的线性映射。换言之，线性泛函是 $\mathcal{L}(V,\mathbb{F})$ 的元素。

展开写就是：$\varphi:V\to\mathbb{F}$ 满足

$$\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v),\qquad \varphi(\lambda v)=\lambda\varphi(v)$$

对所有 $u,v\in V$、$\lambda\in\mathbb{F}$ 成立。

最小例子 #

例 1：$\varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$，$\varphi(x,y,z)=4x-5y+2z$。

验一下线性：$\varphi\big((x,y,z)+(x',y',z')\big)=4(x+x')-5(y+y')+2(z+z')=\varphi(x,y,z)+\varphi(x',y',z')$ ✓。标量乘同理。

例 2：固定 $(c_1,\dots,c_n)\in\mathbb{F}^n$，定义 $\varphi(x_1,\dots,x_n)=c_1x_1+\cdots+c_nx_n$。这是 $\mathbb{F}^n$ 上最一般的线性泛函——理由在 3.2：坐标泛函构成 $V'$ 的基，所以任何线性泛函都是它们的线性组合，形状只能是这个样子。

例 3：$\varphi:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$，$\varphi(p)=3p''(5)+7p(4)$。求导是线性的，求值是线性的，两者复合仍然线性。

例 4：$\varphi:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$，$\varphi(p)=\displaystyle\int_0^1 p(x)\,dx$。积分保持加法与标量乘。

例 5（反例，值得先看一眼）：$\varphi(x,y)=x+2y-1$ 不是线性泛函。查第二条：$\varphi(0,0)=-1$，但线性映射必须把 $0$ 送到 $0$。差一个常数项就不行——这跟 07 讲「线性映射把零送到零」是同一条检验。

定义：对偶空间 #

对偶空间：$V$ 的对偶空间记作 $V'$，是 $V$ 上全体线性泛函所构成的向量空间。换言之，

$$V'=\mathcal{L}(V,\mathbb{F})$$

运算就是映射的加法与标量乘法：$(\varphi+\psi)(v)=\varphi(v)+\psi(v)$，$(\lambda\varphi)(v)=\lambda\varphi(v)$。零元是把每个 $v$ 都送到 $0$ 的那个泛函。

它确实是向量空间——这是 07 讲已经证过的结论（$\mathcal{L}(V,W)$ 总是向量空间）的一个特例，不需要重证。

维数：$V'$ 和 $V$ 一样大 #

命题：设 $V$ 有限维，则 $V'$ 也有限维，且

$$\dim V'=\dim V$$

理由是 10 讲已经算过的一般公式：

$$\dim\mathcal{L}(V,W)=(\dim V)(\dim W)$$

取 $W=\mathbb{F}$，$\dim\mathbb{F}=1$，于是 $\dim V'=(\dim V)\cdot 1=\dim V$。

定义：对偶基 #

对偶基：如果 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，那么它们的对偶基是 $V'$ 中的元素 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 构成的组，其中每个 $\varphi_j$ 是 $V$ 上满足下式的线性泛函：

$$\varphi_j(v_k)=\begin{cases}1,& k=j\\ 0,& k\neq j\end{cases}$$

用 $\delta_{jk}$ 简写右边，即 $\varphi_j(v_k)=\delta_{jk}$。

$$\varphi_j(v)=c_1\delta_{j1}+\cdots+c_n\delta_{jn}=c_j$$

对偶基的 $\varphi_j$ 就是「取第 $j$ 个坐标」这个泛函。 定义与直觉在这里合上了。

最小例子 1：$\mathbb{F}^n$ 的标准基 #

设 $e_1,\dots,e_n$ 是 $\mathbb{F}^n$ 的标准基，定义

$$\varphi_j(x_1,\dots,x_n)=x_j$$

那么 $\varphi_j(e_k)=\delta_{jk}$，所以 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 就是标准基的对偶基。

换句话说：$\mathbb{F}^n$ 的标准基的对偶基，就是把「取第 $j$ 个坐标」这件事本身。 平平无奇，但它是所有计算的基准。

最小例子 2：一组斜基的对偶基（建议自己先算） #

取 $V=\mathbb{R}^2$，基

$$v_1=(1,1),\qquad v_2=(1,-1)$$

求对偶基 $\varphi_1,\varphi_2$。

设 $\varphi_1(x,y)=ax+by$。条件 $\varphi_1(v_1)=1$、$\varphi_1(v_2)=0$ 给出

$$\begin{cases}a+b=1\\ a-b=0\end{cases}\ \Longrightarrow\ a=b=\tfrac12$$

$$\varphi_1(x,y)=\frac{x+y}{2}$$

同理设 $\varphi_2(x,y)=ax+by$，条件 $\varphi_2(v_1)=0$、$\varphi_2(v_2)=1$ 给出 $a+b=0$、$a-b=1$，解得 $a=\tfrac12$、$b=-\tfrac12$：

$$\varphi_2(x,y)=\frac{x-y}{2}$$

验算：取 $v=(3,1)$。按公式，坐标应当是 $\varphi_1(v)=2$、$\varphi_2(v)=1$。核对 $2(1,1)+1(1,-1)=(3,1)$ ✓。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 对偶基读出坐标 #

