28 等距与矩阵分解

等距与矩阵分解 #

这讲讲什么：先刻画「完全不改变长度和角度」的线性映射（等距），再把任意算子拆成「一个等距 × 一个纯拉伸」（极分解），最后把同一件事落到矩阵上，得到 QR 分解。
前置：23 讲（规范正交基与 Gram–Schmidt）、25 讲（自伴算子）、26 讲（谱定理）、27 讲（正算子与 $\sqrt{T}$）
一句话：任意线性映射 = 一个「不改变形状」的等距 × 一个「只沿正交方向各自拉伸」的正算子。

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一、为什么需要它 #

到 27 讲为止，我们已经攒下三类「行为良好」的算子：自伴算子（$\langle Tv,v\rangle$ 总是实数）、正规算子（$T$ 与 $T^*$ 可交换）、正算子（$\langle Tv,v\rangle\ge 0$，因而有唯一的平方根）。

但还有一个方向没堵上：哪些算子一点都不改变形状？

这不是个好奇心的产物。想想你做过的所有「换基」操作。换到一组新基之后，矩阵变了，但如果新基是规范正交的，你会希望长度、角度、内积这些几何量一个都没被破坏——否则「正交投影」「最小二乘」这些在旧坐标下算出来的结论，换到新坐标就没法用了。能让换基前后内积完全不变的，只能是一类特殊的算子。它必须有名字，因为后面所有「坐标可以随便换」的说法，都靠它兜底。

反方向的问题更实际：一个乱七八糟的算子，能不能拆成几块能看懂的？

能。而且拆法只有两步。你早就见过它的标量版：

$$z=\frac{z}{|z|}\cdot |z|$$

任何非零复数都是一个「模长为 $1$ 的因子」乘一个「非负实数」。前者只负责转，后者只负责伸缩。矩阵也有完全一样的拆法：

$$T=S\sqrt{T^*T}$$

这里 $\sqrt{T^*T}$ 是正算子（只拉伸，方向不变），$S$ 是等距（只转不拉伸）。这一手叫极分解。名字里的「极」就是复数的极坐标那个「极」。

拆完之后还有个副产品。把 $T$ 写成矩阵 $A$，极分解对应的是 $A=QP$（$Q$ 正交/幺正，$P$ 正定）。如果把 $P$ 再拆一次——用 Cholesky 的思路拆成 $R^*R$——得到的是 $A=QR$。这就是 QR 分解：把一个矩阵写成一个「保持形状」的矩阵 $Q$ 和一个上三角矩阵 $R$ 的乘积。

QR 有三个立刻能兑现的用处：

• 解 $Ax=b$ 时先化成 $Rx=Q^*b$，$R$ 上三角，从下往上回代，不用做高斯消元；
• $Q$ 不放大误差（它保范数），所以数值上比消元法稳；
• 反复做 $A=QR$、$RQ=Q^*AQ$ 再分解，就是 QR 迭代——今天求特征值最常用的算法之一。

读完这一讲你应该能回答：

1. 「保范数」和「保内积」为什么是同一件事？
2. 等距的矩阵长什么样？为什么「行列式为 $\pm 1$」不够？
3. 极分解怎么手算一个 $2\times2$？$S$ 什么时候唯一？
4. Gram–Schmidt 和 QR 分解到底是什么关系？

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二、定义与最小例子 #

2.1 等距映射 #

定义：设 $S\in\mathcal{L}(V,W)$。若

$$\|Sv\|=\|v\|\qquad\text{对每个 }v\in V$$

则称 $S$ 是等距映射（isometry）。

「isometry」的字面意思是「度量相等」：isos 相等，metron 度量。所以它要求：进去多长，出来还多长。

2.2 三个最小例子 #

例 1（恒等）：$Iv=v$，显然 $\|Iv\|=\|v\|$。

例 2（旋转）：$\mathbb{R}^2$ 上逆时针转 $\theta$ 弧度，矩阵是

$$R_\theta=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$

它的两列是 $(\cos\theta,\sin\theta)$ 与 $(-\sin\theta,\cos\theta)$：长度都是 $1$，内积是 $-\cos\theta\sin\theta+\sin\theta\cos\theta=0$。第一列正是「$(1,0)$ 转到哪」，第二列是「$(0,1)$ 转到哪」——两个单位正交的箭头，转完还是两个单位正交的箭头，长度当然没变。

