06 维数

维数 #

这讲讲什么：把「维数」定义成一个基的长度，证明这个定义不依赖于基的选择，再用它换来一套「不动手算就能判断」的计数工具
前置：基（上一讲）——至少要清楚「线性无关 + 张成 = 基」，以及更早那条长度不等式（04 讲）：线性无关组的长度不超过张成组的长度
一句话：维数就是一个基里向量的个数；它之所以配得上「一个数」这个称呼，全靠一条只有三行的定理——任意两个基一样长。

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一、为什么需要它 #

前面几讲我们一直在用「有限维向量空间」这个词，却从来没有定义过什么叫「维数」。现在是补上它的时候。

先想清楚一个合理的定义该长什么样。最低要求是：$\mathbb{F}^n$ 的维数必须等于 $n$。而 $\mathbb{F}^n$ 有一个很自然的基——标准基

$$(1,0,\dots,0),\ (0,1,\dots,0),\ \dots,\ (0,\dots,0,1)$$

它的长度正好是 $n$。于是最省事的定义就是：

维数 := 一个基的长度。

但这个定义里藏着一根刺。$\mathbb{F}^n$ 不止一个基。在 $\mathbb{F}^2$ 里，

$$(1,0),\ (0,1)\qquad\text{是基};\qquad (7,5),\ (-4,9)\qquad\text{也是基};\qquad (1,2),\ (3,5)\qquad\text{还是基}.$$

它们的长度都是 $2$——但这是巧合，还是必然？如果某个空间有一个长度 $2$ 的基、又有一个长度 $3$ 的基，那么「基的长度」就不是一个数，定义当场作废，整门课关于维数的每一句话都失去意义。

所以第一讲的任务不是算例子，而是先证明这个定义合法。证明的思路非常简单，甚至有点朴素：拿两个基互相夹一下。

这一讲的主线是：

1. 证明「任意两个基长度相同」——维数才有资格被定义；
2. 给出维数的定义与最小例子；
3. 用维数换来四条计数定理和一条容斥公式，它们让大量判断不用计算就能完成。

读完后你应该能回答：

1. 「维数」这个定义为什么是合理的？证明只用了哪一条已有结论？
2. $\mathbb{C}$ 的维数是多少？（这题有两个答案，取决于你在哪个数域上问。）
3. 已知 $\dim V=5$。随手抓 $6$ 个向量，它们可能线性无关吗？

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二、定义与最小例子 #

2.1 手头已有的两件工具 #

先把前面用过的几件工具集中摆出来，后面全靠它们。

（一）长度不等式。 在有限维向量空间中，每个线性无关向量组的长度，都小于或等于每个张成向量组的长度。

这条不等式的证明思路是「换人」：手里有一个张成组 $w_1,\dots,w_n$，想把线性无关组 $u_1,\dots,u_m$ 一个个塞进去。每塞进一个 $u$，原来的组就变成线性相关的，于是可以名正言顺地扔掉一个 $w$，剩下的组仍然张成整个空间。塞得进去、扔得掉，说明 $w$ 一直够用，所以 $m\le n$。

请注意这条不等式的一个重要性质：它只提到「长度」，完全没提「维数」。 这一点在下面会变得非常关键。

（二）有限维的定义。 $V$ 是有限维的，当且仅当 $V$ 中存在一个长度有限的张成组。换句话说，「有限维」= 「有办法用有限多个向量把整个空间描述出来」。没有这个张成组的空间，就叫无限维（本讲后面会再提一句）。

