31 广义特征向量与幂零算子

广义特征向量与幂零算子 #

这讲讲什么：把「$Tv=\lambda v$」放宽成「$(T-\lambda I)^kv=0$」，让那些凑不出特征向量基的算子重新有结构可讲；顺带把「某个幂等于零」的幂零算子一次说透
前置：08 讲（零空间与线性映射基本定理）、17 讲（不变子空间）、18 讲（极小多项式）、19 讲（上三角矩阵）、20 讲（可对角化）
一句话：特征向量是一步归位，广义特征向量是走有限步之后归零——把「一步」放宽成「有限步」，对角化亏欠的那些维数就补回来了。

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一、为什么需要它 #

先看一个凑不齐的例子 #

在 $\mathbb{F}^3$ 上定义算子

$$T(z_1,z_2,z_3)=(4z_2,\ 0,\ 5z_3).$$

求特征值：设 $Tv=\lambda v$，逐坐标写出来是

$$\begin{aligned}4z_2&=\lambda z_1\\ 0&=\lambda z_2\\ 5z_3&=\lambda z_3\end{aligned}$$

• 若 $\lambda=0$：第二个方程自动成立，第一个给 $z_2=0$，于是特征向量是 $(z_1,0,0)$，$z_1\neq 0$。
• 若 $\lambda\neq 0$：第二个方程给 $z_2=0$，代入第一个得 $0=\lambda z_1$，即 $z_1=0$；再由第三个方程得 $\lambda=5$。于是特征向量是 $(0,0,z_3)$，$z_3\neq 0$。

所以 $T$ 的特征值恰好是 $0$ 和 $5$，而

$$E(0,T)=\{(z_1,0,0)\},\qquad E(5,T)=\{(0,0,z_3)\}.$$

两者直和只有 $2$ 维，而 $\dim\mathbb{F}^3=3$。特征向量张不满整个空间，$T$ 不可对角化。

可是这个算子简单得可笑：它只是把第一、二坐标拧在一起（$z_2$ 被送到第一格，随后被清零），第三坐标单独乘 $5$。这样一个「一眼看穿」的算子，凭什么没有干净的结构？

结构其实在，只是藏在一个我们之前没看的地方。看向量 $(0,1,0)$：

$$T(0,1,0)=(4,0,0)\neq 0,\qquad T^2(0,1,0)=T(4,0,0)=(0,0,0).$$

它不是特征向量（第一趟没归位），但两趟之后归零。而且中间那一站 $(4,0,0)$ 正好是特征向量。这条「$(0,1,0)\to(4,0,0)\to 0$」的链条，就是本讲的主角。

三条独立的理由 #

理由一：对角化不是通例，而是例外。 只要特征值有重根、且特征空间维数不够，就凑不出基。工程上这类矩阵到处都是：剪切变形、带耗散的耦合振子、非正规的转移矩阵。你不能因为「不可对角化」就说它们没结构。

理由二：描述算子的正道是「拆成不变子空间」。 最细的拆法是一维不变子空间，那正对应特征向量。拆不动时，退一步允许「一维 + 一层台阶」，也就是带链的子空间。广义特征向量就是这条台阶的砖。

理由三：幂零算子是所有算子的「非对角原子」。 后面（32 讲）会看到，$T$ 限制在每个广义特征空间上都能写成 $\lambda I+N$，其中 $N$ 幂零。于是「研究所有算子」这件事，被归结为「研究对角块（$\lambda$）」加「研究幂零块（$N$）」。这一讲先把幂零这一半彻底解决。

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二、定义与最小例子 #

2.1 广义特征向量 #

设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda$ 是 $T$ 的特征值。称 $v\in V$ 是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的广义特征向量，如果

$$v\neq 0\quad\text{且}\quad \exists\,k\in\mathbb{Z}^{+}:\ (T-\lambda I)^kv=0.$$

逐字读一遍这个定义，三处细节都不能漏：

1. $v\neq 0$：零向量对任何 $\lambda$ 都满足方程，所以必须排除，否则「广义特征向量」这个概念会被零向量污染。
2. $(T-\lambda I)$ 而不是 $T$：磨零的是「减去 $\lambda I$ 之后」的算子。这一步平移把「$\lambda$ 方向不动」变成了「一切都归零」，正是全部技巧所在。
3. 存在某个正整数 $k$，不是「所有 $k$」，也不是「$k=1$」。$k=1$ 的情形恰好就是普通特征向量，所以特征向量是广义特征向量的特例。

