08 零空间与值域

零空间与值域 #

这讲讲什么：给一个线性映射装上两把量尺——被压成零的那一块（零空间）与真正能到达的那一块（值域），再用一条「维数记账」等式把两个空间串起来
前置：07 线性映射（上一讲：线性映射的定义，以及 $T(0)=0$）；06 维数（会用「线性无关组可扩充成基」，知道子空间的维数不超过全空间的维数）
一句话：$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$——出发空间的维数，等于被压掉的加上被送达的。

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一、为什么需要它 #

上一讲把「线性映射」定义成保持加法与数乘的规则。定义只说了它怎么动，没说它丢了什么。

拿一个具体映射看看。设 $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ 定义为

$$T(x,y,z)=(x+z,\ y-z)$$

四个问题马上冒出来：

1. 有没有不同的输入被映到同一个输出？（信息有没有被合并？）
2. 有没有哪个输入被整个压成了 $0$？
3. $\mathbb{R}^2$ 里的点，是不是每一个都能被 $T$ 打到？
4. 上面这些，能不能不算就看出来？

第 1 问是单射性，第 3 问是满射性。第 2 问的答案是本讲的主角：被映成 $0$ 的全部输入，记作 $\operatorname{null}T$，叫零空间。第 3 问的答案也是一个集合：所有能被打到的输出，记作 $\operatorname{range}T$，叫值域。

这两个集合值得单独命名，理由有三条：

• 它们都是子空间。 不是随便一个子集，而是自带加法与标量乘法的子空间——于是可以谈基、谈维数。
• 它们各回答一个「二选一」的问题。 零空间管单射，值域管满射。
• 它们的维数之间有硬约束。 这就是线性映射基本定理：

$$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$$

这是一条维数记账等式：出发空间的维数 = 被压掉的维数 + 被送达的维数，中间没有第三种去处。有了它，很多本该动手算的判断题变成一次减法。

没有这两个概念会怎样？判断单射，你得对所有输入对 $u\ne v$ 验证 $Tu\ne Tv$（无穷多对）；判断满射，你得对每一个 $w\in W$ 去解方程 $Tv=w$。有了本讲这两把量尺，两件事都退化成「数维数」。

读完这一讲你应该能回答：

1. 为什么「$T$ 是单射」等价于「只有 $0$ 被映成 $0$」？
2. 基本定理为什么要求 $V$ 有限维，却不要求 $W$ 有限维？
3. 一个 $5$ 维空间到 $3$ 维空间的线性映射，能不能是单射？为什么一眼就能否定？

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二、定义与最小例子 #

零空间：被压成零的那一块 #

定义（零空间） 设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。$T$ 的零空间记作 $\operatorname{null}T$，是 $V$ 的如下子集：

$$\operatorname{null}T=\{v\in V:\ Tv=0\}$$

最小例子 1：取零映射 $T:V\to W$，即对每个 $v$ 都有 $Tv=0$。所有输入都被压成 $0$，所以

$$\operatorname{null}T=V$$

最小例子 2：取 $T\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}(\mathbb{R})\big)$ 定义为 $Tp(x)=x^2p(x)$（把多项式乘以 $x^2$）。要让 $x^2p(x)$ 对所有 $x\in\mathbb{R}$ 都等于 $0$，$p$ 只能是零多项式：

$$\operatorname{null}T=\{0\}$$

现在回来逐个读定义里的符号：

定义里的写法	它在说什么
$v\in V$	零空间住在出发空间里，它是 $V$ 的子集，不是 $W$ 的子集
$Tv=0$	这里的 $0$ 是目标空间 $W$ 里的零元；$W$ 是函数空间时它就是零函数
$\{\ \}$ 是个集合	它收集的是输入，不是输出；输出只用来做筛选
$T\in\mathcal{L}(V,W)$	只有线性映射才有这套理论

