35 双线性型与二次型

双线性型与二次型 #

这讲讲什么：把「吃一个向量、吐一个数」的线性泛函升级成「吃两个向量、吐一个数、且对每个位置分别线性」的双线性型；再证明二次型 $q(v)=\beta(v,v)$ 与对称双线性型互相唯一确定（极化恒等式），于是每个二次型都能选一组基写成平方的加权和。
前置：12 讲（对偶与线性泛函）、22 讲（内积与范数）、25 讲（自伴算子）、26 讲（谱定理）、09 讲（矩阵）、20 讲（可对角化）
一句话：双线性型是两个入口各自线性的机器，二次型只看得见它的对称部分；消掉交叉项，就是把二次型摆正。

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一、为什么需要它 #

1.1 一个入口不够用 #

到这里为止，你熟悉的对象都是「一次」的：线性映射 $T:V\to W$ 吃一个向量吐一个向量，线性泛函 $\varphi:V\to\mathbb{F}$ 吃一个向量吐一个数。这类对象的理论已经成套：矩阵、零空间、值域、对偶空间。

但有一大批量，天然需要两个向量才说得清：

• 两个向量的内积 $\langle u,v\rangle$；
• 力与位移做的功（力是向量，位移是向量，功是数）；
• 两个多项式的某种配对，比如「第一个在 $2$ 处的值乘以第二个在 $3$ 处的导数」；
• 两个矩阵的 $\operatorname{tr}(ST)$；
• 一个分子在平衡位置附近展开时，势能的二阶项（Hessian）作用于同一组位移的两个分量。

这些东西的共同点是：你给我两个向量，我给你一个数；而且固定其中一个，对另一个就是线性的。 这正是「双线性型」的定义。它比线性泛函多一个入口，比任意二元函数少一大堆自由度——这个位置刚好够用。

1.2 双线性不是线性，这恰恰是它的价值 #

一个自然的误会：既然 $V\times V$ 也是向量空间（11 讲），那双线性型不就是 $V\times V$ 上的线性映射吗？

不是。取 $\beta(u,v)=u_1v_1$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上。若它对 $(u,v)$ 整体线性，就该有

$$\beta\big((1,0)+(0,1),\ (1,0)\big)=\beta\big((1,0),(1,0)\big)+\beta\big((0,1),(1,0)\big)=1+0=1$$

但左边直接算：$(1,0)+(0,1)=(1,1)$，于是 $\beta\big((1,1),(1,0)\big)=1\cdot 1=1$。这一条侥幸对上了。换个方向看加法：

$$\beta\big((1,1),(1,1)\big)=1,\qquad \beta\big((1,0),(1,1)\big)+\beta\big((0,1),(1,1)\big)=1+0=1$$

还是对上。真正撞墙的是标量：$\beta(2u,2v)=4\beta(u,v)\ne 2\beta(u,v)$。两个入口同时放大，输出放大四倍。 一次函数做不到这件事。

1.3 二次型：同一个向量喂两个入口 #

把双线性型的两个入口接同一根线，得到 $q(v)=\beta(v,v)$。这是「一个入口」的对象，但它不是线性的，而是二次齐次的：$q(\lambda v)=\lambda^2 q(v)$。

长度平方、能量、方差、$x^{\mathsf{T}}Ax$——全是这一类。它们的重要性不用多说：线性量可以叠加，二次量才是「度量」（长度、角度、能量都从二次量开方或求导而来）。

麻烦在于：$q$ 只取了 $\beta$ 在「对角线」上的值，信息是残缺的。那么残缺多少？能不能补回来？——这就是本讲的主线，答案在第三节的极化恒等式。

1.4 读完这一讲你应该能回答 #

1. 给一个二元函数，怎么在三十秒内判断它是不是双线性型？
2. 双线性型的矩阵为什么按 $\beta(e_j,e_k)$ 填，换基时为什么是 $C^{\mathsf{T}}AC$ 而不是 $C^{-1}AC$？
3. 二次型 $q$ 能反过来唯一确定 $\beta$ 吗？差在哪里？
4. 为什么每个实二次型都能化成 $\lambda_1x_1^2+\cdots+\lambda_nx_n^2$？那些 $\lambda$ 是哪来的？

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二、定义与最小例子 #

2.1 定义 #

定义：设 $V$ 是 $\mathbb{F}$ 上的向量空间。$V$ 上的一个双线性型是一个函数

$$\beta:V\times V\to\mathbb{F}$$

使得对每个固定的 $u\in V$，两个单变量函数

$$v\mapsto\beta(v,u)\qquad\text{与}\qquad v\mapsto\beta(u,v)$$

都是 $V$ 上的线性泛函。

把「线性泛函」翻译成等式，就是这个定义的可操作版本：对一切 $u,v,w\in V$、$\lambda\in\mathbb{F}$，

$$\beta(u+v,\ w)=\beta(u,w)+\beta(v,w),\qquad \beta(\lambda u,\ w)=\lambda\,\beta(u,w) \tag{35.1}$$

$$\beta(u,\ v+w)=\beta(u,v)+\beta(u,w),\qquad \beta(u,\ \lambda v)=\lambda\,\beta(u,v) \tag{35.2}$$

