07 线性映射

线性映射 #

这讲讲什么：向量空间之间「保结构」的映射——为什么只需查两条（可加与齐次）、一批必须自己验的例子、以及全体线性映射 $\mathcal{L}(V,W)$ 自己也是一个向量空间
前置：向量空间、子空间（01–03）；读到第三节后半会用一次「基」（05），但概念上不依赖它
一句话：线性映射是线性组合的搬运工——先把向量组合再送过去，和先把向量送过去再组合，结果一样。

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一、为什么需要它 #

前六讲我们一直在一个空间内部打转：向量、向量空间、子空间、张成、线性无关、基、维数。这些词回答的都是同一类问题——「这个空间里有什么」「哪些向量是多余的」。

但线性代数还有另一半，而且往往是更重要的那一半：空间与空间之间怎么走。

一个自然的想法立刻冒出来：一个空间到另一个空间的函数多得数不清（想想 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 上那些千奇百怪的曲线），总得挑出「讲道理」的那一类。什么叫讲道理？保持结构。

这就是整门课的转折点。前六讲造出了「向量空间」这个结构，从这一讲起，我们开始看两个结构之间保持运算的映射。这类映射在数学里有个通名——同态：群与群之间的同态保持群运算，环与环之间的同态保持加与乘，向量空间与向量空间之间的同态保持加法与标量乘法，而它在本课的名字就是线性映射。

于是关键问题变成：既然叫「保持结构」，那到底要保持多少条？

答案短得出人意料：两条。

原因是结构本身就只有两样东西。回顾 02 讲：一个向量空间 = 一个集合 + 加法 + 标量乘法 + 六条规矩。而六条规矩里的交换、结合、分配、单位律，全都是关于「这两种运算怎么配合」的说明；真正属于「运算」这个身份的，只有加法与标量乘法两个原子操作。

顺着这层观察往下推：

• 向量空间里任何一个用有限次运算写出来的式子，追根到底都是 $c_1v_1+\cdots+c_nv_n$ 这种线性组合；
• 如果加法与标量乘法这两步都被保住了，那么「先组合再送过去」和「先送过去再组合」必然处处一致；
• 一旦如此，零元、逆元、交换、结合、分配这些性质自动跟着迁移过去。

所以「保持结构」被压缩成两条要求（下一节正式写出）。这也顺便解释了一个常见困惑：为什么线性映射的定义里没有「$T(0)=0$」这一条？因为它不是独立要求，而是两条的推论（第三节会给两个证法）。

读完这一讲，你应该能回答：

1. 为什么判定线性只要查两条？这两条能不能合成一条？
2. 为什么 $x\mapsto x^2$ 和 $x\mapsto x+1$ 都不是线性映射，而它们「卡住」的地方并不相同？
3. 只满足其中一条、不满足另一条的函数长什么样？
4. 从 $V$ 到 $W$ 的全体线性映射，为什么自己也是一个向量空间？
5. 两个线性映射能「相乘」吗？为什么这个乘法不满足交换律？

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二、定义与最小例子 #

定义：两条要求 #

设 $V$ 与 $W$ 都是同一个数域 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。函数 $T:V\to W$ 称为线性映射，如果下面两条同时成立。

① 可加性（additivity）：对所有 $u,v\in V$，

$$\forall u,v\in V:\quad T(u+v)=Tu+Tv$$

② 齐次性（homogeneity）：对所有 $\lambda\in\mathbb{F}$ 和所有 $v\in V$，

$$\forall\lambda\in\mathbb{F},\ \forall v\in V:\quad T(\lambda v)=\lambda(Tv)$$

两条要读准的地方：

• 「对所有」就是对所有。要否定它，只需找到一对 $u,v$ 或一个 $\lambda,v$ 让等式失败；要证明它，则必须对任取的 $u,v,\lambda$ 都推出等式。
• 等式左右两边的加法不是同一个加法。$u+v$ 是 $V$ 里加的，$Tu+Tv$ 是 $W$ 里加的；同理 $\lambda v$ 是 $V$ 里的标量乘，$\lambda(Tv)$ 是 $W$ 里的。线性映射的职责，正是在两个空间各自的运算之间当翻译。
• 记号上，$T(v)$ 与 $Tv$ 混用，没有区别。写成 $Tv$ 是为了让 $Tv$ 看起来更像一个「被 $T$ 作用后得到的向量」。

两条其实可以合成一条 #

把可加性与齐次性打包，得到一个等价的说法：对所有 $\lambda,\mu\in\mathbb{F}$ 和所有 $u,v\in V$，

$$\forall\lambda,\mu\in\mathbb{F},\ \forall u,v\in V:\quad T(\lambda u+\mu v)=\lambda Tu+\mu Tv$$

两个方向的换算都很短：

• 两条 ⟹ 一条：$T(\lambda u+\mu v)=T(\lambda u)+T(\mu v)=\lambda Tu+\mu Tv$。第一步用可加性，第二步用两次齐次性。
• 一条 ⟹ 两条：取 $\lambda=\mu=1$，得 $T(u+v)=Tu+Tv$，即可加性；取 $\mu=0$，得 $T(\lambda u)=\lambda Tu$（用 $0\cdot Tv=0$），即齐次性。