再补一句定义里没写、但立刻能推出的事实：因为 $T$ 线性，所以 $T(0)=0$（上一讲证过）。于是零空间永远不空，它至少含 $0$：

$$\{0\}\subseteq\operatorname{null}T$$

这条不起眼的包含关系是后面判据的一半：验证单射时，你只需证明「零空间里没有别的向量」，不必怀疑 $0$ 在不在里面。

再看三个不是数组空间、因而更能说明问题的例子：

• 线性泛函：取 $\varphi\in\mathcal{L}(\mathbb{C}^3,\mathbb{C})$ 为 $\varphi(z_1,z_2,z_3)=z_1+2z_2+3z_3$。被映成 $0$ 的输入恰好满足 $z_1+2z_2+3z_3=0$，这是 $\mathbb{C}^3$ 里一张过原点的平面。
• 求导：$D\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}(\mathbb{R})\big)$，$Dp=p'$。导函数恒为 $0$ 的只有常值函数，所以零空间是全体常值多项式。
  这里的细节值得停一下：常值多项式 $p(x)\equiv c$（$c\ne0$）是非零向量，却落在零空间里。零空间含非零向量，正是「不单射」的标志。
• 后向移位：$T(x_1,x_2,x_3,\dots)=(x_2,x_3,\dots)$，作用在无穷序列上。$(x_2,x_3,\dots)=0$ 当且仅当 $x_2=x_3=\cdots=0$，第一个坐标完全不受约束：

$$\operatorname{null}T=\{(a,0,0,\dots):\ a\in\mathbb{F}\}$$

值域：真正能到达的那一块 #

定义（值域） 设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。$T$ 的值域记作 $\operatorname{range}T$，是 $W$ 的如下子集：

$$\operatorname{range}T=\{Tv:\ v\in V\}$$

最小例子 1：零映射的输出永远是 $0$，所以

$$\operatorname{range}T=\{0\}$$

最小例子 2：$T(x,y)=(2x,5y,x+y)$ 是从 $\mathbb{R}^2$ 到 $\mathbb{R}^3$ 的线性映射，于是

$$\operatorname{range}T=\{(2x,5y,x+y):\ x,y\in\mathbb{R}\}$$

这是 $\mathbb{R}^3$ 里一张过原点的平面（由 $(2,0,1)$、$(0,5,1)$ 张成），不是整个 $\mathbb{R}^3$。

同样回来读定义：

定义里的写法	它在说什么
$Tv\in W$	值域住在目标空间里，是 $W$ 的子集，不是 $V$ 的子集
「所有 $v\in V$」	它把每一个输入都试一遍，收集全部输出
集合的元素	它收集的是输出；重复的输出只算一次

一句话对照记住两者的住处：零空间是「谁被吃掉」，住在出发空间；值域是「谁能收到」，住在目标空间。

再补一例说明值域可以与整条空间重合：求导 $D\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}(\mathbb{R})\big)$。任给多项式 $q$，把它的每一项取原函数就得到 $p$ 使 $p'=q$（$x^k$ 的原函数是 $\dfrac{x^{k+1}}{k+1}$，系数除以非零整数仍落在 $\mathbb{F}$ 里）。于是

$$\operatorname{range}D=\mathcal{P}(\mathbb{R})$$

两个附属定义：单射与满射 #

定义（单射） 函数 $T:V\to W$ 称为单射，若

$$Tu=Tv\ \Longrightarrow\ u=v$$

等价说法：$u\ne v\Longrightarrow Tu\ne Tv$，即不同的输入给出不同的输出。

定义（满射） 函数 $T:V\to W$ 称为满射，若 $\operatorname{range}T=W$——目标空间里的每个向量都被打到。

两个定义本身跟线性无关，任何函数都能谈单射满射。但下面的判据要把它们跟 $\operatorname{null}T$、$\operatorname{range}T$ 的维数挂上钩，那才用到线性。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

结论 1：零空间是子空间 #

要证 $\operatorname{null}T$ 是 $V$ 的子空间，按第 03 讲的三条判据查：有零、能加、能缩。

有零。 因为 $T$ 线性，$T(0)=0$，所以 $0\in\operatorname{null}T$。

能加。 设 $u,v\in\operatorname{null}T$，即 $Tu=0$、$Tv=0$。则

$$T(u+v)=Tu+Tv=0+0=0$$

所以 $u+v\in\operatorname{null}T$。

能缩。 设 $u\in\operatorname{null}T$、$\lambda\in\mathbb{F}$。则

$$T(\lambda u)=\lambda Tu=\lambda\cdot 0=0$$

所以 $\lambda u\in\operatorname{null}T$。

三条都成立，故 $\operatorname{null}T$ 是 $V$ 的子空间。

结论 2：值域是子空间 #

设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$，还是查那三条：有零、能加、能缩。

有零。 $T(0)=0$，所以 $0\in\operatorname{range}T$。

能加。 设 $w_1,w_2\in\operatorname{range}T$。按值域的定义，它们各自有原像：存在 $v_1,v_2\in V$ 使 $Tv_1=w_1$、$Tv_2=w_2$。于是