(35.1) 说的是「第一个位置线性」，(35.2) 说的是「第二个位置线性」。四个等式都要成立，少一个就不是双线性型。

2.2 最小例子：一维只有一种双线性型 #

取 $V=\mathbb{F}$。任取 $\beta$，由 (35.1)(35.2)：

$$\beta(x,y)=\beta(x\cdot 1,\ y\cdot 1)=xy\,\beta(1,1)$$

令 $c=\beta(1,1)$，就得 $\beta(x,y)=cxy$。一维空间上的双线性型，全部是「常数乘乘积」，只有一个自由参数。

这个例子虽小，却已经把关键信息漏了出来：双线性型的自由度是平方级的（一维 1 个，二维 4 个，$n$ 维 $n^2$ 个），而不是线性级的（$n$ 个）。

2.3 第一个有交叉项的例子 #

在 $\mathbb{F}^3$ 上定义

$$\beta\big((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\big)=x_1y_2-5x_2y_3+2x_3y_1$$

验证一个位置就够，另一个完全对称地做。固定 $y$，看第一个位置：把 $x$ 换成 $x+x'$，

$$\beta(x+x',y)=(x_1+x'_1)y_2-5(x_2+x'_2)y_3+2(x_3+x'_3)y_1=\beta(x,y)+\beta(x',y)$$

每一项都是一次的，所以自动拆开。换标量：$\beta(\lambda x,y)=\lambda\beta(x,y)$ 同理。

第二个位置也一样。关键观察：每一项都恰好是「一个 $x$ 分量乘一个 $y$ 分量」，没有 $x_1^2$、没有 $y_1y_2$、没有常数项。 这个特征就是判据：

2.4 矩阵：双线性型的「读数表」 #

上一节的例子只用三个系数就够了，一般情形需要 $n^2$ 个。把它们排成方阵。

设 $e_1,\dots,e_n$ 是 $V$ 的一组基。$\beta$ 关于这组基的矩阵 $M(\beta)$ 定义为

$$M(\beta)_{j,k}=\beta(e_j,e_k) \tag{35.3}$$

即第 $j$ 行第 $k$ 列填「第 $j$ 个基向量与第 $k$ 个基向量的读数」。

为什么这一张表就够？因为双线性意味着「先拆坐标，再逐对相加」：

$$\begin{aligned}\beta\Big(\sum_j x_je_j,\ \sum_k y_ke_k\Big)&=\sum_j x_j\,\beta\Big(e_j,\ \sum_k y_ke_k\Big)\\&=\sum_j\sum_k x_jy_k\,\beta(e_j,e_k)\\&=\sum_j\sum_k M(\beta)_{j,k}\,x_jy_k\end{aligned} \tag{35.4}$$

写成矩阵就是漂亮的

$$\beta(u,v)=\mathbf{x}^{\mathsf{T}}M(\beta)\,\mathbf{y} \tag{35.5}$$

其中 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 是 $u,v$ 的坐标列向量。

反过来：任给一个 $n\times n$ 矩阵 $A$，用 (35.4) 定义 $\beta_A$，它一定是双线性型（每个位置线性，因为式子里 $x$ 和 $y$ 各出现一次）。于是得到一一对应

$$\beta\ \longleftrightarrow\ M(\beta),\qquad V^{(2)}\cong\mathbb{F}^{n,n},\qquad \dim V^{(2)}=(\dim V)^2 \tag{35.6}$$

这里 $V^{(2)}$ 记 $V$ 上全体双线性型构成的集合。它在通常的函数加法与标量乘法下是向量空间，而且上面的对应是同构——这不是巧合，是 (35.4) 的线性性直接给的。

回到 2.3 的例子，取标准基：

$$M(\beta)=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&-5\\ 2&0&0\end{pmatrix}$$

逐个核对：$\beta(e_1,e_2)=1\cdot1=1$ 在第 1 行第 2 列；$\beta(e_2,e_3)=-5$ 在第 2 行第 3 列；$\beta(e_3,e_1)=2$ 在第 3 行第 1 列。其余全 $0$。注意这个矩阵不对称——$M_{12}=1$ 而 $M_{21}=0$。不对称的矩阵对应不对称的双线性型，这是后面「对称型」那一节的起点。

2.5 更多来源：它们都是双线性型 #

双线性型	所在空间	为什么双线性
$\beta(u,v)=\langle u,v\rangle$	实内积空间	内积对两个位置都线性
$\beta(u,v)=\langle u,Tv\rangle$	实内积空间，$T$ 是算子	内积线性 + $T$ 线性
$\beta(p,q)=p(2)\,q'(3)$	多项式空间 $\mathcal{P}_n(\mathbb{R})$	「在 $2$ 处取值」与「在 $3$ 处求导」都是线性泛函
$\beta(S,T)=\operatorname{tr}(ST)$	算子空间 $\mathcal{L}(V)$	迹线性 + 乘法线性
$\beta(u,v)=\varphi(u)\tau(v)$	任意 $V$，$\varphi,\tau\in V'$	两个线性泛函相乘