命题：设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 是其对偶基。那么对每个 $v\in V$，

$$v=\varphi_1(v)v_1+\cdots+\varphi_n(v)v_n$$

证明：设 $v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$。两边同时作用 $\varphi_j$：

$$\varphi_j(v)=\varphi_j\Big(\sum_{k=1}^{n}c_kv_k\Big)=\sum_{k=1}^{n}c_k\varphi_j(v_k)=\sum_{k=1}^{n}c_k\delta_{jk}=c_j$$

把 $c_j=\varphi_j(v)$ 代回展开式即得。∎

3.2 对偶基确实是对偶空间的基 #

名字叫「对偶基」，得先证明它真的是基，否则这个名字是骗人的。

证明分两步。

第一步：线性无关。 设 $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{F}$ 使得

$$a_1\varphi_1+\cdots+a_n\varphi_n=0$$

这里的 $0$ 是 $V'$ 的零元，即「把一切都送到 $0$」的泛函。把它作用在 $v_k$ 上：

$$\big(a_1\varphi_1+\cdots+a_n\varphi_n\big)(v_k)=a_k$$

左边是 $0(v_k)=0$，所以 $a_k=0$，对每个 $k$ 都成立。故线性无关。

第二步：长度够。 这个无关组的长度是 $n=\dim V=\dim V'$。由 05 讲「长度等于维数的无关组必是基」，$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 是 $V'$ 的基。∎

3.3 对偶映射 $T'$ #

现在把「取对偶」推到映射上。

定义：设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。$T$ 的对偶映射 $T'$ 是由下式定义的线性映射 $T'\in\mathcal{L}(W',V')$：对每个 $\varphi\in W'$，

$$T'(\varphi)=\varphi\circ T$$

为什么 $T'(\varphi)=\varphi\circ T$ 一定是 $V$ 上的线性泛函？因为两个线性映射的复合还是线性的（07 讲）。$T'(\varphi)$ 从 $V$ 到 $\mathbb{F}$，且线性 ✓。

$T'$ 自己是线性的，这一点要单独确认（它现在是从 $W'$ 到 $V'$ 的映射，不能白拿结论）：

$$T'(\varphi+\psi)=(\varphi+\psi)\circ T=\varphi\circ T+\psi\circ T=T'(\varphi)+T'(\psi)$$

$$T'(\lambda\varphi)=(\lambda\varphi)\circ T=\lambda(\varphi\circ T)=\lambda T'(\varphi)$$

两步都用到了「映射的加法与标量乘法就是逐点相加、逐点乘」（07 讲）。✓

例：微分映射的对偶映射。 设 $D:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R})$，$Dp=p'$。

• 取 $\varphi(p)=p(3)$。则 $\big(D'(\varphi)\big)(p)=\varphi(Dp)=\varphi(p')=p'(3)$。所以 $D'(\varphi)$ 是「先求导再在 $3$ 处取值」。
• 取 $\varphi(p)=\displaystyle\int_0^1 p$。则 $\big(D'(\varphi)\big)(p)=\varphi(p')=\displaystyle\int_0^1 p'=p(1)-p(0)$。所以 $D'(\varphi)$ 是「首尾之差」。

3.4 对偶映射的代数性质 #

命题：设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，则

$$\text{(a)}\ (S+T)'=S'+T'\qquad \text{(b)}\ (\lambda T)'=\lambda T'\qquad \text{(c)}\ (ST)'=T'S'$$

其中 (a)(b) 对所有 $S\in\mathcal{L}(V,W)$ 成立，(c) 对所有使 $ST$ 有意义的 $S\in\mathcal{L}(W,U)$ 成立。

只证 (c)，因为它是唯一会出意外的一条。取 $\varphi\in U'$：

$$\begin{aligned}(ST)'(\varphi)&=\varphi\circ(ST)\\&=(\varphi\circ S)\circ T\\&=T'(\varphi\circ S)\\&=T'\big(S'(\varphi)\big)\\&=(T'S')(\varphi)\end{aligned}$$

第 1、3、4 个等号是 $T'$ 的定义，第 2 个等号是复合的结合律，最后一步是复合的定义。∎

3.5 零化子 #

定义：对 $U\subseteq V$，$U$ 的零化子记作 $U^0$，定义为

$$U^0=\{\varphi\in V':\ \text{对每个}\ u\in U,\ \varphi(u)=0\}$$

一句话：在 $U$ 上全部瞎掉的泛函的全体。

例：设 $U$ 是 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 中由 $x^2$ 的倍数构成的多项式全体。若 $\varphi(p)=p'(0)$，则 $p(x)=x^2q(x)$ 时 $p'(x)=2xq(x)+x^2q'(x)$，在 $0$ 处为 $0$，故 $\varphi\in U^0$。