记号：$\mathcal{L}(V,W)$ 与 $\mathcal{L}(V)$ #

把「线性映射」当成一类对象之后，立刻要对这类对象命名。

• 从 $V$ 到 $W$ 的全体线性映射构成的集合，记作 $\mathcal{L}(V,W)$；
• 从 $V$ 到 $V$ 的全体线性映射构成的集合，记作 $\mathcal{L}(V)$，也就是 $\mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V)$。

「$T\in\mathcal{L}(V,W)$」与「$T:V\to W$ 是线性映射」是同一句话，前者更省事，后面会一直用。

八个最小例子（每个都该自己验一遍） #

下面这些例子是「线性映射」这个概念的实物样本。不要只是读过去：挑两三个，拿两条要求动手验一遍，手感完全是另一回事。

名字	定义	住在哪
零映射	$0\,v=0$	$\mathcal{L}(V,W)$
恒等算子	$Iv=v$	$\mathcal{L}(V)$
微分映射	$Dp=p'$	$\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$
积分映射	$Tp=\int_0^1 p$	$\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}),\mathbb{R})$
与 $x^2$ 相乘	$(Tp)(x)=x^2p(x)$	$\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$
后向移位	$T(x_1,x_2,x_3,\dots)=(x_2,x_3,\dots)$	$\mathcal{L}(\mathbb{F}^\infty)$
具体数值例	$T(x,y,z)=(2x-y+3z,\ 7x+5y-6z)$	$\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2)$
多项式复合	$(Tp)(x)=p(q(x))$，$q$ 是固定多项式	$\mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}))$

逐条验算三个代表。

后向移位。 记 $x=(x_1,x_2,\dots)$、$y=(y_1,y_2,\dots)$：

$$T(x+y)=T(x_1+y_1,\ x_2+y_2,\dots)=(x_2+y_2,\ x_3+y_3,\dots)=(x_2,x_3,\dots)+(y_2,y_3,\dots)=Tx+Ty$$

$$T(\lambda x)=T(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots)=(\lambda x_2,\lambda x_3,\dots)=\lambda(x_2,x_3,\dots)=\lambda Tx$$

两条都过。这里的「扔掉第一个坐标」之所以不破坏线性，是因为它对所有位置一视同仁、且从不回头看。 如果改成「把第一个坐标扔掉、再把剩下的每个都平方」，立刻就不线性了。

与 $x^2$ 相乘。 这里 $T$ 作用在多项式上，而两条要求要在函数层面验证。对任意 $p_1,p_2$ 和任意 $x$：

$$(T(p_1+p_2))(x)=x^2(p_1+p_2)(x)=x^2\big(p_1(x)+p_2(x)\big)=(Tp_1)(x)+(Tp_2)(x)$$

因为对每个 $x$ 都成立，所以两个多项式相等，即 $T(p_1+p_2)=Tp_1+Tp_2$。齐次性同理：$(T(\lambda p))(x)=x^2\lambda p(x)=\lambda(Tp)(x)$。

具体数值例 $T(x,y,z)=(2x-y+3z,\ 7x+5y-6z)$。 设 $u=(x,y,z)$、$v=(x',y',z')$：

$$\begin{aligned}T(u+v)&=T(x+x',\ y+y',\ z+z')\\&=\big(2(x+x')-(y+y')+3(z+z'),\ 7(x+x')+5(y+y')-6(z+z')\big)\\&=(2x-y+3z,\ 7x+5y-6z)+(2x'-y'+3z',\ 7x'+5y'-6z')\\&=Tu+Tv\end{aligned}$$

齐次性同样是一行：每个分量都恰好是 $x,y,z$ 的一次齐次式，所以 $\lambda$ 可以整体提出来。

一般形式：$\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 的线性映射长什么样 #

上面那个 $\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2$ 的例子可以整体推广。取定一批标量 $A_{j,k}\in\mathbb{F}$（$j=1,\dots,m$；$k=1,\dots,n$），定义

$$T(x_1,\dots,x_n)=(A_{1,1}x_1+\cdots+A_{1,n}x_n,\ \dots,\ A_{m,1}x_1+\cdots+A_{m,n}x_n)$$

这就是从 $\mathbb{F}^n$ 到 $\mathbb{F}^m$ 的线性映射；而且反过来，每个从 $\mathbb{F}^n$ 到 $\mathbb{F}^m$ 的线性映射都必然是这种形式。把那些系数按位置摆成一张表，就是 09 讲的主角——矩阵。这里先记住结论：$\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 的线性映射，一个不多一个不少，全部由 $mn$ 个数决定。

三个「看着像线性其实不是」的 #

一、$x\mapsto x^2$。 两条全败。可加性：$T(1+2)=9$，而 $T(1)+T(2)=1+4=5$。齐次性：$T(2\cdot 3)=36$，而 $2T(3)=18$。平方把「先加再平方」和「先平方再加」彻底分开了。

二、$x\mapsto\cos x$。 有人会误以为余弦是线性的——毕竟它看起来那么规整。可加性一试就倒：取 $x=y=0$，左边 $\cos 0=1$，右边 $\cos 0+\cos 0=2$。齐次性也倒：$\cos 2x$ 一般不等于 $2\cos x$。