最后一行是最有用的「积木」：任意两个线性泛函相乘，得到一个双线性型；反过来，每个双线性型都是这种积木的和（取 $n=\dim V$ 块就够，因为 $n^2$ 维的空间由 $n^2$ 个「坐标取出」的乘积张成）。

2.6 二次型：把两个入口接同一根线 #

定义：设 $\beta$ 是 $V$ 上的双线性型。定义函数 $q_\beta:V\to\mathbb{F}$ 为

$$q_\beta(v)=\beta(v,v) \tag{35.7}$$

称函数 $q:V\to\mathbb{F}$ 是 $V$ 上的二次型，如果存在双线性型 $\beta$ 使 $q=q_\beta$。

用 2.3 的 $\beta$ 试一下。把 $x=y$ 代进去：

$$\beta\big((x_1,x_2,x_3),(x_1,x_2,x_3)\big)=x_1x_2-5x_2x_3+2x_3x_1$$

三项，两两不同。再看一个更像「平方和」的例子：取

$$\beta(u,v)=x_1y_1-4x_1y_2+8x_1y_3-3x_3y_3$$

则

$$q_\beta(x_1,x_2,x_3)=x_1^2-4x_1x_2+8x_1x_3-3x_3^2 \tag{35.8}$$

这就是典型的二次型：平方项 + 交叉项，没有一次项、没有常数项。

二次型的定义 (35.7) 里用的是任意双线性型，这看起来太宽松。但下一节会证明：不管原来那个 $\beta$ 是谁，总存在唯一一个对称的 $\beta$ 给出同一个 $q$。所以「二次型」和「对称双线性型」其实是同一批对象的两种说法。

2.7 在 $\mathbb{F}^n$ 上长什么样 #

$\mathbb{F}^n$ 上的二次型有一个非常整齐的刻画：$q:\mathbb{F}^n\to\mathbb{F}$ 是二次型，当且仅当存在系数 $A_{j,k}\in\mathbb{F}$ 使

$$q(x_1,\dots,x_n)=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}A_{j,k}\,x_jx_k \tag{35.9}$$

对一切 $(x_1,\dots,x_n)$ 成立。也就是说：$n$ 元二次齐次多项式，正好就是二次型。

两个方向都容易看。若 $q=q_\beta$，取 $A=M(\beta)$（标准基），代 (35.4) 即得。反过来，若 (35.9) 成立，就用同一个系数矩阵定义 $\beta(x,y)=\sum_{j,k}A_{j,k}x_jy_k$，那么 $\beta(x,x)$ 正是 (35.9)。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 复合算子之后，矩阵怎么变 #

设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$\beta$ 是双线性型。用 $T$ 塞进其中一个入口，得到两个新的双线性型：

$$\alpha(u,v)=\beta(u,Tv),\qquad \rho(u,v)=\beta(Tu,v) \tag{35.10}$$

（先验一句：它们确实是双线性型——每个位置对 $u$ 或 $v$ 仍然是「线性套线性」。）

结论：固定一组基 $e_1,\dots,e_n$，则

$$M(\alpha)=M(\beta)\,M(T),\qquad M(\rho)=M(T)^{\mathsf{T}}M(\beta) \tag{35.11}$$

为什么（第一式）：直接按定义 (35.3) 算第 $(j,k)$ 个元素。把 $T e_k$ 按基展开成 $\sum_m M(T)_{m,k}e_m$：

$$\begin{aligned}M(\alpha)_{j,k}&=\alpha(e_j,e_k)=\beta(e_j,Te_k)\\&=\beta\Big(e_j,\ \sum_m M(T)_{m,k}e_m\Big)\\&=\sum_m M(T)_{m,k}\,\beta(e_j,e_m)=\sum_m M(\beta)_{j,m}M(T)_{m,k}\\&=\big(M(\beta)M(T)\big)_{j,k}\end{aligned}$$

最后一步就是矩阵乘法的定义。第二式同理，只是 $T$ 塞在左边，位置互换，转置就跑到前面去了。

3.2 换基：为什么是 $C^{\mathsf{T}}AC$ #

这是本讲最容易抄错的一条。

设 $e_1,\dots,e_n$（旧基）与 $f_1,\dots,f_n$（新基）。令 $C$ 的第 $k$ 列是 $f_k$ 在旧基下的坐标，即

$$f_k=\sum_{m}C_{m,k}e_m$$

记 $A=M(\beta)$（旧基），$B=M(\beta)$（新基）。则

$$B=C^{\mathsf{T}}AC \tag{35.12}$$

证明只有三行。按定义 $B_{j,k}=\beta(f_j,f_k)$，把 $f_j,f_k$ 各自展开：

$$\begin{aligned}B_{j,k}&=\beta\Big(\sum_m C_{m,j}e_m,\ \sum_l C_{l,k}e_l\Big)\\&=\sum_m\sum_l C_{m,j}C_{l,k}\,\beta(e_m,e_l)=\sum_m\sum_l C_{m,j}A_{m,l}C_{l,k}\\&=\big(C^{\mathsf{T}}AC\big)_{j,k}\end{aligned}$$

