09 矩阵

矩阵 #

这讲讲什么：怎么把线性映射记成一堆数；矩阵加法、标量乘法、乘法分别该怎样定义；为什么矩阵乘法偏偏是「行乘列」；以及矩阵的秩在加法与乘法下怎么变（Sylvester、Frobenius 两条不等式）
前置：线性映射（07）；基与维数（05–06）
一句话：矩阵是线性映射在选定两组基下的坐标记录——矩阵乘法之所以长成那样，是因为它必须记录复合映射。

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一、为什么需要它 #

从前面几讲已经知道一件非常省事的事：线性映射 $T:V\to W$ 有无穷多个输入，但只要知道它把一组基送到哪里，整个映射就定死了。基有 $n$ 个向量，每个的像都由 $W$ 的基唯一地表示成 $m$ 个数——于是记录一个线性映射，只需要 $mn$ 个数。

剩下的问题只有一个：这 $mn$ 个数怎么摆、怎么用？

摆法就是矩阵：一列装一个基向量的像，一共 $n$ 列；一行对应到达空间的一个基向量，一共 $m$ 行。

如果只是想算「某个向量的像」，把坐标取出来做线性组合就够了，不需要更大的机器。真正的麻烦在两个映射叠在一起：先做 $T$，再做 $S$，得到的复合映射 $ST$ 的矩阵是什么？

这个问题的答案，就是矩阵乘法那条看起来古怪的规则。它不是谁拍脑袋规定的，而是被复合映射逼出来的唯一选择——这是本讲最核心的一句话，第三节会用完整推导兑现它。

读完这一讲你应该能回答：

1. 给定 $T$ 和两组基，$\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列是什么？第 $j$ 行第 $k$ 列的数是谁的系数？
2. 为什么矩阵乘法规定为「行乘列」，而不是对应位置相乘？
3. 为什么 $\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$ 里，先作用的映射写在右边？
4. 为什么矩阵乘法满足结合律，却不满足交换律？两个原因各是什么？
5. 已知 $\operatorname{rank}A$ 与 $\operatorname{rank}B$，能对 $\operatorname{rank}(AB)$ 说些什么？为什么乘法既有上界又有下界？

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二、定义与最小例子 #

矩阵：把数排成矩形 #

矩阵：设 $m,n$ 是非负整数，一个 $m\times n$ 矩阵是由 $\mathbb{F}$ 中元素排成的 $m$ 行 $n$ 列的矩形阵列：

$$A=\begin{pmatrix}A_{1,1}&\cdots&A_{1,n}\\\vdots&&\vdots\\A_{m,1}&\cdots&A_{m,n}\end{pmatrix}$$

记号 $A_{j,k}$ 表示 $A$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列中的元素。

最小例子：

$$A=\begin{pmatrix}8&4&5\\-3i&1&9\end{pmatrix}$$

这是 $2\times 3$ 矩阵。$A_{1,3}=5$，$A_{2,1}=-3i$，$A_{2,3}=9$。注意那个 $-3i$：元素来自数域 $\mathbb{F}$，取 $\mathbb{C}$ 时本来就是复数，不必觉得别扭。

元素全是 $0$ 的 $m\times n$ 矩阵叫零矩阵，也记作 $0$。

线性映射的矩阵 #

现在正式回答「怎么摆」。

设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$w_1,\dots,w_m$ 是 $W$ 的基。每个 $Tv_k$ 都是 $W$ 中的向量，因此能唯一地写成 $w_1,\dots,w_m$ 的线性组合：

$$Tv_k=A_{1,k}w_1+\cdots+A_{m,k}w_m$$

$T$ 关于这两组基的矩阵记作 $\mathcal{M}(T)$，就是把上面这些系数 $A_{j,k}$ 按「第 $k$ 列装 $Tv_k$ 的系数」摆成的 $m\times n$ 矩阵。

若从上下文看不出用的是哪两组基，就写全：$\mathcal{M}\big(T,(v_1,\dots,v_n),(w_1,\dots,w_m)\big)$。

把这一行式子逐字读一遍，得到本讲最该背下来的一句话：

$\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列，就是 $Tv_k$ 关于 $W$ 的基 $w_1,\dots,w_m$ 的坐标。

换句话说：列对应定义域的基向量，行对应到达空间的基向量。 后面所有「矩阵摆错了」「怎么转置了」的事故，根源都是这句话没记住。

例 1：从 $\mathbb{F}^2$ 到 $\mathbb{F}^3$ #

设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2,\mathbb{F}^3)$ 由

$$T(x,y)=(x+3y,\ 2x+5y,\ 7x+9y)$$

定义。两端都取标准基（第 $k$ 个基向量是「第 $k$ 个坐标是 $1$、其余坐标是 $0$」的那个）。逐个算基向量的像：

$$T(1,0)=(1,2,7),\qquad T(0,1)=(3,5,9)$$

按定义，第 1 列装 $T(1,0)$ 的坐标 $(1,2,7)$，第 2 列装 $T(0,1)$ 的坐标 $(3,5,9)$：

$$\mathcal{M}(T)=\begin{pmatrix}1&3\\2&5\\7&9\end{pmatrix}$$

立刻验一次：用矩阵算 $T(2,1)$。因为 $(2,1)=2(1,0)+1(0,1)$，所以

$$T(2,1)=2(1,2,7)+1(3,5,9)=(5,9,23)$$

直接代原式核对：$(2+3,\ 4+5,\ 14+9)=(5,9,23)$。✓

这次验算其实泄漏了一个关键事实：矩阵的每一列就是对应基向量的像，所以「算 $T$ 在某个向量上的值」就等于「拿那个向量的坐标去组合矩阵的列」。第三节会把它写成正式结论。

例 2：微分映射 #

设 $D\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}_3(\mathbb{R}),\mathcal{P}_2(\mathbb{R})\big)$ 是求导映射：$Dp=p'$。这里 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 指次数不超过 $3$ 的实系数多项式全体，$\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 同理。

取 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 的标准基 $1,x,x^2,x^3$，$\mathcal{P}_2(\mathbb{R})$ 的标准基 $1,x,x^2$。逐个求像并写成后者的组合：

$$D(1)=0\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2$$

$$D(x)=1\cdot 1+0\cdot x+0\cdot x^2$$

$$D(x^2)=0\cdot 1+2\cdot x+0\cdot x^2$$

$$D(x^3)=0\cdot 1+0\cdot x+3\cdot x^2$$

四列并起来，得到 $3\times 4$ 矩阵：

$$\mathcal{M}(D)=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&2&0\\0&0&0&3\end{pmatrix}$$

看这个矩阵的形状：$1,2,3$ 依次向右上错一位。求导在这种基下就是"沿斜线搬家"，这比背公式更能说明它是线性映射。

两个尺寸规律 #

情形	矩阵大小
$T$ 从 $n$ 维空间到 $m$ 维空间	$m\times n$
$T$ 从 $\mathbb{F}^n$ 到 $\mathbb{F}^m$（两端默认标准基）	$m\times n$