例 3（带符号的置换）：

$$\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$$

它把 $(x,y)$ 送到 $(-y,x)$，长度平方 $-y$ 与 $x$ 的平方和不变。这个矩阵就是 $\theta=90^\circ$ 的旋转。

不是等距的例子：$S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$。取 $v=(0,1)$，$\|v\|=1$，但 $Sv=(1,1)$，$\|Sv\|=\sqrt2$。长度被拉长了 $\sqrt2$ 倍——它剪切了，不是等距。

2.3 定义里每个字都在干什么 #

「线性」不是装饰。 保范数的映射如果不必线性，等距的定义会立刻废掉。比如 $\mathbb{R}$ 上的 $f(x)=|x|$：它保范数，但把 $1$ 和 $-1$ 都送到 $1$，正交性全毁了（$\langle 1,-1\rangle=-1$，而 $\langle 1,1\rangle=1$）。所以定义里必须先把线性写死，等距才有后面那些好性质。

只要求保范数，不要求保角。 妙就妙在：只要线性 + 保范数，保角是自动的。这条不是定义的一部分，是要证的（第三节 3.1）。

一个立刻能得的好处：等距必是单射。若 $Sv=0$，则 $\|v\|=\|Sv\|=\|0\|=0$，于是 $v=0$。

这推出一个常被忽略的结论：若 $S:V\to W$ 是等距，则 $\dim V\le\dim W$。因为单射线性映射把 $V$ 的基映成 $W$ 中长度相同的线性无关组。所以「把 $\mathbb{R}^3$ 等距地塞进 $\mathbb{R}^2$」是不可能的——没有这种映射存在，不是你没找到。

2.4 幺正算子与幺正矩阵 #

讨论完「到别的空间去」，我们把镜头收回到自身：$S\in\mathcal{L}(V)$。

定义：算子 $S\in\mathcal{L}(V)$ 称为幺正的（unitary），如果 $S$ 是可逆的等距映射。

于是有限维里可以干脆说：$V$ 上的等距就是幺正算子。但要注意「$V$ 上」这三个字——等距可以是 $V\to W$，幺正必须是 $V\to V$。

实空间的情形，幺正算子/矩阵有个更常用的名字：正交（orthogonal）。

矩阵版定义：$n\times n$ 矩阵 $Q$ 称为幺正的，如果它的列形成 $\mathbb{F}^n$ 中的规范正交组（$n$ 列、$n$ 维，所以其实是规范正交基）。

等价地，用共轭转置写：$Q^*Q=QQ^*=I$。实情形下 $Q^*=Q^{\mathsf T}$，条件就是 $Q^{\mathsf T}Q=QQ^{\mathsf T}=I$。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 等距 ⟺ 保内积 #

这是本讲的核心等价。两个方向里，一个平凡、一个要动笔。

保内积 ⟹ 保范数：取 $u=v$，$\langle Sv,Sv\rangle=\langle v,v\rangle$ 就是 $\|Sv\|=\|v\|$。一行。

保范数 ⟹ 保内积：用「把范数平方展开」这一招。设 $\|Sw\|=\|w\|$ 对所有 $w$ 成立。取 $w=u+v$：

$$\|S(u+v)\|^2=\|u+v\|^2$$

左边展开：

$$\begin{aligned}\|S(u+v)\|^2&=\|Su+Sv\|^2\\ &=\|Su\|^2+\|Sv\|^2+2\operatorname{Re}\langle Su,Sv\rangle\\ &=\|u\|^2+\|v\|^2+2\operatorname{Re}\langle Su,Sv\rangle\end{aligned}$$