2.2 关键简化：只需检验 $k=\dim V$ #

定义写的是「存在 $k$」，字面上要检验无穷多个幂。这不能忍。好在有一个漂亮的结论把它压成一次检验：

$v\neq 0$ 是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的广义特征向量，当且仅当 $(T-\lambda I)^{\dim V}v=0$。

理由在第三节：零空间链 $\operatorname{null}T\subseteq\operatorname{null}T^2\subseteq\cdots$ 只涨不缩，且到第 $\dim V$ 项就停住不再变。这把「存在」换成了「一次算到底」，是本讲最重要的计算简化。

2.3 广义特征空间 $G(\lambda,T)$ #

把所有广义特征向量收进来，再补上零向量：

$$G(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I)^{\dim V}=\{\,v\in V:\ (T-\lambda I)^{\dim V}v=0\,\}.$$

这就是 $T$ 对应于 $\lambda$ 的广义特征空间。三条性质，一条条验：

（i）它是子空间。 $G(\lambda,T)$ 是某个线性映射的零空间，而零空间必是子空间（08 讲）。不需要重新验证加法与数乘封闭。

（ii）它在 $T$ 下不变。 设 $(T-\lambda I)^nv=0$，其中 $n=\dim V$。注意任何多项式作用于 $T$ 都与 $T$ 可交换，特别地

$$(T-\lambda I)^n(Tv)=T\big((T-\lambda I)^nv\big)=T(0)=0.$$

所以 $Tv\in G(\lambda,T)$。一行证完，关键是「$T$ 与自己的多项式可交换」这一句话。

（iii）它包含特征空间。 $E(\lambda,T)\subseteq G(\lambda,T)$，因为 $k=1$ 就归零的向量当然 $k=n$ 也归零。而且当 $\lambda$ 根本不是特征值时，$T-\lambda I$ 可逆，于是 $(T-\lambda I)^n$ 可逆，

$$G(\lambda,T)=\{0\}.$$

所以「广义特征空间非平凡」与「$\lambda$ 是特征值」是同一件事。

2.4 最小例子：$2\times 2$ 的移位 #

$$N=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix},\qquad N(w,z)=(z,\ 0).$$

$N^2=0$，所以 $N$ 是幂零的（下一小节给定义）。它的特征值只有 $0$。逐个看基向量：

向量	$N$ 作用一次	作用两次	类型
$e_1=(1,0)$	$0$	$0$	特征向量（$k=1$）
$e_2=(0,1)$	$(1,0)\neq 0$	$0$	广义特征向量，不是特征向量（$k=2$）

而 $G(0,N)=\operatorname{null}N^2=\mathbb{F}^2$：整空间都是广义特征空间。对比一下 $E(0,N)=\{(z,0)\}$ 只有一维——广义特征空间把丢掉的维数捡了回来。

2.5 幂零算子 #

称算子 $T\in\mathcal{L}(V)$ 是幂零的，如果存在正整数 $m$ 使

$$T^m=0\quad(\text{零算子}).$$

用广义特征向量的语言重述，这个定义变得非常顺：

$T$ 幂零 $\iff$ $V$ 中每个非零向量都是 $T$ 对应于特征值 $0$ 的广义特征向量。

因为「$T^m=0$」正是「$k=m$ 时对所有 $v$ 都有 $T^kv=0$」。于是幂零算子是「广义特征现象最极端」的情形：整空间只有一个广义特征空间，而且 $\lambda=0$。

三个必须记住的例子：

（a）坐标移位。 $T(z_1,z_2,z_3,z_4)=(0,0,z_1,z_2)$ 是 $\mathbb{F}^4$ 上的算子。它把前两格的内容搬到后两格、把前两格清零，再来一次就全空了，所以 $T^2=0$。

（b）一个不那么明显的矩阵。

$$A=\begin{pmatrix}-3&9&0\\ -7&9&6\\ 4&0&-6\end{pmatrix}$$

直接算：

$$A^2=\begin{pmatrix}-54&54&54\\ -18&18&18\\ -36&36&36\end{pmatrix}\neq 0,\qquad A^3=0.$$