反过来：矩阵也能还原映射 #

给定 $T$ 与两组基得到矩阵；反过来，给定一个 $m\times n$ 矩阵与两组基，也能唯一确定一个线性映射：先规定 $Tv_k$ 为「第 $k$ 列的系数配 $w_1,\dots,w_m$」组合出的那个向量，再按线性把定义扩展到整个 $V$。

这就是矩阵值得被当成独立对象研究的原因：在固定基下，矩阵与线性映射一一对应。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 加法与标量乘法：先问映射，再定矩阵 #

两个问题，问法要一致。

问题一：$\mathcal{M}(S+T)$ 应该等于什么？先把 $(S+T)v_k$ 按定义拆开：

$$(S+T)v_k=Sv_k+Tv_k=\sum_{j=1}^{m}A_{j,k}w_j+\sum_{j=1}^{m}B_{j,k}w_j=\sum_{j=1}^{m}\big(A_{j,k}+B_{j,k}\big)w_j$$

其中 $A=\mathcal{M}(S)$、$B=\mathcal{M}(T)$。最后一步把系数相加，凭什么可以？因为 $w_1,\dots,w_m$ 是基，$W$ 中每个向量的坐标是唯一的。既然 $(S+T)v_k$ 的第 $j$ 个系数只能等于 $A_{j,k}+B_{j,k}$，矩阵加法就只能是逐元素相加：

$$\begin{pmatrix}A_{1,1}&\cdots&A_{1,n}\\\vdots&&\vdots\\A_{m,1}&\cdots&A_{m,n}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}C_{1,1}&\cdots&C_{1,n}\\\vdots&&\vdots\\C_{m,1}&\cdots&C_{m,n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_{1,1}+C_{1,1}&\cdots&A_{1,n}+C_{1,n}\\\vdots&&\vdots\\A_{m,1}+C_{m,1}&\cdots&A_{m,n}+C_{m,n}\end{pmatrix}$$

问题二：$\mathcal{M}(\lambda T)$ 应该等于什么？同样：$(\lambda T)v_k=\lambda(Tv_k)=\sum_j(\lambda A_{j,k})w_j$，所以标量乘法只能是每个元素乘 $\lambda$。

两条结论合起来：

$$\mathcal{M}(S+T)=\mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T),\qquad \mathcal{M}(\lambda T)=\lambda\mathcal{M}(T)$$

手算一例：

$$2\begin{pmatrix}3&1\\-1&5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&2\\1&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&2\\-2&10\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}4&2\\1&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&4\\-1&16\end{pmatrix}$$

3.2 $\mathbb{F}^{m,n}$：矩阵自己也构成向量空间 #

记 $\mathbb{F}^{m,n}$ 为元素全在 $\mathbb{F}$ 中的所有 $m\times n$ 矩阵组成的集合（$m,n$ 为正整数）。配上刚才的加法与标量乘法，它满足向量空间的全部性质——这不是巧合，而是因为「逐元素运算」相当于把 $mn$ 个位置各自变成一份 $\mathbb{F}$，互不干扰。

它的加法零元就是零矩阵：所有元素都等于 $0$ 的那个 $m\times n$ 矩阵。

维数是多少？看「只有一个位置是 $1$、其余都是 $0$」的那些矩阵。以 $2\times 2$ 为例，共 4 个：

$$E_{1,1}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\quad E_{1,2}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad E_{2,1}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\quad E_{2,2}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$$

任何 $2\times 2$ 矩阵都能唯一地写成它们的组合：

$$\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=aE_{1,1}+bE_{1,2}+cE_{2,1}+dE_{2,2}$$

组合系数就是元素本身，所以写法唯一、四个矩阵线性无关——它们构成 $\mathbb{F}^{2,2}$ 的一组基，$\dim\mathbb{F}^{2,2}=4$。推广到一般：

$$\dim\mathbb{F}^{m,n}=mn$$

理由一句话：$mn$ 个位置，每个位置提供一个独立的自由度。

3.3 矩阵乘法：唯一能让 $\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$ 成立的定义 #

这是本讲的核心，请慢慢读。

动机。 取 $T:U\to V$、$S:V\to W$，并固定三组基：$U$ 的 $u_1,\dots,u_p$，$V$ 的 $v_1,\dots,v_n$，$W$ 的 $w_1,\dots,w_m$。记

$$B=\mathcal{M}(T)\quad(n\times p),\qquad A=\mathcal{M}(S)\quad(m\times n)$$

复合映射 $ST:U\to W$ 是线性的，它当然也有矩阵。问题：$\mathcal{M}(ST)$ 长什么样？

注意此刻「两个矩阵相乘」还没有定义，所以不能直接问「$AB$ 等不等于 $\mathcal{M}(ST)$」。正确的问法是：先把 $\mathcal{M}(ST)$ 老老实实算出来，再照着它的样子去定义矩阵乘法。顺序不能颠倒。

算。 复合映射由它对基向量的作用定死，所以逐个 $u_k$ 算：

$$(ST)u_k=S(Tu_k)$$

第一步，把 $Tu_k$ 用 $V$ 的基展开——这里用上的正是 $\mathcal{M}(T)$ 的第 $k$ 列：

$$Tu_k=\sum_{r=1}^{n}B_{r,k}v_r$$

第二步，用 $S$ 的线性把 $S$ 推进求和号：

$$S(Tu_k)=S\left(\sum_{r=1}^{n}B_{r,k}v_r\right)=\sum_{r=1}^{n}B_{r,k}\,Sv_r$$

第三步，把每个 $Sv_r$ 用 $W$ 的基展开——这里用上的正是 $\mathcal{M}(S)$ 的第 $r$ 列：

$$Sv_r=\sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j$$

代回去：

$$S(Tu_k)=\sum_{r=1}^{n}B_{r,k}\sum_{j=1}^{m}A_{j,r}w_j$$

第四步，交换求和顺序，把 $w_j$ 提到外面：

$$S(Tu_k)=\sum_{j=1}^{m}\left(\sum_{r=1}^{n}A_{j,r}B_{r,k}\right)w_j$$

读结果。 这个式子说的是：$(ST)u_k$ 关于 $w_1,\dots,w_m$ 的第 $j$ 个坐标，等于 $\sum_{r=1}^{n}A_{j,r}B_{r,k}$。而按矩阵的定义，$\mathcal{M}(ST)$ 是 $m\times p$ 矩阵，它的第 $j$ 行第 $k$ 列元素正是这个数。

于是我们别无选择：要让矩阵真的记录住复合映射，两矩阵之积只能定义成

$$(AB)_{j,k}=\sum_{r=1}^{n}A_{j,r}B_{r,k}$$

使用条件：$A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$。中间那个 $n$ 必须对上——第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

这个定义古怪在哪里，又为什么其实不古怪。 若改成「对应位置相乘」$A_{j,k}B_{j,k}$，表面上自然得多，但它记录不了复合：那样定义的话，$\mathcal{M}(ST)$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列只会牵扯到 $A_{j,k}$ 与 $B_{j,k}$，而复合映射第 $j$ 个输出坐标根本用不到 $B$ 的第 $j$ 行——它需要的是中间空间 $V$ 的全部坐标。所以下标 $r$ 必须被求和消掉。