$$T(v_1+v_2)=Tv_1+Tv_2=w_1+w_2$$

所以 $w_1+w_2\in\operatorname{range}T$。

能缩。 设 $w\in\operatorname{range}T$、$\lambda\in\mathbb{F}$，取 $v\in V$ 使 $Tv=w$。则

$$T(\lambda v)=\lambda Tv=\lambda w$$

所以 $\lambda w\in\operatorname{range}T$。

故 $\operatorname{range}T$ 是 $W$ 的子空间。

结论 3：单射 $\iff$ 零空间等于 $\{0\}$ #

定理. 设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。则 $T$ 是单射，当且仅当

$$\operatorname{null}T=\{0\}$$

证明（$\Rightarrow$） 设 $T$ 单射，要证 $\operatorname{null}T=\{0\}$。已知 $\{0\}\subseteq\operatorname{null}T$，只需证反方向的包含。

任取 $v\in\operatorname{null}T$，即 $Tv=0$。又 $T(0)=0$，所以 $Tv=T(0)$。$T$ 是单射，由定义得 $v=0$。既然 $\operatorname{null}T$ 的任意元素都是 $0$，就有 $\operatorname{null}T=\{0\}$。

证明（$\Leftarrow$） 设 $\operatorname{null}T=\{0\}$，要证 $T$ 单射。

任取 $u,v\in V$ 且 $Tu=Tv$。两边相减：

$$0=Tu-Tv=T(u-v)$$

所以 $u-v\in\operatorname{null}T=\{0\}$，即 $u-v=0$，于是 $u=v$。按定义 $T$ 是单射。两个方向合起来，定理得证。$\blacksquare$

结论 4：线性映射基本定理 #

定理（线性映射基本定理） 设 $V$ 有限维，$T\in\mathcal{L}(V,W)$。那么 $\operatorname{range}T$ 也是有限维的，并且

$$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$$

证明. 记 $\dim\operatorname{null}T=m$，取零空间的一组基

$$u_1,\dots,u_m$$

这组向量在 $V$ 中线性无关，所以可以被扩充成 $V$ 的一组基（第 05、06 讲）：

$$u_1,\dots,u_m,\ v_1,\dots,v_n$$

于是 $\dim V=m+n$。要证的剩下部分就是：$\operatorname{range}T$ 有限维，并且 $Tv_1,\dots,Tv_n$ 是它的一组基。

第一步：$Tv_1,\dots,Tv_n$ 张成 $\operatorname{range}T$。 任取 $v\in V$。因为上面那组是基，可设

$$v=a_1u_1+\cdots+a_mu_m+b_1v_1+\cdots+b_nv_n$$

两边作用 $T$：

$$Tv=a_1Tu_1+\cdots+a_mTu_m+b_1Tv_1+\cdots+b_nTv_n$$

每个 $u_k$ 都在 $\operatorname{null}T$ 里，所以 $Tu_k=0$，这一串全消失，只剩

$$Tv=b_1Tv_1+\cdots+b_nTv_n$$

$\operatorname{range}T$ 中任意向量都是 $Tv_1,\dots,Tv_n$ 的线性组合，故它们张成 $\operatorname{range}T$。顺带得到：$\operatorname{range}T$ 有有限张成组，因此是有限维的。

第二步：$Tv_1,\dots,Tv_n$ 线性无关。 设

$$c_1Tv_1+\cdots+c_nTv_n=0$$

把系数挪进去：

$$T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=0$$

所以 $c_1v_1+\cdots+c_nv_n\in\operatorname{null}T$。而 $u_1,\dots,u_m$ 张成零空间，故存在 $d_1,\dots,d_m$ 使

$$c_1v_1+\cdots+c_nv_n=d_1u_1+\cdots+d_mu_m$$

移项得

$$c_1v_1+\cdots+c_nv_n-d_1u_1-\cdots-d_mu_m=0$$

而 $u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的一组基，线性无关，所以所有系数都是 $0$：$c_1=\cdots=c_n=0$（同时 $d_1=\cdots=d_m=0$）。于是 $Tv_1,\dots,Tv_n$ 线性无关。