例（$\mathbb{R}^5$）：取 $U=\operatorname{span}(e_1,e_2)=\{(x_1,x_2,0,0,0)\}$。若 $\varphi=c_3\varphi_3+c_4\varphi_4+c_5\varphi_5$（$\varphi_j$ 是坐标泛函），则对 $u=(x_1,x_2,0,0,0)$ 有 $\varphi(u)=c_3\cdot0+c_4\cdot0+c_5\cdot0=0$。反过来，若 $\varphi=c_1\varphi_1+\cdots+c_5\varphi_5\in U^0$，用 $e_1\in U$ 得 $0=\varphi(e_1)=c_1$，用 $e_2$ 得 $c_2=0$。所以

$$U^0=\operatorname{span}(\varphi_3,\varphi_4,\varphi_5)$$

维数是 $3$，而 $\dim V=5$、$\dim U=2$。

命题：$U^0$ 是 $V'$ 的子空间。

证明三句：零泛函在 $U$ 上处处为 $0$；若 $\varphi,\psi$ 在 $U$ 上为零则 $(\varphi+\psi)(u)=0+0=0$；标量乘同理。由 03 讲子空间的判据即得。∎

3.6 零化子的维数 #

命题：设 $V$ 有限维，$U$ 是 $V$ 的子空间，则

$$\dim U^0=\dim V-\dim U$$

这条是整讲最有用的一句。先看一个立刻能验的例子：上面 $\mathbb{R}^5$ 里 $5-2=3$ ✓。

证法一（用包含映射）。 令 $i:U\to V$ 是包含映射，$i(u)=u$。（它和恒等映射 $I:U\to U$ 算出来的值一样，但到达空间不同：$I$ 落在 $U$ 里，$i$ 落在 $V$ 里。）于是 $i'\in\mathcal{L}(V',U')$。

先认两个事实：

• $\operatorname{null}i'=U^0$。因为 $i'(\varphi)=\varphi\circ i$ 就是 $\varphi$ 在 $U$ 上的限制，它为零正好意味着 $\varphi$ 在 $U$ 上处处为零。
• $\operatorname{range}i'=U'$。任取 $\psi\in U'$，要把 $\psi$ 扩充成 $V$ 上的泛函：取 $U$ 的基 $u_1,\dots,u_m$，扩成 $V$ 的基 $u_1,\dots,u_m,u_{m+1},\dots,u_n$（05 讲扩充定理），在基上规定 $\psi^+(u_k)=\psi(u_k)$（$k\le m$）、$\psi^+(u_k)=0$（$k>m$），由线性映射引理得到 $\psi^+\in V'$，且 $i'(\psi^+)=\psi$。

把 08 讲的线性映射基本定理用在 $i'$ 上：

$$\dim\operatorname{range}i'+\dim\operatorname{null}i'=\dim V'$$

代入：$\dim U'+\dim U^0=\dim V$，再用 $\dim U'=\dim U$（第二节的「$\dim V'=\dim V$」对 $U$ 用一次）、$\dim V'=\dim V$，得

$$\dim U+\dim U^0=\dim V\ \Longrightarrow\ \dim U^0=\dim V-\dim U$$

∎

证法二（直接造基）。 取 $U$ 的基 $u_1,\dots,u_m$，扩成 $V$ 的基 $u_1,\dots,u_m,u_{m+1},\dots,u_n$，取对偶基 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$。断言：

$$U^0=\operatorname{span}(\varphi_{m+1},\dots,\varphi_n)$$

包含 $\supseteq$：若 $r>m$、$k\le m$，则 $\varphi_r(u_k)=\delta_{rk}=0$，而 $u_1,\dots,u_m$ 张成 $U$，故 $\varphi_r$ 在 $U$ 上处处为 $0$。

包含 $\subseteq$：设 $\varphi\in U^0$，写成 $\varphi=a_1\varphi_1+\cdots+a_n\varphi_n$（对偶基是 $V'$ 的基，3.2 已证）。用 $u_k\in U$（$k\le m$）去咬：$0=\varphi(u_k)=a_k$。故 $a_1=\cdots=a_m=0$，$\varphi$ 只由 $\varphi_{m+1},\dots,\varphi_n$ 组成。

两边合起来，且 $\varphi_{m+1},\dots,\varphi_n$ 线性无关（它是对偶基的一段），于是 $\dim U^0=n-m=\dim V-\dim U$。∎

3.7 零化子的两个极端 #

命题：设 $V$ 有限维，$U$ 是 $V$ 的子空间，则

$$\text{(a)}\ U^0=\{0\}\iff U=V\qquad \text{(b)}\ U^0=V'\iff U=\{0\}$$

两条都由 3.6 一眼得出：(a) $\dim U^0=0\iff\dim U=\dim V\iff U=V$（03 讲：同维数的子空间相等）；(b) $\dim U^0=\dim V\iff\dim U=0\iff U=\{0\}$。

