S2-定理速查

定理速查 #

这份表是什么：全课程三十七讲里真正陈述过的定理、命题、判据的一次汇总。每条只留五件事——叫什么、一句话说了什么、什么条件、哪讲能查到、常用来做什么。
怎么用：做题卡住时先来这里认领工具：想不起「该用哪条」，就从「常用来做什么」那一列找。想细看证明，按「讲次」那一列跳过去。
一句话：别指望从这里学会证明，这里只负责让你认出该用哪一条、以及它的条件到底卡在哪。

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一、为什么需要它 #

这门课有三十多讲，定理散在各处。更麻烦的是，它们用的是同一批词：维数、基、零空间、特征值、内积。于是复习时会出现一种很典型的困境——你记得「有那么一条，说两个基一样长」，但想不起它叫什么、在哪讲、要不要有限维。翻半小时找不到，做题节奏就断了。

比「找不到」更贵的是记错条件。线性代数里绝大多数的错，不是算错，而是条件对不上：

• 把「有限维」当成废话。 若干条定理（长度不等式、基同长、线性映射基本定理）只要空间无限维就立刻失效，而失效的方式是「两边都是无穷」这种讲不出内容的话。
• 把「复数域」当成修辞。 谱定理的复版本要求正规，实版本要求自伴；特征值之和等于迹只在特征值齐全时有意义；可对角化这件事本身会随数域改变答案。
• 把「两个」推广到「三个」。 直和判据 $U\cap W=\{0\}$ 只对两个子空间成立，三个以上必须回到零向量判据。
• 把「充分」读成「充要」。 「$n$ 维空间上有 $n$ 个互异特征值 $\Rightarrow$ 可对角化」是单向的，反例是 $\operatorname{diag}(6,6,7)$。
• 弄丢等号条件。 Cauchy–Schwarz 的等号是「成标量倍数」，不是「共线」（零向量的情形要单独说清）；最小化定理的等号是「$u$ 恰好等于投影」。

所以这张表的重点不在「陈述」，而在第三列「条件」。你可以把前三列当成一张对照表：左边是结论，右边是它的门票。门票不对，结论一个字都用不上。

三条使用建议：

1. 按主题找，不按字母找。 定理之间有依赖，硬背孤立条目记不住。下面按七组排列，组内顺序大致就是逻辑顺序。
2. 先看条件，再看结论。 遇到「这条能不能用」，视线直接跳到第三列。
3. 只背第八节那十条。 其余的知道「有这么个东西、在哪讲」就够，需要时再查。

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二、空间与维数 #

这一组是全课的地基。特别注意 04、05、06 三讲是一条单向链：

$$\text{线性相关性引理}\ \longrightarrow\ \text{长度不等式}\ \longrightarrow\ \text{基同长定理}\ \longrightarrow\ \dim V$$

$\dim V$ 这个符号的合法性来自基同长定理，所以基同长定理的证明里只能出现更早的工具。倒着引用就是循环论证。

名称	一句话陈述	条件 / 前提	讲次	常用来做什么
线性相关性引理	线性相关组里必有某个向量落在它前面那些向量的张成里，且去掉它张成空间不变	组线性相关	04	一切「换人式」证明的第一步：削减、扩充、长度不等式
长度不等式	每个线性无关组的长度都 $\le$ 每个张成组的长度	$V$ 有限维	04	免算判据：$\mathbb{R}^3$ 里四个向量必相关；三个向量撑不满 $\mathbb{R}^4$
子空间有限维	有限维空间的每个子空间都是有限维的	$V$ 有限维	04	让你有资格写 $\dim U$
削减定理	每个张成组都包含一个基（删掉若干冗余即可）	给定一个有限张成组	05	求基；数「这组向量的有效信息量」
扩充定理	每个线性无关组都可扩充成基（也可能一个都不加）	$V$ 有限维	05	证明线性映射基本定理；按基造映射
基同长定理	有限维空间中任意两个基的长度相同	$V$ 有限维	06	定义 $\dim V$；保证「维数」不依赖你挑了哪个基
子空间维数上界	$\dim U\le\dim V$	$U$ 是 $V$ 的子空间，$V$ 有限维	06	夹逼法求维数时的上界
长度恰当的无关组是基	长度 $=\dim V$ 的线性无关组就是基	$V$ 有限维	06	少查一半：只验无关，不必验张成
长度恰当的张成组是基	长度 $=\dim V$ 的张成组就是基	$V$ 有限维	06	少查一半：只验张成，不必验无关
维数相等则子空间等于全空间	$\dim U=\dim V\Rightarrow U=V$	$U\le V$，$V$ 有限维	06	收口技巧：证明「严格小于」来排除等于
和维数公式	$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$	两个子空间，全空间有限维	06	算和空间维数；证「必然相交」
直和判据（两个）	$U+W$ 是直和 $\iff U\cap W=\{0\}$	只限两个子空间	03	判定直和；配合和维数公式退化成加法
直和判据（一般）	零向量只有「全取 $0$」这一种分解	任意多个子空间	03	三个以上只能回到这条
积的维数公式	$\dim(V\times W)=\dim V+\dim W$	都有限维	11	「往上加」
商的维数公式	$\dim(V/U)=\dim V-\dim U$	$U\le V$，$V$ 有限维	11	「往下减」