两步合起来：$Tv_1,\dots,Tv_n$ 是 $\operatorname{range}T$ 的基，故 $\dim\operatorname{range}T=n$。于是

$$\dim V=m+n=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T \qquad\blacksquare$$

$$\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T$$

想算值域维数，算零空间维数再减一下即可。

结论 5：两条「不用动手」的维数判据 #

判据 A（映到更低维的空间，必不单射） 设 $V,W$ 都有限维，且 $\dim V>\dim W$。则从 $V$ 到 $W$ 的线性映射一定不是单射。

证明. 设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。由基本定理，并用「子空间的维数不超过全空间的维数」（第 06 讲，即 $\dim\operatorname{range}T\le\dim W$）：

$$\dim\operatorname{null}T=\dim V-\dim\operatorname{range}T\ \ge\ \dim V-\dim W\ >\ 0$$

零空间维数大于 $0$，说明它除 $0$ 以外还含有别的向量。由结论 3，$T$ 不是单射。$\blacksquare$

判据 B（映到更高维的空间，必不满射） 设 $V,W$ 都有限维，且 $\dim V<\dim W$。则从 $V$ 到 $W$ 的线性映射一定不是满射。

证明. 设 $T\in\mathcal{L}(V,W)$。由基本定理

$$\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T\ \le\ \dim V\ <\ \dim W$$

若 $\operatorname{range}T=W$，两边维数应当相等；如今维数严格更小，故 $\operatorname{range}T\ne W$，$T$ 不是满射。$\blacksquare$

例子（一眼否定单射） 定义 $T:\mathbb{F}^4\to\mathbb{F}^3$ 为

$$T(z_1,z_2,z_3,z_4)=(\sqrt7\,z_1+\pi z_2+z_4,\ 97z_1+3z_2+2z_3,\ z_2+6z_3+7z_4)$$

系数取得古里古怪，但根本不必解 $Tz=0$：因为 $4>3$，由判据 A 它一定不是单射。

例子（满射与否取决于目标空间怎么取） 微分映射把多项式映成它的导数。

• 若看成 $D\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}_5(\mathbb{R})\big)$，$Dp=p'$，它不是满射：$x^5$ 的原像需要次数至少为 $6$ 的多项式，而 $\mathcal{P}_5(\mathbb{R})$ 里任何多项式的导数次数至多 $4$，所以 $x^5$ 打不到。
• 若改成 $S\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}_5(\mathbb{R}),\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\big)$，$Sp=p'$，它是满射：每个次数不超过 $4$ 的多项式都有次数不超过 $5$ 的原函数。

同一个公式，目标空间换个写法，满射性就变了。「满射」是对「映到哪里」说的，不是对公式说的。

把这两条判据翻译成方程组的话，就得到线性代数最早的两个计数结论：

• 未知数多于方程的齐次方程组必有非零解。 把 $m$ 个方程、$n$ 个未知数的齐次组写成 $T(x_1,\dots,x_n)=0$，这里 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$。若 $n>m$，由判据 A 得 $T$ 不单射，即 $\operatorname{null}T\ne\{0\}$，非零解存在。
• 方程多于未知数的方程组，某些常数项下无解。 同样取 $T:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$，若 $n<m$，由判据 B 得 $T$ 不满射，即 $\operatorname{range}T\ne\mathbb{F}^m$。于是存在 $(c_1,\dots,c_m)\in\mathbb{F}^m$ 不被任何 $x$ 打到——以它作常数项，方程组就无解。

结论 6：手算两例 #

先把标准流程背下来，后面每题都用：

要算什么	怎么做
$\operatorname{null}T$	写方程 $Tv=0$，解出全部解，把自由参数提出来当基向量
$\operatorname{range}T$	取 $V$ 的一组基 $v_1,\dots,v_k$，则 $\operatorname{range}T=\operatorname{span}\{Tv_1,\dots,Tv_k\}$，再挑出其中无关的那些
验算	用 $\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$ 对数