右边展开：

$$\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle$$

两边一减：

$$\operatorname{Re}\langle Su,Sv\rangle=\operatorname{Re}\langle u,v\rangle \tag{3.1}$$

实空间到这里就完了（内积是实数，实部就是全部）。复空间还差虚部。技巧是把 $v$ 换成 $iv$ 再来一遍，因为 $S$ 线性：

$$\operatorname{Re}\langle Su,S(iv)\rangle=\operatorname{Re}\langle u,iv\rangle$$

而 $S(iv)=iSv$，于是左边等于 $\operatorname{Re}\big(\overline{i}\langle Su,Sv\rangle\big)=\operatorname{Re}\big(-i\langle Su,Sv\rangle\big)=\operatorname{Im}\langle Su,Sv\rangle$；右边同理等于 $\operatorname{Im}\langle u,v\rangle$。虚部也对上了，故

$$\langle Su,Sv\rangle=\langle u,v\rangle \tag{3.2}$$

3.2 等距 ⟺ 把规范正交基送到规范正交组 #

这条是「怎么检验」的答案，也是 QR 分解的入口。

设 $e_1,\dots,e_n$ 是 $V$ 的规范正交基。

（⟸） 假设 $Se_1,\dots,Se_n$ 是 $W$ 中的规范正交组。任取 $v\in V$，由 23 讲，$v$ 在规范正交基下有坐标：

$$v=\langle v,e_1\rangle e_1+\cdots+\langle v,e_n\rangle e_n$$

作用 $S$（线性）：

$$Sv=\langle v,e_1\rangle Se_1+\cdots+\langle v,e_n\rangle Se_n$$

因为 $Se_1,\dots,Se_n$ 是规范正交组，用 23 讲那条「规范正交组的范数平方等于系数模方和」（勾股定理的推广）：

$$\|Sv\|^2=|\langle v,e_1\rangle|^2+\cdots+|\langle v,e_n\rangle|^2$$

而右边正是 $\|v\|^2$。所以 $\|Sv\|=\|v\|$。

（⟹） 假设 $S$ 是等距。由 3.1，$S$ 保内积，于是

$$\langle Se_j,Se_k\rangle=\langle e_j,e_k\rangle=\begin{cases}1,&j=k\\ 0,&j\ne k\end{cases}$$

所以 $Se_1,\dots,Se_n$ 是规范正交组。$\square$

顺带一条算子语言的说法，它在推导里非常好用：

$$S\text{ 是等距}\iff S^*S=I \tag{3.3}$$

为什么？$S$ 是等距时，$\langle (I-S^*S)v,v\rangle=\|v\|^2-\langle S^*Sv,v\rangle=\|v\|^2-\|Sv\|^2=0$ 对一切 $v$ 成立。矩阵 $I-S^*S$ 自伴（25 讲），而自伴算子若 $\langle Tv,v\rangle$ 恒为 $0$ 只能是零算子，故 $S^*S=I$。反过来，$S^*S=I$ 时

$$\langle Su,Sv\rangle=\langle S^*Su,v\rangle=\langle u,v\rangle$$

即 $S$ 保内积。

3.3 矩阵语言：列规范正交 #

设 $S:V\to W$，$V$ 取规范正交基 $e_1,\dots,e_n$、$W$ 取规范正交基 $f_1,\dots,f_m$，矩阵 $A=\mathcal{M}(S)$。$A$ 的第 $k$ 列就是 $Se_k$ 关于 $f$ 的坐标。于是

$$A^*A=I\quad(\text{即 }A\text{ 的列规范正交})$$

具体地，$A$ 的第 $j$ 行第 $k$ 列记作 $A_{jk}$，则 $(A^*A)_{kr}=\sum_j \overline{A_{jk}}A_{jr}=\langle Se_k,Se_r\rangle$，所以「列规范正交」与「$S$ 是等距」是同一句话。