2.2 核心定理：基的长度不依赖于基的选取 #

定理（基同长） 有限维向量空间的任意两个基都有相同的长度。

证明 设 $V$ 是有限维的，$B_1$ 与 $B_2$ 是 $V$ 的两个基。

• 因为 $B_1$ 是基，所以 $B_1$ 在 $V$ 中线性无关；
• 因为 $B_2$ 是基，所以 $B_2$ 在 $V$ 中张成 $V$。

于是由长度不等式，$B_1$ 的长度不超过 $B_2$ 的长度：

$$|B_1|\le |B_2|$$

现在把 $B_1$ 与 $B_2$ 的角色互换：$B_2$ 也线性无关，$B_1$ 也张成 $V$，同样得到

$$|B_2|\le |B_1|$$

两边同时成立，只能相等：$|B_1|=|B_2|$。$\blacksquare$

2.3 于是可以正式定义 #

定义（维数） 有限维向量空间 $V$ 的维数是 $V$ 的任意一个基的长度，记作 $\dim V$。

定义里「任意一个」这四个字，不是随手写的，而是刚刚那条定理授权的结果：既然所有基都一样长，那么随便挑哪个基去数，答案都一样。这就是所谓「良定义」（well-defined）——一个东西的定义不能依赖于你在定义过程中做的任意选择。

顺手记一个最小情形：$\{0\}$ 的维数是 $0$。因为空组是 $\{0\}$ 的基（空组张成 $\{0\}$，并且平凡地线性无关），而空组的长度是 $0$。

2.4 最小例子 #

空间	维数	凭什么
$\mathbb{F}^n$	$n$	标准基 $(1,0,\dots,0),\dots,(0,\dots,0,1)$ 长度是 $n$
$\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$（次数 $\le m$ 的多项式）	$m+1$	标准基 $1,z,\dots,z^m$ 长度是 $m+1$
$\{(x,x,y)\in\mathbb{F}^3:x,y\in\mathbb{F}\}$	$2$	$(1,1,0),(0,0,1)$ 是它的基
$\{(x,y,z)\in\mathbb{F}^3:x+y+z=0\}$	$2$	$(1,-1,0),(1,0,-1)$ 是它的基
$\{0\}$	$0$	空组是它的基

后两行的「是它的基」不是白说的，必须自己验一遍。用 $(x,x,y)$ 那行做示范：任取 $(x,x,y)$，它等于

$$x(1,1,0)+y(0,0,1)$$

所以两个向量张成这个空间；而它们不成标量倍，所以线性无关。两个条件都满足，确实是基，维数是 $2$。

再用 $x+y+z=0$ 那行做示范：任取满足 $x+y+z=0$ 的 $(x,y,z)$，取 $a=-y,\ b=-z$，则

$$a(1,-1,0)+b(1,0,-1)=(a+b,\ -a,\ -b)=(-y-z,\ y,\ z)=(x,\ y,\ z)$$

（最后一步用了 $x=-y-z$。）所以张成；而 $(1,-1,0)$ 与 $(1,0,-1)$ 不成标量倍，线性无关。维数是 $2$。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 子空间的维数不会更大 #

定理 如果 $V$ 是有限维的，$U$ 是 $V$ 的子空间，那么 $\dim U\le\dim V$。

证明 把 $U$ 的基看成 $V$ 中的一个线性无关组，把 $V$ 的基看成 $V$ 中的一个张成组，用长度不等式即可。$\blacksquare$

这条证明短得几乎不像证明，但它有一个前提要先补：$U$ 得有基可用，也就是 $U$ 本身得是有限维的。这一点必须证，不能默认：

定理 有限维向量空间的每个子空间都是有限维的。

证明的思路是「造不动了就停」：从 $U$ 里一个个挑向量，每次挑一个不在前面若干向量张成空间里的。按 04 讲的线性相关性引理，每挑一次，手上的组就更长一个、且仍然线性无关。但由长度不等式，线性无关组不可能长过 $V$ 的任一张成组——所以这个挑选过程必然停下来；停下来的时候，$U$ 中已经没有「张成空间之外」的向量了，说明 $U$ 被手上的组张成了，于是 $U$ 有限维。

$$\text{线性相关性引理}\ \longrightarrow\ \text{长度不等式}\ \longrightarrow\ \text{基同长}\ \longrightarrow\ \dim V$$

