S1-符号表

符号表 #

这份表是什么：全课程用到的记号的总索引。读到某讲卡在一个符号上，来这里查它读什么、是什么意思、在哪里第一次定义、还有哪些别的叫法。
前置：无。任何一讲读不下去时都可以先翻这里。
怎么用：按「你看到的样子」去对应的小节里找，不要按字母顺序找——同一类符号放在一起，比较才方便。

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一、为什么需要它 #

线性代数有一个别的基础课没有的麻烦：符号密度高，而且同一个字形在不同作者手里意思不一样。

举三个真会绊住人的例子。

第一个，$A^{*}$。在有的书里它指转置，在有的书里它指共轭转置，在本课里它指伴随——而伴随作用在矩阵上恰好就是共轭转置。你如果只记住「星号等于转置」，遇到复内积空间就会算错一个共轭。

第二个，$V'$ 与 $V^{*}$。这两个记号在不同教材里指同一个东西（对偶空间），但本课把星号留给伴随，只在对偶这一讲用撇号。要是你把两讲的记号混着记，会以为这是两个不同的空间。

第三个，$\operatorname{null}T$ 与 $\ker T$。这是同一个东西的两个名字，本课正文用前者，脚注里会提后者。不知道这一点，读别人写的线代笔记时会以为漏学了一节。

这些都不是理解上的困难，纯粹是记号的对齐问题。而记号没对齐的代价不小：你会把大量时间花在「这个符号是不是我漏掉的定义」上，而不是花在「这一步为什么成立」上。

所以这张表只干一件事：把「字形—读法—含义—出处—别名」五件事钉死在一行里。 它不替代任何一讲的定义，只负责让你在三十秒内回到正轨。

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二、数域与空间 #

这一组回答「我们在什么场地里做运算」。看到花体大写字母，基本都是集合或空间。

符号	读法	含义	首次出现	别名 / 易混
$\mathbb{F}$	艾弗、数域	一个数域，本课特指 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 之一；定理里写 $\mathbb{F}$ 表示对两者同时成立	01	「域」；易混：$\mathbb{F}$ 不是某个具体的数集，是一个占位符
$\mathbb{R}$	实数域	全体实数，配上通常的加减乘除	01	实轴；易混：$\mathbb{R}$ 是集合，$\mathbb{R}^n$ 才是空间
$\mathbb{C}$	复数域	$\{a+bi:a,b\in\mathbb{R}\}$，$i^2=-1$	01	复平面；易混：$\mathbb{C}$ 与 $\mathbb{R}^2$ 作为集合可以一一对应，但乘法结构不同
$\mathbb{Q}$	有理数域	全体分数；是数域，但太小，多项式不一定有零点	01	有理数集
$\mathbb{Z}$	整数集	不是数域——除法不封闭（$1/3\notin\mathbb{Z}$）	01	整数环；易混：本课反复用它当「不是域」的反例
$\mathbb{F}_2$	二元域	只有 $0,1$ 两个元素，$1+1=0$；用于 CRC 等工程场景	13	$\mathbb{Z}_2$、二元伽罗瓦域
$\mathbb{F}^n$	艾弗-n	$n$ 个 $\mathbb{F}$ 中元素排成的有序数组全体	01	$n$ 维坐标空间；易混：有序、可重复、定长，这三点集合都没有
$\mathbb{F}^\infty$	艾弗-无穷	全体无穷序列 $(x_1,x_2,\dots)$，逐项运算	02	序列空间；易混：与 $\mathbb{F}^n$ 的区别只是「长度允不允许无限」
$\mathbb{F}^S$	艾弗-S	从集合 $S$ 到 $\mathbb{F}$ 的全体函数，逐点运算	02	函数空间；易混：$S=\{1,\dots,n\}$ 时它和 $\mathbb{F}^n$ 是一回事
$\mathbb{F}^{m,n}$	艾弗-m-n	全部 $m$ 行 $n$ 列、元素在 $\mathbb{F}$ 中的矩阵	09	$M_{m\times n}(\mathbb{F})$；易混：$\mathbb{F}^{m,n}$ 是空间，单个矩阵记 $A$
$\{0\}$	零空间	只含零向量的集合；最小的向量空间，维数为 $0$	02	平凡子空间；易混：它有 $1$ 个元素，维数却是 $0$
$\varnothing$	空集	不含任何元素；不是子空间	01	空集；易混：$\varnothing\ne\{0\}$，前者连零元都没有
$i$	艾	虚数单位，$i^2=-1$	01	$\mathrm{i}$；易混：乘 $i$ 等于在复平面内逆时针转 $90^\circ$
$\operatorname{Re}z$、$\operatorname{Im}z$	R-e、I-m	复数 $z$ 的实部与虚部，都是实数	13	实部 / 虚部；易混：$\operatorname{Im}z$ 是实数，不带 $i$
$\bar z$	z 共轭	复共轭 $\operatorname{Re}z-(\operatorname{Im}z)i$	13	$z^{*}$；易混：$\bar z=z$ 当且仅当 $z$ 是实数
$\lvert z\rvert$	z 的模	$\sqrt{(\operatorname{Re}z)^2+(\operatorname{Im}z)^2}$，即到原点的距离	13	绝对值；核心恒等式 $z\bar z=\lvert z\rvert^2$