注意这里没有出现 $C^{-1}$，全是 $C$ 本身。 这和算子的换基公式 $A=C^{-1}BC$ 长得不一样，差别够大，值得追问一句。

用坐标语言看最清楚。同一个向量 $u$，在两组基下分别写成 $u=\sum x_je_j=\sum x'_kf_k$，代入 $f_k=\sum_mC_{m,k}e_m$ 比对系数，得

$$\mathbf{x}=C\mathbf{x}' \tag{35.13}$$

于是

$$\beta(u,v)=\mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{y}=(C\mathbf{x}')^{\mathsf{T}}A(C\mathbf{y}')=(\mathbf{x}')^{\mathsf{T}}\big(C^{\mathsf{T}}AC\big)\mathbf{y}'$$

中间那个 $C^{\mathsf{T}}AC$ 就是新矩阵。而算子的情形是 $T$ 作用在向量上、矩阵夹在中间、坐标要变过去再变回来，所以出现 $C^{-1}$。双线性型只是「把两个坐标向量配起来读数」，读数不该被扭转，所以两个 $C$ 都朝同一方向——一左一右，转置自然落在左边。

3.3 极化恒等式：二次型与对称双线性型互相确定 #

先做一个纯代数的观察。若 $\beta$ 是双线性型，用 (35.1)(35.2) 展开 $\beta(u+w,u+w)$：

$$q_\beta(u+w)=q_\beta(u)+q_\beta(w)+\beta(u,w)+\beta(w,u) \tag{35.14}$$

那个跨项 $\beta(u,w)+\beta(w,u)$ 就是「两个入口喂不同向量」时多出来的部分。把它单独拎出来，定义

$$\rho(u,w)=\frac{\beta(u,w)+\beta(w,u)}{2},\qquad \alpha(u,w)=\frac{\beta(u,w)-\beta(w,u)}{2} \tag{35.15}$$

则 $\beta=\rho+\alpha$，其中 $\rho$ 对称（$\rho(u,w)=\rho(w,u)$），$\alpha$ 交错（$\alpha(u,w)=-\alpha(w,u)$）。而且

$$q_\beta(v)=\beta(v,v)=\rho(v,v)+\alpha(v,v)=\rho(v,v)=q_\rho(v) \tag{35.16}$$

因为 $\alpha(v,v)=-\alpha(v,v)$，在 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上只能等于 $0$。

这就是全部的秘密：二次型只看见对称部分，交错部分被「两个入口接同一根线」这个动作彻底抹掉了。

反过来，对称部分能不能从 $q$ 恢复？能。把 (35.14) 里的 $\beta$ 换成对称的 $\rho$，跨项就是 $2\rho(u,w)$：

$$\boxed{\ \rho(u,w)=\frac{q(u+w)-q(u)-q(w)}{2}\ } \tag{35.17}$$

这条式子叫极化恒等式（polarization identity）。它说的是：

二次型 $q$ 与对称双线性型 $\rho$ 一一对应。 给了 $\rho$ 就算得出 $q$（代入 $v=v$）；给了 $q$ 也算得出 $\rho$（用 (35.17)）。

所以「$V$ 上的二次型」和「$V$ 上的对称双线性型」是同一批东西，只是换了描述方式。这也解释了 2.7 的系数矩阵为什么不唯一：非对称的选择都对应到同一个对称部分上。

3.4 直和分解：$V^{(2)}=V^{(2)}_{\mathrm{sym}}\oplus V^{(2)}_{\mathrm{alt}}$ #

(35.15) 已经给出分解的存在性。补齐另外两件事，就得到完整结论：

两个子空间。对称型的和仍对称、乘标量仍对称，所以 $V^{(2)}_{\mathrm{sym}}$ 是子空间；交错型同理。

交集只有零。设 $\beta$ 既对称又交错。则对一切 $u,w$：

$$\beta(u,w)=-\beta(w,u)=-\beta(u,w)\ \Longrightarrow\ 2\beta(u,w)=0\ \Longrightarrow\ \beta(u,w)=0$$

于是

$$V^{(2)}=V^{(2)}_{\mathrm{sym}}\oplus V^{(2)}_{\mathrm{alt}} \tag{35.18}$$

数一下维数：$\dim V^{(2)}=n^2$，对称矩阵的自由度是 $\frac{n(n+1)}{2}$（上三角含对角线），交错的自由度是 $\frac{n(n-1)}{2}$（严格上三角，对角必须为 $0$）。两者相加正好 $n^2$。账对得上，说明分解没有漏也没有重。