三、带「低次杂项」的表达式。 设 $b,c\in\mathbb{R}$，定义

$$T(x,y,z)=(2x-4y+3z+b,\ 6x+cxyz)$$

这个 $T$ 是线性的，当且仅当 $b=c=0$。

• $b\neq0$ 时出局：$T(0,0,0)=(b,0)\neq(0,0)$；
• $c\neq0$ 时出局：取 $v=(1,1,1)$、$\lambda=2$。左边 $T(2,2,2)$ 的第二个分量是 $12+8c$，右边 $2T(1,1,1)$ 的第二个分量是 $12+2c$，两者相等要求 $8c=2c$，即 $c=0$。

反过来，$b=c=0$ 时 $T(x,y,z)=(2x-4y+3z,\ 6x)$ 是每个分量都一次齐次的形式，确实线性。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 线性映射把 $0$ 映到 $0$ #

结论：若 $T:V\to W$ 是线性映射，则 $T(0)=0$（左边的 $0\in V$，右边的 $0\in W$）。

证明（用可加性）：把 $V$ 中的零向量写成 $0+0$，再用可加性：

$$T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)$$

这是一个形如 $\alpha=\alpha+\alpha$ 的等式。在两边同时加上 $T(0)$ 的加法逆元：

$$T(0)+(-T(0))=\big(T(0)+T(0)\big)+(-T(0))\ \Longrightarrow\ 0=T(0)$$

右边用了结合律，得 $T(0)+\big(T(0)+(-T(0))\big)=T(0)+0=T(0)$。■

两行证明，值得记住的是其中的套路：把一个元素写成「两次自己」的和，再把多出来的那份消掉。这个套路在群论、环论里会被反复使用。

另一个证法（用齐次性）：任取 $v\in V$，取 $\lambda=0$：

$$T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot Tv=0$$

顺带一条同样一行的结论：取 $\lambda=-1$，得

$$T(-v)=(-1)\,Tv=-Tv$$

也就是说线性映射自动把逆元送到逆元。

3.2 常数项的例子：$f(x)=mx+b$ 何时线性 #

设 $m,b\in\mathbb{R}$，$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 定义为 $f(x)=mx+b$。结论：$f$ 是线性映射，当且仅当 $b=0$。

• $b=0$ 时，$f(x)=mx$。可加性与齐次性都是分配律的直接结果：$m(x+y)=mx+my$，$m(\lambda x)=\lambda(mx)$。✓
• $b\neq0$ 时，$f(0)=b\neq0$，与 3.1 冲突。✗

同一条理由说的是：$x\mapsto x+1$ 也不是线性映射，因为它把 $0$ 送到 $1$。几何上它是平移——而平移把原点搬走了，线性结构的地基（「以原点为基准做伸缩与叠加」）也就跟着塌了。

3.3 线性映射保持一切线性组合 #

结论：若 $T:V\to W$ 线性，$v_1,\dots,v_n\in V$，$c_1,\dots,c_n\in\mathbb{F}$，则

$$T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1Tv_1+\cdots+c_nTv_n$$

证明（归纳）：$n=1$ 就是齐次性。$n=2$ 时「先齐次、再可加」：

$$T(c_1v_1+c_2v_2)=T(c_1v_1)+T(c_2v_2)=c_1Tv_1+c_2Tv_2$$

一般情形对项数 $n$ 归纳：每添一项，先用一次可加性把它与前面的和拆开，再用一次齐次性把系数提出来。■

这条结论是整个第二部分的常用工具，值得配一句口头禅：

线性映射是「线性组合的搬运工」——系数一个不动，只把向量换掉。

它也是下一小节那个引理的直接来源。

3.4 线性映射完全由基上的取值决定（线性映射引理） #

这是 3.3 最重要的推论，也是后面所有「用矩阵表示线性映射」的合法性来源。

引理：设 $v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基，$w_1,\dots,w_n$ 是 $W$ 中任意给定的一组向量。那么存在唯一的线性映射 $T:V\to W$ 使得对每个 $k=1,\dots,n$ 都有 $Tv_k=w_k$。

注意引理里两个方向的力量：

• 存在性：$w_1,\dots,w_n$ 可以随便挑，一定构造得出来一个线性映射；
• 唯一性：构造出来的这个东西是唯一的，没有第二种选择。

证明（存在性）：因为 $v_1,\dots,v_n$ 是基，$V$ 中每个元素都能唯一地写成 $c_1v_1+\cdots+c_nv_n$（这就是基的定义）。于是可以定义

$$T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n$$

先确认这是一个函数：上面那个写法唯一，所以同一个输入不会对应两个输出。再确认它把基送对了地方：取 $c_k=1$、其余 $c$ 全为 $0$，立刻得到 $Tv_k=w_k$。

最后确认它线性。设 $u=a_1v_1+\cdots+a_nv_n$、$v=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$，则

$$\begin{aligned}T(u+v)&=T\big((a_1+c_1)v_1+\cdots+(a_n+c_n)v_n\big)\\&=(a_1+c_1)w_1+\cdots+(a_n+c_n)w_n\\&=(a_1w_1+\cdots+a_nw_n)+(c_1w_1+\cdots+c_nw_n)\\&=Tu+Tv\end{aligned}$$

齐次性同理：

$$T(\lambda v)=T(\lambda c_1v_1+\cdots+\lambda c_nv_n)=\lambda c_1w_1+\cdots+\lambda c_nw_n=\lambda Tv$$