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三、向量、子空间与基 #

这一组回答「空间里有什么、怎么挑出一组好用的代表」。看到小写斜体基本是向量，看到大写下标基本是「一组向量」。

符号	读法	含义	首次出现	别名 / 易混
$u,v,w$	u、v、w	单个向量（小写斜体是约定）	01	点、元素；易混：向量不是「带箭头的线段」，那是它的一个模型
$v_1,\dots,v_m$	v 一到 v-m	一个向量组：有序、可重复的有限表，$m$ 叫它的长度	04	向量族；易混：向量组是「表」，线性无关是表的性质，不是单个向量的性质
$0$	零向量	加法恒等元；在不同空间里长相不同（$\mathbb{F}^n$ 里是全零数组）	02	零元；易混：数字 $0$ 与零向量常写同一字形，靠上下文分辨
$\sum$	求和号	有限项相加，$\sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+\cdots+a_n$	05	西格玛；易混：本课的线性组合只有有限项，不出现无穷和
$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)$	span	该组的全部线性组合构成的集合，即张成空间	04	张成、生成、$\langle v_1,\dots,v_m\rangle$（尖括号另一种写法）
$\subseteq$	包含于	$U\subseteq V$：$U$ 的每个元素都在 $V$ 里	03	子集；易混：$\subset$ 有的书表示真包含，本课两者都按「可以相等」用
$U,W$	U、W	一般的子空间（大写正体斜体，与空间 $V$ 同款）	03	子空间；易混：$U$ 不必然是 $V$ 的子空间，看上下文
$U+W$	U 加 W	$\{u+w:u\in U,w\in W\}$，两个子空间的和	03	和空间；易混：$U\cup W$ 一般不是子空间
$U\oplus W$	U 直和 W	和是直和：每个元素表示方式唯一	03	直和号；易混：$U+W=U\oplus W$ 只在 $U\cap W=\{0\}$ 时成立（三个以上失效）
$\dim V$	dim V	$V$ 的维数，即任一基的长度；只在有限维时有定义	06	维数；易混：$\dim$ 后面跟的是空间，不是向量组
$e_1,\dots,e_n$	e 一到 e-n	标准基：第 $j$ 个分量是 $1$、其余是 $0$；也泛指规范正交基	05	标准基 / 正交基；易混：05 讲是标准基，23 讲以后常指任意规范正交基
$V/U$	V 模 U	商空间，元素是平移 $v+U$	11	商空间；易混：元素是集合不是向量，加法要验良定义
$v+U$	v 加 U	$U$ 的一个平移 $\{v+u:u\in U\}$	11	陪集；易混：两个平移要么相等要么不交，没有「部分重叠」
$\pi$	派	商映射 $\pi(v)=v+U$，线性且满射	11	商投影；易混：与圆周率同字形，靠上下文；也与 24 讲的正交投影 $P_U$ 不同（后者留在原空间）
$V_1\times\cdots\times V_m$	笛卡尔积	各取一个向量拼成的多元组全体	11	积空间；易混：$\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^3\ne\mathbb{R}^5$，但两者同构
$\Gamma$	伽马	把多元组送到和的映射 $\Gamma(v_1,\dots,v_m)=v_1+\cdots+v_m$	11	求和映射；易混：和是直和当且仅当 $\Gamma$ 单射
$\tilde T$	T 波浪	商空间上的诱导映射 $\tilde T(v+\operatorname{null}T)=Tv$	11	诱导映射；易混：波浪号表示「在商空间上重新定义的同一个 $T$」
$\cong$	同构于	存在可逆线性映射把两边连起来	10	同构；易混：有限维时等价于维数相等
$V'$	V 撇	对偶空间 $\mathcal{L}(V,\mathbb{F})$	12	$V^{*}$（别的书）；易混：本课星号留给伴随，所以只用撇号
$\varphi,\psi$	菲、普西	线性泛函，即 $V'$ 中的元素	12	泛函；易混：输入向量，输出标量
$T'$	T 撇	对偶映射 $T'(\varphi)=\varphi\circ T$，方向与原映射相反	12	拉回、转置映射；易混：$T'$ 与 $T^{*}$（伴随）是两套不同的构造
$U^0$	U 零	零化子：在 $U$ 上恒为零的那些泛函	12	零化子；易混：$U^0$ 住在 $V'$ 里，$U^\perp$ 住在 $V$ 里
$\delta_{jk}$	克罗内克 delta	$j=k$ 时为 $1$，否则为 $0$	12	克罗内克符号；易混：它不是矩阵，是两个下标决定的数
$\Lambda$	拉姆达大写	双重对偶的自然同构 $(\Lambda v)(\varphi)=\varphi(v)$	12	求值映射；易混：与小写 $\lambda$（特征值）完全不同
$\#S$	S 的基数	有限集合 $S$ 的元素个数	06	势、元素个数；易混：$\#S$ 是计数，$\dim V$ 是维数，类比但不相等