3.5 对称双线性型一定可对角化 #

结论：设 $\rho$ 是 $V$ 上的对称双线性型。则存在 $V$ 的一组基 $e_1,\dots,e_n$，使 $M(\rho)$ 是对角矩阵。

这条比「矩阵可对角化」强得多：它不要求特征值互异，不要求 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，甚至不需要内积。证明只用归纳。

引理（关键一步）：若 $\rho\ne 0$，则存在 $v$ 使 $\rho(v,v)\ne 0$。

证：$\rho\ne 0$ 意味着有 $u,w$ 使 $\rho(u,w)\ne 0$。由 (35.14)（此时 $\beta=\rho$ 对称，跨项是 $2\rho(u,w)$）：

$$2\rho(u,w)=\rho(u+w,u+w)-\rho(u,u)-\rho(w,w)$$

左边非零，所以右边三项不可能全为零。若 $\rho(u+w,u+w)$、$\rho(u,u)$、$\rho(w,w)$ 都是 $0$，右边就是 $0$，矛盾。故三者中至少有一个非零，取对应的那个向量即可。$\square$

有了这个 $v$，定义

$$U=\{u\in V:\rho(u,v)=0\}$$

$U$ 是线性泛函 $u\mapsto\rho(u,v)$ 的零空间。因为 $v\notin U$（$\rho(v,v)\ne0$），这个泛函不是零泛函，故 $\dim U=n-1$。

把 $\rho$ 限制在 $U\times U$ 上，仍是 $U$ 上的对称双线性型。按归纳假设，$U$ 有一组基 $e_1,\dots,e_{n-1}$ 使其矩阵对角。再把 $v$ 添进去：由 $U$ 的定义，$\rho(e_k,v)=0$，对称性给出 $\rho(v,e_k)=0$，而对角位置 $\rho(v,v)\ne 0$。于是 $\rho$ 关于 $e_1,\dots,e_{n-1},v$ 的矩阵是对角的。归纳完成。

3.6 实内积空间：可以取规范正交基 #

对称双线性型在一般基下能对角，但基是「野」的。如果 $V$ 上另外有一个内积，可以要求更严：那组基还是规范正交的。

结论：设 $V$ 是实内积空间，$\rho$ 是 $V$ 上的对称双线性型。则存在 $V$ 的一组规范正交基，使 $\rho$ 关于它的矩阵是对角的。

证明思路（三步，每步都是已学结论）：

1. 取任一规范正交基 $f_1,\dots,f_n$，令 $B=M(\rho)$。$B$ 是对称实矩阵（3.5 的 (a)⟹(b)）。
2. 令 $T$ 是矩阵为 $B$ 的算子。$B$ 对称 ⟺ $T$ 自伴（25 讲）。
3. 实谱定理（26 讲）说：自伴算子有规范正交的特征基 $e_1,\dots,e_n$，即 $T$ 关于它的矩阵 $C^{-1}BC$ 是对角的。

最后一步把两个公式接上：设 $C$ 是从 $e$ 基到 $f$ 基的坐标矩阵。因为两组基都规范正交，$C$ 是正交矩阵，$C^{-1}=C^{\mathsf{T}}$。于是

$$M(\rho\ \text{关于}\ e)=C^{\mathsf{T}}BC=C^{-1}BC$$

后者对角，所以前者对角。$\blacksquare$

3.7 手算一遍：把 $x_1^2-4x_1x_2+8x_1x_3-3x_3^2$ 化成平方和 #

拿 (35.8) 那个例子。先写出它的对称矩阵（对角填平方项系数，非对角填「交叉项系数的一半」）：

$$A=\begin{pmatrix}1&-2&4\\ -2&0&0\\ 4&0&-3\end{pmatrix}$$

核对：$\mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=x_1^2+2(-2)x_1x_2+2(4)x_1x_3-3x_3^2$，正是原式。

配方，逐变量消。

第一步消 $x_1$（$A_{11}=1\ne0$，可以配）。目标是凑出 $(x_1-2x_2+4x_3)^2$：

$$(x_1-2x_2+4x_3)^2=x_1^2-4x_1x_2+8x_1x_3+4x_2^2-16x_2x_3+16x_3^2$$

用原式减去它：

$$q=(x_1-2x_2+4x_3)^2-4x_2^2+16x_2x_3-19x_3^2$$

第二步消 $x_2$。剩下 $-4x_2^2+16x_2x_3=-4\big(x_2^2-4x_2x_3\big)=-4\big[(x_2-2x_3)^2-4x_3^2\big]$，即

$$-4x_2^2+16x_2x_3=-4(x_2-2x_3)^2+16x_3^2$$

代回，$16x_3^2-19x_3^2=-3x_3^2$：

$$q=(x_1-2x_2+4x_3)^2-4(x_2-2x_3)^2-3x_3^2 \tag{35.19}$$

令

$$y_1=x_1-2x_2+4x_3,\qquad y_2=x_2-2x_3,\qquad y_3=x_3$$

则 $q=y_1^2-4y_2^2-3y_3^2$。三个交叉项全部消失，系数是 $1,-4,-3$。

顺手验一下这组新坐标对应的基向量。由 $\mathbf{y}=P\mathbf{x}$（$P$ 是上面那个上三角矩阵）得 $\mathbf{x}=P^{-1}\mathbf{y}$，而

$$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&2&0\\ 0&1&2\\ 0&0&1\end{pmatrix}$$