于是 $T$ 确实是 $\mathcal{L}(V,W)$ 里的元素。

证明（唯一性）：设 $T$ 线性且 $Tv_k=w_k$（$k=1,\dots,n$）。任取 $c_1,\dots,c_n\in\mathbb{F}$。对每个 $k$，齐次性给出 $T(c_kv_k)=c_kw_k$；再用可加性把 $n$ 项并起来：

$$T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1w_1+\cdots+c_nw_n$$

因为 $v_1,\dots,v_n$ 是基，$V$ 中每个元素都是这种形式，所以 $T$ 在 $V$ 上处处被上式唯一确定。■

手算一例。 取 $V=\mathbb{F}^2$ 的标准基 $e_1=(1,0)$、$e_2=(0,1)$，指定

$$Te_1=(2,3),\qquad Te_2=(5,7)$$

于是对任意 $(x,y)=xe_1+ye_2$，由 3.3：

$$T(x,y)=x\,Te_1+y\,Te_2=x(2,3)+y(5,7)=(2x+5y,\ 3x+7y)$$

把这两个像并排摆成一张表

$$\begin{pmatrix}2&5\\3&7\end{pmatrix}$$

就是下一讲要正式定义的矩阵。这里已经能看出它是怎么来的：矩阵的每一列，就是基向量被映到的地方。

3.5 $\mathcal{L}(V,W)$ 上也能定义加法与标量乘法 #

设 $S,T\in\mathcal{L}(V,W)$，$\lambda\in\mathbb{F}$。定义

$$(S+T)(v)=Sv+Tv,\qquad (\lambda T)(v)=\lambda(Tv)\qquad(\forall v\in V)$$

这两个式子是定义，不是发现。两个函数本来没有「相加」这种默认操作，我们选择了逐点相加这种最自然的方式，并且接下来要负责证明这个选择没有把空间弄坏。

定义完必须验证一件事：$S+T$ 与 $\lambda T$ 仍然是线性映射（否则 $\mathcal{L}(V,W)$ 连对加法都不封闭，后面的「是向量空间」就无从谈起）。

以 $S+T$ 的可加性为例：

$$\begin{aligned}(S+T)(u+v)&=S(u+v)+T(u+v)\\&=Su+Sv+Tu+Tv\\&=(Su+Tu)+(Sv+Tv)\\&=(S+T)u+(S+T)v\end{aligned}$$

• 第一步是定义；
• 第二步用的是 $S,T$ 各自的可加性；
• 第三步调换了 $Sv$ 与 $Tu$ 的次序——这里用的是 $W$ 中的加法交换律。$\mathcal{L}(V,W)$ 作为一堆函数，本身并没有交换律，这一步是从 $W$ 借来的。

$S+T$ 的齐次性：

$$(S+T)(\lambda v)=S(\lambda v)+T(\lambda v)=\lambda Sv+\lambda Tv=\lambda(Sv+Tv)=\lambda(S+T)v$$

最后一步是在 $W$ 里提取公因子。$\lambda T$ 的验证更短：

$$(\lambda T)(u+v)=\lambda T(u+v)=\lambda(Tu+Tv)=\lambda Tu+\lambda Tv=(\lambda T)u+(\lambda T)v$$

$$(\lambda T)(\mu v)=\lambda T(\mu v)=\lambda\mu Tv=\mu(\lambda Tv)=\mu\big((\lambda T)v\big)$$

两条都过。所以加法与标量乘法在 $\mathcal{L}(V,W)$ 里是封闭的。

3.6 $\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间 #

结论：配上 3.5 定义的加法与标量乘法，$\mathcal{L}(V,W)$ 是一个向量空间。

证明的思路只有一句话：要证两个函数相等，就证它们在每个 $v$ 上取值相等。 一旦逐点看，$\mathcal{L}(V,W)$ 的每条性质都变成 $W$ 里已经成立的性质。逐条对一遍 02 讲的六条：

六条	在 $\mathcal{L}(V,W)$ 里怎么过
① 加法交换	$(S+T)v=Sv+Tv=Tv+Sv=(T+S)v$，对每个 $v$ 成立，故 $S+T=T+S$
② 加法结合	同样逐点化归到 $W$ 的加法结合律
③ 加法恒等元	取零映射：$(T+0)v=Tv+0v=Tv+0=Tv$
④ 加法逆元	$T$ 的逆元是 $(-1)T$：$\big(T+(-1)T\big)v=Tv-Tv=0$
⑤ 乘法恒等元	$(1T)v=1(Tv)=Tv$
⑥ 两条分配律、标量结合律	逐点化归到 $W$ 的对应性质

零元是零线性映射，也就是把每个向量都映成 $0$ 的那个映射。

3.7 乘积：把两个线性映射接起来 #

设 $T\in\mathcal{L}(U,V)$、$S\in\mathcal{L}(V,W)$。定义乘积 $ST\in\mathcal{L}(U,W)$ 为

$$(ST)(u)=S(Tu)\qquad(\forall u\in U)$$

它其实就是普通的函数复合 $S\circ T$。当两个函数都是线性的时候，习惯写 $ST$ 而不写 $S\circ T$——因为用乘法记号，下一条的分配律看起来就像数的运算一样自然。