$A^2\neq 0$ 而 $A^3=0$，所以它的「幂零指数」正好是 $3=\dim\mathbb{F}^3$。（这个矩阵在出处节会再提一句。）

（c）微分算子。 在不超过 $m$ 次的多项式空间 $\mathcal{P}_m(\mathbb{R})$ 上，求导 $D$ 是线性的。每求一次导次数降一，求 $m+1$ 次导必然得零：

$$D^{m+1}=0.$$

而这个空间的维数是 $m+1$。它再次说明幂零指数可以正好等于空间维数，不能指望「平方就够」。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 零空间链只涨不缩 #

对任何 $T\in\mathcal{L}(V)$：

$$\{0\}=\operatorname{null}T^0\subseteq\operatorname{null}T^1\subseteq\operatorname{null}T^2\subseteq\cdots\subseteq\operatorname{null}T^k\subseteq\operatorname{null}T^{k+1}\subseteq\cdots$$

证明：设 $v\in\operatorname{null}T^k$，即 $T^kv=0$。那么

$$T^{k+1}v=T(T^kv)=T(0)=0,$$

所以 $v\in\operatorname{null}T^{k+1}$。$\blacksquare$

一句话：归零之后再作用一次，还是零。 这就是「幂越长，零空间越大」的全部内容。

3.2 一处相等，处处相等 #

这是把「无穷次检验」压成一次的关键。

设 $m$ 是非负整数且 $\operatorname{null}T^m=\operatorname{null}T^{m+1}$，则

$$\operatorname{null}T^m=\operatorname{null}T^{m+1}=\operatorname{null}T^{m+2}=\cdots$$

证明：由 3.1 已知 $\operatorname{null}T^{m+k}\subseteq\operatorname{null}T^{m+k+1}$，只需证反向包含。设

$$v\in\operatorname{null}T^{m+k+1},\quad\text{即}\quad T^{m+k+1}v=0.$$

把指数拆开看：$T^{m+k+1}v=T^{m+1}\big(T^kv\big)=0$。于是

$$T^kv\in\operatorname{null}T^{m+1}=\operatorname{null}T^m,$$

即 $T^m(T^kv)=0$，也就是 $T^{m+k}v=0$，$v\in\operatorname{null}T^{m+k}$。反向包含成立。$\blacksquare$

3.3 到 $\dim V$ 就停 #

设 $n=\dim V$，则

$$\operatorname{null}T^n=\operatorname{null}T^{n+1}=\operatorname{null}T^{n+2}=\cdots$$

证明：由 3.2，只需证 $\operatorname{null}T^n=\operatorname{null}T^{n+1}$。反设不相等，那么整条链上每一步都是真包含：

$$\{0\}=\operatorname{null}T^0\subsetneq\operatorname{null}T^1\subsetneq\cdots\subsetneq\operatorname{null}T^n\subsetneq\operatorname{null}T^{n+1}.$$

每出现一次真包含，维数至少加 $1$（子空间真包含时维数严格增大）。链上一共 $n+1$ 个真包含号，于是

$$\dim\operatorname{null}T^{n+1}\ge n+1=\dim V+1> \dim V,$$

矛盾——$V$ 的子空间维数不可能超过 $\dim V$。$\blacksquare$

这三条合起来就是 2.2 节的依据：因为链在第 $n$ 步停住，所以「存在 $k$ 使 $(T-\lambda I)^kv=0$」与「$(T-\lambda I)^nv=0$」等价。定义里那个「存在」，从此只需算一次。

3.4 一个广义特征向量只对应一个特征值 #

这一条常被跳过，但它是整个分解能成立的前提：如果同一个 $v$ 既能算作 $\lambda$ 的、又能算作 $\alpha$ 的，那 $G(\lambda,T)$ 就要互相打架。

命题：$T$ 的每个广义特征向量只对应于一个特征值。

证明：设 $v\neq 0$ 同时是 $T$ 对应于 $\alpha$ 与对应于 $\lambda$ 的广义特征向量，$n=\dim V$。取 $m$ 为使 $(T-\alpha I)^mv=0$ 成立的最小正整数，于是

$$(T-\alpha I)^{m-1}v\neq 0. \tag{3.1}$$

另一方面 $(T-\lambda I)^nv=0$。把 $T-\lambda I$ 改写成 $(T-\alpha I)+(\alpha-\lambda)I$，用二项式定理展开 $n$ 次幂：

$$(T-\lambda I)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(\alpha-\lambda)^{n-k}(T-\alpha I)^k.$$