这两条读起来很顺：$U$ 越大，能「瞎掉」的泛函越少；$U$ 大到全空间时，只有零泛函能全瞎；$U$ 小到只剩零时，所有泛函都瞎（因为任何线性泛函都把 $0$ 送到 $0$）。

3.8 对偶映射的零空间与值域 #

命题：设 $V,W$ 有限维，$T\in\mathcal{L}(V,W)$，则

$$\text{(a)}\ \operatorname{null}T'=(\operatorname{range}T)^0\qquad \text{(b)}\ \operatorname{range}T'=(\operatorname{null}T)^0\qquad \text{(c)}\ \dim\operatorname{range}T'=\dim\operatorname{range}T$$

(a) 的证明是双向包含，只有两行。

设 $\varphi\in\operatorname{null}T'$，即 $0=T'(\varphi)=\varphi\circ T$。那么对每个 $v\in V$，$0=(\varphi\circ T)(v)=\varphi(Tv)$，也就是 $\varphi$ 在 $\operatorname{range}T$ 上处处为 $0$，故 $\varphi\in(\operatorname{range}T)^0$。

反过来，若 $\varphi\in(\operatorname{range}T)^0$，则对每个 $v$ 有 $\varphi(Tv)=0$，即 $\varphi\circ T=0$，也就是 $T'(\varphi)=0$。∎

(c) 的证明：把 08 讲基本定理用在 $T'$ 上（$T':W'\to V'$）：

$$\dim\operatorname{range}T'=\dim W'-\dim\operatorname{null}T'=\dim W-\dim(\operatorname{range}T)^0=\dim W-\big(\dim W-\dim\operatorname{range}T\big)=\dim\operatorname{range}T$$

第一个等号用基本定理，第二个用 $\dim W'=\dim W$ 与 (a)，第三个用 3.6。∎

(b) 的证明：先设 $\varphi=T'(\psi)$。若 $v\in\operatorname{null}T$，则

$$\varphi(v)=(T'(\psi))(v)=(\psi\circ T)(v)=\psi(Tv)=\psi(0)=0$$

故 $\varphi\in(\operatorname{null}T)^0$，即 $\operatorname{range}T'\subseteq(\operatorname{null}T)^0$。再比维数：由 (c) 与 08 讲基本定理、3.6，

$$\dim\operatorname{range}T'=\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T=\dim(\operatorname{null}T)^0$$

同维数加包含关系，得相等。∎

推论（维数）：$\dim\operatorname{null}T'=\dim\operatorname{null}T+\dim W-\dim V$。

由 (a) 与 3.6：$\dim\operatorname{null}T'=\dim W-\dim\operatorname{range}T$，再用基本定理把 $\dim\operatorname{range}T$ 换成 $\dim V-\dim\operatorname{null}T$ 即得。

$$\dim\operatorname{null}T'=\dim W-\dim\operatorname{range}T$$

而 $\dim\operatorname{range}T\le\dim W$ 恒成立（值域是 $W$ 的子空间），所以右边 $\ge0$。
换个角度：若 $\dim W<\dim V$，则 $T$ 本来就不可能是单射——
基本定理给出 $\dim\operatorname{null}T=\dim V-\dim\operatorname{range}T\ge\dim V-\dim W>0$，
正好把这个差额补了回来。没有边界情形需要特殊处理。

3.9 单射与满射的互换 #

命题：设 $V,W$ 有限维，$T\in\mathcal{L}(V,W)$，则

$$T\ \text{是满射}\iff T'\ \text{是单射}\qquad T\ \text{是单射}\iff T'\ \text{是满射}$$

前一条的证明是一串等价：

$$\begin{aligned}T\ \text{满射}&\iff\operatorname{range}T=W\\&\iff(\operatorname{range}T)^0=\{0\}\\&\iff\operatorname{null}T'=\{0\}\\&\iff T'\ \text{单射}\end{aligned}$$

第二个等价用 3.7(a)，第三个用 3.8(a)。后一条同理：$T$ 单射 $\iff\operatorname{null}T=\{0\}\iff(\operatorname{null}T)^0=V'\iff\operatorname{range}T'=V'\iff T'$ 满射（用 3.7(b) 与 3.8(b)）。

3.10 对偶映射的矩阵就是转置 #

现在把 09 讲的矩阵接上。设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基、$w_1,\dots,w_m$ 是 $W$ 的基，$\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 与 $\psi_1,\dots,\psi_m$ 是各自的对偶基。于是可以算两个矩阵：$\mathcal{M}(T)$（关于 $v$、$w$）与 $\mathcal{M}(T')$（关于 $\psi$、$\varphi$）。