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三、线性映射 #

这一组的枢纽是线性映射基本定理。它是「数维数」这件事在映射层面的版本，也是后面几乎所有「不用算就能判定」的来源。

名称	一句话陈述	条件 / 前提	讲次	常用来做什么
线性映射引理	在基上任意指定像，唯一确定一个线性映射	$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的基	07	造映射；矩阵能存在的根本原因
单射判据	$T$ 单射 $\iff\operatorname{null}T=\{0\}$	无需额外前提	08	把「一对一」压成一个齐次方程只有零解
线性映射基本定理	$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$	$V$ 有限维；$W$ 可无限维	08	算值域维数；判满射；矩阵版即「列数 = 零化度 + 秩」
判据 A	$\dim V>\dim W\Rightarrow T$ 一定不单射	$V,W$ 都有限维	08	一眼否证：不必解方程
判据 B	$\dim V<\dim W\Rightarrow T$ 一定不满射	$V,W$ 都有限维	08	一眼否证；等价于「方程多于未知数时有的常数项无解」
同构判据	$V$ 与 $W$ 同构 $\iff\dim V=\dim W$	都有限维	10	有限维空间的分类参数只有维数一个
线性映射空间的维数	$\dim\mathcal{L}(V,W)=(\dim V)(\dim W)$	都有限维	10	数自由度；解释「$2\times3$ 矩阵有六个元素」
对偶基存在	每个基都有唯一对偶基，且它确实是 $V'$ 的基	$V$ 有限维	12	读坐标：$v=\sum\varphi_j(v)v_j$
零化子维数	$\dim U^0=\dim V-\dim U$	$U\le V$，$V$ 有限维	12	对偶侧的「少掉的维数正好是被量掉的」
对偶映射的矩阵是转置	$\mathcal{M}(T')=\mathcal{M}(T)^{\mathsf T}$	两侧都取对偶基	12	矩阵转置的真正来源