值域那一条的依据：$v_1,\dots,v_k$ 张成 $V$，则 $Tv_1,\dots,Tv_k$ 张成 $\operatorname{range}T$——因为任意 $v=\sum a_iv_i$ 的像就是 $\sum a_iTv_i$。这是结论 2 里「取原像」技巧的批量版。

例 1. $T:\mathbb{F}^4\to\mathbb{F}^3$，

$$T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2,\ x_2+x_3,\ x_3+x_4)$$

求零空间与值域。

解 $T=0$：$x_1=-x_2$，$x_2=-x_3$，$x_3=-x_4$。令 $x_4=t$，则 $x_3=-t$、$x_2=t$、$x_1=-t$：

$$\operatorname{null}T=\operatorname{span}\{(-1,1,-1,1)\},\qquad \dim\operatorname{null}T=1$$

由基本定理 $\dim\operatorname{range}T=4-1=3$。而 $\operatorname{range}T\subseteq\mathbb{F}^3$ 且 $\dim\mathbb{F}^3=3$，维数相等的子空间就是全空间（第 06 讲），所以 $\operatorname{range}T=\mathbb{F}^3$，$T$ 是满射。直接验证也不难：四个标准基的像依次是 $(1,0,0)$、$(1,1,0)$、$(0,1,1)$、$(0,0,1)$，两两相减就能凑出三个标准基向量。

例 2. $T:\mathbb{F}^3\to\mathbb{F}^3$，$T(x,y,z)=(x-y,\ y-z,\ z-x)$。

解 $T=0$：$x=y$、$y=z$、$z=x$，即 $x=y=z$：

$$\operatorname{null}T=\operatorname{span}\{(1,1,1)\},\qquad \dim\operatorname{null}T=1$$

值域这边有一个更省事的观察：三个分量相加恒为 $0$，所以

$$\operatorname{range}T\subseteq\{(a,b,c)\in\mathbb{F}^3:\ a+b+c=0\}$$

右边是一张过原点的平面，维数 $2$。又由基本定理 $\dim\operatorname{range}T=3-1=2$。维数相同且一个包含另一个，故两者相等：

$$\operatorname{range}T=\{(a,b,c)\in\mathbb{F}^3:\ a+b+c=0\}$$

验算：$1+2=3$ ✓。这个例子还说明一件事：同一个 $T$ 可以既不单射又不满射（零空间非零、值域不等于全空间）。另外注意 $\operatorname{null}T\cap\operatorname{range}T=\{0\}$（因为 $(1,1,1)$ 的三个分量之和是 $3\ne0$），而两者维数之和恰为 $3$——这说明 $\mathbb{F}^3$ 是这两个子空间的直和：$\mathbb{F}^3=\operatorname{null}T\oplus\operatorname{range}T$（第 03 讲的记法）。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

这张图要这么读：

• 左边是出发空间 $V$，其中红色的一块是 $\operatorname{null}T$。$T$ 把这一整块压成 $0$——不是压得很扁，而是真真正正缩到一个点。
• 右边是目标空间 $W$，蓝色区域 $\operatorname{range}T$ 是能到达的全部；蓝色之外的部分，无论怎么选输入都打不到。
• 箭头 $T$ 把 $V$ 整体送过去：落点必然在蓝色区域内，而红色那一块全部落在 $0$ 这一点上。

三个记忆钩子：

钩子 1：投影仪的比方。 把 $T$ 想成一台投影仪，$V$ 是要投的物体，$W$ 是屏幕。$\operatorname{null}T$ 是「投到镜头正中心、彻底看不见」的那一层纵深；$\operatorname{range}T$ 是屏幕上真正亮起来的区域。调投影仪你只关心两件事：丢了多少纵深（零空间），亮了多少屏幕（值域）。

钩子 2：一条记账等式。

$$\underbrace{\dim V}_{\text{总共多少}}=\underbrace{\dim\operatorname{null}T}_{\text{被压掉的}}+\underbrace{\dim\operatorname{range}T}_{\text{送达的}}$$