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四、线性映射与矩阵 #

这一组回答「怎样把结构原样搬过去」。看到大写斜体字母基本是映射，看到大写正体带下标基本是矩阵元素。

符号	读法	含义	首次出现	别名 / 易混
$T,S$	T、S	线性映射（大写斜体）；$T:V\to W$ 表示定义域 $V$、陪域 $W$	07	线性变换；易混：不少教材的「线性变换」特指 $V\to V$，本课叫算子
$Tv$	T v	$T$ 作用在 $v$ 上，即 $T(v)$；本课省略括号	07	像；易混：$Tv$ 是一个向量，不是乘积
$\mathcal{L}(V,W)$	L-V-W	从 $V$ 到 $W$ 的全体线性映射；$\mathcal{L}(V)=\mathcal{L}(V,V)$	07	$\operatorname{Hom}(V,W)$；易混：$\mathcal{L}(V)$ 的元素叫算子
$I$	恒等	恒等映射 $Iv=v$；写 $I_V$ 时强调定义域	07	单位映射；易混：矩阵版是 $I_n$，两者靠字形区分
$0$	零映射	把每个向量送到零向量的映射，是 $\mathcal{L}(V,W)$ 的加法恒等元	07	零算子；易混：与零向量、数字 $0$ 同字形
$ST$	S 乘 T	复合 $(ST)(u)=S(Tu)$：先 $T$ 后 $S$，从右往左读	07	乘积、复合；易混：顺序反了就换了算子，$ST\ne TS$
$T^{-1}$	T 逆	可逆映射的唯一逆，满足 $T^{-1}T=I_V$、$TT^{-1}=I_W$	10	逆映射；易混：$T^{-1}$ 存在要求单射且满射，两条都要
$\mathcal{M}(T)$	M-T	$T$ 在给定的一对基下的矩阵；第 $k$ 列是 $Tv_k$ 的坐标	09	表示矩阵；易混：它依赖 $T$ 与两组基，换基就换矩阵
$A_{j,k}$	A-j-k	第 $j$ 行第 $k$ 列的元素；先下标记行	09	元素、矩阵元；易混：行列表述顺序与「$x$ 在前 $y$ 在后」的坐标习惯相反
$AB$	A 乘 B	矩阵乘积，$(AB)_{j,k}=\sum_r A_{j,r}B_{r,k}$	09	矩阵乘法；易混：要求 $A$ 的列数等于 $B$ 的行数
$I_n$	n 阶单位阵	对角元为 $1$、其余为 $0$ 的 $n$ 阶方阵	09	单位矩阵；易混：与恒等映射 $I$ 一一对应
$A^{\mathsf{T}}$	A 转置	行列互换：$(A^{\mathsf{T}})_{j,k}=A_{k,j}$	12	$A^{t}$、$A^{\prime}$；易混：转置不取共轭，共轭转置是 $A^{*}$
$\operatorname{null}T$	null T	零空间 $\{v\in V:Tv=0\}$，住在 $V$ 里	08	核 $\ker T$、解空间；易混：不是「$T$ 的零」，是一个子空间
$\operatorname{range}T$	range T	值域 $\{Tv:v\in V\}$，住在 $W$ 里	08	像 $\operatorname{Im}T$、像空间；易混：零空间在出发地，值域在目的地
$\ker T$、$\operatorname{Im}T$	kernel、image	上一行两个符号的别名写法	08	只在术语说明里出现，正文统一用 $\operatorname{null}$ / $\operatorname{range}$
$\operatorname{rank}T$	秩	$\dim\operatorname{range}T$；矩阵的秩等于列秩	12	秩；易混：秩是数，不是空间
$T\rvert_U$	T 限制在 U 上	把 $T$ 的定义域缩小到子集 $U$，其余不变	17	限制；易混：只有 $U$ 不变时 $T\rvert_U$ 才是 $U$ 上的算子，否则只到 $V$
$T^m$	T 的 m 次幂	$m$ 重复合；规定 $T^0=I$	17	幂；易混：$T^m$ 不是逐元素取幂，矩阵的 $m$ 次幂也不是
$p(T)$	p of T	把算子代进多项式：$p(T)=a_0I+a_1T+\cdots+a_mT^m$	17	算子多项式；易混：常数项要乘 $I$，不能只写 $a_0$
$D$	D	求导算子 $Dp=p'$；本课用它当「不交换」的标准例子	07	微分算子；易混：与对角矩阵 $D$ 同字形，看上下文
$T^{*}$	T 星	伴随：唯一满足 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^{*}w\rangle$ 的映射	25	共轭转置（矩阵情形）；易混：不是转置，复情形要取共轭