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四、多项式 #

这一组看着像「预备知识」，实际是全课的接口：多项式的零点个数上界，最后变成「算子特征值个数不超过维数」；复系数能拆到底，最后变成「复空间上必有特征值」。

名称	一句话陈述	条件 / 前提	讲次	常用来做什么
带余除法定理	存在唯一的 $q,r$ 使 $p=q\,d+r$ 且 $\deg r<\deg d$	除式 $d\neq 0$	14	把高次问题降次
余数定理	$p$ 除以 $z-\lambda$ 的余式是常数，等于 $p(\lambda)$	除式是一次式	14	快速求值；综合除法的理论依据
因式定理	$p(\lambda)=0\iff(z-\lambda)\mid p$，且 $\deg q=\deg p-1$	—	13、14	找到一个零点就等于剥掉一层因式
零点个数上界	次数为 $m\ge1$ 的多项式最多有 $m$ 个互异零点	数在互异零点上，不计重数	13	反证「系数唯一」
系数唯一	同一个多项式的两组系数表示逐项相等，次数也相同	数域无限（$\mathbb{R}$、$\mathbb{C}$）	13	「多项式」与「多项式函数」可以混用的许可证
重数的导数判据	$\lambda$ 是 $k$ 重零点 $\iff$ 前 $k-1$ 阶导为 $0$ 而第 $k$ 阶不为 $0$	导数按形式运算理解	13	判重数，不必做长除法
代数基本定理（版本一）	每个非常值的复系数多项式在 $\mathbb{C}$ 中有零点	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$\deg\ge1$	15	保证「特征值一定存在」
复系数分解定理	$p(z)=c\prod_{k=1}^{m}(z-\lambda_k)$，$m=\deg p$	$\mathbb{C}$，$p$ 不恒为常数	15	特征值个数 $=$ 空间维数（计重数）
实系数分解定理	$p=c\prod(x-\lambda_j)\prod(x^2+b_kx+c_k)$，二次因式首一且 $b_k^2<4c_k$	$\mathbb{R}$，$p$ 不恒为常数	16	实算子的块结构；为什么实空间上做不到完全拆开
非实零点成对出现	实系数多项式的复零点必与它的共轭同时出现	系数全为实数	16	实矩阵的复特征值成对；实二次型配方的依据

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五、特征值与对角化 #

这一组的核心问题是：能不能挑一组基，让算子的矩阵足够简单。 三个层次依次是「有上三角」「可对角化」「可正交对角化」，条件一个比一个强，混用是最常见的错。

名称	一句话陈述	条件 / 前提	讲次	常用来做什么
互异特征值的特征向量无关	对应互不相同特征值的非零特征向量必线性无关	特征值两两不同	17	数特征向量够不够；判基
特征值个数上界	有限维空间上的算子最多有 $\dim V$ 个互异特征值	$V$ 有限维	17	上界是维数，不是元素个数
上三角的三条等价说法	矩阵上三角 $\iff$ 每层张成空间不变 $\iff Tv_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$	给定一组基	17、19	把「矩阵形状」翻译成「子空间稳定性」
上三角存在的充要条件	存在基使矩阵上三角 $\iff$ 极小多项式分解成一次因式之积	$V$ 有限维	19	判能不能上三角化；复空间上恒可行
复空间必有上三角	复向量空间上每个算子都关于某组基有上三角矩阵	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，有限维	19	白送一张特征值清单
特征值就是对角元	若某组基下矩阵上三角，则其特征值恰是对角线上那些数	已存在上三角矩阵	19	免解高次方程读特征值
Cayley–Hamilton	特征多项式零化算子：$p_T(T)=0$	$V$ 有限维；本课程的证明依赖主分解定理，需 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 或极小多项式完全分解	32	降次；证广义特征空间分解
可对角化的四条等价	(a) 可对角化 $\iff$ (b) 有特征向量基 $\iff$ (c) $V=\bigoplus E(\lambda_j,T)$ $\iff$ (d) 维数和 $=\dim V$	$V$ 有限维，$\lambda_j$ 取全部互异特征值	20	(d) 是唯一能靠算维数来检验的
特征空间之和是直和	$\bigoplus_j E(\lambda_j,T)$ 是直和，且维数和 $\le\dim V$	特征值互异；上界需有限维	20	理解为什么 (d) 的等式「不是碰巧」
$n$ 个互异特征值 $\Rightarrow$ 可对角化	有 $\dim V$ 个互不相同特征值就可对角化	$n=\dim V$；充分不必要	20	只要算特征多项式就能确认的判据
极小多项式无重根判据	$T$ 可对角化 $\iff$ 极小多项式等于互异一次因式之积	极小多项式可在 $\mathbb{F}$ 上分解	20、18	不求特征向量、甚至不必知道精确特征值
可交换算子的特征空间不变	$ST=TS$ 时 $E(\lambda,S)$ 在 $T$ 下不变	$S,T$ 可交换	21	把空间切块；块对角化的来源
可交换复算子有公共特征向量	非零有限维复空间上可交换的两个算子有公共特征向量	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，$V\neq\{0\}$	21	同时上三角化；量子力学的「可同时测量」
广义特征空间分解	$V=G(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus G(\lambda_m,T)$，每块在 $T$ 下不变且限制幂零	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$	32	Jordan 形的前一步；代数量数的出处
幂零的三条等价	幂零 $\iff$ 极小多项式是 $z^m$ $\iff$ 某组基下是严格上三角	—	31	幂零算子的完整刻画
幂零的 $n$ 次幂为零	$\dim V=n$ 且 $T$ 幂零 $\Rightarrow T^n=0$	$\dim V=n$	31	不用找那个神秘的指数，直接算 $T^n$
Jordan 形存在定理	复向量空间上每个算子都有 Jordan 基	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，有限维	33	相似分类的终点