只有走完这条链，才能用 $\dim V$ 这个符号去说别的定理。
写作与答题时如果反着引用，就是循环论证。

3.2 两个「长度恰当」的定理：少查一半 #

按定义判断一组向量是不是基，要查两件事：线性无关、张成整个空间。但如果长度恰好合适，只查一件就够了。这就是本讲最省力的两条。

定理（长度恰当的线性无关组是基） 设 $V$ 有限维。那么 $V$ 中每个长度为 $\dim V$ 的线性无关组都是 $V$ 的基。

证明 设 $\dim V=n$，$v_1,\dots,v_n$ 在 $V$ 中线性无关。由 05 讲的扩充定理，任何线性无关组都可以被扩充成 $V$ 的基；而 $V$ 的每个基长度都是 $n$。手上已经有 $n$ 个了，再添一个就超过 $n$——所以「扩充」这一步什么都没添，$v_1,\dots,v_n$ 本身就是基。$\blacksquare$

定理（长度恰当的张成组是基） 设 $V$ 有限维。那么 $V$ 中每个长度为 $\dim V$ 的张成组都是 $V$ 的基。

证明 设 $\dim V=n$，$v_1,\dots,v_n$ 张成 $V$。由 05 讲的削减定理，任何张成组都可以被削减成 $V$ 的基；而 $V$ 的每个基长度都是 $n$。手上正好 $n$ 个，删掉任何一个就少于 $n$——所以「削减」这一步什么都没删，$v_1,\dots,v_n$ 本身就是基。$\blacksquare$

两条证明里都有一个漂亮的字眼：平凡的（什么都没添 / 什么都没删）。直观地说：基的长度是天花板，也是地板；你已经站在那个高度上了，就没有多余的动作可做。

一个立刻能用的例子：在 $\mathbb{F}^2$ 里取

$$(5,7),\ (4,3)$$

这两个向量不成标量倍，所以线性无关；而 $\dim\mathbb{F}^2=2$，长度恰好合适。于是不用再验证是否张成，它们就是 $\mathbb{F}^2$ 的基。

3.3 维数相同，子空间就是全空间 #

定理 设 $V$ 有限维，$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\dim U=\dim V$。那么 $U=V$。

证明 取 $U$ 的一个基 $u_1,\dots,u_n$。按前提 $n=\dim U=\dim V$。这组向量在 $U$ 中线性无关，当然也在 $V$ 中线性无关，而长度恰好等于 $\dim V$；由上一条定理，它是 $V$ 的基。既然它张成 $V$，$V$ 的每个向量都是它的线性组合，也就都在 $U$ 里，故 $U=V$。$\blacksquare$

3.4 手算例一：$\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 里一个「导数在 5 处为零」的子空间 #

令

$$U=\{p\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}):p'(5)=0\}$$

注意 $U$ 里的元素是次数不超过 $3$ 的多项式（不是数），这是一个货真价实的子空间：两个这样的多项式相加，导数在 $5$ 处仍为零；乘一个标量也一样。

第一步，先塞几个进去。 下列三个多项式都在 $U$ 里：

$$1,\qquad (x-5)^2,\qquad (x-5)^3$$

理由：常函数的导数是零函数；$2(x-5)$ 与 $3(x-5)^2$ 在 $x=5$ 处都等于 $0$。

第二步，证明它们线性无关。 设

$$a+b(x-5)^2+c(x-5)^3=0\quad\text{对一切 }x$$

不要展开，只看最高次项：左边含有 $c\,x^3$ 项，而右边没有任何 $x^3$ 项，所以 $c=0$。既然 $c=0$，左边含有 $b\,x^2$ 项，右边没有，于是 $b=0$。最后只剩 $a=0$。