出发空间的维数，恰好分成「丢掉的」与「送达的」两部分，不多不少。 记住这句话，基本定理就不会记反。

钩子 3：谁管哪个。

	$\operatorname{null}T$	$\operatorname{range}T$
住在哪	$V$（出发空间）	$W$（目标空间）
里面装什么	输入（被映成 $0$ 的）	输出（能被打到的）
一定含 $0$	是（$T(0)=0$）	是（$T(0)=0$）
维数为 $0$ 意味着	$T$ 单射	$T$ 是零映射
维数最大时	$\dim V$（$T=0$ 时取到）	$\dim W$（满射时取到）
管的问题	单射性	满射性

口诀一句：「零空间管单射，值域管满射；两者维数相加，等于出发维数。」

再补一条最省事的检查顺序：拿到一个线性映射，先数维数（用基本定理），再看零空间有没有非零向量。多数判断题到这一步就结束了。

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五、常见误区 #

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六、拓展：换个语言看同一条等式（可跳过） #

1. 矩阵语言：秩–零化度 #

第 09 讲会说明：$\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 的线性映射都能写成一个 $m\times n$ 矩阵 $A$，而

$$\operatorname{null}T=\{x\in\mathbb{F}^n:\ Ax=0\},\qquad \operatorname{range}T=\{Ax:\ x\in\mathbb{F}^n\}$$

于是基本定理变成 $n=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$，也就是「列数 = 零化度 + 秩」。这个版本常被叫作秩–零化度定理，它和本讲的基本定理是同一条定理换了记法。

2. 存在性判据：什么样的零空间与值域能被实现 #

给定子空间 $X\subseteq V$ 与 $Y\subseteq W$，是否存在线性映射 $T$ 使 $\operatorname{null}T=X$ 且 $\operatorname{range}T=Y$？在 $V$ 有限维、$Y$ 有限维时，答案是干净的充要条件：

$$\text{存在这样的 }T\ \Longleftrightarrow\ \dim X+\dim Y=\dim V$$

必要性由基本定理直接给出。充分性照着基本定理的证明搭：取 $X$ 的一组基 $u_1,\dots,u_k$，扩充成 $V$ 的基 $u_1,\dots,u_k,v_1,\dots,v_n$（此时 $n=\dim V-\dim X=\dim Y$）；取 $Y$ 的一组基 $y_1,\dots,y_n$，规定 $Tu_i=0$、$Tv_j=y_j$。这样定义的 $T$ 是线性的，且 $\operatorname{range}T=\operatorname{span}\{y_j\}=Y$；又若 $Tv=0$，按基展开后由 $y_j$ 线性无关可知 $v$ 的 $v_j$ 部分系数全为 $0$，故 $v\in X$，即 $\operatorname{null}T=X$。

3. 更大的图景 #

• 单射、满射与「逆」：$T$ 单射当且仅当存在左逆 $S$ 使 $ST=\mathrm{id}_V$；$T$ 满射当且仅当存在右逆（$W$ 有限维时）。第 10 讲会展开。
• 同态基本定理的第一例：$V/\operatorname{null}T\cong\operatorname{range}T$（商空间见第 11 讲）。本讲的基本定理正是它的维数版本——「把被吃掉的部分除掉，剩下的与像一模一样」。
• 术语：零空间也叫核（kernel），值域也叫像（image），记法常写成 $\ker T$ 与 $\operatorname{Im}T$。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 设 $T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$，$T(x,y,z)=(x+z,\ y-z)$。求 $\operatorname{null}T$ 与 $\operatorname{range}T$ 的基，并用基本定理验算维数。

2. 判断下列线性映射哪些是单射、哪些是满射：（a）后向移位 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^\infty)$，$T(x_1,x_2,\dots)=(x_2,x_3,\dots)$；（b）乘 $x^2$ 的 $T\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}(\mathbb{R})\big)$，$Tp(x)=x^2p(x)$；（c）$S\in\mathcal{L}\big(\mathcal{P}_5(\mathbb{R}),\mathcal{P}_4(\mathbb{R})\big)$，$Sp=p'$。

3. 设 $\dim V=7$，$T\in\mathcal{L}(V,W)$ 且 $\dim\operatorname{null}T=3$。求 $\dim\operatorname{range}T$。若 $W=\mathbb{F}^4$，$T$ 是满射吗？可能是单射吗？