求和消 $r$，不是风格选择，是复合映射的结构决定的。

3.4 手算：$3\times 2$ 乘 $2\times 4$ #

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6&5&4&3\\2&1&0&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7&4&1\\26&19&12&5\\42&31&20&9\end{pmatrix}$$

自己动手核两处：

• 结果的第 1 行第 1 列 $=1\cdot 6+2\cdot 2=10$；
• 结果的第 2 行第 1 列 $=3\cdot 6+4\cdot 2=26$。

行数 $3$ 跟着左边走，列数 $4$ 跟着右边走，中间那个 $2$ 被吃掉了。（这个 $26$ 一会儿还有用。）

3.5 同一个乘积的四种读法 #

它们说的是同一件事，但各自擅长回答不同的问题。

读法一：行乘列。 这就是定义本身。先约定记号：$A_{j,\cdot}$ 表示 $A$ 的第 $j$ 行（看作一个 $1\times n$ 矩阵），$A_{\cdot,k}$ 表示 $A$ 的第 $k$ 列（看作一个 $m\times 1$ 矩阵）。于是

$$(AB)_{j,k}=A_{j,\cdot}B_{\cdot,k}=A_{j,1}B_{1,k}+\cdots+A_{j,n}B_{n,k}$$

即「把 $A$ 的第 $j$ 行横过来、$B$ 的第 $k$ 列竖起来，对应位置相乘再相加」。手算时用这条最快。

顺带一个通行约定：$1\times 1$ 矩阵常与它里面那个数等同起来。例如

$$\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}=3\cdot 6+4\cdot 2=26$$

习惯上就把右边那个 $1\times 1$ 矩阵写成 $26$。3.4 里第二行第一列那个 $26$，正是左边矩阵的第 2 行 $\begin{pmatrix}3&4\end{pmatrix}$ 乘以右边矩阵的第 1 列 $\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}$。

读法二：每一列 = 右边那一列的像。 对每个 $k$：

$$(AB)_{\cdot,k}=A\,B_{\cdot,k}$$

$AB$ 的第 $k$ 列，等于「用 $A$ 去乘 $B$ 的第 $k$ 列」。这条最好记，也最有几何味道。

读法三：每一列 = $A$ 各列的线性组合。 把 $n\times 1$ 矩阵 $b$ 的元素记作 $b_1,\dots,b_n$，则

$$Ab=b_1A_{\cdot,1}+\cdots+b_nA_{\cdot,n}$$

$Ab$ 是 $A$ 各列的线性组合，系数来自 $b$。 手算一例：

$$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\19\\31\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$$

把读法二与读法三串起来，得到一句极有用的话：

$AB$ 的每一列，都是 $A$ 各列的线性组合，系数由 $B$ 的对应列给出。

读法四：每一行 = $B$ 各行的线性组合。 对称地，系数来自 $A$ 的第 $j$ 行：

$$A_{j,\cdot}B=A_{j,1}B_{1,\cdot}+\cdots+A_{j,n}B_{n,\cdot}$$

读法二、三管列，读法四管行。 想证明与「行」或「列」有关的性质时，这两套读法比硬展开逐元素省力得多。

3.6 三条性质，以及它们各自的原因 #

（1）结合律成立：

$$(AB)C=A(BC)$$

前提是三个矩阵大小能接上（$A$ 的列数 $=$ $B$ 的行数，$B$ 的列数 $=$ $C$ 的行数）。

原因不在堆 $\sum$，而在映射上。要串起三个映射，这里改用三个字母，依次是 $R:U\to V$、$T:V\to W$、$S:W\to X$（含义与前文相同，只是字母换了一遍）。取与它们相配的基，记 $A=\mathcal{M}(S)$、$B=\mathcal{M}(T)$、$C=\mathcal{M}(R)$。由「乘积矩阵记录复合映射」：

$$(AB)C=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(R)=\mathcal{M}(ST)\mathcal{M}(R)=\mathcal{M}\big((ST)R\big)$$

$$A(BC)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(TR)=\mathcal{M}\big(S(TR)\big)$$

而映射的复合天然满足 $(ST)R=S(TR)$——两边都把 $u$ 送到 $S(T(Ru))$，逐字一样。所以两个矩阵相等。

（2）交换律不成立：$AB$ 与 $BA$ 一般不等，有时甚至只有一个有定义。

原因同样在映射层面：复合映射不交换。举个一眼看穿的例子，取两个 $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 的映射：

• $P$：向 $x$ 轴投影，$\mathcal{M}(P)=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$；
• $R$：逆时针转 $90^\circ$，$\mathcal{M}(R)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$。

先旋转再投影，与先投影再旋转，结果完全不同：

$$\mathcal{M}(P)\mathcal{M}(R)=\begin{pmatrix}0&-1\\0&0\end{pmatrix},\qquad \mathcal{M}(R)\mathcal{M}(P)=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$$

几何上也一目了然：$\mathcal{M}(R)\mathcal{M}(P)$ 把 $(1,0)$ 送到 $(0,1)$，而 $\mathcal{M}(P)\mathcal{M}(R)$ 把 $(1,0)$ 送到原点（先转到 $(0,1)$，再投影到 $x$ 轴就没了）。

所以「矩阵乘法不交换」根本不是矩阵的毛病，而是「先做一件事、再做另一件事」本来就不可交换。

（3）分配律成立：

$$A(B+C)=AB+AC,\qquad (D+E)F=DF+EF$$

原因还是映射：$S(T+R)=ST+SR$，因为 $S$ 是线性的，$S(Tu+Ru)=S(Tu)+S(Ru)$。把它翻译成矩阵就是第一条；第二条同理。

3.7 一句话总结矩阵乘法 #

矩阵乘法 = 用右边矩阵提供系数，用左边矩阵提供向量，做一批线性组合。

• 右边矩阵的每一列是一份系数，去组合左边矩阵的各列（读法二 + 三）；
• 左边矩阵的每一行是一份系数，去组合右边矩阵的各行（读法四）。

而「为什么是这个样子」，答案永远只有一个：它是复合映射 $ST$ 的坐标记录。

3.8 秩：一个数，两条现成推论 #

前面七条都在回答「矩阵怎么摆、怎么乘」。从这里起换一个问题：加法与乘法前后，矩阵携带的信息量变了多少？ 量它的数是秩。

设 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，把它看成映射 $T_A:\mathbb{F}^{n,1}\to\mathbb{F}^{m,1}$，$x\mapsto Ax$。由读法三，$T_A$ 的值域正是 $A$ 各列张成的子空间，于是定义

$$\operatorname{rank}A:=\dim\operatorname{range}T_A=\dim\langle A_{\cdot,1},\dots,A_{\cdot,n}\rangle$$