命题：

$$\mathcal{M}(T')=\big(\mathcal{M}(T)\big)^{\mathsf{T}}$$

注意尺寸自动对上：$\mathcal{M}(T)$ 是 $m\times n$，$\mathcal{M}(T')$ 是 $n\times m$。

证明：记 $A=\mathcal{M}(T)$、$C=\mathcal{M}(T')$。按定义，$C$ 的第 $j$ 列是 $T'(\psi_j)$ 关于 $\varphi_1,\dots,\varphi_n$ 的系数：

$$T'(\psi_j)=\sum_{r=1}^{n}C_{r,j}\,\varphi_r$$

把两边作用到 $v_k$ 上（左边 $T'(\psi_j)=\psi_j\circ T$）：

$$(\psi_j\circ T)(v_k)=\sum_{r=1}^{n}C_{r,j}\,\varphi_r(v_k)=C_{k,j}$$

换个算法再算同一个数。由 $A=\mathcal{M}(T)$ 的定义，$Tv_k=\displaystyle\sum_{r=1}^{m}A_{r,k}w_r$，于是

$$(\psi_j\circ T)(v_k)=\psi_j(Tv_k)=\psi_j\Big(\sum_{r=1}^{m}A_{r,k}w_r\Big)=\sum_{r=1}^{m}A_{r,k}\,\psi_j(w_r)=A_{j,k}$$

两个结果都等于 $(\psi_j\circ T)(v_k)$，故 $C_{k,j}=A_{j,k}$ 对一切 $j,k$ 成立，即 $C=A^{\mathsf{T}}$。∎

具体算一个。 设 $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$，$T(x,y,z)=(4x+5y+6z,\ 7x+8y+9z)$。关于标准基，

$$A=\begin{pmatrix}4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$$

所以 $\mathcal{M}(T')=A^{\mathsf{T}}=\begin{pmatrix}4&7\\5&8\\6&9\end{pmatrix}$。核对一个元素：$\varphi_1$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的第一个坐标泛函，那么

$$T'(\varphi_1)(x,y,z)=\varphi_1(4x+5y+6z,\ 7x+8y+9z)=4x+5y+6z$$

也就是 $T'(\varphi_1)=4\psi_1+5\psi_2+6\psi_3$——系数 $(4,5,6)$ 正是 $A$ 的第一行，也是 $A^{\mathsf{T}}$ 的第一列 ✓。

3.11 副产品：列秩等于行秩 #

有了 3.10，09 讲的「列秩等于行秩」可以有一个几乎不用算的证明。设 $A\in\mathbb{F}^{m,n}$，定义 $T:\mathbb{F}^{n,1}\to\mathbb{F}^{m,1}$ 为 $Tx=Ax$，则 $\mathcal{M}(T)=A$。于是

$$\begin{aligned}A\ \text{的列秩}&=\dim\operatorname{range}T\\&=\dim\operatorname{range}T'\\&=\mathcal{M}(T')\ \text{的列秩}\\&=A^{\mathsf{T}}\ \text{的列秩}\\&=A\ \text{的行秩}\end{aligned}$$

第二个等号是 3.8(c)，第四个是 3.10。转置把行变成列，所以「$A^{\mathsf{T}}$ 的列秩」就是「$A$ 的行秩」。∎

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

泛函的等值线 #

在 $\mathbb{R}^2$ 上取 $\varphi(x,y)=2x+y$。它把整个平面压到一条数轴上：$\varphi(1,0)=2$、$\varphi(0,1)=1$、$\varphi(1,1)=3$。

现在看「$\varphi$ 等于同一个数」的那些点：

• $\varphi=0$：直线 $2x+y=0$，过原点；
• $\varphi=1$：直线 $2x+y=1$，不过原点；
• $\varphi=3$：直线 $2x+y=3$。

这三条线互相平行，而 $\varphi$ 的数值就是「第几条」。 换句话说，一个泛函把平面切成了一族平行直线，并给每条线编了号。

几何对象	代数身份
一族平行直线	泛函 $\varphi$ 的等值线族
其中过原点那条	$\operatorname{null}\varphi$（$\varphi$ 的核）
两条线之间的「间隔」	值差除以 $\varphi$ 在法向上的变化率
直线的方向	由 $\varphi$ 决定，与 $\varphi$ 的系数正交

$$\dim(\operatorname{null}\varphi)^0=n-(n-1)=1$$

而 $(\operatorname{null}\varphi)^0=\operatorname{span}(\varphi)$——「只差一个尺度」的那一个泛函。
这就解释了为什么「一张等值线族」与「一个泛函」是同一件事。

零化子 = 「看不见的维数」 #

$U^0$ 的定义是「在 $U$ 上全部瞎掉」。那么 $U$ 越大，能瞎掉的泛函越少——这正是 $\dim U^0=\dim V-\dim U$ 的几何读法：

$$(\text{瞎掉的泛函数}) = (\text{总维数}) - (\text{被测量的维数})$$

就像量一个 $3$ 维物体，你能取的独立读数最多 $3$ 个；如果你只量其中一张平面（$2$ 维），那剩下的 $1$ 个自由度就是「你没法用这些读数区分的方向」。

记忆钩子 #

基是骨架，对偶基是卡尺。
骨架定方向，卡尺定读数。换骨架，卡尺跟着换。

对偶把箭头反过来，把数字留下来。
$T:V\to W$ 变成 $T':W'\to V'$；复合 $ST$ 变成 $T'S'$；矩阵 $A$ 变成 $A^{\mathsf{T}}$。