4. 证明：若 $T\in\mathcal{L}(V)$ 满足 $\operatorname{range}T=\operatorname{null}T$，则 $\dim V$ 必为偶数；并给出一个 $V=\mathbb{R}^4$ 的例子。

5. 设 $v_1,\dots,v_m\in V$，定义线性映射 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^m,V)$ 为 $T(z_1,\dots,z_m)=z_1v_1+\cdots+z_mv_m$。证明：（a）$T$ 是满射当且仅当 $v_1,\dots,v_m$ 张成 $V$；（b）$T$ 是单射当且仅当 $v_1,\dots,v_m$ 线性无关。

答案（点开）

1. 解 $x+z=0$、$y-z=0$，得 $x=-z$、$y=z$。令 $z=t$：

$$\operatorname{null}T=\operatorname{span}\{(-1,1,1)\},\qquad \dim\operatorname{null}T=1$$

由基本定理 $\dim\operatorname{range}T=3-1=2=\dim\mathbb{R}^2$，而 $\operatorname{range}T\subseteq\mathbb{R}^2$，故 $\operatorname{range}T=\mathbb{R}^2$。
一组现成的基：$T(1,0,0)=(1,0)$、$T(0,1,0)=(0,1)$，即标准基。验算 $3=1+2$ ✓。

2. （a）满射但不单射：$\operatorname{null}T=\{(a,0,0,\dots):a\in\mathbb{F}\}\ne\{0\}$；而任给 $(y_1,y_2,\dots)$，取 $x=(0,y_1,y_2,\dots)$ 就有 $Tx=(y_1,y_2,\dots)$。
（b）单射但不满射：$x^2p(x)$ 恒为 $0$ 只能 $p=0$，故 $\operatorname{null}T=\{0\}$；但常数多项式 $1$ 不是任何 $x^2p(x)$，值域只含常数项为 $0$ 的多项式。
（c）满射但不单射：非零常值多项式的导数是 $0$，故 $\operatorname{null}S\ne\{0\}$；而任给次数 $\le4$ 的 $q$，逐项取原函数得到次数 $\le5$ 的 $p$ 使 $p'=q$，故 $S$ 满射。

3. $\dim\operatorname{range}T=7-3=4$。
是满射：$\operatorname{range}T\subseteq\mathbb{F}^4$ 且两者维数都是 $4$，维数相等的子空间就是全空间。
不可能是单射：$\dim\operatorname{null}T=3>0$，零空间含有非零向量。
两个结论不矛盾：目标是 $4$ 维时，$7$ 维出发空间必然满射、也必然不单射——维数记账把两头都定死了。
（用判据 A 也能提前看出不单射：$7>4$。）

4. 证明：由基本定理，$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$。已知两者相等，记公共维数为 $k$，则 $\dim V=2k$，是偶数。
例子：$T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_3,\ x_4,\ 0,\ 0)$。此时

$$\operatorname{null}T=\{(x_1,x_2,0,0)\}=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$$

$$\operatorname{range}T=\{(x_3,x_4,0,0)\}=\operatorname{span}\{e_1,e_2\}$$

两者相等，且 $\dim\mathbb{R}^4=4=2+2$ ✓。

5. （a）由 $T$ 的定义，$\operatorname{range}T=\{z_1v_1+\cdots+z_mv_m\}=\operatorname{span}\{v_1,\dots,v_m\}$。于是 $T$ 满射（即 $\operatorname{range}T=V$）当且仅当这组向量张成 $V$。
（b）$z\in\operatorname{null}T$ 就是「以 $z$ 为系数的线性组合等于 $0$」。按线性无关的定义，$v_1,\dots,v_m$ 线性无关恰指这样的 $z$ 只有 $z=0$，即 $\operatorname{null}T=\{0\}$；由结论 3，这等价于 $T$ 单射。