三条必须注意的地方：

1. 读法是从右往左：$u\ \xrightarrow{\ T\ }\ Tu\ \xrightarrow{\ S\ }\ S(Tu)$。先 $T$，后 $S$。
2. 只有形状对得上才有定义：$T$ 必须把 $U$ 送进 $S$ 的定义域 $V$ 里。写 $ST$ 之前，先检查中间那个空间是不是同一个。
3. $ST$ 仍是线性映射，即 $ST\in\mathcal{L}(U,W)$：

$$(ST)(u+u')=S\big(T(u+u')\big)=S(Tu+Tu')=S(Tu)+S(Tu')=(ST)u+(ST)u'$$

（第一步用定义，第二步用 $T$ 的可加性，第三步用 $S$ 的可加性。）齐次性同理：$(ST)(\lambda u)=S(T(\lambda u))=S(\lambda Tu)=\lambda S(Tu)=\lambda(ST)u$。

3.8 乘积的三条代数性质 #

性质	写法	前提
可结合性	$(T_1T_2)T_3=T_1(T_2T_3)$	每个乘积都有定义（$T_3$ 映进 $T_2$ 的定义域，$T_2$ 映进 $T_1$ 的定义域）
恒等元	$TI=IT=T$	左边的 $I$ 是 $V$ 上的恒等算子，右边的 $I$ 是 $W$ 上的恒等算子
分配性质	$(S_1+S_2)T=S_1T+S_2T$ 且 $S(T_1+T_2)=ST_1+ST_2$	$T,T_1,T_2\in\mathcal{L}(U,V)$，$S,S_1,S_2\in\mathcal{L}(V,W)$

3.9 乘法不满足交换律 #

即使 $ST$ 与 $TS$ 都有定义，也不一定相等。

最经典的例子：取 $D$ 为微分映射、$T$ 为「与 $x^2$ 相乘」映射（两者都定义在 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 上）。则对每个多项式 $p$，

$$(TD)p(x)=x^2p'(x)$$

$$(DT)p(x)=x^2p'(x)+2xp(x)$$

两者的差别出在 $2xp(x)$ 这一项上。取 $p(x)=1$ 一验：

$$(TD)1=0,\qquad (DT)1=2x$$

两者不等，所以 $TD\neq DT$。用一句话说清这件事：

先微分再乘 $x^2$，和先乘 $x^2$ 再微分，结果不一样。

乘法不交换这件事不是「碰巧的例子」，而是普遍现象：只要 $V$ 的维数大于 $1$，$\mathcal{L}(V)$ 里就一定能找到两个算子不交换（见第六节）。这一点在讲到「可对角化」「可交换算子」时还会回来。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

钩子 1：线性映射是「网格搬运工」 #

在 $\mathbb{R}^2$ 里想象一张均匀的正方形网格（每个小格边长相同）。线性映射把这张网格搬过去之后，得到的仍是一张等距平行的网格——小方格可能被拉长、压扁、剪切、旋转，甚至被压成一条线，但同一方向上的间距处处相等，而且原点不动。

对照两种失败：

• $x\mapsto x+1$ 是平移：网格还是均匀的，但原点被搬走了，整张网格「错位」——线性结构立刻失效。
• $x\mapsto x^2$：网格被拉得不均匀了，越远的地方间距越大——等距平行的性质没了。

一句话记：均匀 + 原点不动，是线性映射在几何上的两张面孔。

钩子 2：两条 = 一条 = 「组合与搬运可交换」 #

把 3.3 那条合成式读成一句话：

$$\text{先组合}\to\text{再搬运}\qquad\text{等于}\qquad\text{先搬运}\to\text{再组合}$$

用交换图的方式说：无论走「先加后映」还是「先映后加」，到达的都是同一个结果。这就是「线性」二字的全部含义。

钩子 3：为什么只需两条（本讲最该记住的一条） #

把结构数一遍：

向量空间里的东西	是「原子操作」还是「配合规则」
加法、标量乘法	原子操作（只有这两个）
交换、结合、分配、单位律、零元、逆元	配合规则（都是关于这两个操作怎么协作的说明）

于是：

保住了两个原子操作，就保住了它们的任何有限次组合；而空间里的向量表达式全都是这种组合。

所以两条就够。别的一切都是推论或者由 $V,W$ 本身提供，不必额外要求。这也解释了为什么定义里没有「$T(0)=0$」。

如果非要一句话记住这件事：线性映射的定义之所以这么短，是因为向量空间的结构本身就只剩这两样东西。

钩子 4：先查原点，省钱 #

线性映射一定把 $0$ 送到 $0$。看到 $T(0)\neq 0$，立刻停下。

这道检查极其廉价，却常常一口气排除掉一整类候选，省下后面所有验算。判定任何函数之前，先算 $T(0)$——这是本讲最划算的一个习惯。

钩子 5：一张速查对照表 #

函数	线性？	卡在哪
$x\mapsto 2x$	✓	每个分量都是一次齐次式
$x\mapsto x+1$	✗	$T(0)=1\neq0$
$x\mapsto x^2$	✗	可加、齐次都失败
$x\mapsto\cos x$	✗	可加性失败
$(x,y)\mapsto(2x+5y,\ 3x+7y)$	✓	一次齐次式
$(x,y)\mapsto xy$	✗	出现乘积项
$(x,y)\mapsto(x+1,\ y)$	✗	第一个分量带常数项
$p\mapsto p'$	✓	求导的两条基本结论
$p\mapsto p(3)$	✓	求值：$(p+q)(3)=p(3)+q(3)$