方阵版：$n\times n$ 的 $Q$ 幺正，等价于下列每条：

• 列规范正交；
• 行也规范正交（因为 $QQ^*=I$，转置回去就是同一件事）；
• $\|Qx\|=\|x\|$ 对每个 $x\in\mathbb{F}^n$ 成立；
• $Q^*Q=QQ^*=I$，即 $Q^{-1}=Q^*$。

最后一条值得单说：正交/幺正矩阵的逆，就是共轭转置。 求逆本来是 $O(n^3)$，取转置是免钱的。

3.4 极分解：$2\times2$ 完整手算 #

定理（极分解）：设 $T\in\mathcal{L}(V)$。则存在幺正算子 $S\in\mathcal{L}(V)$，使得

$$T=S\sqrt{T^*T} \tag{3.4}$$

为什么这个式子合理：$T^*T$ 是正算子（对任意 $v$，$\langle T^*Tv,v\rangle=\|Tv\|^2\ge 0$），所以它有唯一的正平方根 $\sqrt{T^*T}$（27 讲）。正算子只沿自己的特征方向各自伸缩，不转动；$S$ 是等距，只转不伸缩。于是 $T$ 的「动作」被拆成了「先沿正交方向拉，再整体转一下」。

把 $T$ 写成矩阵 $A$，这个式子就变成 $A=QP$，$Q$ 正交、$P$ 正定。

手算例。取

$$A=\begin{pmatrix}-1&-3\\3&1\end{pmatrix}$$

第一步：算 $A^*A$。

$$A^{\mathsf T}A=\begin{pmatrix}-1&3\\-3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&-3\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1+9&3+3\\3+3&9+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}$$

第二步：求特征值与特征向量。 特征多项式

$$\begin{vmatrix}10-\lambda&6\\6&10-\lambda\end{vmatrix}=(10-\lambda)^2-36=0$$

即 $10-\lambda=\pm 6$，$\lambda=16$ 或 $\lambda=4$。对应的单位特征向量：

$$u_1=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\ (\lambda=16),\qquad u_2=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\ (\lambda=4)$$

第三步：开根号 = 特征值开根号、特征向量不动（这就是正算子求平方根的全部内容）：

$$P=\sqrt{A^{\mathsf T}A}=4u_1u_1^{\mathsf T}+2u_2u_2^{\mathsf T}$$

注意 $u_1u_1^{\mathsf T}=\dfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，$u_2u_2^{\mathsf T}=\dfrac12\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$，于是

$$P=2\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}+1\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$$

第四步：验一下 $P^2=A^{\mathsf T}A$：

$$\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}9+1&3+3\\3+3&1+9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}\ ✓$$

$P$ 的特征值是 $4,2$ 都为正，所以它确实是那个正平方根。

第五步：求 $S=AP^{-1}$。 $\det P=9-1=8$，故

$$P^{-1}=\frac18\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}$$

$$\begin{aligned}S&=AP^{-1}=\frac18\begin{pmatrix}-1&-3\\3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}\\ &=\frac18\begin{pmatrix}-3+3&1-9\\9-1&-3+3\end{pmatrix}=\frac18\begin{pmatrix}0&-8\\8&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\end{aligned}$$

第六步：验。 $S$ 的两列 $(0,1)$、$(-1,0)$ 长度都是 $1$、内积为 $0$，所以 $S$ 是等距（其实是逆时针转 $90^\circ$）。再验乘积：

$$SP=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-3\\3&1\end{pmatrix}=A\ ✓$$