它的三列就是新基：

$$f_1=(1,0,0),\quad f_2=(2,1,0),\quad f_3=(0,2,1)$$

直接代 $q$ 验证：$q(f_1)=1$；$q(f_2)=4-4\cdot2\cdot1=4-8=-4$；$q(f_3)=0-0-3=-3$。与 (35.19) 的系数完全一致。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 三个「入口数」的层级 #

对象	入口数	维数	矩阵	换基公式
线性泛函 $\varphi$	1	$n$	$1\times n$ 行	左乘 $C^{-1}$
算子 $T$	1（进）1（出）	$n^2$	$n\times n$	$C^{-1}AC$
双线性型 $\beta$	2	$n^2$	$n\times n$	$C^{\mathsf{T}}AC$

算子和双线性型的矩阵都是 $n\times n$、都是 $n^2$ 维，但换基规则不同，所以它们是不同的对象。判断你手上拿的是哪一个，看它怎么吃向量：吃一个吐一个 ⟹ 算子；吃两个吐一个数 ⟹ 双线性型。

4.2 「双输入秤」的比喻 #

把 $\beta$ 想成一台有两个托盘的秤：左边放 $u$，右边放 $v$，显示屏给出 $\beta(u,v)$。

• 每个托盘单独看，读数对重量是线性的：左边加倍，读数加倍。
• 两个托盘同时加倍，读数变四倍——这就是 (35.14) 里那个跨项在作怪。
• 矩阵 $M(\beta)$ 是这台秤的「标定表」：把基向量两两放上去，读数记下来，以后任何输入都靠这四个数线性组合算出。

二次型就是「两个托盘放同一件东西」：$q(v)=\beta(v,v)$。秤只能读到「对角线」上的值，托盘交换后读数不同的那部分（交错部分），在对角线上看不见。

4.3 二次曲面：对角化 = 摆正主轴 #

方程 $\mathbf{x}^{\mathsf{T}}A\mathbf{x}=1$（$A$ 对称）在 $\mathbb{R}^2$ 上是椭圆或双曲线，在 $\mathbb{R}^3$ 上是椭球、双曲面、锥面。带交叉项的方程看起来是斜的——因为坐标轴没对准图形的对称轴。

对角化就是转坐标轴，转到对准为止。转到之后方程变成

$$\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2=1$$

形状一眼可读：全正 ⟹ 椭球；有正有负 ⟹ 双曲面；有零 ⟹ 柱面或锥面。这正是 3.7 那个手算在做的事。

4.4 三句口诀 #

• 「两个入口各自线性，合起来是二次」——记住双线性型的定位。
• 「交叉项 = 两倍对称部分」——极化恒等式的一切。
• 「转置夹在中间 = 合同」——换基公式的判据，看到 $C^{\mathsf{T}}AC$ 就知道在谈双线性型。

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五、常见误区 #

$$\beta(u,v)=\beta\big((u,0)+(0,v)\big)=\beta(u,0)+\beta(0,v)$$

而双线性又给出 $\beta(u,0)=0$（第二个位置线性，取标量 $0$）与 $\beta(0,v)=0$（第一个位置）。所以 $\beta\equiv 0$。
结论：既是双线性型又是 $V\times V$ 上线性映射的，只有零。 这个「几乎不可能」不是缺陷，正是双线性型有用的原因。

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六、拓展（可选，可跳过） #

① 惯性定理（Sylvester）。3.7 里配出的系数 $1,-4,-3$ 换一组基还可以变。但有一件事不变：

对称双线性型在合同变换下，正项个数、负项个数、零项个数不变。

这三个数叫惯性指数，$(p,q)$ 或 $(p,q,z)$ 合称符号差数据。它说明「二次型分类」在实数域上只有这么多花样——椭球类、双曲类、退化类。这条定理的证明需要一点技巧（不能靠「连续变化」这种直观说法），本讲不展开。

② 双线性型与算子的等价描述。在实内积空间上，每个双线性型都能写成 $\beta(u,v)=\langle u,Tv\rangle$，而且这样的 $T$ 唯一（用内积去配对，等价于用 Riesz 表示定理把泛函变回向量）。这条把两种对象接起来：