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五、多项式与特征值 #

这一组回答「一个算子自己乘自己，能乘出什么结构」。

符号	读法	含义	首次出现	别名 / 易混
$\mathcal{P}(\mathbb{F})$	P-F	系数在 $\mathbb{F}$ 中的全体多项式；无限维	04	多项式空间；易混：与 $\mathcal{P}_m$ 只差「次数有没有上界」
$\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$	P-m-F	次数不高于 $m$ 的全体多项式（含零多项式），维数 $m+1$	04	多项式空间；易混：是「不高于」不是「恰为」，所以维数是 $m+1$
$\deg p$	degree of p	多项式的次数；规定 $\deg 0=-\infty$	13	次数；易混：$-\infty$ 是约定不是数，为了保住 $\deg(pq)=\deg p+\deg q$
$p\mid q$	p 整除 q	存在多项式 $s$ 使 $q=ps$	14	整除；易混：与整数整除不同，这里的商一定存在（带余除法保证余式为 $0$ 时）
$p^{(j)}$	p 的 j 阶导	第 $j$ 次形式导数	15	高阶导数；易混：重数判据用 $p^{(j)}(\lambda)=0\ (j<k)$
$\sqrt[k]{w}$	w 的 k 次根	非零复数恰有 $k$ 个 $k$ 次方根	15	方根；易混：$\mathbb{C}$ 上一定取得到，$\mathbb{R}$ 上未必
$m_v$	m-v	零化 $v$ 的次数最低的首一多项式	18	向量的极小多项式；易混：$m_v\mid p$，且一般 $m_v\ne p$
（极小多项式）	极小多项式	使 $p(T)=0$ 的次数最低的首一多项式；本课未固定单字母	18	最小多项式；易混：首一这个条件不能省，否则可乘任意常数
（特征多项式）	特征多项式	$\det(zI-T)$ 展开所得的多项式；本课写作「$T$ 的特征多项式」	19	特征多项式；易混：它的根是特征值，但迹与行列式只是它的两个系数
$\lambda,\mu$	拉姆达、缪	标量；也专指特征值	17	特征值；易混：$\lambda$ 在小写时是数，$\Lambda$ 大写时是映射
$E(\lambda,T)$	E-lambda-T	特征空间 $\operatorname{null}(T-\lambda I)$，即 $\lambda$ 的全部特征向量加 $0$	20	特征空间；易混：$\lambda$ 不是特征值时它是 $\{0\}$ 而不是空集
$G(\lambda,T)$	G-lambda-T	广义特征空间 $\operatorname{null}(T-\lambda I)^{\dim V}$	31	广义特征空间；易混：$E\subseteq G$，等号一般不成立
$\operatorname{mult}(\lambda)$	multiplicity	代数重数，等于 $\dim G(\lambda,T)$	32	代数重数；易混：几何重数是 $\dim E(\lambda,T)$，恒有 $\dim E\le\operatorname{mult}$
$J_d(\lambda)$	Jordan 块	$d\times d$：对角全 $\lambda$，超对角线全 $1$，其余 $0$	33	若尔当块；易混：$d=1$ 时它就是一阶矩阵 $(\lambda)$，此时才可对角化
$N$	N	幂零算子（$N^m=0$）；$J_d(\lambda)=\lambda I_d+N_d$	33	幂零部分；易混：与「正规算子」$T$ 的比较无关，纯字形重合
$\bigoplus$	直和（大）	多个子空间的直和，$V=E(\lambda_1,T)\oplus\cdots$	20	直和号；易混：小写 $\oplus$ 用于两个，大写 $\bigoplus$ 用于一族，含义相同