作用于 $v$ 得 $0$。再在两边左乘 $(T-\alpha I)^{m-1}$。此时每一项变成

$$(T-\alpha I)^{k+m-1}v,$$

当 $k\ge 1$ 时指数 $k+m-1\ge m$，由 $m$ 的最小性这类项全为 $0$；只剩 $k=0$ 这一项：

$$0=(\alpha-\lambda)^n(T-\alpha I)^{m-1}v.$$

由式 (3.1) 第二个因子非零，所以 $(\alpha-\lambda)^n=0$，即 $\alpha=\lambda$。$\blacksquare$

3.5 互异特征值的广义特征向量线性无关 #

命题：由对应于 $T$ 的互异特征值的广义特征向量组成的任何向量组，都线性无关。

证明思路与「不同特征值的特征向量线性无关」完全同构，只是把 $(T-\lambda I)$ 换成 $(T-\lambda I)^n$。设结论不成立，取最小的 $m\ge 2$ 使对应于互异特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 的广义特征向量 $v_1,\dots,v_m$ 线性相关，即存在全不为零的 $a_1,\dots,a_m$ 使

$$a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0.$$

两边左乘 $(T-\lambda_mI)^n$，$\lambda_m$ 那一项被磨成零，剩

$$a_1(T-\lambda_mI)^nv_1+\cdots+a_{m-1}(T-\lambda_mI)^nv_{m-1}=0. \tag{3.2}$$

对 $k<m$：$(T-\lambda_mI)^nv_k\neq 0$，否则 $v_k$ 会同时对应两个特征值，与 3.4 矛盾；而

$$(T-\lambda_kI)^n(T-\lambda_mI)^nv_k=(T-\lambda_mI)^n(T-\lambda_kI)^nv_k=0,$$

所以 $(T-\lambda_mI)^nv_k$ 是对应于 $\lambda_k$ 的广义特征向量。于是式 (3.2) 给出 $m-1$ 个互异特征值的广义特征向量之间的线性关系，与 $m$ 的最小性矛盾。$\blacksquare$

一个立刻可用的推论：若 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 是 $T$ 的全部互异特征值，则

$$G(\lambda_1,T)+\cdots+G(\lambda_m,T)\ \text{是直和},\qquad \sum_{j=1}^{m}\dim G(\lambda_j,T)\le\dim V.$$

理由：若 $w_1+\cdots+w_m=0$ 且 $w_j\in G(\lambda_j,T)$，丢掉零项后就是一组互异特征值的广义特征向量之间的线性关系，由上面的命题每个系数必须为零，故每个 $w_j=0$。这正是直和的定义。

3.6 幂零算子的 $n$ 次幂就是零 #

命题：设 $\dim V=n$ 且 $T$ 幂零，则 $T^n=0$。

证明：幂零给出某个 $m$ 使 $T^m=0$，即 $\operatorname{null}T^m=V$。由 3.3，$\operatorname{null}T^n=\operatorname{null}T^m=V$，故 $T^n=0$。$\blacksquare$

这条把 2.5 的定义变成「一次判定」：不用找那个神秘的 $m$，直接算 $T^n$。第（c）个例子（微分算子）显示 $n$ 不能再降，所以这个界是紧的。

3.7 幂零算子的特征值只有 $0$ #

命题（设 $\dim V\ge 1$）：

(a) 若 $T$ 幂零，则 $0$ 是 $T$ 的特征值，且 $T$ 没有别的特征值。
(b) 若 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 且 $0$ 是 $T$ 的唯一特征值，则 $T$ 幂零。

证明 (a)：$T^m=0$ 说明 $T$ 不可逆，于是不可单射（有限维，$T$ 不是单射 $\iff$ 不可逆），故存在非零 $v$ 使 $Tv=0$，$0$ 是特征值。再设 $\lambda$ 是任一特征值，$Tv=\lambda v$，$v\neq 0$。反复把 $T$ 作用于两边：

$$\lambda^mv=T^mv=0,$$

而 $v\neq 0$，故 $\lambda^m=0$，$\lambda=0$。$\blacksquare$

证明 (b)：$0$ 是唯一特征值，意味着极小多项式的唯一零点是 $0$；在 $\mathbb{C}$ 上极小多项式可分解成一次因子之积，于是它只能是 $z^m$。按极小多项式的定义 $z^m$ 零化 $T$，即 $T^m=0$。$\blacksquare$