双线性型的性质	对应算子的性质
$\beta$ 对称	$T$ 自伴
$\beta$ 正定（$v\ne0$ 时 $\beta(v,v)>0$）	$T$ 是正算子
$\beta$ 交错	$T$ 是反自伴（$\mathbb{R}$ 上是斜对称）
$\beta$ 非退化	$T$ 可逆

于是「$q(v)=\langle Tv,v\rangle$」这个写法就有了确切含义：$q$ 只看 $T$ 的自伴部分 $\frac{T+T^*}{2}$，与 3.3 的对称/交错分解是同一件事的两种语言。

③ 化学里的用法。分子在平衡构型附近做小振动时，势能按位移展开，一阶项为零（平衡点），二阶项就是位移的二次型：

$$U\approx\frac12\sum_{j,k}\frac{\partial^2U}{\partial q_j\partial q_k}\Big|_0q_jq_k$$

系数矩阵是 Hessian，天然对称。把这二次型对角化（连同动能的二次型一起做广义对角化），得到的 $\lambda$ 就是简正振动频率的平方，新坐标就是简正坐标。这就是 3.5–3.7 那套东西在化学里的原样出现。

④ 交错型与行列式。$V^{(2)}_{\mathrm{alt}}$ 这个子空间不是凑数的：36 讲把它推广到「多个入口、交替」的多重线性型，37 讲会证明行列式正是那个东西。所以 3.4 的直和分解，是通往行列式的第一级台阶。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 写出 $\beta\big((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3)\big)=x_1y_2-5x_2y_3+2x_3y_1$ 关于 $\mathbb{F}^3$ 标准基的矩阵，并指出它是否对称。

2. 对 $q(x_1,x_2)=x_1^2+6x_1x_2+5x_2^2$：写出对应的对称矩阵，配方化成平方和，并给出新基。

3. 举一个具体的例子：$\beta\ne0$ 但 $q_\beta\equiv 0$。再据此说明「$q$ 唯一确定 $\beta$」为什么是错的。

4. 设 $\dim V=n$。求 $\dim V^{(2)}_{\mathrm{sym}}$ 与 $\dim V^{(2)}_{\mathrm{alt}}$，并验证两者之和等于 $\dim V^{(2)}$。

5. 设 $\beta(u,v)=\langle u,Tv\rangle$（$V$ 是实内积空间）。证明：$\beta$ 对称当且仅当 $T$ 自伴。

答案（点开）

1. 按 $M_{j,k}=\beta(e_j,e_k)$ 逐个填（$e_1=(1,0,0)$ 等）：
$\beta(e_1,e_2)=1$，$\beta(e_2,e_3)=-5$，$\beta(e_3,e_1)=2$，其余为 $0$。故

$$M(\beta)=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&-5\\ 2&0&0\end{pmatrix}$$

不对称（$M_{12}=1\ne0=M_{21}$）。所以 $\beta$ 不是对称双线性型，它的二次型 $q_\beta=x_1x_2-5x_2x_3+2x_3x_1$ 只反映了对称部分。

2. 对角填平方系数，非对角填交叉项系数的一半（$6/2=3$）：

$$A=\begin{pmatrix}1&3\\ 3&5\end{pmatrix}$$

配方：$x_1^2+6x_1x_2+5x_2^2=(x_1+3x_2)^2-9x_2^2+5x_2^2=(x_1+3x_2)^2-4x_2^2$。
令 $y_1=x_1+3x_2,\ y_2=x_2$，则 $\mathbf{y}=P\mathbf{x}$，$P=\begin{pmatrix}1&3\\ 0&1\end{pmatrix}$，
$P^{-1}=\begin{pmatrix}1&-3\\ 0&1\end{pmatrix}$，新基为两列：$f_1=(1,0)$、$f_2=(-3,1)$。
验：$q(f_1)=1$ ✓，$q(f_2)=9-18+5=-4$ ✓。系数 $1,-4$ 与配方一致。

3. 取 $\beta(u,v)=u_1v_2-u_2v_1$（$\mathbb{R}^2$ 上）。$q_\beta(x)=x_1x_2-x_2x_1=0$ 恒成立，但 $\beta(e_1,e_2)=1\ne0$，所以 $\beta\ne0$。
更一般地，任何交错型都满足 $q_\beta=0$。
于是若 $\beta$ 是一个解，$\beta+\alpha$（$\alpha$ 任意交错）也是解，解不唯一。
唯一性只在对称型这个子集里成立（3.3）。

4. 对称矩阵由「上三角含对角线」的 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个元素自由决定；交错（反对称）矩阵对角线必须为 $0$，由严格上三角的 $\frac{n(n-1)}{2}$ 个元素决定。故

$$\dim V^{(2)}_{\mathrm{sym}}=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \dim V^{(2)}_{\mathrm{alt}}=\frac{n(n-1)}{2}$$