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六、内积、谱定理与算子 #

有了内积，「垂直」才成为一个可以批量制造的概念；有了规范正交基，「求坐标」才从解方程组降级成做内积。这一组的定理几乎都是把几何条件翻译成代数条件。

名称	一句话陈述	条件 / 前提	讲次	常用来做什么
Cauchy–Schwarz 不等式	$\lvert\langle u,v\rangle\rvert\le\lVert u\rVert\,\lVert v\rVert$	任意内积空间	22	定义角度（保证余弦绝对值 $\le1$）；证一切范数不等式
三角不等式	$\lVert u+v\rVert\le\lVert u\rVert+\lVert v\rVert$	由 C–S 推出	22	说明范数确实是「长度」
毕达哥拉斯定理	$u\perp v\Rightarrow\lVert u+v\rVert^2=\lVert u\rVert^2+\lVert v\rVert^2$	$u\perp v$	22	最小化定理、C–S 的几何引擎
正交分解	$u=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\lVert v\rVert^2}v+w$，且 $w\perp v$	$v\neq0$	22	投影公式；C–S 的证明起点
Gram–Schmidt 过程	线性无关组可改造为规范正交组，且逐层张成空间不变	输入组线性无关	23	造正交基；QR 分解的算法
规范正交基存在性	每个有限维内积空间都有规范正交基	有限维内积空间	23	「随便取个基，掰直它」
规范正交组可扩充	每个规范正交组都能扩充成规范正交基	$V$ 有限维	23	已有几条正交轴时凑齐坐标系
贝塞尔不等式	$\sum_{j=1}^{m}\lvert\langle v,e_j\rangle\rvert^2\le\lVert v\rVert^2$，等号 $\iff v$ 在张成里	$e_1,\dots,e_m$ 只需是规范正交组，不必是基	23	SVD 里给 $\lVert Tv\rVert$ 卡上界
帕塞瓦尔恒等式	规范正交基下 $\lVert v\rVert^2=\sum_j\lvert\langle v,e_j\rangle\rvert^2$	规范正交基	23	能量守恒；傅里叶展开
舒尔定理	复内积空间上每个算子都关于某组规范正交基有上三角矩阵	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，有限维	23	通往谱定理的跳板；数值上的 Schur 形
最小化定理	$\lVert v-P_Uv\rVert\le\lVert v-u\rVert$，等号成立 $\iff u=P_Uv$	$U$ 有限维子空间	24	最小二乘；最近点唯一
正交补的双重补	$(U^\perp)^\perp=U$	$U$ 有限维（这是实质条件）	24	求正交补；「$U^\perp=\{0\}\Rightarrow U=V$」
自伴的二次型判据	$T$ 自伴 $\iff\langle Tv,v\rangle$ 对一切 $v$ 为实数	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$；实数域上条件恒真，判不出东西	25	判自伴；谱定理的发动机
正规的范数判据	$T$ 正规 $\iff\lVert Tv\rVert=\lVert T^*v\rVert$ 对一切 $v$	任意内积空间	25	一眼否证正规：随便挑一个 $v$ 比范数
实谱定理	自伴 $\iff$ 关于某组规范正交基有对角矩阵 $\iff$ 有特征向量构成的规范正交基	$\mathbb{F}=\mathbb{R}$，有限维	26	实对称矩阵正交对角化
复谱定理	正规 $\iff$ 关于某组规范正交基有对角矩阵 $\iff$ 有特征向量构成的规范正交基	$\mathbb{F}=\mathbb{C}$，有限维	26	正规矩阵的西对角化
正算子的六条等价	正 $\iff$ 自伴且特征值非负 $\iff$ 可正交对角化且对角元非负 $\iff$ 有正平方根 $\iff$ 有自伴平方根 $\iff T=R^*R$	有限维内积空间	27	定义 $\sqrt{T^*T}$；SVD 与极分解的前提
等距 $\iff$ 保内积	$S$ 保范数 $\iff S$ 保内积	$S$ 线性	28	只要保长度，角度自动保住
极分解	存在幺正 $S$ 使 $T=S\sqrt{T^*T}$	有限维；$T$ 可逆时 $S$ 唯一	28、30	「先拉伸、再旋转」；数值上等价于「旋转 × 正定」
QR 分解	列线性无关的方阵有唯一分解 $A=QR$，$Q$ 幺正、$R$ 上三角且对角为正	各列线性无关	28	数值稳定的正交化；Gram–Schmidt 的矩阵版