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六、内积、范数与算子 #

这一组回答「长度、角度、正交怎么算」。带尖括号、双竖线、星号、上标 $\perp$ 的都在这里。

符号	读法	含义	首次出现	别名 / 易混
$\langle u,v\rangle$	u 与 v 的内积	内积，输出一个标量；对第一个位置线性、第二个位置共轭线性	22	点积、数量积；易混：$\langle\ \rangle$ 也用作张成空间的括号，看里面放的是不是一组向量
$\|v\|$	v 的范数	$\sqrt{\langle v,v\rangle}$，非负实数	22	长度、模；易混：只有范数来自内积时才有 $\|v\|^2=\langle v,v\rangle$
$U^\perp$	U 正交补	与 $U$ 中每个向量都正交的向量全体	24	正交补；易混：$U$ 只需是子集，$U^\perp$ 一定是子空间
$P_U$	P-U	正交投影：把 $v$ 沿 $U$ 与 $U^\perp$ 分解后取 $U$ 那部分	24	投影算子；易混：与商映射 $\pi$ 不同，$P_U$ 的输出仍在 $V$ 里
$T^{*}$	T 星	伴随（见第四节）；规范正交基下矩阵是共轭转置	25	共轭转置；易混：$T^{**}=T$，但 $(ST)^{*}=S^{*}T^{*}$ 顺序不变而 $(ST)'=T'S'$ 顺序要反
$A^{*}$	A 星	矩阵的共轭转置 $\overline{A^{\mathsf{T}}}$	25	埃尔米特转置；易混：实矩阵时它等于 $A^{\mathsf{T}}$，所以两者常被混淆
$Q$	Q	幺正矩阵（实情形叫正交矩阵）：$Q^{*}Q=QQ^{*}=I$	28	正交矩阵；易混：$Q^{-1}=Q^{*}$ 只对幺正成立，一般矩阵不是
$\sqrt{T}$	根号 T	正算子 $T$ 的那个正平方根，唯一	27	正平方根；易混：矩阵的平方根一般不唯一，加了「正」才唯一
$\lvert T\rvert$	T 的绝对值	$\sqrt{T^{*}T}$，正算子；它的特征值就是奇异值	29	模算子；易混：不是逐元素取绝对值
$s_k$	s-k	奇异值：$T^{*}T$ 特征值的非负平方根，降序排	29	奇异值 $\sigma_k$（28 讲先用了 $\sigma$ 这个写法）
$\sigma_k$	sigma-k	奇异值的另一种记号，本课两讲都用过	28	与 $s_k$ 同义；易混：$\sigma$ 在概率里是标准差，此处无关
$\|T\|$	T 的算子范数	$\max_{\|v\|\le1}\|Tv\|$，等于最大奇异值 $s_1$	30	谱范数；易混：与向量范数 $\|v\|$ 同符号，靠里面放的是向量还是算子分辨
$\kappa$	卡帕	条件数 $\|T\|\|T^{-1}\|=s_1/s_{\min}$	30	条件数；易混：$\kappa(A^{\mathsf{T}}A)=\kappa(A)^2$，所以正规方程会放大条件数
$T^{\dagger}$	T 剑标	伪逆（Moore–Penrose 伪逆）：把 $1/s_k$ 与 $e_k\leftrightarrow f_k$ 对调	30	广义逆；易混：$T$ 可逆时 $T^{\dagger}=T^{-1}$，但伪逆对任何 $T$ 都有定义
$\delta_{jk}$	克罗内克 delta	规范正交组判据 $\langle e_j,e_k\rangle=\delta_{jk}$	12	见第三节；易混：只有单位阵的对角元才全是 $1$