于是 $1,(x-5)^2,(x-5)^3$ 线性无关，长度是 $3$。因为线性无关组的长度不超过 $\dim U$（基是张成组），立刻得到

$$3\le\dim U$$

第三步，用子空间定理卡上界。 $U$ 是 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 的子空间，所以

$$\dim U\le\dim\mathcal{P}_3(\mathbb{R})=4$$

第四步，排除等于 $4$。 多项式 $x$ 不在 $U$ 里：它的导数是常值函数 $1$，在 $5$ 处的值等于 $1\ne 0$。所以 $U\ne\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$。如果 $\dim U=4=\dim\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$，由 3.3 那条定理就应当有 $U=\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$，矛盾。故

$$\dim U=3$$

第五步，收官。 $1,(x-5)^2,(x-5)^3$ 在 $U$ 中线性无关，长度又恰好等于 $\dim U$，于是由 3.2 它们就是 $U$ 的基。

3.5 手算例二：维数的容斥公式 #

定理（子空间之和的维数） 如果 $V_1,V_2$ 是一个有限维向量空间的子空间，那么

$$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$$

它和「两个有限集的并集元素个数」公式形状完全一样。证明的骨架分三步：

1. 取 $V_1\cap V_2$ 的基 $v_1,\dots,v_m$（于是 $\dim(V_1\cap V_2)=m$）；它作为交中的线性无关组，可以扩充成 $V_1$ 的基 $v_1,\dots,v_m,u_1,\dots,u_j$，于是 $\dim V_1=m+j$；同样扩充成 $V_2$ 的基 $v_1,\dots,v_m,w_1,\dots,w_k$，于是 $\dim V_2=m+k$。
2. 说明拼接起来的那一长串 $v_1,\dots,v_m,u_1,\dots,u_j,w_1,\dots,w_k$ 张成 $V_1+V_2$：它里面既有张成 $V_1$ 的部分，又有张成 $V_2$ 的部分。
3. 再说明它线性无关：设一个线性组合等于 $0$，把带 $w$ 的项移到等号一边。左边是 $V_2$ 中的向量，右边是 $V_1$ 中的向量，两边相等说明这个向量同时在两边里，即落在 $V_1\cap V_2$ 中。于是它可以写成 $v$ 的线性组合；再与原来那个 $v,w$ 的表达式比较，利用「$v_1,\dots,v_m,w_1,\dots,w_k$ 线性无关」，得到所有 $w$ 的系数为零。这时式子只剩 $v,u$ 的组合等于 $0$，再利用「$v_1,\dots,v_m,u_1,\dots,u_j$ 线性无关」，得到所有 $u$ 的系数（以及 $v$ 的系数）为零。

数一数长度：$m+j+k=(m+j)+(m+k)-m$，正是要证的公式。$\blacksquare$

手算一个具体例子。 在 $\mathbb{R}^3$ 里取

$$V_1=\{(x,y,0):x,y\in\mathbb{R}\},\qquad V_2=\{(0,y,z):y,z\in\mathbb{R}\}$$

$V_1$ 是 $xy$ 平面，维数 $2$；$V_2$ 是 $yz$ 平面，维数 $2$；它们的交是 $y$ 轴

$$V_1\cap V_2=\{(0,y,0)\}$$

维数是 $1$。公式给出

$$\dim(V_1+V_2)=2+2-1=3$$

而 $V_1+V_2$ 是 $\mathbb{R}^3$ 的子空间、又不大于 $3$ 维，所以它就是 $\mathbb{R}^3$——这说明 $xy$ 平面加 $yz$ 平面已经能拼出整个空间。

再看一个「交是零」的情形：$V_1=\operatorname{span}\{(1,0,0)\}$，$V_2=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}$。此时 $V_1\cap V_2=\{0\}$，$\dim(V_1\cap V_2)=0$，公式给出 $1+1-0=2$。这时 $V_1+V_2$ 称为直和，公式退化成一个干净的加法：

$$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2\quad\Longleftrightarrow\quad V_1\cap V_2=\{0\}$$

元素个数与维数的对照表（这个类比很值钱，遇到「和」的问题可以先想想「并」）:

集合的语言	向量空间的语言
$S$ 是有限集	$V$ 是有限维向量空间
$\#S$（元素个数）	$\dim V$
$S_1\cup S_2$ 是包含两者的最小子集	$V_1+V_2$ 是包含两者的最小子空间
$\#(S_1\cup S_2)=\#S_1+\#S_2-\#(S_1\cap S_2)$	$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$
$S_1\cap S_2=\varnothing$	$V_1\cap V_2=\{0\}$
并是不相交的并	和是直和