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七、SVD 与行列式、迹 #

SVD 是前面所有工具的结算：它同时用到谱定理（对 $T^*T$ 用）、正算子（开平方）、规范正交基（两组）。行列式与迹则是两个「用一个数概括算子」的量，分工极清楚——迹管加法，行列式管乘法。

名称	一句话陈述	条件 / 前提	讲次	常用来做什么
SVD 定理	存在规范正交组 $e_k$、$f_k$ 使 $Tv=\sum_{k=1}^{m}s_k\langle v,e_k\rangle f_k$	有限维；$s_k$ 为正奇异值，$m=\operatorname{rank}T$	29	一切分解之母；「拆坐标 → 伸缩 → 换方向」
SVD 三条判据	单射 $\iff0$ 不是奇异值；正奇异值个数 $=\dim\operatorname{range}T$；等距 $\iff$ 奇异值全为 $1$	—	29	把几何条件翻成谱条件
算子范数等于最大奇异值	$\lVert T\rVert=\max_{\lVert v\rVert\le1}\lVert Tv\rVert=s_1$	有限维	30	最大放大倍数；条件数的分子
Eckart–Young 定理	$\min\{\lVert T-S\rVert:\operatorname{rank}S\le k\}=s_{k+1}$，且由截断 SVD 取到	$1\le k<m$	30	最优低秩逼近；压缩、降噪
伪逆	$T^{\dagger}w=\sum_k\dfrac{\langle w,f_k\rangle}{s_k}e_k$	按正奇异值求和	30	方程无解时的最小二乘解；同族解中范数最小
行列式等于奇异值之积	$\lvert\det T\rvert=s_1s_2\cdots s_n$	方阵；$A$ 可逆时	30	体积放大倍数
交错型的一维性	$\dim V^{(n)}_{\mathrm{alt}}=1$，其中 $n=\dim V$	$V$ 有限维	36	行列式「唯一性」的全部来源
行列式的公理化刻画	行列式是唯一的「$n$ 重线性 + 交错 + $\alpha(e_1,\dots,e_n)=1$」的函数	$n=\dim V$	37、36	一行推出换行变号、成比例归零
可乘性	$\det(ST)=\det S\det T$，矩阵版 $\det(AB)=\det A\det B$	方阵、同阶	37	行列式一切代数性质的枢纽
可逆 $\iff$ 行列式非零	$T$ 可逆 $\iff\det T\neq0$；且 $\det(T^{-1})=1/\det T$	方阵	37	用一个数判结构
转置不变	$\det A^{\mathsf T}=\det A$	方阵	37	行与列的说法可以自由互换；行秩 = 列秩不奇怪
上三角的行列式	上三角矩阵的行列式等于对角元之积	上三角	37	消元法算行列式的终点
按一行（列）展开	沿任一行（列）的代数余子式展开给出同一个值	方阵	37	降阶手算；Laplace 展开
迹与基无关	$\operatorname{tr}\mathcal{M}(T)$ 不随基改变，故可定义 $\operatorname{tr}T$	方阵	34	让「挑一组好基来看」成为合法操作
迹的循环性	$\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$，允许循环移位	$A$ 是 $m\times n$、$B$ 是 $n\times m$，不必同形状	34	证迹与基无关；证 $ST-TS=I$ 不存在
迹等于特征值之和	$\operatorname{tr}T=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$（按代数量数计）	特征值必须齐全：$\mathbb{C}$ 上，或特征多项式已完全分解	34	免费检查特征值算得对不对
$ST-TS=I$ 不存在	有限维空间上不存在满足此式的 $S,T$	有限维	34	量子力学里 $xp-px=\mathrm{i}\hbar$ 必须无限维
极化恒等式	二次型与对称双线性型互相唯一确定	域的特征 $\neq2$	35	二次型问题全部转成双线性型问题
对称双线性型可对角化	每个对称双线性型都有使其矩阵为对角的基	有限维；实内积空间里还可取规范正交基	35	二次型化成平方和；惯性定理的前提