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七、行列式、迹与多重线性 #

这一组是「把 $n$ 个向量压成一个数」的各种办法。

符号	读法	含义	首次出现	别名 / 易混
$\det A$	行列式	归一化的交错 $n$ 重线性型作用在列上所得的标量	37	行列式；易混：$\det$ 只对方阵有定义
$\operatorname{tr}A$	迹	方阵对角元之和 $\sum_j A_{j,j}$	34	迹、trace；易混：迹可加不可乘，行列式可乘不可加
$\operatorname{sign}(j_1,\dots,j_n)$	排列的符号	$(-1)^{N}$，$N$ 是逆序对个数；取 $\pm1$	36	符号、sgn；易混：不是符号函数 $\operatorname{sgn}x$，输入是一个排列
$\operatorname{perm}_n$	perm-n	$1,\dots,n$ 的全部 $n!$ 个排列组成的集合	36	对称群 $S_n$；易混：这里只当「排列的集合」用，不涉及群论
$V^{(m)}$	V 上标 (m)	$V$ 上全体 $m$ 重线性型构成的空间，维数 $n^m$	35	多重线性型空间；易混：与 $V^m$（$m$ 个 $V$ 的积）不同
$V^{(m)}_{\mathrm{alt}}$	V 交错 m	其中交错的那些；$m>\dim V$ 时只有零函数	36	交错型空间；易混：$m=n$ 时维数是 $1$，这是行列式存在的根本原因
$V^{(2)}_{\mathrm{sym}}$	V 对称二次型	对称双线性型构成的空间，维数 $\frac{n(n+1)}{2}$	35	对称型空间；易混：与交错型维数 $\frac{n(n-1)}{2}$ 正好互补，合起来是 $n^2$
$\beta,\alpha,\rho$	贝塔、阿尔法、柔	双线性型 / 多重线性型的常用字母	35	型；易混：$\beta$ 与 $\alpha$ 常同时出现表示「同一空间上的两个型」
$M(\beta)$	M-beta	双线性型 $\beta$ 关于某组基的矩阵，$M(\beta)_{j,k}=\beta(e_j,e_k)$	35	表示矩阵；易混：换基时它按 $C^{\mathsf{T}}AC$ 变，不是 $C^{-1}AC$
$q_\beta$	q-beta	由 $\beta$ 诱导的二次型 $q_\beta(v)=\beta(v,v)$	35	二次型；易混：$q$ 与对称的 $\rho$ 才一一对应，不对称的 $\beta$ 给不出新东西
$\mathbf{x},\mathbf{y}$	粗体 x、y	向量在给定基下的坐标列向量	35	坐标向量；易混：粗体表示「一串数」，与抽象向量 $v$ 是同一对象的两副面孔
$V\otimes W$	V 张量 W	张量积空间，维数 $(\dim V)(\dim W)$，基是 $e_j\otimes f_k$	38	张量积；易混：与积空间 $V\times W$ 维数不同（后者是 $m+n$）
$v\otimes w$	v 张量 w	纯张量，由 $(v\otimes w)(\varphi,\tau)=\varphi(v)\tau(w)$ 定义	38	单项张量；易混：不是所有元素都是纯张量，两个以上维数大于 $1$ 时就不都是
$\mathcal{B}(V,W)$	B-V-W	$V\times W$ 上全体双线性泛函构成的空间	38	双线性型空间；易混：$V\otimes W$ 的定义域是对偶，别把两者搞反
$\operatorname{volume}$	体积	区域的 $n$ 维体积，$\lvert\det T\rvert$ 是伸缩倍数	30	体积；易混：$\det$ 带符号、可负，$\operatorname{volume}$ 一定非负
$\blacksquare$	证毕	证明结束（实心方块）	03	完、QED；易混：与 $\square$ 都是证毕，本课两种都用过
$\square$	证毕	证明结束（空心方块）	25	同上；易混：同一篇里可能混用，含义完全一样
$\iff$	当且仅当	双向蕴含	03	iff；易混：与 $\implies$（单向）不可互换
$\implies$	蕴含	单向推出	20	推出、$\Rightarrow$；易混：反方向不成立时只能用这个
$\forall,\exists$	任意、存在	全称量词与存在量词	02	所有、某个；易混：顺序不能换，$\exists\forall$ 与 $\forall\exists$ 是两句不同的话