读这个结果：$A$ 的动作是「先沿 $(1,1)$ 方向拉 $4$ 倍、沿 $(1,-1)$ 方向拉 $2$ 倍，再整体逆时针转 $90^\circ$」。

三个自检，都能免算验证：

• $\det A=-1-(-9)=8$，而 $\det P=8$，$\det S=1$。一般地 $|\det A|=\det\sqrt{A^*A}$，因为等距的行列式模为 $1$。
• $\|\sqrt{T^*T}\,v\|=\|Tv\|$。这条恒等式一句话就能验：$\|\sqrt{T^*T}v\|^2=\langle T^*Tv,v\rangle=\|Tv\|^2$。它说明 $P$ 与 $T$ 的「拉伸力度」完全一致，$S$ 一步没有多拉。
• 若 $A$ 本身是正算子，则 $A^{\mathsf T}A=A^2$，$P=A$，$S=I$。极分解退化为平凡分解——这跟「正数 $z=|z|$ 时 $z/|z|=1$」是同一个现象。

补全：极分解的证明 #

上面只解释了「这个式子为什么合理」，还没证它一定存在。完整的证明要用到奇异值分解——而 SVD 在 29 讲才正式建立。这里先给出证明，读的时候把「SVD」当作 29 讲会给的工具；等读完 29 讲再回来看这一节最顺。

设已知（29 讲）：存在 $V$ 的两组规范正交基 $e_1,\dots,e_n$ 与 $f_1,\dots,f_n$，使得

$$Tv=\sum_{k=1}^{n}s_k\langle v,e_k\rangle f_k,\qquad s_k\ge 0$$

构造 $S$。 直接把 $e_k$ 送到 $f_k$：

$$Se_k=f_k,\qquad k=1,\dots,n$$

因为 $\{e_k\}$ 与 $\{f_k\}$ 都是规范正交基，把一组基送到另一组基唯一决定一个线性映射，且这个映射保长度（$\|Se_k\|=\|f_k\|=1$，基上保长度即处处保长度）——所以 $S$ 是等距（复情形即幺正）。

验证 $T=S\sqrt{T^*T}$。 先算 $T^*T$ 在 $e_k$ 上的作用。由 SVD 的表达式，

$$T^*w=\sum_{k=1}^{n}s_k\langle w,f_k\rangle e_k$$

于是 $T^*Te_k=s_kT^*f_k=s_k\cdot s_ke_k=s_k^2e_k$。所以 $e_k$ 是 $T^*T$ 的特征向量、特征值 $s_k^2$，因而

$$\sqrt{T^*T}\,e_k=s_ke_k$$

（这一步用正平方根在特征向量上的作用，27 讲。）两边同时作用 $S$：

$$S\sqrt{T^*T}\,e_k=S(s_ke_k)=s_kf_k$$

而由 SVD 的表达式，$Te_k=s_kf_k$。两组基上作用相同，故两个算子相等：

$$T=S\sqrt{T^*T}\qquad\blacksquare$$

3.5 $S$ 什么时候唯一 #

极分解里 $P=\sqrt{T^*T}$ 永远唯一（正平方根唯一，27 讲）。但 $S$ 不一定。

• $T$ 可逆时，$S$ 唯一：此时 $P$ 也可逆（3.4 那条恒等式给出 $\operatorname{null}P=\operatorname{null}T=\{0\}$），于是 $S=TP^{-1}$ 被逼死。
• $T$ 不可逆时，$S$ 有无穷多个：$P$ 在 $\operatorname{null}T$ 上作用为 $0$，那些方向上 $S$ 取什么都不影响 $SP$。例如

$$A=\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix},\quad P=\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}$$

而 $S_1=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ 与 $S_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$ 都是等距，且 $S_1P=S_2P=A$。两个不同的极分解，同一个 $A$。

所以「极分解的 $S$ 是唯一的」这句话，必须加条件。

3.6 QR 分解：$2\times2$ 完整手算 #

定理（QR 分解）：设 $A$ 是各列线性无关的方阵。则存在唯一一对矩阵 $Q,R$，其中 $Q$ 幺正、$R$ 上三角且对角线上全为正数，使

$$A=QR \tag{3.5}$$

证明的思路就一句话：对 $A$ 的列做 Gram–Schmidt，得到规范正交基 $e_1,\dots,e_n$，且满足

$$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)=\operatorname{span}(e_1,\dots,e_k)\qquad k=1,\dots,n \tag{3.6}$$