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八、复习卡：最该记住的十条 #

考前只看这一页。左边是名字，右边是「一句话 + 那个最容易记错的条件」。

#	定理	一句话 + 关键条件
1	线性相关性引理（04）	相关组里必有向量落在前面那些向量的张成里；去掉它张成不变。注意「前面」——不是随便哪个。
2	长度不等式（04）	无关组的长度 $\le$ 张成组的长度。条件是有限维。 $\mathbb{R}^3$ 里四个向量必相关，就这么来的。
3	基同长定理（06）	任意两个基一样长。它是 $\dim V$ 的许可证，所以证明里只能用它之前的东西——不能倒着引。
4	削减 / 扩充定理（05）	张成组往下削成基，无关组往上补成基。两条互为对偶，都要求 $V$ 有限维。
5	和维数公式（06）	$\dim(V_1+V_2)=\dim V_1+\dim V_2-\dim(V_1\cap V_2)$。交集为零时退化成加法——那是特例。
6	线性映射基本定理（08）	$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$。只要求 $V$ 有限维，$W$ 不必。
7	同构 $\iff$ 维数相等（10）	有限维空间只有维数一个分类参数。这个判据在群、拓扑里都没有对应物。
8	可对角化四条等价（20）	最实用的是 (d)：$\dim V=\sum_j\dim E(\lambda_j,T)$。算 $m$ 个零空间维数相加即可。
9	实谱定理 / 复谱定理（26）	实：自伴 $\iff$ 有特征向量构成的规范正交基；复：把「自伴」换成「正规」。
10	SVD + Eckart–Young（29、30）	$Tv=\sum s_k\langle v,e_k\rangle f_k$；离秩 $k$ 的最短距离恰好是 $s_{k+1}$，且由截断取到。

再把这张表压成一句话：

空间靠基同长得到维数，映射靠基本定理数维数，对角化靠特征空间凑维数，SVD 靠谱定理把一切拆成伸缩 —— 全课只用了一个动作：数维数、比维数、让维数相等。

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九、自测 #

这五题不问「结论是什么」，只问条件。做不出来就回到对应讲次。

1. 有人这样证「基同长定理」：设两组基长度分别为 $m,n$，由 $\dim V$ 定义知 $m=n=\dim V$。毛病在哪？

2. 线性映射基本定理的证明第一句是「取零空间的一组基」。这句话要求 $V$ 有限维还是 $W$ 有限维？$W$ 无限维时定理还成立吗？

3. 「$V$ 上每个算子都关于某组基有上三角矩阵」这句话，什么条件下成立？把「某组基」改成「某组规范正交基」，条件要加什么？

4. 判断真假并说明理由：$(U^\perp)^\perp=U$ 对任意内积空间的任意子空间成立。

5. 设 $A$ 是可逆方阵，$s_1\ge\cdots\ge s_n$ 是它的奇异值。有人断言 $s_n=\lvert\lambda_{\min}(A)\rvert$。这对吗？什么时候对？

答案（点开）

1. 循环论证。$\dim V$ 这个符号的合法性恰恰来自基同长定理：在证明它之前，「维数」还没有定义。所以证明只能走「长度不等式 + 互换角色各夹一次」这条路。

2. 只要求 $V$ 有限维。$W$ 无限维时定理照样成立，而且照样好用：$\operatorname{range}T$ 由有限多个基向量的像张成，自动有限维。例如 $T:\mathbb{F}^2\to\mathbb{F}^\infty$，$T(x,y)=(x,y,0,0,\dots)$ 给出 $2=0+2$。