3.6 把长度不等式翻译成维数的语言：四条计数定理 #

有了维数，04 讲那条「长度不等式」就可以说得更狠。设 $\dim V=n$：

手上的组	长度与 $\dim V$ 的关系	结论
线性无关组	长度 $>n$	不可能存在：这样的组必定线性相关
张成组	长度 $<n$	不可能张成 $V$
线性无关组	长度 $=n$	是基（3.2 第一定理）
张成组	长度 $=n$	是基（3.2 第二定理）

前两行是「长度不等式」换了个说法：因为基既是线性无关组又是张成组，长度都是 $n$，所以任何线性无关组都不超过 $n$，任何张成组都不少于 $n$。

两个具体的例子：

• 在 $\mathbb{R}^3$ 中，长度超过 $3$ 的组都不是线性无关的。比如 $(1,2,3),(4,5,8),(9,6,7),(-3,2,8)$ 这 $4$ 个向量，我们一个数都没算，就知道它们线性相关。
• 在 $\mathbb{R}^4$ 中，长度少于 $4$ 的组都不能张成。比如 $(1,2,3,-5),(4,5,8,3),(9,6,7,-1)$ 这 $3$ 个向量，同样一个数没算，就知道它们张不出 $\mathbb{R}^4$。

3.7 再手算一个：五元组里两个方程 #

设

$$U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\mathbb{R}^5:x_1=3x_2\ \text{且}\ x_3=7x_4\}$$

把约束代进去：$x_1$ 由 $x_2$ 决定，$x_3$ 由 $x_4$ 决定，而 $x_2,x_4,x_5$ 可以自由取。所以

$$U=\{(3x_2,\ x_2,\ 7x_4,\ x_4,\ x_5)\}=x_2(3,1,0,0,0)+x_4(0,0,7,1,0)+x_5(0,0,0,0,1)$$

右边三个向量显然线性无关（每个都带一个别人没有的位置），且张成 $U$，所以它们是 $U$ 的基，

$$\dim U=3$$

这个算法可以总结成一句经验法则：$\mathbb{R}^n$ 中每加一个独立的线性约束，维数减 $1$。这里 $5-2=3$。

3.8 用容斥公式做「必然相交」的存在性证明 #

容斥公式最漂亮的用法不是算维数，而是证明某个子空间里一定存在非零向量。

例 A（$\mathbb{R}^8$ 里的直和）。 设 $U,W$ 是 $\mathbb{R}^8$ 的子空间，$\dim U=3$，$\dim W=5$，且 $U+W=\mathbb{R}^8$。由公式

$$\dim(U\cap W)=3+5-8=0$$

维数为 $0$ 的子空间只能是 $\{0\}$，于是 $U\cap W=\{0\}$，即 $\mathbb{R}^8=U\oplus W$。

例 B（$\mathbb{R}^9$ 里两个五维子空间必相交）。 设 $\dim U=\dim W=5$。因为 $U+W$ 是 $\mathbb{R}^9$ 的子空间，$\dim(U+W)\le 9$，所以

$$\dim(U\cap W)=5+5-\dim(U+W)\ge 10-9=1>0$$

交里必有非零向量。我们完全不知道 $U,W$ 长什么样，这个结论照样成立——这就是维数的力量：它把几何问题变成了算术。

例 C（十维空间里三个七维子空间必有公共非零向量）。 用两次公式：

$$\dim(V_1\cap V_2)=7+7-\dim(V_1+V_2)\ge 14-10=4$$

再把 $V_1\cap V_2$ 当作新的子空间与 $V_3$ 求交：

$$\dim\big((V_1\cap V_2)\cap V_3\big)\ge 4+7-10=1>0$$

所以 $V_1\cap V_2\cap V_3\ne\{0\}$。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 低维空间的子空间清单 #