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五、常见误区 #

$$\varphi(x,y)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{y},&y\neq0\\0,&y=0\end{cases}$$

对每个 $a\in\mathbb{R}$ 都有 $\varphi(av)=a\varphi(v)$：$a=0$ 时两边都是 $0$；$a\neq0$ 且 $y\neq0$ 时 $\dfrac{(ax)^2}{ay}=\dfrac{a^2x^2}{ay}=a\dfrac{x^2}{y}$；$y=0$ 时两边都是 $0$。
但它不保加法：

$$\varphi\big((1,1)+(0,1)\big)=\varphi(1,2)=\tfrac12,\qquad \varphi(1,1)+\varphi(0,1)=1+0=1$$

$\tfrac12\neq1$，可加性失败。

只可加、不齐次：把 $\mathbb{C}$ 看作复向量空间，定义 $\varphi(z)=\overline{z}$（取共轭）。共轭是逐分量变号，所以

$$\varphi(w+z)=\overline{w+z}=\overline{w}+\overline{z}=\varphi(w)+\varphi(z)$$

恒成立。但取 $\lambda=i$、$z=1$：

$$\varphi(i\cdot 1)=\overline{i}=-i,\qquad i\,\varphi(1)=i\cdot1=i$$

两者不等，齐次性失败。

结论：两条都要过，或者干脆一次验那条合成式 $T(\lambda u+\mu v)=\lambda Tu+\mu Tv$。

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六、拓展（可选） #

这一节是选读，不影响后面几讲。看不完也没有损失。

1. 一维空间上的算子只是「乘一个标量」。 设 $\dim V=1$ 且 $T\in\mathcal{L}(V)$，则存在 $\lambda\in\mathbb{F}$，使得对所有 $v\in V$ 都有 $Tv=\lambda v$。

理由很短：取 $V$ 中非零向量 $v_0$，则每个 $v$ 都能写成 $v=cv_0$（一维空间里没有别的方向），于是 $Tv=c\,Tv_0$；而 $Tv_0$ 本身也在 $V$ 里，故可写成 $Tv_0=\lambda v_0$。代入得 $Tv=c\lambda v_0=\lambda(cv_0)=\lambda v$。

这说明：一维情形没有任何花样，$\mathcal{L}(V)$ 与 $\mathbb{F}$ 在结构上是一回事。花样要从二维开始。

2. 「线性」是全局性质，不能一块一块地拼。 设 $U$ 是 $V$ 的真子空间，$S\in\mathcal{L}(U,W)$ 且 $S\neq0$。定义

$$Tv=\begin{cases}Sv,&v\in U\\0,&v\in V\ \text{但}\ v\notin U\end{cases}$$

这个 $T$ 不是 $V$ 上的线性映射。取 $u\in U$ 使 $Su\neq0$，再取 $v\notin U$。那么 $u+v\notin U$（否则 $v=(u+v)-u\in U$，矛盾），于是

$$T(u+v)=0,\qquad Tu+Tv=Su+0=Su\neq0$$

可加性失败。教益是：在子空间上表现良好，不能保证在整体上表现良好。

3. 从有限维到无限维，「映射空间」自己也无限维。 若 $V$ 有限维且 $\dim V>0$，而 $W$ 是无限维的，则 $\mathcal{L}(V,W)$ 也是无限维的。直觉是：$W$ 里能找出无穷多个线性无关的向量，而把基向量映到它们上面能得到无穷多个线性无关的映射（证明不展开）。

4. 维数大于 $1$ 时，乘法一定不交换。 若 $\dim V>1$，则一定存在 $S,T\in\mathcal{L}(V)$ 使 $ST\neq TS$。3.9 的微分与乘 $x^2$ 只是这件事在无穷维空间上的一个具体化身。

5. 多项式复合的两种次序，一个线性、一个不线性。 前面例子里那个 $(Tp)(x)=p(q(x))$（$q$ 固定）是线性的。注意它的次序：$q$ 在里、$p$ 在外，所以 $T$ 对 $p$ 是线性的。反过来定义 $(Tp)(x)=q(p(x))$（也就是 $q\circ p$），就一般不再线性了：取 $q(x)=x^2$，则 $Tp=p^2$，而

$$T(p_1+p_2)=(p_1+p_2)^2=p_1^2+2p_1p_2+p_2^2\neq p_1^2+p_2^2=Tp_1+Tp_2$$

只有当 $q$ 是一次齐次式 $q(x)=ax$ 时，$Tp=q\circ p=ap$ 才对所有 $p$ 都线性。
同一个「复合」动作，把哪个位置留作变量，结果天差地别。

6. 「可加但不齐次」的实函数确实存在，但不容易造。 上面误区 3 里那个「只可加不齐次」的例子用的是复数与共轭。若要求在 $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 上给出「可加但不线性」的函数，构造要用到远为高深的工具（需要把 $\mathbb{R}$ 看成 $\mathbb{Q}$ 上的向量空间并取其一组基），本课不展开。这里提一句，只为说明两边难度并不对称。

7. 通往矩阵的门已经打开。 3.4 的手算例子里，$Te_1=(2,3)$、$Te_2=(5,7)$ 被摆成了 $\begin{pmatrix}2&5\\3&7\end{pmatrix}$。这张表就是把线性映射「写下来」的方式，下一讲会把它讲透。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 判断下列 $T$ 是否线性映射，并说明卡在哪一条（都在 $\mathbb{R}$ 上的向量空间里讨论）：