3.8 幂零 $\iff$ 极小多项式是 $z^m$ $\iff$ 某基下是严格上三角 #

把上面几条打包，得到幂零算子的完整刻画（三条等价）：

(a) $T$ 幂零；
(b) $T$ 的极小多项式等于 $z^m$（$m$ 为正整数）；
(c) 存在 $V$ 的基，使 $T$ 关于该基的矩阵形如

$$\begin{pmatrix}0&*&*\\ &0&*\\ & &0\end{pmatrix},$$

即对角线及对角线下方全为 $0$（严格上三角）。

证 (a)$\Rightarrow$(b)：$T^m=0$ 说明 $z^m$ 零化 $T$，而极小多项式整除任何零化多项式，故它形如 $z^k$。

证 (b)$\Rightarrow$(c)：极小多项式是 $z^m$，故 $0$ 是唯一特征值。由 19 讲的上三角化结论，存在一组基使 $T$ 的矩阵上三角；而上三角矩阵的对角元恰是特征值，全为 $0$。于是它是严格上三角。

证 (c)$\Rightarrow$(a)：设 $A$ 是 $T$ 在某组基 $e_1,\dots,e_n$ 下的严格上三角矩阵。第 $j$ 列的含义是

$$Te_j=\sum_{i<j}a_{ij}e_i\in\operatorname{span}(e_1,\dots,e_{j-1}).$$

也就是说每作用一次，向量就「往编号小的方向挪至少一格」。作用 $k$ 次：

$$T^ke_j\in\operatorname{span}(e_1,\dots,e_{j-k}),$$

当 $k\ge j$ 时这个张成式只剩 $\{0\}$。取 $k=n$，对每个 $j\le n$ 都有 $T^ne_j=0$，故 $T^n=0$。$\blacksquare$

3.9 手算：那个 $3$ 维例子的两个广义特征空间 #

回到第一节的 $T(z_1,z_2,z_3)=(4z_2,0,5z_3)$。先算幂：

$$T^2(z_1,z_2,z_3)=(0,0,25z_3),\qquad T^3(z_1,z_2,z_3)=(0,0,125z_3).$$

于是

$$G(0,T)=\operatorname{null}T^3=\{(z_1,z_2,0)\},\qquad \dim G(0,T)=2.$$

注意 $(0,1,0)$ 在里面，而它不是特征向量——这正是第一节那条链的起点。

再算 $\lambda=5$。令 $S=T-5I$，$S(z_1,z_2,z_3)=(4z_2-5z_1,\ -5z_2,\ 0)$。逐次作用：

$$S^2(z_1,z_2,z_3)=(25z_1-40z_2,\ 25z_2,\ 0),$$

$$S^3(z_1,z_2,z_3)=(-125z_1+300z_2,\ -125z_2,\ 0).$$

令 $S^3=0$：第二坐标给 $z_2=0$，代回第一坐标给 $-125z_1=0$，故 $z_1=0$。所以

$$G(5,T)=\{(0,0,z_3)\},\qquad \dim G(5,T)=1.$$

对一下维数：$2+1=3=\dim\mathbb{F}^3$。由 3.5 的推论，$G(0,T)+G(5,T)$ 是直和且维数已满，于是

$$\mathbb{F}^3=G(0,T)\oplus G(5,T).$$

这就是对角化失败时该有的替代品。 用标准基 $e_1,e_2,e_3$ 写矩阵：

$$Te_1=0,\qquad Te_2=(4,0,0)=4e_1,\qquad Te_3=(0,0,5)=5e_3,$$

$$[T]=\begin{pmatrix}0&4&0\\ 0&0&0\\ 0&0&5\end{pmatrix}.$$

上三角，对角元 $0,0,5$。左上那块 $\begin{pmatrix}0&4\\0&0\end{pmatrix}$ 平方为零——它是广义特征空间 $G(0,T)$ 上的幂零块，对应的 $G(5,T)$ 那块是 $1\times1$ 的 $5$。这个「对角块 + 幂零块」的形状，就是 32、33 讲要系统化的 Jordan 形。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