相加：$\frac{n^2+n+n^2-n}{2}=n^2=\dim V^{(2)}$ ✓，与直和分解 (35.18) 吻合。

5. $\beta$ 对称 ⟺ 对一切 $u,v$：$\langle u,Tv\rangle=\langle v,Tu\rangle$。
右边用实内积的对称性与自伴的定义改写：$\langle v,Tu\rangle=\langle T^*v,u\rangle=\langle u,T^*v\rangle$。
于是条件变成「对一切 $u,v$，$\langle u,Tv\rangle=\langle u,T^*v\rangle$」，即 $\langle u,(T-T^*)v\rangle=0$ 对一切 $u$。
取 $u=(T-T^*)v$ 得 $\|(T-T^*)v\|^2=0$，故 $(T-T^*)v=0$ 对一切 $v$，即 $T=T^*$。反向显然。$\blacksquare$

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八、复习卡 #

项	内容
双线性型	$\beta:V\times V\to\mathbb{F}$，固定任一位置后对另一位置线性（四条等式）
三十秒判据	展开后每项都是「$x$ 一次 × $y$ 一次」，无纯项、无常数项
不是线性映射	$\beta(2u,2v)=4\beta(u,v)$；既双线性又整体线性的只有 $0$
矩阵	$M(\beta)_{j,k}=\beta(e_j,e_k)$；$\beta(u,v)=\mathbf{x}^{\mathsf{T}}M(\beta)\mathbf{y}$
维数	$\dim V^{(2)}=n^2$；$\dim V^{(2)}_{\mathrm{sym}}=\frac{n(n+1)}{2}$；$\dim V^{(2)}_{\mathrm{alt}}=\frac{n(n-1)}{2}$
复合算子	$\alpha(u,v)=\beta(u,Tv)\Rightarrow M(\alpha)=M(\beta)M(T)$；$\rho(u,v)=\beta(Tu,v)\Rightarrow M(\rho)=M(T)^{\mathsf{T}}M(\beta)$
换基	$B=C^{\mathsf{T}}AC$（$C$ 的列是新基在旧基下的坐标）；不是 $C^{-1}AC$
合同 vs 相似	合同保秩；正交 $C$ 时两者重合
对称	$\rho(u,w)=\rho(w,u)$；等价于矩阵在每个基下都对称
交错	$\alpha(v,v)=0\ \forall v$ ⟺ $\alpha(u,w)=-\alpha(w,u)$
直和	$V^{(2)}=V^{(2)}_{\mathrm{sym}}\oplus V^{(2)}_{\mathrm{alt}}$，$\beta=\frac{\beta+\beta^{\mathsf{T}}}{2}+\frac{\beta-\beta^{\mathsf{T}}}{2}$
二次型	$q_\beta(v)=\beta(v,v)$；$q_\beta=0\iff\beta$ 交错
极化恒等式	$\rho(u,w)=\frac{q(u+w)-q(u)-q(w)}{2}$；$q$ 与对称 $\rho$ 一一对应
二次型的唯一对称型	每个 $q$ 恰有一个对称 $\rho$ 使 $q=q_\rho$
对角化	任何对称型在某组基下对角；$\mathbb{R}$ 上还可取规范正交基（借实谱定理）
配方算法	找非零对角元 → 配掉该变量 → 降一维 → 重复；对角元全零先用 $x_1\pm x_2$ 顶出非零

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线来源：《线性代数应该这样学》（第 4 版，吴俊达、何阳 译）第 9 章 9A 节「双线性型和二次型」，PDF 第 292–302 页。本讲的定义顺序、符号（$V^{(2)}$、$M(\beta)$、$q_\beta$）与定理编号 9.1–9.23 均按该节核对。
• 习题借用：自测第 3 题对应 9A 习题 3（「既是双线性型又是线性映射则恒为零」），第 4 题对应习题 8（维数公式），第 5 题对应习题 4–5 的思路（$\beta(u,v)=\langle u,Tv\rangle$ 的唯一算子）。
• 关于换基公式的方向：该节写作 $A=C^{\mathsf{T}}BC$，其中 $C$ 取「旧基在新基下的坐标」这一方向；本讲 3.2 取相反方向，故公式写成 $B=C^{\mathsf{T}}AC$。两者是同一个等式的两边，换算时以「$C$ 的列是谁的坐标」为准。
• 术语别名：「双线性型」=「双线性形式」= bilinear form；「二次型」= quadratic form；「交错」= alternating = 反对称（skew-symmetric）；「合同」= congruent。注意「交错」在特征 $\ne2$ 时与「反对称」等价，特征 $2$ 时不同。
• 想深挖：惯性定理（Sylvester's law of inertia）与二次型的实分类；正定性的判别（顺序主子式）；简正振动分析与 Hessian 的二次型视角——这三条都在本讲范围之外，属于下一步。
• 与前后的衔接：36 讲把「两个入口」推到「$k$ 个入口」，讲交错多重线性型；37 讲用它定义行列式；34 讲（迹）里 $\operatorname{tr}(ST)$ 的双线性性、以及 $\operatorname{tr}(ST)=\operatorname{tr}(TS)$ 带来的对称性，是本节 2.5 表格的一行实例。