① $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3$，$T(x,y)=(x+2y,\ 3x-y,\ 5x)$；

② $T:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$，$T(x)=x^2+1$；

③ $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$，$T(x,y)=xy$；

④ $T:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathcal{P}(\mathbb{R})$，$(Tp)(x)=p(x+1)$；

⑤ $T:\mathcal{P}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$，$Tp=p(3)$。

2. 用线性映射引理，写出 $\mathcal{L}(\mathbb{F}^2,\mathbb{F}^3)$ 中满足 $Te_1=(1,1,1)$、$Te_2=(2,0,3)$ 的那个映射的公式，并计算 $T(4,-5)$。

3. 只用齐次性证明 $T(0)=0$。再说明：为什么不能反过来用「$T(0)=0$」断定 $T$ 线性？（给一个反例）

4. 设 $T\in\mathcal{L}(U,V)$、$S\in\mathcal{L}(V,W)$。验证乘积 $ST$ 确实满足可加性与齐次性。

5. 取 $D$ 为微分映射、$T$ 为「与 $x^2$ 相乘」映射。分别算出 $(TD)p$ 与 $(DT)p$，并用 $p(x)=x$ 验证两者不等。

6. $T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ 定义为 $T(x,y)=(x+1,\ y)$。它线性吗？把定义改成 $T(x,y)=(x,\ y)$ 之后呢？两者只差一个常数，结论为什么完全不同？

答案（点开）

1.
① 线性。每个分量都是 $x,y$ 的一次齐次式：没有常数项、没有乘积项、没有特殊位置规则。
验算可加性：$T(u+v)$ 的第一个分量是 $(x+x')+2(y+y')=(x+2y)+(x'+2y')$，正是 $Tu+Tv$ 的第一个分量；其余分量同理。齐次性：把 $\lambda$ 从每个分量里整体提出来。
② 不线性。$T(0)=1\neq0$，必要条件就不过。也可以直接撞可加性：$T(1+1)=5$，而 $T(1)+T(1)=2+2=4$。
③ 不线性。齐次性失败：$T(2(1,1))=T(2,2)=4$，而 $2T(1,1)=2\cdot1=2$。
④ 线性。逐点验证（这是关键，因为输入输出都是函数）：

$$(T(p+q))(x)=(p+q)(x+1)=p(x+1)+q(x+1)=(Tp)(x)+(Tq)(x)$$

对每个 $x$ 成立，故 $T(p+q)=Tp+Tq$。齐次性同理：$(T(\lambda p))(x)=\lambda p(x+1)=\lambda(Tp)(x)$。
⑤ 线性。求值就是最朴素的线性映射：$T(p+q)=(p+q)(3)=p(3)+q(3)=Tp+Tq$，$T(\lambda p)=(\lambda p)(3)=\lambda\,p(3)=\lambda Tp$。
「移位」与「求值」是函数空间上两个最典型的线性映射。

2. 任意 $(x,y)=xe_1+ye_2$。由 3.3，

$$T(x,y)=x\,Te_1+y\,Te_2=x(1,1,1)+y(2,0,3)=(x+2y,\ x,\ x+3y)$$

代入 $(4,-5)$：

$$T(4,-5)=(4-10,\ 4,\ 4-15)=(-6,\ 4,\ -11)$$

3. 取 $\lambda=0$（$v$ 任意）：$T(0)=T(0\cdot v)=0\cdot Tv=0$。
反过来不成立。反例 $f(x)=x^2$：$f(0)=0$，但 $f(1+2)=9\neq5=f(1)+f(2)$。
所以「$T(0)=0$」是必要不充分条件，只能用来快速否定，不能用来肯定。

4. 可加性：

$$(ST)(u+u')=S\big(T(u+u')\big)=S(Tu+Tu')=S(Tu)+S(Tu')=(ST)u+(ST)u'$$

齐次性：

$$(ST)(\lambda u)=S\big(T(\lambda u)\big)=S(\lambda\,Tu)=\lambda\,S(Tu)=\lambda\,(ST)u$$

两处的关键分别是「$T$ 线性」和「$S$ 线性」：第一步脱去 $T$，第二步脱去 $S$。

5. $(TD)p=T(Dp)=x^2p'(x)$；

$$(DT)p=D(Tp)=\big(x^2p(x)\big)'=x^2p'(x)+2xp(x)$$

取 $p(x)=x$：$(TD)p=x^2\cdot1=x^2$，而 $(DT)p=x^2+2x\cdot x=3x^2$。
$x^2\neq3x^2$，所以 $TD\neq DT$。两者恒相差 $2xp(x)$ 这一项。

6. $T(x,y)=(x+1,\ y)$ 不线性：$T(0,0)=(1,0)\neq(0,0)$。
改成 $T(x,y)=(x,\ y)$ 就是恒等算子，线性。
差别全在那个常数 $1$：它把原点搬到了 $(1,0)$，而线性映射必须把 $0$ 送到 $0$。
这说明「线性」不是描述函数外形的形容词，而是描述它与加法、标量乘法关系的性质——
外形上只差一点点的两个函数，在这一性质上可以完全不同。