图景一：$(T-\lambda I)$ 是一台「降一层」的机器 #

把 $(T-\lambda I)$ 想成电梯。广义特征向量 $v$ 站在某一层：

$$v\ \xrightarrow{\ T-\lambda I\ }\ (T-\lambda I)v\ \xrightarrow{\ T-\lambda I\ }\ (T-\lambda I)^2v\ \longrightarrow\cdots\longrightarrow 0.$$

链条上最后一个非零元素 $(T-\lambda I)^{k-1}v$ 满足 $(T-\lambda I)\big((T-\lambda I)^{k-1}v\big)=0$，即

$$T\big((T-\lambda I)^{k-1}v\big)=\lambda\big((T-\lambda I)^{k-1}v\big),$$

它是特征向量。所以任何一条广义特征向量的链，末端都躺着一个真正的特征向量。

图景二：幂零算子 = 单向电梯 #

三个幂零例子在这个图景里完全一致：

算子	「往哪挪」	几步到零
$(0,0,z_1,z_2)$	坐标往右挪两格	$2$ 步
严格上三角矩阵	每个基向量挪向编号更小的坐标	至多 $n$ 步
多项式求导 $D$	次数降一	至多 $m+1$ 步

共同点：只有下行，没有上升，也没有原地打转。 只要一个算子在某组基下只能单向移动，它必然幂零；反过来幂零算子一定能找到这样一组基（这正是 3.8 的 (a)$\Leftrightarrow$(c)）。

图景三：$2\times2$ 的原子结构 #

把 2.4 的 $N$ 与 3.9 的左上块并排看：

$$\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}0&4\\0&0\end{pmatrix}.$$

两者只差一个非零倍数的右上角，本质上同一个东西：$e_2\mapsto c e_1\mapsto 0$。所有不可对角化的「最小损伤」都长这样——一维特征空间加一条一步到位的链。

记忆钩子（口诀） #

一步归位是特征，有限步归零是广义；
幂零就是人人都归零，$\lambda$ 取零最省事；
判定不用找 $m$：$\dim V$ 次幂一次算清。

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五、常见误区 #

$$T=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0\end{pmatrix}$$

左上块的特征值只有 $0$；右下块是 $90°$ 旋转 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$，在 $\mathbb{R}$ 上没有实特征值（它的特征多项式是 $z^2+1$）。
所以 $T$ 的实特征值只有 $0$——满足前提。但 $T$ 的幂中含旋转块的幂，
而 $R^2=-I$、$R^4=I$，永远不会变成零矩阵，故 $T$ 不幂零。
换个说法：把空间复化后，$T$ 还有 $\pm i$ 两个特征值，它们被实数域挡住了。
「特征值」这个词永远要问一句：在哪个域上数？

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六、拓展（可跳过） #

6.1 广义特征空间的维数 = 特征值的代数重数 #

3.5 的推论只给出 $\sum\dim G(\lambda_j,T)\le\dim V$。复数域上这个不等式其实是等式：

$$\mathbb{C}^n=G(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus G(\lambda_m,T),\qquad \dim G(\lambda_j,T)=\lambda_j\ \text{的代数重数}.$$

这就是「每个算子都能被广义特征向量张成」的定量版本（8.9 只说了存在这样的基）。证明要用到极小多项式的分解，放在 32 讲。

6.2 幂零让无穷级数变成有限和 #

若 $N^m=0$，那么几何级数在第 $m$ 项就断了：

$$(I-N)\big(I+N+N^2+\cdots+N^{m-1}\big)=I-N^m=I.$$

于是

$$(I-N)^{-1}=I+N+N^2+\cdots+N^{m-1}.$$

这条在数值线性代数里天天用：$I-N$ 一定可逆，逆可以显式写出，而且有限项。也解释了为什么「对角块 + 幂零块」这种分解在计算上友好——幂零部分可以当小量做展开。

6.3 一个数值上的警告 #

Jordan 形在理论上完美，在浮点计算里是灾难：广义特征向量对扰动极其敏感，一个亏损矩阵加上 $10^{-10}$ 的扰动，它的特征向量可能整组跳变。所以工程软件（LAPACK、MATLAB）算特征分解时给的是 Schur 形（上三角，正交相似），而不是 Jordan 形，理由正是这里的三角化不需要「凑链」。理论用 Jordan，计算用 Schur——两者的分工值得记一笔。