行方向也有一个「行秩」，它与列秩恒相等（证明见 12 讲），所以两者统称秩。

$$n=\operatorname{rank}A+\dim\operatorname{null}T_A$$

$n$ 是列数。背成「列数 = 秩 + 零化度」。下面每一条不等式都是它的推论。

顺带两条：

$$\operatorname{rank}A\le\min\{m,n\},\qquad \operatorname{rank}A=0\iff A=0$$

$\operatorname{range}T_A\subseteq\mathbb{F}^{m,1}$ 给出 $\le m$，$n$ 个列向量张成给出 $\le n$；零矩阵的值域只有零向量。

3.9 两条基本不等式 #

本节约定：$A,B$ 同型（都是 $m\times n$），以便做加法；涉及乘法时 $A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$（于是 $AB$ 是 $m\times p$）。

（1）加法至多把秩相加。

$$\operatorname{rank}(A+B)\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B$$

证明. 对任意 $x$ 有 $(A+B)x=Ax+Bx$，右边是「$A$ 的列的组合加上 $B$ 的列的组合」，所以

$$\operatorname{range}T_{A+B}\subseteq\operatorname{range}T_A+\operatorname{range}T_B$$

（右边的加号指子空间的和）。取维数，用 06 讲的和维数公式：

$$\begin{aligned}\dim\operatorname{range}T_{A+B}&\le\dim\big(\operatorname{range}T_A+\operatorname{range}T_B\big)\\&=\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-\dim\big(\operatorname{range}T_A\cap\operatorname{range}T_B\big)\\&\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B\end{aligned}$$

$\blacksquare$

证明顺手给出了取等条件，但它比初看要苛刻：取等当且仅当 $\operatorname{range}T_{A+B}=\operatorname{range}T_A\oplus\operatorname{range}T_B$。这里要强调的是等式成立的对象：不是「$\operatorname{range}T_A+\operatorname{range}T_B$ 是直和」，而是「$A+B$ 的值域恰好等于那个和」。只要求「两个值域交为零」不够——反例 $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}$，值域分别张成 $(1,0)$ 与 $(0,1)$，交集为零，但 $A+B$ 是秩 $1$ 的全 $1$ 矩阵，右边却是 $2$。所以还要「和恰好填满 $A+B$ 的值域」。

（2）乘法只会让秩变小。

$$\operatorname{rank}(AB)\le\min\{\operatorname{rank}A,\ \operatorname{rank}B\}$$

证明. 左半：$ABx=A(Bx)$，故 $\operatorname{range}T_{AB}\subseteq\operatorname{range}T_A$，取维数得 $\operatorname{rank}(AB)\le\operatorname{rank}A$。

右半：若 $Bx=0$ 则 $ABx=0$，故 $\operatorname{null}T_B\subseteq\operatorname{null}T_{AB}$，取维数得 $\dim\operatorname{null}T_{AB}\ge\dim\operatorname{null}T_B$。再用一次「列数 = 秩 + 零化度」（$B$ 与 $AB$ 的列数都是 $p$）：

$$p-\operatorname{rank}(AB)\ge p-\operatorname{rank}B\ \Longrightarrow\ \operatorname{rank}(AB)\le\operatorname{rank}B$$

$\blacksquare$

两个上界都可能取到，也都可能很松，3.14 会各举一次。几何图像要记住：$A$ 只会把值域压小，$B$ 只会把零空间撑大。

3.10 Sylvester 秩不等式：给乘法一个下界 #

上面只说乘法不会把秩变大，没说能小到多少。Sylvester 不等式补上下界。设 $A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$，则

$$\operatorname{rank}(AB)\ge\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-n$$

证明. 只盯住 $B$ 的值域，把 $A$ 限制在它上面：

$$\varphi:\operatorname{range}T_B\to\mathbb{F}^{m,1},\qquad \varphi(y)=Ay$$

$\varphi$ 的值域正是 $\operatorname{range}T_{AB}$：$\varphi(Bx)=ABx$ 给出 $\operatorname{range}T_{AB}\subseteq\operatorname{range}\varphi$；反过来 $y=Bx$ 时 $\varphi(y)=ABx$，给出反向包含。两向包含，两者相等。

$\varphi$ 的零空间是 $\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A$——这是全证明的关键：$A$ 的零空间一般只有一部分落在 $B$ 的值域里。

对 $\varphi$ 用线性映射基本定理（它的定义域是 $\operatorname{range}T_B$，维数为 $\operatorname{rank}B$）：

$$\operatorname{rank}B=\dim\big(\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A\big)+\operatorname{rank}(AB)$$

又 $\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A\subseteq\operatorname{null}T_A$，取维数得

$$\dim\big(\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A\big)\le\dim\operatorname{null}T_A=n-\operatorname{rank}A$$

代回上式：

$$\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}B-\dim\big(\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A\big)\ge\operatorname{rank}B-(n-\operatorname{rank}A)=\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-n$$

$\blacksquare$

推论（零积的秩判据）. 若 $AB=0$，则 $\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B\le n$。把 $\operatorname{rank}(AB)=0$ 代进去即可。它也解释了第五节误区 3 那对反例为何必然存在：两颗非零的 $n$ 阶矩阵要乘出零矩阵，秩必须小到加起来不超过 $n$。

边界情形. 若 $\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B\le n$，右边 $\le0$，而秩非负，于是这条不等式不提供任何信息。Sylvester 只在 $\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B>n$ 时才咬人。

3.11 Frobenius 秩不等式：夹在中间的那个矩阵 #

设 $A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$、$C$ 是 $p\times q$，则

$$\operatorname{rank}(ABC)\ge\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{rank}(BC)-\operatorname{rank}B$$

证明. 把 3.10 的「限制到值域上算零空间」用两次。第一次在 $\operatorname{range}T_B$ 上做，如 3.10 所得：

$$\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}B-\dim\big(\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A\big)$$

第二次，把 $A$ 限制在更小的 $\operatorname{range}T_{BC}$ 上，同样的推理给出

$$\operatorname{rank}(ABC)=\operatorname{rank}(BC)-\dim\big(\operatorname{range}T_{BC}\cap\operatorname{null}T_A\big)$$

因为 $BCx=B(Cx)$，有 $\operatorname{range}T_{BC}\subseteq\operatorname{range}T_B$，所以

$$\operatorname{range}T_{BC}\cap\operatorname{null}T_A\ \subseteq\ \operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A$$

取维数，把第一式的等价形式 $\dim(\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A)=\operatorname{rank}B-\operatorname{rank}(AB)$ 代入第二式：

$$\begin{aligned}\operatorname{rank}(ABC)&=\operatorname{rank}(BC)-\dim\big(\operatorname{range}T_{BC}\cap\operatorname{null}T_A\big)\\&\ge\operatorname{rank}(BC)-\dim\big(\operatorname{range}T_B\cap\operatorname{null}T_A\big)\\&=\operatorname{rank}(BC)-\big(\operatorname{rank}B-\operatorname{rank}(AB)\big)\end{aligned}$$