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八、复习卡 #

项	内容
线性映射	$T:V\to W$ 满足两条：可加、齐次
可加性	$T(u+v)=Tu+Tv$，对所有 $u,v\in V$
齐次性	$T(\lambda v)=\lambda Tv$，对所有 $\lambda\in\mathbb{F}$、$v\in V$
等价的一条写法	$T(\lambda u+\mu v)=\lambda Tu+\mu Tv$（取 $\lambda=\mu=1$ 得可加，取 $\mu=0$ 得齐次）
为什么只需两条	向量空间只有加法与标量乘法两个原子操作；保住它们就保住了一切线性组合
$\mathcal{L}(V,W)$	从 $V$ 到 $W$ 的全体线性映射；$\mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V)$
算子	本课对 $V\to V$ 的线性映射的叫法
零映射	$0v=0$；是 $\mathcal{L}(V,W)$ 中的加法恒等元
恒等算子	$Iv=v$
微分	$Dp=p'$；线性 ⟺ $(\lambda f)'=\lambda f'$ 与 $(f+g)'=f'+g'$
积分	$Tp=\int_0^1 p$；线性 ⟺ 积分的两条基本结论
与 $x^2$ 相乘	$(Tp)(x)=x^2p(x)$
后向移位	$T(x_1,x_2,x_3,\dots)=(x_2,x_3,\dots)$
$\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}^m$ 的一般形状	每个分量都是输入的一次齐次式，由 $mn$ 个系数 $A_{j,k}$ 决定
多项式复合	$(Tp)(x)=p(q(x))$（$q$ 固定）是线性的；反过来 $q\circ p$ 一般不线性
$T(0)=0$	线性映射的必要条件；可加性或齐次性任一条单独即可推出
必要条件 ≠ 判据	$x\mapsto x^2$、$(x,y)\mapsto xy$ 都满足 $T(0)=0$，都不线性
保持线性组合	$T(c_1v_1+\cdots+c_nv_n)=c_1Tv_1+\cdots+c_nTv_n$
线性映射引理	$v_1,\dots,v_n$ 是基时，基上的像可以任意指定，且唯一确定一个线性映射
$\mathcal{L}(V,W)$ 上的加法	$(S+T)(v)=Sv+Tv$
$\mathcal{L}(V,W)$ 上的标量乘	$(\lambda T)(v)=\lambda(Tv)$
$\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间	逐点验证六条；零元是零映射
乘积 $ST$	$(ST)(u)=S(Tu)$，即复合；要求 $T$ 映进 $S$ 的定义域
乘积的性质	可结合、有恒等元 $TI=IT=T$、满足两条分配律
乘积不交换	$TD\neq DT$：$(TD)p=x^2p'$，$(DT)p=x^2p'+2xp$
一维情形	$\dim V=1$ 时 $T\in\mathcal{L}(V)$ 就是「乘一个标量」
判定顺序	先算 $T(0)$（不中即否）→ 再验可加 → 再验齐次，或一次验合成式

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 本讲内容来源：定义与例子、$\mathcal{L}(V,W)$、线性映射引理、乘积及其代数性质，对应《线性代数应该这样学》（第 4 版，吴俊达、何阳 译）3A 节「线性映射所成的向量空间」，印刷页码 p44–p49（PDF 页 58–63）。该节末尾的习题 3A 是本节内容的配套练习，其中「只齐次不可加」「只可加不齐次」「子空间上定义、其余取 $0$」这几个反例都出自那里。
• 原文页码 ↔ 本讲小节对照（仅供回查）：

  内容	印刷页码
  线性映射的定义、$\mathcal{L}(V,W)$ 记号、八例	p44–p45
  线性映射引理及其证明	p45–p46
  $\mathcal{L}(V,W)$ 上的加法与标量乘、$\mathcal{L}(V,W)$ 是向量空间	p46
  乘积的定义、三条代数性质、不可交换的例子	p47
  $T(0)=0$、$f(x)=mx+b$	p47–p48

• 术语别名：

  本课用法	你可能见到的其他说法
  线性映射	线性变换（linear transformation）、线性算子（linear operator）
  算子（$V\to V$ 的线性映射）	线性变换（不少教材在 $V\to V$ 时专指这个）
  乘积 $ST$	复合 $S\circ T$
  恒等算子 $I$	单位算子、恒等映射、identity
  $\mathcal{L}(V,W)$	$\operatorname{Hom}(V,W)$；$W=V$ 时常写作 $\operatorname{End}(V)$
  零映射	零算子

• 「同态」这个词：在更一般的代数语境里，凡是「保持运算的映射」都叫同态（homomorphism）——群同态保持群运算，环同态保持加与乘，线性映射则是向量空间之间的同态。所以看到「同态」，翻译成本课的话就是「保持加法与标量乘法的映射」。与之配套的还有「同构」（可逆的同态）与「核」（被映成 $0$ 的部分），后者就是 08 讲的零空间。
• 权威查证：想核对术语或某个结论的表述，可在 Bronstein《数学手册》（俄文第 10 版 1962 / 英文第 6 版 2015）中检索 "linear map / linear transformation"（德文 "lineare Abbildung"，俄文 "линейное отображение"）。
• 下一讲预告：08「零空间与值域」把线性映射「切开」看——哪些向量被压成 $0$，哪些向量能被取到，两者的维数之间有一条等式。