在 $\mathbb{R}^2$ 与 $\mathbb{R}^3$ 里，子空间的种类可以穷举干净。这张表本身就是最好的几何直觉：

空间	全部子空间	维数
$\mathbb{R}^2$	$\{0\}$；所有过原点的直线；$\mathbb{R}^2$ 本身	$0$；$1$；$2$
$\mathbb{R}^3$	$\{0\}$；所有过原点的直线；所有过原点的平面；$\mathbb{R}^3$ 本身	$0$；$1$；$2$；$3$

注意两件事：过原点是硬条件（不过原点的直线不是子空间，因为不含零向量）；而在这两个空间里，维数刚好把子空间分了家——维数就是几何对象的「种类标签」。

4.2 三个记忆钩子 #

钩子一：维数 = 独立方向的个数 = 自由参数的个数。
在 $\mathbb{R}^3$ 里，「方向」的个数直觉上就是 $3$：前后、左右、上下。换成代数语言，就是「你需要几个自由参数才能把空间里的点全写出来」。$x+y+z=0$ 里，定下 $y,z$，$x$ 就被逼出来了，所以自由参数是 $2$ 个——维数是 $2$。

钩子二：基同长的证明 = 「一个无关 + 一个张成 + 夹两次」。
把这句话当成口诀。任何时候你怀疑「这个数会不会依赖于选择」，都可以回想这个动作：找出两件互相对偶的性质，各夹一次。

钩子三：维数是空间的指纹，基是空间的坐标系。
换一组基，同一个向量的坐标会变（$(3,-1)$ 在新基下可能是 $(7,2)$），但维数不会变。所以在讨论中要始终分清：

• 属于空间的量：维数、子空间关系、直和；
• 属于基/坐标的量：某个向量的具体坐标、某个基的具体形状。

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五、常见误区 #

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六、拓展（可选） #

6.1 「无限维」只是一句否定 #

有限维的定义是「存在长度有限的张成组」。那么无限维就是它的否定：不存在长度有限的张成组。

例如全体无穷序列构成的空间

$$\mathbb{F}^\infty=\{(x_1,x_2,\dots):x_k\in\mathbb{F},\ k=1,2,\dots\}$$

不是有限维的：任何有限个序列都只能影响到有限多个位置，凑不出 $(0,\dots,0,1,0,\dots)$ 这种「任意远的地方有一个 $1$」的序列。

本讲从「基同长」往后的所有结论都带着有限维这个前提，去掉它就会失效或需要重新陈述。严格处理无限维要用到集合的基数与选择公理，超出本课范围，这里只留一个记号上的提醒：看到 $\dim V=n$ 时，默认 $V$ 是有限维的。

6.2 维数是空间的「身份证号」（预告） #

后面会证明一条很漂亮的对应：两个有限维向量空间同构，当且仅当它们的维数相同。也就是说，从线性代数的眼光看，$\mathbb{F}^n$ 是唯一一个 $n$ 维空间，别的 $n$ 维空间都只是它的「换装版本」。

因此本讲定义的这个 $\dim$，不是一个方便计算的辅助量，而是刻画空间本身的核心不变量。前后几讲会反复回来用它。

6.3 一族不太像基的基 #

有一族多项式长得完全不像 $1,x,x^2,\dots$，却同样是 $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ 的基：

$$p_k(x)=x^k(1-x)^{m-k},\qquad k=0,1,\dots,m$$

把它按长度数一数：恰好 $m+1$ 个，正好等于 $\dim\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$。所以只要证明它们线性无关，就自动是基（这正是 3.2 那条定理的用处）。这族多项式在函数逼近与计算机辅助几何设计里叫伯恩斯坦基，用来把连续函数写成可控的逼近曲线——它的好处是每一项在区间上的形状都很好控制。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 设

$$U=\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in\mathbb{R}^5:x_1=3x_2\ \text{且}\ x_3=7x_4\}$$