6.4 术语对照 #

同一个东西在不同文献里有不同叫法：广义特征向量 = generalized eigenvector = 根向量（root vector）= 主向量；广义特征空间 = 根子空间（root subspace）。俄文文献常写 присоединённый вектор（字面「附加向量」）。看清楚别名，读外文资料才不会以为遇到了新概念。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 设 $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 作用在 $\mathbb{F}^2$ 上。写出 $N$ 的全部广义特征向量，并指出哪些不是特征向量。

2. 设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda$ 是特征值。证明：$T$ 限制在 $G(\lambda,T)$ 上是幂零的「$\lambda I$ 加上一个幂零算子」，即 $(T-\lambda I)\big|_{G(\lambda,T)}$ 幂零。并说明这对 32 讲的意义。

3. 设 $\dim V=4$ 且 $T$ 幂零。$T^4=0$ 一定成立吗？$T^3=0$ 一定成立吗？各给理由或反例。

4. 举一个实向量空间上的算子：$0$ 是它唯一的实特征值，但它不是幂零的。

5. 设 $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$。求 $G(0,A)$，并求 $A$ 的幂零指数。

答案（点开）

1. $N^2=0$，故 $G(0,N)=\operatorname{null}N^2=\mathbb{F}^2$。所以所有非零向量都是广义特征向量。
其中是特征向量的只有 $N v=0$ 的那些，即 $(z,0)$，$z\neq 0$；
而 $(w,z)$ 在 $z\neq 0$ 时 $N(w,z)=(z,0)\neq 0$，它不是特征向量，但 $N^2(w,z)=0$。
顺便：$N$ 没有非零特征值，所以除 $\lambda=0$ 外没有广义特征向量可谈。

2. 记 $n=\dim V$，$S=(T-\lambda I)\big|_{G(\lambda,T)}$。对任何 $v\in G(\lambda,T)$，
由 $G$ 的定义 $(T-\lambda I)^nv=0$，于是 $S^n v=0$，即 $S^n=0$，$S$ 幂零。
意义：$T$ 在 $G(\lambda,T)$ 上等于 $\lambda I+S$（$\lambda I$ 是「对角部分」，$S$ 是「幂零部分」），
于是每个广义特征空间上的算子都被拆成「标量 + 幂零」两块。这正是 32 讲把整个算子
拆成 Jordan 块的技术支点——对角部分决定特征值，幂零部分决定链的长度。

3. $T^4=0$ 一定成立：由 3.6，$\dim V=4$ 时 $T^4=0$。
$T^3=0$ 不一定。反例：$T(z_1,z_2,z_3,z_4)=(z_2,z_3,z_4,0)$（把每个坐标往前挪一格，最后一格清零）。
这时 $e_4\mapsto e_3\mapsto e_2\mapsto e_1\mapsto 0$，于是 $T^3e_4=e_1\neq 0$，故 $T^3\neq 0$；
而 $T^4=0$，幂零指数正好是 $4=\dim V$。
这说明 3.6 的界是紧的，不能改进成 $\dim V-1$。

4. 取 $V=\mathbb{R}^4$，

$$T=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0\end{pmatrix}.$$

左上 $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ 的特征值只有 $0$；右下块是 $90°$ 旋转，特征多项式 $z^2+1$ 在 $\mathbb{R}$ 上无根。
所以唯一的实特征值是 $0$。但旋转块的幂满足 $R^2=-I$、$R^4=I$，永不为零，
故 $T^k\neq 0$ 对一切 $k$ 成立，$T$ 不幂零。（复化后 $T$ 还有 $\pm i$ 两个特征值，
正是它们让 3.7 (b) 失效。）

5. 先算幂：$Ae_3=e_2$，$A^2e_3=Ae_2=e_1$，$A^3e_3=0$，所以
$A^3=0$ 而 $A^2\neq 0$（因为 $A^2e_3=e_1\neq 0$）。幂零指数 $=3$。
于是 $G(0,A)=\operatorname{null}A^3=\mathbb{F}^3$，即整个空间都是广义特征空间
（幂零算子必然如此，见 2.5 的重述）。链的样子：$e_3\mapsto e_2\mapsto e_1\mapsto 0$，
末端 $e_1$ 是唯一的（一维）特征空间。