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八、复习卡 #

项	内容
零空间	$\operatorname{null}T=\{v\in V:Tv=0\}$，住在 $V$ 里
值域	$\operatorname{range}T=\{Tv:v\in V\}$，住在 $W$ 里
共同点	都含 $0$（因 $T(0)=0$）；都是子空间
零空间是子空间	三条：$T(0)=0$；$T(u+v)=Tu+Tv=0$；$T(\lambda u)=\lambda Tu=0$
值域是子空间	每个 $w$ 先取原像 $v$，再用线性搬运
单射	$Tu=Tv\Rightarrow u=v$；别名「一对一」
满射	$\operatorname{range}T=W$；别名「映成」；关键是映到哪里
单射判据	$T$ 单射 $\iff\operatorname{null}T=\{0\}$
基本定理	$V$ 有限维时 $\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$
证明骨架	零空间的基 $u_1,\dots,u_m$ 扩充成 $V$ 的基；证 $Tv_1,\dots,Tv_n$ 是 $\operatorname{range}T$ 的基
常用变形	$\dim\operatorname{range}T=\dim V-\dim\operatorname{null}T$
前提	只要求 $V$ 有限维；$W$ 可无限维，$\operatorname{range}T$ 仍自动有限维
判据 A	$\dim V>\dim W\Rightarrow T$ 不单射
判据 B	$\dim V<\dim W\Rightarrow T$ 不满射
方程组的计数结论	未知数多于方程：齐次组有非零解；方程多于未知数：有些常数项无解
求零空间	解 $Tv=0$，把自由量当参数提出来
求值域	取 $V$ 一组基 $v_1,\dots,v_k$，$\operatorname{range}T=\operatorname{span}\{Tv_1,\dots,Tv_k\}$
检查顺序	先数维数，再看零空间有没有非零向量
典型例子	零映射：$\operatorname{null}T=V$、$\operatorname{range}T=\{0\}$；乘 $x^2$：$\operatorname{null}T=\{0\}$ 但不满射；求导：$\operatorname{null}D=$ 常值函数；后向移位：$\operatorname{null}T=\{(a,0,0,\dots)\}$
别名	零空间 = 核（kernel）；值域 = 像（image）
下一讲	09 矩阵：把 $T$ 写成矩阵，基本定理变成「$n=$ 秩 + 零化度」

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 本讲对应：《线性代数应该这样学》（第 4 版，Sheldon Axler 著，吴俊达、何阳 译）第 3 章 3B 节「零空间和值域」，印刷页码 50–57（对应 PDF 页码 p64–71）。
• 逐条对应：定义 3.11（零空间）、例 3.12（五个零空间的例子）、3.13（零空间是子空间）、定义 3.14（单射）、3.15（单射当且仅当零空间等于 $\{0\}$）、定义 3.16（值域）、例 3.17（三个值域的例子）、3.18（值域是子空间）、定义 3.19（满射）、例 3.20（满射与否取决于目标空间）、3.21（线性映射基本定理）、3.22（映到更低维空间不是单射）、例 3.23、3.24（映到更高维空间不是满射）、式 (3.25) 与 3.26（未知数多于方程的齐次组）、式 (3.27) 与 3.28（方程多于未知数的组）。
• 自测来源：第 1 题是例 3.17 的同类练习；第 2 题取自例 3.12 与例 3.20 中的例子；第 4、5 题分别取自 3B 习题第 5、6 题与第 3 题。
• 第六节的存在性判据：取自 3B 习题第 31 题；「左右逆」与单射满射的对应取自同节习题第 19、20 题，相关内容在第 10 讲展开。
• 术语别名：零空间 = 核（kernel / null space）；值域 = 像 / 像空间（image / range）；单射 = 一对一（one-to-one / injective）；满射 = 映成（onto / surjective）。有的资料把基本定理叫「秩–零化度定理」或「维数公式」。
• 与其他教材的对照：不少教材先讲矩阵，把「齐次方程组的解空间」当零空间、「列空间」当值域，再证「$n=$ 秩 $+$ 零化度」。顺序不同，内容一致；本课把映射放在矩阵之前，是为了让矩阵在后面作为表示工具登场，而不是一开始就顶替映射。
• 想深挖：同态基本定理 $V/\operatorname{null}T\cong\operatorname{range}T$（商空间见第 11 讲）；无限维情形下等式失效，但「单射 / 满射」的语言仍然有效。
• 权威查证：Bronstein《数学手册》俄文第 10 版（1962）与英文第 6 版（2015）均收录线性映射的核与像的条目，可检索 "kernel / image / линейное отображение" 复核定义。