把 $Q$ 取成以 $e_1,\dots,e_n$ 为列，$R$ 取成 $R_{jk}=\langle v_k,e_j\rangle$。两个关键观察：

• $R$ 上三角：若 $j>k$，由 (3.6) 有 $v_k\in\operatorname{span}(e_1,\dots,e_k)$，而 $e_j$ 与前面这些全都正交，所以 $\langle v_k,e_j\rangle=0$。这正是「第 $k$ 列在第 $k$ 行以下全是 $0$」。
• 对角为正：Gram–Schmidt 里 $v_k$ 等于 $e_k$ 的正倍数加上 $e_1,\dots,e_{k-1}$ 的组合，所以 $\langle v_k,e_k\rangle>0$。

而 $QR$ 的第 $k$ 列是 $Q$ 各列按 $R$ 第 $k$ 列系数组合，即

$$\langle v_k,e_1\rangle e_1+\cdots+\langle v_k,e_k\rangle e_k=v_k$$

正好是 $A$ 的第 $k$ 列。唯一性由「满足 (3.6) 与正对角条件的规范正交组唯一」给出。

手算例。取

$$A=\begin{pmatrix}3&1\\4&1\end{pmatrix}$$

第一步：取列。 $v_1=(3,4)$，$v_2=(1,1)$。

第二步：归一化 $v_1$。 $\|v_1\|=\sqrt{9+16}=5$，所以

$$e_1=\left(\frac35,\frac45\right)$$

第三步：把 $v_2$ 沿 $e_1$ 的分量减掉。

$$\langle v_2,e_1\rangle=\frac35+\frac45=\frac75$$

$$v_2-\frac75e_1=(1,1)-\left(\frac{21}{25},\frac{28}{25}\right)=\left(\frac{4}{25},-\frac{3}{25}\right)$$

第四步：归一化。 范数 $\sqrt{\frac{16}{625}+\frac{9}{625}}=\frac{5}{25}=\frac15$，于是

$$e_2=\left(\frac45,-\frac35\right)$$

第五步：组装。

$$Q=\begin{pmatrix}\frac35&\frac45\\[2pt]\frac45&-\frac35\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}5&\frac75\\[2pt]0&\frac15\end{pmatrix}$$

第六步：验 $QR=A$。 逐元素：

• 左上：$\frac35\cdot5+\frac45\cdot0=3$ ✓
• 右上：$\frac35\cdot\frac75+\frac45\cdot\frac15=\frac{21}{25}+\frac{4}{25}=1$ ✓
• 左下：$\frac45\cdot5+\left(-\frac35\right)\cdot0=4$ ✓
• 右下：$\frac45\cdot\frac75+\left(-\frac35\right)\cdot\frac15=\frac{28}{25}-\frac{3}{25}=1$ ✓

再看两个行列式：$\det Q=-\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-1$（这是一个反射），$\det R=5\cdot\frac15=1$，$\det A=3-4=-1$。吻合。

这个分解怎么用来解方程。设要解 $Ax=b$，$b=(1,1)$。由 $A=QR$：

$$QRx=b\ \Longrightarrow\ Rx=Q^*b$$

（左乘 $Q^*$，用 $Q^*Q=I$。）算 $Q^*b=Q^{\mathsf T}b$：

$$Q^{\mathsf T}b=\begin{pmatrix}\frac35&\frac45\\\frac45&-\frac35\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac75\\[2pt]\frac15\end{pmatrix}$$

回代 $Rx=Q^{\mathsf T}b$：

$$\frac15x_2=\frac15\Rightarrow x_2=1;\qquad 5x_1+\frac75x_2=\frac75\Rightarrow x_1=0$$