求 $U$ 的一个基与 $\dim U$。

2. 判断 $(5,7),(4,3)$ 是不是 $\mathbb{F}^2$ 的基，并说明最少需要验证哪些条件。

3. 令 $U=\{p\in\mathcal{P}_3(\mathbb{R}):p'(5)=0\}$，求 $\dim U$，并说明为什么它不可能等于 $4$。

4. 设 $U,W$ 是 $\mathbb{R}^8$ 的子空间，$\dim U=3$，$\dim W=5$，且 $U+W=\mathbb{R}^8$。证明 $\mathbb{R}^8=U\oplus W$。

5. 设 $V$ 是 $10$ 维向量空间，$V_1,V_2,V_3$ 是 $V$ 的三个子空间，且 $\dim V_1=\dim V_2=\dim V_3=7$。证明 $V_1\cap V_2\cap V_3\ne\{0\}$。

6. 下列判断哪些正确？错的给出反例。
(a) 若 $U$ 是 $V$ 的子空间且 $\dim U=\dim V$，则 $U=V$。
(b) 若 $\dim V=4$，则 $V$ 中任意 $4$ 个向量都是 $V$ 的基。
(c) 若 $\dim V=4$，则 $V$ 中任意 $5$ 个向量都线性相关。

答案（点开）

1. 约束把 $x_1$ 交给 $x_2$、把 $x_3$ 交给 $x_4$，自由参数是 $x_2,x_4,x_5$，于是

$$U=\{x_2(3,1,0,0,0)+x_4(0,0,7,1,0)+x_5(0,0,0,0,1)\}$$

基可以取 $(3,1,0,0,0),\ (0,0,7,1,0),\ (0,0,0,0,1)$；它们线性无关（每个向量都有一个别人没有的非零位置），
且张成 $U$。故 $\dim U=3$。
（顺带：也可以按「$5$ 个变量减去 $2$ 个独立约束」得到 $3$，但最终仍要给出基，才算证完。）

2. 是基。$(5,7)$ 与 $(4,3)$ 不成标量倍（若 $(4,3)=c(5,7)$，则 $c=\frac45$ 而 $3=\frac{28}{5}$，矛盾），
所以线性无关；而 $\dim\mathbb{F}^2=2$，长度恰好是 $2$。由「长度恰当的线性无关组是基」，
只需验证线性无关这一件，不必再验证张成。

3. $\dim U=3$。三步：① $1,(x-5)^2,(x-5)^3$ 都在 $U$ 里且线性无关（看最高次项即可，不必展开），
所以 $3\le\dim U$；② $U$ 是 $\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 的子空间，$\dim U\le 4$；
③ 多项式 $x$ 不在 $U$ 里（$x'$ 是常值函数 $1$，在 $5$ 处为 $1\ne 0$），所以 $U\ne\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$；
若 $\dim U=4$，由「维数相同的子空间等于全空间」将推出矛盾，故 $\dim U=3$。
并且 $1,(x-5)^2,(x-5)^3$ 长度恰好等于 $3$，是 $U$ 的基。

4. 用容斥公式：

$$\dim(U\cap W)=\dim U+\dim W-\dim(U+W)=3+5-8=0$$

维数为 $0$ 的子空间只有 $\{0\}$，故 $U\cap W=\{0\}$。又已知 $U+W=\mathbb{R}^8$，
由直和的定义即得 $\mathbb{R}^8=U\oplus W$。

5. 先用一次容斥公式估计 $V_1\cap V_2$：

$$\dim(V_1\cap V_2)=7+7-\dim(V_1+V_2)\ge 14-10=4$$

这里用了 $V_1+V_2\subseteq V$，故 $\dim(V_1+V_2)\le 10$。
把 $V_1\cap V_2$ 看作新的子空间，再与 $V_3$ 用一次：

$$\dim\big((V_1\cap V_2)\cap V_3\big)\ge 4+7-10=1>0$$

维数为正说明交中含有非零向量，即 $V_1\cap V_2\cap V_3\ne\{0\}$。

6.
(a) 正确。 这正是「维数相同的子空间等于全空间」。
(b) 错误。 长度合适只保证「线性无关 $\Leftrightarrow$ 张成」，不保证一定成立。
反例：在 $\mathbb{F}^4$ 中取 $(1,0,0,0),(2,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)$，$4$ 个向量但线性相关。
(c) 正确。 线性无关组的长度不超过 $\dim V=4$，所以 $5$ 个向量必线性相关。