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八、复习卡 #

项	内容
广义特征向量	$v\neq 0$ 且 $\exists k\ge 1$：$(T-\lambda I)^kv=0$（$\lambda$ 为特征值）
一次判定	只需验 $(T-\lambda I)^{\dim V}v=0$，不必试所有 $k$
广义特征空间	$G(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I)^{\dim V}$
$G$ 是子空间	因为它是某线性映射的零空间
$G$ 是 $T$-不变	$(T-\lambda I)^n(Tv)=T\big((T-\lambda I)^nv\big)=0$
包含关系	$E(\lambda,T)\subseteq G(\lambda,T)$；$\lambda$ 非特征值则 $G=\{0\}$
零空间链	$\operatorname{null}T^0\subseteq\operatorname{null}T^1\subseteq\cdots$（只涨不缩）
相等就停	$\operatorname{null}T^m=\operatorname{null}T^{m+1}\Rightarrow$ 之后全相等
维数处停	$\operatorname{null}T^{\dim V}=\operatorname{null}T^{\dim V+1}=\cdots$
唯一性	一个广义特征向量只对应一个特征值
无关性	互异特征值的广义特征向量线性无关；故各 $G(\lambda,T)$ 之和是直和
幂零算子	$\exists m\ge 1$：$T^m=0$ $\iff$ 每个非零向量都是 $\lambda=0$ 的广义特征向量
幂零的界	$\dim V=n$ 时 $T^n=0$；界可取到（移位、求导）
幂零的特征值	只有 $0$（$\mathbb{C}$ 上反之亦真；$\mathbb{R}$ 上不成立）
幂零三等价	幂零 $\iff$ 极小多项式 $=z^m$ $\iff$ 某基下严格上三角
严格上三角	对角线及下方全 $0$；每作用一次往小编号坐标挪一格
最小原子	$\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}$：特征空间一维，$e_2$ 是广义特征向量
典型反例	$\dim V=4$：$T^4=0$ 必真，$T^3=0$ 未必

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主要依据：《线性代数应该这样学》（第 4 版，吴俊达、何阳 译）第 8 章 8A 节「广义特征向量和幂零算子」，印刷页码 p249–p256（PDF p263–p270）。对应编号：递增零空间序列 8.1、零空间序列中的等式 8.2、零空间停止增长 8.3、$V=\operatorname{null}T^n\oplus\operatorname{range}T^n$ 为 8.4、广义特征向量定义 8.8、广义特征向量构成基 8.9、例子 8.10、唯一对应特征值 8.11、线性无关 8.12、幂零定义 8.14、幂零例子 8.15、$n$ 次幂为零 8.16、幂零的特征值 8.17、极小多项式与上三角 8.18。
• 本讲的取舍：该节还证明了 $V=\operatorname{null}T^{\dim V}\oplus\operatorname{range}T^{\dim V}$（含一个 $3$ 维实例），本讲只在证明 8.9 时用到它的思想，为避免铺得太开未展开；它与幂零判定的关系（算子幂零 $\iff$ 直和不能提前到 $\dim V-1$ 步）可参见该节习题。
• 记号说明：广义特征空间记作 $G(\lambda,T)$ 是通行写法，含义即 $\operatorname{null}(T-\lambda I)^m$（$m$ 充分大）。定义「广义特征向量」时要求 $\lambda$ 已是特征值，这一点与有些教材的处理略有差别；本讲已说明此时该条件自动成立，不影响内容。
• 8.9 的适用范围：由广义特征向量构成基的结论在复数域上无条件成立；实数域上则要附加条件（极小多项式能分解成一次因子之积），这也是实数域与复数域最重要的分野之一。
• 矩阵出处：3.9 与 2.5(b) 的数值均按本讲给的矩阵逐项验算过（$A^2$、$A^3$ 已写出），可与原文例子对照。
• 向下延伸：Jordan 形与广义特征空间分解见 32 讲、33 讲；极小多项式见 18 讲；上三角矩阵见 19 讲；可对角化的等价条件见 20 讲。
• 术语别名：广义特征向量 = 根向量 = root vector = 主向量；广义特征空间 = 根子空间 = root subspace。俄文 присоединённый вектор，德文 Hauptvektor。名字不同，定义一致。