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八、复习卡与自测：易混符号对照 #

这一节只收「长得像」或「名字像」的组。逐组对读一遍，比从头背全表管用。

8.1 星号组：$T^{*}$、$A^{*}$、$A^{\mathsf{T}}$、$T'$、$V^{*}$ #

记号	在哪个世界	是什么	一句话判据
$A^{\mathsf{T}}$	矩阵	转置，只换位置不取共轭	实、复都一样
$A^{*}$	矩阵	共轭转置 $\overline{A^{\mathsf{T}}}$	实矩阵时退化等于 $A^{\mathsf{T}}$
$T^{*}$	算子	伴随，靠 $\langle Tv,w\rangle=\langle v,T^{*}w\rangle$ 定义	规范正交基下矩阵恰好是 $A^{*}$
$T'$	映射	对偶映射 $\varphi\mapsto\varphi\circ T$	方向相反，复合顺序也相反
$V^{*}$	空间	别的书里指对偶空间	本课一律写 $V'$

记法冲突的根源只有一条：本课把星号独占给伴随，所以对偶只能改用撇号。只要记住这条约定，其余都能推出来。

8.2 核与像组：$\operatorname{null}T$、$\operatorname{range}T$、$\ker T$、$\operatorname{Im}T$ #

前两个是正文写法，后两个是别名。真正容易错的是住在哪里：

• $\operatorname{null}T\subseteq V$（出发地），是「被压成零」的那些向量；
• $\operatorname{range}T\subseteq W$（目的地），是「能到达」的那些向量。

两者的维数关系就是线性映射基本定理：$\dim V=\dim\operatorname{null}T+\dim\operatorname{range}T$。把两边的位置记反，这条公式会写成一句没有意义的话。

8.3 正交与被压平组：$U^\perp$、$U^0$、$\{0\}$、$\varnothing$ #

记号	住在哪	是什么
$U^\perp$	$V$ 里	与 $U$ 全部正交的向量
$U^0$	$V'$ 里	在 $U$ 上恒为零的泛函
$\{0\}$	任何空间	只有一个元素（零），维数 $0$，是子空间
$\varnothing$	——	一个元素都没有，不是子空间（没有零元）

$\varnothing$ 与 $\{0\}$ 的区别在水字数上最容易被忽略，但在「子空间判定」里是致命的第一条判据：$0\in U$ 这一条，$\varnothing$ 通不过。

8.4 四个「重数」与三个「空间」 #

• $E(\lambda,T)$：特征空间，$Tv=\lambda v$ 的解；
• $G(\lambda,T)$：广义特征空间，$(T-\lambda I)^{k}v=0$ 的解；
• $J_d(\lambda)$：Jordan 块，$G$ 里最长那条链对应的矩阵块。

链条是 $E\subseteq G\subseteq V$，而 $J_d$ 是把 $G$ 拆成块之后的产物。长度关系：块数 $=\dim E$，块长之和 $=\dim G$。

8.5 同一个东西的两种写法 #

本课写法	常见别名	是否完全同义
线性映射 / 算子	线性变换	是；但「变换」常特指 $V\to V$
零空间 $\operatorname{null}T$	核 $\ker T$、解空间	是
值域 $\operatorname{range}T$	像 $\operatorname{Im}T$、像空间	是
基	基底	是
特征值 / 特征向量	本征值 / 本征向量	是
数域 $\mathbb{F}$	域	是，但本课只取 $\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$
规范正交基	标准正交基	是
幺正 / 正交矩阵	酉矩阵 / 直交矩阵	是