核与像换位。
$\operatorname{null}T'=(\operatorname{range}T)^0$、$\operatorname{range}T'=(\operatorname{null}T)^0$；
单射对满射，满射对单射。

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五、常见误区 #

$$T\ \text{满射}\iff T'\ \text{单射},\qquad T\ \text{单射}\iff T'\ \text{满射}$$

也就是说，$T$ 与 $T'$ 的性质是交叉的，不是平行的。

记法：$T$ 的「像不满」在对偶侧变成「核非零」。像不满 ↔ 核非零，正是 $\operatorname{range}T'=(\operatorname{null}T)^0$ 与 $\operatorname{null}T'=(\operatorname{range}T)^0$ 这两条的直接后果。

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六、拓展（可跳过） #

双重对偶：不用选基的同构 #

设 $V''=(V')'$，叫 $V$ 的双重对偶空间。定义

$$\Lambda:V\to V'',\qquad (\Lambda v)(\varphi)=\varphi(v)$$

注意这个定义长什么样：$\Lambda v$ 是 $V''$ 的元素，也就是说它是一个作用在泛函上的泛函。它做什么？把 $\varphi$ 送去 $\varphi(v)$——把「测量」这件事本身当成被测量的对象。

$\Lambda$ 是线性的：$(\Lambda(u+v))(\varphi)=\varphi(u+v)=\varphi(u)+\varphi(v)=(\Lambda u)(\varphi)+(\Lambda v)(\varphi)$。

$\Lambda$ 是单射。设 $\Lambda v=0$，即对所有 $\varphi\in V'$ 有 $\varphi(v)=0$。若 $v\neq0$，把它扩成基 $v=v_1,v_2,\dots,v_n$，取对偶基的第一个 $\varphi_1$，则 $\varphi_1(v)=1\neq0$，矛盾。故 $v=0$。

有限维时 $\dim V''=\dim V'=\dim V$，单射即为同构。所以

$$V\cong V''\qquad(\text{不需要选任何基})$$

商空间的对偶就是零化子 #

设 $U\subseteq V$，$\pi:V\to V/U$ 是商映射（11 讲）。则 $\pi'\in\mathcal{L}\big((V/U)',V'\big)$，并且可以证明

$$\pi'\ \text{是单射，且}\ \operatorname{range}\pi'=U^0$$

于是 $\pi'$ 是 $(V/U)'$ 到 $U^0$ 的同构。读法：「商掉 $U$ 之后还能问的问题」，正好就是「在 $U$ 上瞎掉的那些泛函」。 两边都是由「$U$ 之外的那部分信息」构成的。

这个同构同样不需要选基，而且连有限维都不要求。

一组泛函的零空间交集 #

设 $\varphi_1,\dots,\varphi_m\in V'$ 线性无关，则

$$\dim\big(\operatorname{null}\varphi_1\cap\cdots\cap\operatorname{null}\varphi_m\big)=\dim V-m$$

这是 3.6 的一个化身，但要用 3.9 才落得干脆。定义

$$\Gamma:V\to\mathbb{F}^m,\qquad \Gamma(v)=\big(\varphi_1(v),\dots,\varphi_m(v)\big)$$

$\Gamma$ 显然线性，而且 $\operatorname{null}\Gamma$ 恰好就是那个交集。

断言 $\Gamma$ 是满射。按 3.9，只需证 $\Gamma'$ 是单射。取 $\mathbb{F}^m$ 的标准基的对偶基 $\psi_1,\dots,\psi_m$，则

$$\big(\Gamma'(\psi_j)\big)(v)=\psi_j(\Gamma v)=\varphi_j(v)$$

即 $\Gamma'(\psi_j)=\varphi_j$。于是 $\Gamma'$ 把 $(\mathbb{F}^m)'$ 的一组基送到 $V'$ 中一个线性无关组（$\varphi_1,\dots,\varphi_m$ 线性无关是假设）——这正说明 $\Gamma'$ 是单射。

于是 $\Gamma$ 满射，由 08 讲基本定理，

$$\dim\big(\operatorname{null}\varphi_1\cap\cdots\cap\operatorname{null}\varphi_m\big)=\dim\operatorname{null}\Gamma=\dim V-\dim\operatorname{range}\Gamma=\dim V-m$$

∎

这就是「每多一个独立方程，解空间少一维」的严格版本。 齐次方程组 $Ax=0$ 的每一行给一个泛函，行向量线性无关的条数就是 $\operatorname{rank}A$，于是解空间维数 $=n-\operatorname{rank}A$。第一节提出的那个问题，到这里有了答案。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 判断下列哪些是线性泛函，不是的说出哪条性质坏了：

(a) $\varphi(x,y)=x+2y-1$；(b) $\varphi(p)=p(0)p(1)$；(c) $\varphi(A)=\operatorname{tr}(A)$（$A$ 为 $2\times2$ 矩阵）；(d) $\varphi(x,y)=|x|$。