移项即得所求。$\blacksquare$

3.12 什么时候取等 #

上面几条不等式的取等条件都能从证明里直接读出，不必另背。

不等式	取等条件
$\operatorname{rank}(A+B)\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B$	$\operatorname{range}T_{A+B}=\operatorname{range}T_A\oplus\operatorname{range}T_B$（仅交集为零不够，见 3.9）
Sylvester	$\operatorname{null}T_A\subseteq\operatorname{range}T_B$

乘法还有两条精确等式（不是不等式），值得单独立一条：

单射因子可以约掉，满射因子可以去掉。 若 $A$ 单射（列满秩），则 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}B$；若 $B$ 满射，则 $\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}A$。特别地，$A$ 可逆时两条都成立。

证明只有一行：$A$ 单射时 $\operatorname{null}T_A=\{0\}$，而 $\operatorname{null}T_{AB}=\operatorname{null}T_B$（$Bx=0\iff A(Bx)=0$，因为 $A$ 把非零向量送到非零向量），两边套「列数 = 秩 + 零化度」。另一半对称：$B$ 满射时 $\operatorname{range}T_{AB}=A(\operatorname{range}T_B)=A(\mathbb{F}^{n,1})=\operatorname{range}T_A$。

Sylvester 的取等条件更值得咀嚼：它说的不是「秩够大」，而是「$A$ 杀掉的那些方向，$B$ 全能造出来」。只有这时，$B$ 的值域才会被 $A$ 整整砍掉 $\dim\operatorname{null}T_A$ 那么多，下界才真的顶到。

3.13 用秩不等式做两件事 #

（1）判断 $AX=B$ 何时有解。 把 $B$ 拼到 $A$ 右边，记 $[A\ B]$。判据是（A1 讲给过同一条）：

$$AX=B\ \text{有解}\iff\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\ B]$$

秩不等式解释了这判据为什么顺。$[A\ B]$ 只比 $A$ 多了 $B$ 的若干列，而每加一列秩至多加一，故

$$\operatorname{rank}A\le\operatorname{rank}[A\ B]\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B$$

左边那个 $\le$ 永远不会反向：$A$ 是 $[A\ B]$ 的子矩阵，值域是子空间。于是两个秩只有两种命运：相等，说明新加的列没带来新方向，全落在 $A$ 的值域里，有解；变大，说明 $B$ 有一列逃出了 $A$ 的值域，无解。「无解」的量化含义就是「秩被抬高了」。

（2）判断 $\operatorname{rank}(A^k)$ 何时稳定。 由 3.9(2)，

$$\operatorname{rank}A\ge\operatorname{rank}(A^2)\ge\cdots\ge\operatorname{rank}(A^k)\ge\cdots\ge0$$

这是单调不增的非负整数序列，至多 $n$ 步就停住。但「停一步」是不是「永远停」？是，理由只在零空间上。

设 $\operatorname{rank}(A^{k+1})=\operatorname{rank}(A^k)$。由「列数 = 秩 + 零化度」，这等价于 $\dim\operatorname{null}T_{A^{k+1}}=\dim\operatorname{null}T_{A^k}$；而 $\operatorname{null}T_{A^k}\subseteq\operatorname{null}T_{A^{k+1}}$ 自动成立（$A^kx=0\Rightarrow A^{k+1}x=0$），故两个零空间相等。

现在取 $x\in\operatorname{null}T_{A^{k+2}}$，即 $A^{k+1}(Ax)=0$。这说明 $Ax\in\operatorname{null}T_{A^{k+1}}=\operatorname{null}T_{A^k}$，即 $A^{k+1}x=0$，也就是 $x\in\operatorname{null}T_{A^{k+1}}$。于是 $\operatorname{null}T_{A^{k+2}}\subseteq\operatorname{null}T_{A^{k+1}}$，反向包含自动，两者相等，$\operatorname{rank}(A^{k+2})=\operatorname{rank}(A^{k+1})$。归纳下去：一旦相等，后面全相等。

3.14 一个自己验算的完整例子 #

取

$$A=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$$

先算三个秩。$A$ 的两行不成比例，秩 $2$；$B$ 的两列 $(1,1,0)$ 与 $(1,0,1)$ 不成比例，秩 $2$；$C$ 是「只保第一个坐标」的投影，秩 $1$。

再算乘积（按读法一逐格算）：

$$AB=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix},\qquad BC=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad ABC=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}$$

核两处：$AB$ 第 1 行取 $A$ 第 1 行 $(1,0,1)$，与 $B$ 第 1 列 $(1,1,0)$ 作内积得 $1\cdot1+0\cdot1+1\cdot0=1$，与 $B$ 第 2 列 $(1,0,1)$ 得 $1\cdot1+0\cdot0+1\cdot1=2$；第 2 行 $(0,1,1)$ 同样给出 $(1,1)$。$\det(AB)=1\cdot1-2\cdot1=-1\neq0$，秩 $2$。$BC$ 只有第一列非零，秩 $1$。$ABC=(AB)C$，而 $C$ 只保第一列，所以 $ABC$ 就是 $AB$ 的第 1 列，秩 $1$。

查不等式：

不等式	左边	右边	判定
$\operatorname{rank}(AB)\le\min\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B\}$	$2$	$\min\{2,2\}=2$	取等
Sylvester：$\operatorname{rank}(AB)\ge\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-3$	$2$	$2+2-3=1$	严格
Frobenius：$\operatorname{rank}(ABC)\ge\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{rank}(BC)-\operatorname{rank}B$	$1$	$2+1-2=1$	取等

Sylvester 为什么严格？按 3.12 的判据，只需看 $\operatorname{null}T_A$ 是否落在 $\operatorname{range}T_B$ 里。这里 $A$ 是 $2\times3$，$\operatorname{null}T_A$ 是一维的，由 $x_1+x_3=0$、$x_2+x_3=0$ 解出，基是 $(1,1,-1)$。若它在 $\operatorname{range}T_B$ 里，就存在 $a,b$ 使

$$a\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$$

第三个坐标强迫 $b=-1$，第二个坐标强迫 $a=1$，但第一个坐标要求 $a+b=1$，而 $1+(-1)=0\neq1$，矛盾。故 $\operatorname{null}T_A\not\subseteq\operatorname{range}T_B$，Sylvester 严格——判据对上了。

最后补两次核对，把「上界可以很松」与「单射可约」也验掉：

• 取 $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，$\operatorname{rank}N=1$，$N^2=0$，$\operatorname{rank}(N^2)=0<1=\min\{1,1\}$。3.9(2) 的上界确实可以取不到。
• 取 $L=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\0&1\end{pmatrix}$（$3\times2$，秩 $2$ 等于列数，故单射）。$LC=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\\0&0\end{pmatrix}$，秩 $1=\operatorname{rank}C$，3.12 的「单射因子可约掉」成立。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

钩子 1：列是「基向量的像」 #

$$\mathcal{M}(T)\ \text{的第}\ k\ \text{列}=Tv_k\ \text{的坐标}$$

于是「设计」一个矩阵就是「设计基向量的像」，「读懂」一个矩阵就是「读懂每一列把哪个基向量送到了哪里」。标准基下这句话最直白：$A$ 的第 $k$ 列 $=$ $A$ 作用在第 $k$ 个标准基向量上的结果。