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八、复习卡 #

项	内容
有限维	存在一个长度有限的张成组
长度不等式	线性无关组的长度 $\le$ 张成组的长度（04 讲的工具）
基同长定理	有限维空间中任意两个基长度相同；证明：互换角色，各夹一次
为什么必须证	不证它，「维数 = 基的长度」就依赖你挑了哪个基
维数	$\dim V$ = $V$ 的任一基的长度（只在有限维时有定义）
$\dim\mathbb{F}^n$	$n$（标准基）
$\dim\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$	$m+1$
$\dim\{0\}$	$0$（空组是基）；注意 $\{0\}$ 有 $1$ 个元素
依赖数域	$\mathbb{C}$：复空间 $1$ 维，实空间 $2$ 维
子空间	$\dim U\le\dim V$；有限维空间的子空间必有限维
维数相等	$\dim U=\dim V\ \Longrightarrow\ U=V$
长度恰当的线性无关组	是基（扩充是平凡的）
长度恰当的张成组	是基（削减是平凡的）
长度 $>\dim V$	必线性相关
长度 $<\dim V$	必不张成
和维数公式	$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$
直和判据	$V_1\cap V_2=\{0\}\iff\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2$
集合类比	$\#S\leftrightarrow\dim V$；$\cup\leftrightarrow+$；$\cap\leftrightarrow\cap$；不相交 $\leftrightarrow$ 直和
约束计数	每加一个独立线性约束，维数减 $1$（严格判定见消元法）
逻辑顺序	相关性引理 $\to$ 长度不等式 $\to$ 基同长 $\to\dim V$；不可倒过来引用

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线出处：《线性代数应该这样学》（第 4 版，Sheldon Axler 著，吴俊达、何阳 译）第 2 章 C 节「维数」，印刷页码 37–41（对应 PDF 页码 51–56）。
• 本讲逐条对应：长度不等式 2.22；有限维向量空间的子空间有限维 2.25；每个张成组可削减成基 2.30；每个有限维空间有基 2.31；每个线性无关组可扩充成基 2.32；基的长度不依赖于基的选取 2.34；维数定义 2.35；维数例子 2.36；子空间的维数 2.37；长度恰当的线性无关组是基 2.38；维数相同的子空间等于全空间 2.39；$\mathbb{F}^2$ 的一个基 2.40；$\mathcal{P}_3(\mathbb{R})$ 子空间的一个基 2.41；长度恰当的张成组是基 2.42；子空间之和的维数 2.43。3.6 中两处「长度越界」的例子取自 2.23、2.24；$\mathbb{R}^8$ 直和与 $\mathbb{R}^9$ 相交的例子取自习题 2C 第 12、13 题，十维三子空间的例子取自第 14 题，$\mathbb{R}^5$ 的例子取自习题 2B 第 3 题，伯恩斯坦多项式见习题 2C 第 10 题。
• 同一节里还有：子空间之和的容斥公式之后，该节紧接着给出一张集合与向量空间的完整对照表（印刷页码 40），本讲第三节末尾的表格即据此整理。
• 关于「维数不依赖基」的其他讲法：不少教材改成「用极大线性无关组定义秩，再证秩唯一」，或「用向量组的替换定理导出」。说法不同，内核都是同一条长度不等式；本讲采用「先用长度不等式证基同长、再定义维数」的顺序，是为了避免任何循环。
• 术语别名：维数 = dimension = $\dim V$；基 = 基底；张成组 = 生成组 / spanning list；线性无关 = 线性独立；直和 = direct sum（记作 $\oplus$）。翻译差异不影响内容。
• 权威查证：Bronstein《数学手册》俄文第 10 版（1962）与英文第 6 版（2015）均收录线性空间与维数的基本定理，可用于复核术语与公式形式；本讲未引入两书中未收录的额外结论。