2. 设 $V=\mathbb{R}^3$，基 $v_1=(1,0,1)$、$v_2=(0,1,1)$、$v_3=(0,0,1)$。求它的对偶基，并写出 $\varphi_1,\varphi_2,\varphi_3$ 的显式公式。

3. 设 $U=\operatorname{span}\big((1,1,0),(0,1,1)\big)\subseteq\mathbb{R}^3$。求 $U^0$，并用维数公式核对。

4. 设 $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$，$T(x,y)=(x+2y,\ 3x+4y)$。设 $\varphi_1,\varphi_2$ 是 $\mathbb{R}^2$ 标准基的对偶基。(a) 写出 $\mathcal{M}(T')$；(b) 把 $T'(\varphi_1)$、$T'(\varphi_2)$ 写成 $\varphi_1,\varphi_2$ 的线性组合，核对与 (a) 是否一致。

5. 设 $\varphi$ 是 $V$ 上的线性泛函且 $\varphi\neq0$。证明 $\varphi$ 是满射。（提示：先想 $\operatorname{range}\varphi$ 是 $\mathbb{F}$ 的什么。）

答案（点开）

1. (a) 不是。$\varphi(0,0)=-1\neq0$，线性映射必须把零送到零。
(b) 不是。$\varphi(2p)=p(0)p(1)\cdot4\neq2\varphi(p)$——它是二次的。
(c) 是。迹对矩阵加法与标量乘都线性。
(d) 不是。$\varphi\big((-1)(1,0)\big)=\varphi(-1,0)=1$，而 $(-1)\varphi(1,0)=-1$，标量乘坏了。

2. 设 $\varphi_j(x,y,z)$ 待定。由第三节 3.1 的公式，把 $(x,y,z)$ 写成基的线性组合：

$$(x,y,z)=x\cdot(1,0,1)+y\cdot(0,1,1)+(z-x-y)\cdot(0,0,1)$$

系数依次是 $x$、$y$、$z-x-y$，所以

$$\varphi_1(x,y,z)=x,\quad \varphi_2(x,y,z)=y,\quad \varphi_3(x,y,z)=z-x-y$$

核对：$\varphi_3(v_3)=1-0-0=1$ ✓；$\varphi_3(v_1)=1-1-0=0$ ✓；$\varphi_3(v_2)=1-0-1=0$ ✓。
（也可设 $ax+by+cz$ 解三个方程，结果相同。）

3. 设 $\varphi(x,y,z)=ax+by+cz$。要求在 $(1,1,0)$ 与 $(0,1,1)$ 上为零：

$$a+b=0,\qquad b+c=0$$

取 $b=t$，则 $a=-t$、$c=-t$，即 $\varphi=t(-x+y-z)$。故

$$U^0=\operatorname{span}(\varphi),\qquad \varphi(x,y,z)=-x+y-z$$

核对维数：$\dim U=2$（两向量不共线），$\dim U^0=1=3-2$ ✓。

4. (a) $A=\mathcal{M}(T)=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，故

$$\mathcal{M}(T')=A^{\mathsf{T}}=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$$

(b) $T'(\varphi_1)(x,y)=\varphi_1(x+2y,\ 3x+4y)=x+2y=\varphi_1(x,y)+2\varphi_2(x,y)$；
$T'(\varphi_2)(x,y)=3x+4y=3\varphi_1(x,y)+4\varphi_2(x,y)$。
所以系数依次是 $(1,2)$ 与 $(3,4)$，正是 $\mathcal{M}(T')$ 的两列 ✓。
（注意：这两列与 $A$ 的两行相同，这就是转置。）

5. $\operatorname{range}\varphi$ 是 $\mathbb{F}$ 的子空间。而 $\mathbb{F}$ 的子空间只有两个：$\{0\}$ 与 $\mathbb{F}$ 全体。
若 $\operatorname{range}\varphi=\{0\}$，则 $\varphi$ 把一切都送到 $0$，即 $\varphi=0$，与假设矛盾。
故 $\operatorname{range}\varphi=\mathbb{F}$，$\varphi$ 是满射。∎
顺带一个结论：$\mathbb{F}$ 上的非零线性泛函都是满的，所以它的核必然是 $n-1$ 维的（3.6）。