8.6 自测：这个符号什么意思 #

先自己答，再点开对照。六题，答对四题算过关。

1. 看到 $\mathcal{M}(T)$，它依赖哪几样东西？换一组基它变不变？
2. $U^0$ 与 $U^\perp$ 分别住在哪个空间里？哪一个的维数是 $\dim V-\dim U$？
3. $\operatorname{mult}(\lambda)$ 与 $\dim E(\lambda,T)$ 哪个大？什么时候相等？
4. $s_k$、$\sigma_k$、$\|T\|$ 三个记号之间是什么关系？
5. $V^{(m)}_{\mathrm{alt}}$ 在 $m>\dim V$ 时等于什么？这个事实保证了什么？
6. $\blacksquare$ 与 $\square$ 有区别吗？$\iff$ 与 $\implies$ 呢？

答案（点开）

1. 依赖三样：$T$ 本身、$V$ 的基、$W$ 的基。换任一组基，矩阵就换（相似或合同）。
2. $U^0\subseteq V'$（对偶空间），$U^\perp\subseteq V$。两者的维数都是 $\dim V-\dim U$，这是它们最容易被看成一回事的原因。
3. $\dim E(\lambda,T)\le\operatorname{mult}(\lambda)$，即几何重数不超过代数重数。可对角化时处处取等。
4. $s_k$ 与 $\sigma_k$ 是同一样东西的两种写法（奇异值），降序排列；$\|T\|=s_1$ 是最大的那个。
5. 等于 $\{0\}$，即只有零函数。这保证了「交错 $n$ 重线性型空间是一维」，从而行列式可以被归一化条件唯一确定。
6. 没有区别，都是证毕。有区别：$\iff$ 是双向，$\implies$ 是单向；只在反方向也成立时才允许用 $\iff$。

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九、出处与延伸 #

这一节可选，不影响阅读。想回查原始材料的人看这里就够了。

本课的记号约定，以及它们和通行记法的关系。

本课记号	通行来源	说明
$\mathbb{F}$、$\mathbb{F}^n$	抽象代数与泛函分析的通用写法	$\mathbb{F}$ 作数域占位符是标准做法
$\operatorname{null}T$、$\operatorname{range}T$	以线性映射为主线的教材传统	与之并列的是 $\ker T$、$\operatorname{Im}T$，两者完全等价
$\mathcal{L}(V,W)$、$\mathcal{M}(T)$	同上，花体字母表示「映射的集合」与「矩阵表示」	有的书写 $\operatorname{Hom}(V,W)$、$[T]_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}}$
$T^{*}$ 表伴随、$V'$ 表对偶	本课的自定约定	理由见 12 讲：星号已被伴随占用，避免一个符号两种意思
$s_k$ 与 $\sigma_k$ 并用	数值线性代数传统用 $\sigma$，算子理论传统多用 $s$	本课两讲混用过，含义相同，读时不必区分
$E(\lambda,T)$、$G(\lambda,T)$	特征空间与广义特征空间的常见记号	有的书写 $V_\lambda$、$\operatorname{Null}(T-\lambda I)^n$
$J_d(\lambda)$	Jordan 块的标准写法	也有写成 $J_\lambda(d)$ 的，下标含义对调
$\operatorname{tr}$、$\det$、$\operatorname{sign}$	通用	$\operatorname{sign}$ 专指排列的符号，与符号函数 $\operatorname{sgn}$ 不是一回事

想深挖时可以查的方向。

• 记号背后的历史：为什么「核」叫 kernel、「像」叫 image，与映射的范畴论视角有关，任何一本范畴论入门的前两章都会提到。
• 另一种符号体系：以矩阵运算为轴线的教材会把 $\operatorname{null}T$ 写成「齐次方程组的解空间」，把 $\operatorname{range}T$ 写成「列空间」。两套说法描述同一批对象，做工程题时后者更直接。
• 数值线性代数里，$\kappa$、$s_k$、$\|T\|$ 这三个记号几乎是必考的三件套，且都不区分实复；只有在讨论稳定性时才回头补一句「$A^{*}$ 在实情形就是 $A^{\mathsf{T}}$」。