钩子 2：乘法从右往左做，映射也从右往左读 #

$$\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$$

读法：等号右边先出现的 $\mathcal{M}(S)$ 管最后做的事。因为 $ST$ 的意思是「先 $T$ 后 $S$」，而这个「先」对应乘积里靠右的那一个。

钩子 3：尺寸链条 #

$$(m\times n)\cdot(n\times p)=(m\times p)$$

中间的 $n$ 必须一致且会被吃掉；剩下的两头留下——左边提供行数，右边提供列数。

钩子 4：$Ab$ 就是「拿 $b$ 里的数当配方，把 $A$ 的列调出来混合」 #

$$Ab=b_1A_{\cdot,1}+\cdots+b_nA_{\cdot,n}$$

所有「矩阵乘向量」的题都通用。它也是后面讨论「方程组 $Ax=b$ 有没有解」的出发点：有解，就是说 $b$ 能写成 $A$ 各列的组合。

钩子 5：单位矩阵 = 「什么都不做」 #

在 $\mathbb{F}^n$ 上取标准基，把每个向量映到自己的映射（恒等映射）的矩阵是

$$I_n=\begin{pmatrix}1&&0\\&\ddots&\\0&&1\end{pmatrix}$$

对角线全是 $1$。只要大小配得上，就有 $I_mA=A$ 与 $AI_n=A$：恒等映射复合谁都不改变谁。能把自己「取消掉」的矩阵（可逆矩阵）就是从这里长出来的，那是 10 讲的主题。

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五、常见误区 #

$$A=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},\qquad AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$$

$A\neq0$、$B\neq0$，乘积却是零矩阵。根源还是映射：先投影到 $x$ 轴、再投影到 $y$ 轴，两步都是非零映射，合起来把一切都压成 $0$。
推论：矩阵没有消去律，看到 $AB=AC$ 不能约掉 $A$。

$$Iv_1=(1,1)=1e_1+1e_2,\qquad Iv_2=(1,-1)=1e_1-1e_2$$

于是 $\mathcal{M}(I)=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$；而两组基都取标准基时，$\mathcal{M}(I)=I_2$。
同一个映射，两个完全不同的矩阵。 所以：矩阵不是映射本身，而是「映射 $+$ 两组基」的坐标记录。

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六、拓展（可跳过） #

6.1 转置：行列互换 #

把矩阵的行与列互换，得到转置：若 $A$ 是 $m\times n$，则 $A^{\mathsf{T}}$ 是 $n\times m$，元素满足

$$\big(A^{\mathsf{T}}\big)_{k,j}=A_{j,k}$$

它有两条与加法、标量乘法相容的性质，以及一条最容易记错的：

$$(A+B)^{\mathsf{T}}=A^{\mathsf{T}}+B^{\mathsf{T}},\qquad (\lambda A)^{\mathsf{T}}=\lambda A^{\mathsf{T}},\qquad (AC)^{\mathsf{T}}=C^{\mathsf{T}}A^{\mathsf{T}}$$

注意最后一条也「倒了个序」。原因仍是复合：转置把「行乘列」换成了「列乘行」，方向要对调才等得上。

6.2 分块 #

矩阵可以切成几块，乘法按块进行，规则与普通乘法一致（只要各块大小配套）。这既是手算大矩阵的省力办法，也是后面证明行列分解之类结论时的标准工具。

6.3 算一次要花多少力气 #

$A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times p$。结果有 $mp$ 个元素，每个元素要 $n$ 次乘法与 $n-1$ 次加法，所以朴素算法需要 $mnp$ 次乘法、$mp(n-1)$ 次加法。

这个数字解释了工程上为何如此在意矩阵乘法的实现：把大矩阵分块、利用缓存、交给专用硬件（BLAS、GPU），争的就是这个 $mnp$。

6.4 关于秩的三点补注 #

3.8–3.14 已经把秩的不等式讲完了，这里补三个它没提的旁注，都可跳过。

（1）Frobenius 的另一条证法。 若 $B=B_1B_2$，其中 $B_1$ 列满秩、$B_2$ 行满秩（秩分解，见 12 讲），则

$$ABC=(AB_1)(B_2C),$$

而 $B_1$ 列满秩保证 $\operatorname{rank}(AB_1)=\operatorname{rank}(AB)$、$B_2$ 行满秩保证 $\operatorname{rank}(B_2C)=\operatorname{rank}(BC)$。对这一对矩阵 $(AB_1)$ 与 $(B_2C)$ 用一次 Sylvester（内维恰为 $r=\operatorname{rank}B$）：

$$\operatorname{rank}(ABC)\ \ge\ \operatorname{rank}(AB_1)+\operatorname{rank}(B_2C)-r=\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{rank}(BC)-\operatorname{rank}B .$$

（2）稳定秩的谱解释。 3.13 证明了 $\operatorname{rank}(A^k)$ 一旦相等就永远相等，但没说那个稳定值等于几。答案在 31 讲与 33 讲：它等于 $A$ 的可对角化部分的秩，即非零特征值对应的广义特征空间维数之和。幂零部分对稳定值的贡献是零——它迟早把自己抹干净。

（3）别名与另一副坐标。 「$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\mid B]$ 则有解」这条，在方程组语境里叫 Kronecker–Capelli 定理；写成 $\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}(A\mid b)$ 就是 A1 讲那条判据。另外，秩也等于非零奇异值的个数（见 29 讲）——那是同一条维数公式在另一副坐标下的读数。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 设 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^2,\mathbb{F}^3)$ 满足 $T(x,y)=(2x-y,\ x+4y,\ 3x)$。写出 $T$ 关于标准基的矩阵，并用「列的线性组合」求出 $T(3,-1)$。

2. 设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$。求 $AB$ 与 $BA$，说明它们是否相等，并给出「为什么会这样」的一句话理由。

3. 给出两个非零的 $2\times 2$ 矩阵 $A,B$ 使 $AB=0$。这说明矩阵缺少了什么性质？

4. 用「矩阵记录映射复合」这一条证明结合律 $(AB)C=A(BC)$——不要逐元素展开，说清每一步用的是什么。

5. 设 $I:\mathbb{F}^2\to\mathbb{F}^2$ 是恒等映射。定义域取基 $v_1=(1,1)$、$v_2=(1,-1)$，到达空间取标准基 $e_1,e_2$，求 $\mathcal{M}(I)$；再把到达空间的基也换成 $v_1,v_2$（定义域基不变），重求一次，并说明两次结果不同说明了什么。

6. 设 $A$ 是 $3\times5$、$B$ 是 $5\times3$，且 $AB=I_3$。求 $\operatorname{rank}B$，并说明为什么 $BA\neq I_5$。（提示：乘法不等式的上界用两次，注意 $BA$ 是几阶方阵。）

7. 设 $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}$。算 $\operatorname{rank}A$、$\operatorname{rank}B$、$\operatorname{rank}(A+B)$，并判断加法不等式的取等条件是否满足。