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八、复习卡 #

项	内容
线性泛函	$V$ 上从 $V$ 到 $\mathbb{F}$ 的线性映射，即 $\mathcal{L}(V,\mathbb{F})$ 的元素
对偶空间	$V'=\mathcal{L}(V,\mathbb{F})$，运算逐点做
维数相等	有限维时 $\dim V'=\dim V$
对偶基	$\varphi_j(v_k)=\delta_{jk}$；存在唯一由线性映射引理保证
对偶基读坐标	$v=\varphi_1(v)v_1+\cdots+\varphi_n(v)v_n$
对偶基是基	用 $v_k$ 去咬可证线性无关；长度 $=\dim V'$
对偶映射	$T'(\varphi)=\varphi\circ T$，$T'\in\mathcal{L}(W',V')$，方向相反
复合反序	$(ST)'=T'S'$；另有 $(S+T)'=S'+T'$、$(\lambda T)'=\lambda T'$
零化子	$U^0=\{\varphi\in V':\varphi\ \text{在}\ U\ \text{上恒为}\ 0\}\subseteq V'$
零化子是子空间	是 $V'$ 的子空间
零化子维数	$\dim U^0=\dim V-\dim U$（有限维）
两个极端	$U^0=\{0\}\iff U=V$；$U^0=V'\iff U=\{0\}$
对偶的核与像	$\operatorname{null}T'=(\operatorname{range}T)^0$；$\operatorname{range}T'=(\operatorname{null}T)^0$
同维	$\dim\operatorname{range}T'=\dim\operatorname{range}T$
单射满射互换	$T$ 满 $\iff T'$ 单；$T$ 单 $\iff T'$ 满
矩阵转置	$\mathcal{M}(T')=\mathcal{M}(T)^{\mathsf{T}}$（两侧取对偶基）
副产品	列秩 $=$ 行秩
双重对偶	$\Lambda:V\to V''$，$(\Lambda v)(\varphi)=\varphi(v)$，不需选基的同构（有限维）
不自然 vs 自然	$V\cong V'$ 需选基；$V\cong V''$ 不需要

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线出处：本讲对应《线性代数应该这样学》（第 4 版，Sheldon Axler 著，吴俊达、何阳 译）第 3 章 3F 节「对偶」，PDF 页码 p102–113。按编号回查：线性泛函的定义 3.108、例 3.109（四个泛函例子）、对偶空间 3.110、$\dim V'=\dim V$ 3.111、对偶基 3.112、例 3.113（$\mathbb{F}^n$ 标准基的对偶基）、对偶基给出坐标 3.114、对偶基是 $V'$ 的基 3.116、对偶映射 3.118、例 3.119（微分映射的对偶）、对偶映射的代数性质 3.120、零化子 3.121、例 3.122 与 3.123（$\mathbb{R}^5$ 的二维子空间）、零化子是子空间 3.124、零化子的维数 3.125、两项极端情形 3.127、$T'$ 的零空间 3.128、满射等价于对偶单射 3.129、$T'$ 的值域 3.130、单射等价于对偶满射 3.131、$T'$ 的矩阵是转置 3.132、列秩等于行秩 3.133。
• 符号差异：有的教材用 $V^{*}$ 记对偶空间、$T^{*}$ 记对偶映射；本课把 $*$ 留给伴随，所以一律用撇号。阅读时注意撇号还与导数共用——看它挂在空间上还是函数上。
• 与前后讲的接口：线性映射引理、$\mathcal{L}(V,W)$ 的向量空间结构见 07 讲；零空间、值域与线性映射基本定理见 08 讲；矩阵的定义、矩阵乘法与 $\mathcal{M}(T)$ 见 09 讲；$A^{\mathsf{T}}$ 与列秩见 09 讲；扩充定理见 05 讲；子空间判据见 03 讲；商映射与商空间见 11 讲。3.6 的证法一用的正是「把子空间问题变成映射的零空间问题再套基本定理」这个套路。
• 想深挖，3F 节的习题值得挑着做：习题 3（$v\neq0$ 时存在 $\varphi$ 使 $\varphi(v)=1$——本讲双重对偶单射性用到的就是它）；习题 6（$\operatorname{null}\varphi\subseteq\operatorname{null}\psi\iff\psi=c\varphi$，泛函版的「两个方程成比例」）；习题 11（用 $\psi(v_k)$ 展开 $\psi$，是 3.114 的对偶版本）；习题 21–22（零化子与包含、和、交的关系：$(U+W)^0=U^0\cap W^0$、$(U\cap W)^0=U^0+W^0$）；习题 26（$\Omega$ 与它的零化子互为对偶）；习题 30（任何一组对偶基都被某个基的对偶基实现）；习题 32（双重对偶，即本讲第六节）；习题 33（$(V/U)'\cong U^0$）。
• 另一个角度：把线性泛函看成「一张试卷」的讲法，在数值分析与优化里非常常见——有限元里的「试探函数 / 检验函数」就是 $V$ 与 $V'$ 各取一套；线性规划里的对偶问题、拉格朗日乘子，都是「用一组成员资格测量约束」的同一思想。这些方向已经超出线性代数的范围，但本讲的结构是它们的骨架。
• 权威查证：Bronstein《数学手册》俄文第 10 版（1962）与英文第 6 版（2015）均可检索 "dual space / Dualraum / сопряжённое пространство"，可复核对偶空间、零化子、转置映射的定义与记号。
• 术语别名：线性泛函 = linear functional；对偶空间 = dual space（也叫共轭空间）；对偶映射 = dual map，也叫转置映射（transpose map）；零化子 = annihilator；双重对偶 = double dual / bidual；对偶基 = dual basis。称谓不同不影响内容。