3. 前者（任意基）的充要条件是：极小多项式可分解为一次因式之积；在复数域上恒成立。后者（规范正交基）是同一条充要条件，只是证明要走舒尔定理那条路——先上三角化，再用 Gram–Schmidt 把这组基掰直，而 Gram–Schmidt 逐层保持张成空间，所以「逐层不变」这个结构被原样搬过去。

4. 假。只有 $U$ 有限维时才成立。反例：$[-1,1]$ 上连续函数空间中取 $U$ 为「在 $0$ 处取值为零的函数」全体，则 $U^\perp=\{0\}$，于是 $(U^\perp)^\perp=V\neq U$。反向那一步用的是「任何向量都能正交分解成 $U$ 中一块加 $U^\perp$ 中一块」，而这条分解本身要求 $U$ 有限维。

5. 不对，一般没有这个等式。奇异值是 $A^*A$ 特征值的平方根，与 $A$ 自身的特征值模长只在正规算子（含自伴、幺正）时才相等。反例：$A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 的特征值全为 $0$，但奇异值是 $1,0$。反过来，$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$ 特征值 $1,2$，奇异值却约等于 $2.29$ 与 $0.87$，两边都不等。可靠的说法是 $s_1s_2\cdots s_n=\lvert\det A\rvert$——乘积对得上，单个对不上。

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十、出处与延伸 #

这一节可选，不影响阅读。 前面所有结论都已在正文里讲清，这里只给「想回查时去哪儿」。

本表与各讲的对应关系。 「讲次」一列写的是这条结论在课程里被正式陈述的那一讲；若一条结论在两讲都出现，写「A、B」表示 A 讲给出完整陈述、B 讲给出等价形式或推论。跨讲引用请一律用这个编号，不要用「上一讲」「前面说过」这类相对指代——并行撰写时它们极易算错。

已经统一命名的七条。 全课刻意只用一套名字，避免同一结论多个叫法：

• 线性相关性引理（04 讲）
• 长度不等式（04 讲）
• 削减定理（05 讲）
• 扩充定理（05 讲）
• 基同长定理（06 讲）
• 和维数公式（06 讲）
• 线性映射基本定理（08 讲）

遇到别的讲义把这七条叫成「替换定理」「维数公式」「秩–零化度定理」等，指的是同一件事，做对照时按内容认，不按名字认。

术语别名对照。

本课用词	常见别名
线性映射基本定理	秩–零化度定理、维数公式、rank–nullity
零空间	核、kernel、null space
值域	像、像空间、image、range
单射 / 满射	一对一 / 映成、injective / surjective
规范正交基	标准正交基、orthonormal basis
幺正算子	酉算子、unitary；实情形叫正交算子
正规算子	normal operator
伴随	共轭转置、adjoint（实情形即转置）
伪逆	穆尔–彭罗斯逆、广义逆、Moore–Penrose inverse
极分解	polar decomposition
上三角化（正交基下）	舒尔三角化、Schur 形

想深挖时可查的方向（都不影响本课主线）：

• 公理化与结构：行列式作为「唯一的交错 $n$ 重线性型」这一讲法，是十九世纪末才成为标准叙述的；它取代了更早的排列求和定义。两者等价性在 36、37 两讲里已给出双向通道。
• 数值方向：求特征值的 QR 算法、SVD 的稳定计算、条件数与伪逆的误差分析，是这套内容在工程上的直接延伸；真正的实现细节属于数值线性代数，不在本课范围。
• 代数方向：Jordan 形之后的下一步是「相似分类的完全不变量」与「有理标准形」，以及张量积、外代数——这些在 38 讲之后才展开。
• 分析方向：无限维内积空间（希尔伯特空间）里，正交分解与贝塞尔不等式仍然成立，但 $(U^\perp)^\perp=U$ 与「每个算子有特征值」都会失效；本表里凡标注「有限维」的条目，失效点几乎都在这两处。

一句提醒。 这张表刻意不写证明。速查表的价值在于缩短「我该用哪条」的搜索时间，不在于替代推导。任何一条你没法在两分钟内说出它的证明骨架的定理，都应该回到那一讲补上——尤其是第八节列出的十条。