答案（点开）

1. $T(1,0)=(2,1,3)$、$T(0,1)=(-1,4,0)$，所以

$$\mathcal{M}(T)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&4\\3&0\end{pmatrix}$$

又 $(3,-1)=3(1,0)+(-1)(0,1)$，故 $T(3,-1)=3(2,1,3)-(-1,4,0)=(6,3,9)-(-1,4,0)=(7,-1,9)$。
直接代原式核对：$(2\cdot3-(-1),\ 3+4\cdot(-1),\ 9)=(7,-1,9)$ ✓。

2. $AB=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$，$BA=\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}$，两者不等。
一句话理由：$B$ 交换两个坐标、$A$ 是另一个变换，复合映射不交换，所以两个乘积不相等。
（另外注意：这次 $AB$ 与 $BA$ 大小相同，才有「比较」这回事。）

3. 取 $A=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，则 $AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，而 $A,B$ 都不是零矩阵。
这说明矩阵没有「乘积为零必有一因子为零」这条性质，也就没有消去律。

4. 设 $R:U\to V$、$T:V\to W$、$S:W\to X$，取相配的基，记 $A=\mathcal{M}(S)$、$B=\mathcal{M}(T)$、$C=\mathcal{M}(R)$。
由「乘积矩阵记录复合映射」得 $\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)=\mathcal{M}(ST)$ 与 $\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(R)=\mathcal{M}(TR)$。于是

$$(AB)C=\mathcal{M}(ST)\mathcal{M}(R)=\mathcal{M}\big((ST)R\big),\qquad A(BC)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(TR)=\mathcal{M}\big(S(TR)\big)$$

而对任意 $u\in U$，$\big((ST)R\big)u=S\big(T(Ru)\big)=\big(S(TR)\big)u$，故两个映射相等，矩阵相等。
需要注意的只有大小：三段映射首尾相接，保证所有乘积都有定义。

5. 第一问：$Iv_1=v_1=1e_1+1e_2$，$Iv_2=v_2=1e_1-1e_2$，所以

$$\mathcal{M}(I)=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

第二问：$Iv_1=1\cdot v_1+0\cdot v_2$，$Iv_2=0\cdot v_1+1\cdot v_2$，所以 $\mathcal{M}(I)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$。
两次结果不同，说明矩阵依赖基的选取：同一个映射在两组基下给出不同的矩阵。

6. 由 $AB=I_3$ 与 $\operatorname{rank}(AB)\le\min\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B\}$ 得 $\operatorname{rank}A\ge3$、$\operatorname{rank}B\ge3$；而 $A$ 只有 $3$ 行、$B$ 只有 $3$ 列，故 $\operatorname{rank}A\le3$、$\operatorname{rank}B\le3$。于是两者都恰好等于 $3$（都满秩）。
但 $BA$ 是 $5$ 阶方阵，而 $\operatorname{rank}(BA)\le\min\{\operatorname{rank}B,\operatorname{rank}A\}=3<5$，永不可逆，所以 $BA\neq I_5$。
一句话：$AB=I$ 只保证 $A$ 行满秩、$B$ 列满秩，两个方向的「逆」在方阵阶数不同时根本不可能同时存在。

7. $A$ 的两行成比例（第 2 行 $=2\times$第 1 行），$\operatorname{rank}A=1$；$B$ 的两列 $(2,-1)$ 与 $(-2,1)$ 互为相反数，$\operatorname{rank}B=1$。而

$$A+B=\begin{pmatrix}3&0\\1&5\end{pmatrix},\qquad \det(A+B)=15\neq0$$

所以 $\operatorname{rank}(A+B)=2=\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B$，等号取到。
按 3.9 的判据验一遍：$\operatorname{range}T_A=\operatorname{span}\{(1,2)\}$，$\operatorname{range}T_B=\operatorname{span}\{(2,-1)\}$，两者交集只有零，且和是整个 $\mathbb{R}^2$（两个方向不共线），正是直和 $\operatorname{range}T_{A+B}=\operatorname{range}T_A\oplus\operatorname{range}T_B$。
对照 3.9 那个「交集为零但不等号严格」的反例，可以看到交集为零只是必要条件，不是充分条件。

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八、复习卡 #

项	内容
矩阵	$\mathbb{F}$ 中元素排成的 $m$ 行 $n$ 列矩形阵列
$A_{j,k}$	第 $j$ 行第 $k$ 列的元素；先下标记行
$\mathcal{M}(T)$ 的定义	$Tv_k=A_{1,k}w_1+\cdots+A_{m,k}w_m$
第 $k$ 列是什么	$Tv_k$ 关于 $W$ 的基的坐标
尺寸	$T:V\to W$，$\dim V=n$、$\dim W=m$，则 $\mathcal{M}(T)$ 是 $m\times n$
依赖三样东西	$T$、$V$ 的基、$W$ 的基
矩阵加法	同大小逐元素相加；$\mathcal{M}(S+T)=\mathcal{M}(S)+\mathcal{M}(T)$
标量乘法	每个元素乘 $\lambda$；$\mathcal{M}(\lambda T)=\lambda\mathcal{M}(T)$
$\mathbb{F}^{m,n}$	全部 $m\times n$ 矩阵，构成向量空间，$\dim\mathbb{F}^{m,n}=mn$
零元	零矩阵（元素全为 $0$）
矩阵乘法	$(AB)_{j,k}=\sum_{r=1}^{n}A_{j,r}B_{r,k}$；$A$ 为 $m\times n$、$B$ 为 $n\times p$
使用条件	$A$ 的列数 $=$ $B$ 的行数
为什么这样定义	唯一能让 $\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$ 成立的定义
读法一（行乘列）	$(AB)_{j,k}=A_{j,\cdot}B_{\cdot,k}$
读法二（列）	$(AB)_{\cdot,k}=AB_{\cdot,k}$
读法三（列组合）	$Ab=b_1A_{\cdot,1}+\cdots+b_nA_{\cdot,n}$
读法四（行组合）	$AB$ 的第 $j$ 行是 $B$ 各行的组合，系数来自 $A$ 的第 $j$ 行
结合律	成立；原因是映射复合的结合律
交换律	不成立；原因是映射复合不交换
分配律	$A(B+C)=AB+AC$、$(D+E)F=DF+EF$
单位矩阵	$I_n$（对角线为 $1$）；$I_mA=A$、$AI_n=A$
零因子	$AB=0$ 推不出 $A=0$ 或 $B=0$；无消去律
秩	$\operatorname{rank}A=\dim\operatorname{range}T_A$（= 列秩 = 行秩）
秩–零化度	列数 $=\operatorname{rank}A+\dim\operatorname{null}T_A$（08 讲基本定理的矩阵版）
秩的上界	$\operatorname{rank}A\le\min\{m,n\}$；$\operatorname{rank}A=0\iff A=0$
加法	$\operatorname{rank}(A+B)\le\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B$
乘法（上界）	$\operatorname{rank}(AB)\le\min\{\operatorname{rank}A,\operatorname{rank}B\}$
Sylvester	$\operatorname{rank}(AB)\ge\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B-n$（$A$ 的列数 $=n$）
Frobenius	$\operatorname{rank}(ABC)\ge\operatorname{rank}(AB)+\operatorname{rank}(BC)-\operatorname{rank}B$
零积	$AB=0\Rightarrow\operatorname{rank}A+\operatorname{rank}B\le n$
单射可约	$A$ 列满秩 $\Rightarrow\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}B$；$B$ 行满秩 $\Rightarrow\operatorname{rank}(AB)=\operatorname{rank}A$
$AX=B$ 有解	$\operatorname{rank}A=\operatorname{rank}[A\ B]$（Kronecker–Capelli）
$A^k$ 的秩	单调不增；一旦 $\operatorname{rank}(A^{k+1})=\operatorname{rank}(A^k)$，后面全相等

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 本讲对应：《线性代数应该这样学》（第四版，Sheldon Axler 著，吴俊达、何阳 译）第 3 章 3C 节「矩阵」，PDF 页码 p72–82。其中：定义 3.29（矩阵、$A_{j,k}$）、例 3.30、定义 3.31（线性映射的矩阵 $\mathcal{M}(T)$）、例 3.32（$\mathbb{F}^2\to\mathbb{F}^3$）、例 3.33（微分映射）、定义 3.34（矩阵加法）、3.35（和的矩阵）、定义 3.36（矩阵的标量乘法）、例 3.37、3.38（标量积的矩阵）、记号 3.39（$\mathbb{F}^{m,n}$）、3.40（$\dim\mathbb{F}^{m,n}=mn$）、定义 3.41（矩阵乘法）、例 3.42、3.43（$\mathcal{M}(ST)=\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T)$）、记号 3.44（$A_{j,\cdot}$、$A_{\cdot,k}$）、例 3.45、3.46（积的元素等于行乘以列）、3.48（积的列）、例 3.49、3.50（列的线性组合）、3.51（将矩阵乘法视为列或行的线性组合）。
• 同节后半、本讲未展开的内容：3.52（列秩、行秩）、例 3.53、定义 3.54（转置 $A^{t}$）、例 3.55、3.56（行列分解）、3.57（列秩等于行秩）、定义 3.58（秩）。它们在原文里与本节相连，但在本课被排到后面的讲次（转置、秩、矩阵分解相关各讲）。
• 自测题对照：第 1、5 题为本讲自编（第 5 题的换基对照用来检验「矩阵依赖基」这一条）；第 2 题对应习题 10（举出 $AB\neq BA$ 的例子）；第 3 题是常见的零因子反例，原文未列为习题；第 4 题对应习题 12（证明结合律，其注中引了 Emil Artin 关于「抛开矩阵可把证明缩短一半」的说法）。
• 同节习题里还值得自己做一遍的：习题 3（验证 $\mathcal{M}(S+T)$ 与 $\mathcal{M}(\lambda T)$）、习题 8–9（乘积的行版本与列版本，即本文读法四与读法三的行形式）、习题 13（$A^3$ 的元素公式）、习题 14–15（转置的线性性与 $(AC)^{t}=C^{t}A^{t}$）、习题 16（秩为 $1$ 的矩阵可写成 $A_{j,k}=c_jd_k$）、习题 17（$T$ 是单射与 $\mathcal{M}(T)$ 的列线性无关等价）。
• 3.8–3.14（秩的不等式）的出处：这一块不属于 3C，主源是两本。**《行列式入门》**附录 C.41「线性方程组与秩」（印刷页码 p409–417 / PDF p425–433）：秩的定义是「最大非零子式的阶」（定义 C.165，印刷 p413）；定理 C.166「$\operatorname{rank}[A,AC]=\operatorname{rank}A$」（印刷 p414）；C.167「$\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A^{\mathsf T})$」（印刷 p414）；C.168「$\operatorname{rank}(AC)\le\operatorname{rank}A$」（印刷 p414）；C.169「$\operatorname{rank}(AC)\le\operatorname{rank}A$ 且 $\le\operatorname{rank}C$」（印刷 p415）——这正是 3.9(2) 的两半，原文第二个不等式的证法是转置加第一个不等式，本文改用了零空间路线。可逆因子保持秩（C.170，印刷 p415）。方程组有解判据在 C.188（印刷 p432）。
• 一处没有找到的（重要）：《行列式入门》里没有 Sylvester 秩不等式，也没有 Frobenius 秩不等式。全书出现的「Sylvester」都是指 Sylvester 阵与结式（C.43 节，印刷 p455 起 / PDF p471 起），与秩的不等式无关——按关键词搜「Sylvester」会被这个词误导到那一节去。3.10、3.11 的表述参照 GTM135 中译《高等线性代数》 的习题：$\operatorname{rank}(\tau+\sigma)\le\operatorname{rank}\tau+\operatorname{rank}\sigma$、$\operatorname{rank}(\sigma\tau)\le\min\{\operatorname{rank}\tau,\operatorname{rank}\sigma\}$、可逆因子不改变秩，见该书第 2 章习题 2.9–2.13（印刷 p71–72，页码据 extract 页脚核实）；秩加零化度定理见印刷 p53–54。Sylvester 与 Frobenius 本身是标准结论，本文的零空间证法按 08 讲的基本定理写全，未依赖某一种特定表述。
• 秩的定性结论（列秩 = 行秩）：见 12 讲 3.11，那里的证明用对偶映射走了一遍；本文 3.8 只引用结论不重复证明。行列式的路子在 37 讲。
• 一条易混的别名：「秩加零化度定理」= rank–nullity theorem，08 讲叫「线性映射基本定理」，两者是同一条。Sylvester 秩不等式不要与「Sylvester 惯性律」（二次型，35 讲）混为一谈，后者是另一个 Sylvester。
• 术语别名：「矩阵」= matrix；元素也常写作 $a_{jk}$、$A_{jk}$；$\mathcal{M}(T)$ 在其他教材里常写作 $[T]$、$[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}$（把两组基写进上标/下标）；「矩阵乘法」= matrix multiplication；转置 = transpose（原文记号 $A^{t}$，本课统一记 $A^{\mathsf{T}}$）；线性映射也常叫「线性变换」。
• 一处记号差异：多数教材都约定「矩阵的列对应定义域的基向量」，但上标/下标里哪一组基写在前面各家不同。读到别处的 $[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}$ 时，先确认它把哪组基对应到列，再动手算。
• 计算量：$m\times n$ 与 $n\times p$ 相乘，朴素算法需要 $mnp$ 次乘法与 $mp(n-1)$ 次加法。这是数值线性代数与硬件优化长期关注的运算。
• 计算视角的对照：把矩阵当纯计算对象处理的入门读物（例如《行列式入门》里讲「阵」的部分），可以与本讲的映射视角互补：一个回答「手怎么动」，一个回答「它到底是什么、为什么要这样算」。
• 权威查证：Bronstein《数学手册》俄文第 10 版（1962）与英文第 6 版（2015）均收录矩阵运算的相关条目，可检索 "matrix multiplication / Matrizenmultiplikation / умножение матриц" 复核定义与性质。