$Ax=(1,1)$ 正好是第二列，答案 $x=(0,1)$ 对得上。

为什么 $R$ 长这样，一句话说清：$R$ 的第 $k$ 列是 $v_k$ 在新正交基下的坐标，而 $v_k$ 只用到 $e_1,\dots,e_k$——所以这一列从第 $k+1$ 行往下全是 $0$。上三角不是巧合，它是「第 $k$ 列不碰后面的新基」这件事的记账方式。而 $R$ 的对角元 $\langle v_k,e_k\rangle$，就是「把前 $k-1$ 个方向减干净之后，$v_k$ 还剩多长」。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 等距 = 刚体运动 #

等距不改变任何两点间的距离（$\|Su-Sv\|=\|u-v\|$），也不改变任何夹角。用物理的话说：它是刚体运动——整体平移、旋转、翻面，但绝不拉伸、不剪切。

在 $\mathbb{R}^n$ 里，正交矩阵正好对应这些动作：$\det Q=1$ 是纯旋转，$\det Q=-1$ 是旋转叠一次镜面反射。这也是为什么三维空间里「任何转动都能看成绕某根轴转一个角」——正交矩阵的不动方向给出那根轴。

4.2 极分解 = 先拉后转 #

记住这个式子：

$$T=\underbrace{S}_{\text{只转}}\underbrace{\sqrt{T^*T}}_{\text{只拉}}$$

阅读顺序是从右往左（矩阵作用在向量上）：先被 $\sqrt{T^*T}$ 沿一组正交方向各自拉伸，再被 $S$ 整体转一下。

这个顺序不能反。你能把任意矩阵拆成「先转后拉」，但那要用 $\sqrt{TT^*}$ 挂在左边（$T=\sqrt{TT^*}S'$），而且 $S'$ 与 $S$ 一般不是同一个算子。

对照复数极坐标：

复数	矩阵/算子
$z$	$T$
$\lvert z\rvert$	$\sqrt{T^*T}$（正算子，只伸缩）
$z/\lvert z\rvert$（在单位圆上）	$S$（幺正算子，只转）
$\lvert z\rvert=1$	$S^*S=I$
$\bar z$	$T^*$
$z=\bar z$（实数）	自伴算子

这张表是 25、26 讲就埋下的类比，到极分解这里才真正用上：「任意复数 = 单位圆上的点 × 非负实数」这条中学知识，就是极分解的模型。

4.3 QR = Gram–Schmidt 的账本 #

别把 QR 当新东西。它就是 Gram–Schmidt 的矩阵写法：

• $Q$ 记录的是过程的结果（把原基扶正后的那组规范正交基）；
• $R$ 记录的是过程的过程（每一步减掉了多少、剩下了多长）。

$R$ 的上三角结构，等价于那一串嵌套的等式

$$\operatorname{span}(v_1)\subset\operatorname{span}(v_1,v_2)\subset\cdots\subset\operatorname{span}(v_1,\dots,v_n)$$

「第 $k$ 步只用前 $k$ 个向量」——因果性。看到上三角，就该想到「有先后顺序」。

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五、常见误区 #

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六、拓展（可跳过） #

（1）幺正算子的特征值都在单位圆上。 若 $Sv=\lambda v$、$v\ne0$，则

$$|\lambda|\,\|v\|=\|\lambda v\|=\|Sv\|=\|v\|$$

所以 $|\lambda|=1$。这与「$z/|z|$ 模长为 $1$」完全对应。在复空间上还能更进一步：幺正算子有一组由特征向量组成的规范正交基，特征值全在单位圆上——也就是说，它在某个正交坐标系下就是一堆「各自转一个角」。这条是 26 讲复谱定理的直接推论（幺正算子是正规算子）。

（2）实正交矩阵的「旋转 + 反射」结构。 实正交矩阵的特征值只能是 $\pm1$ 或成对的 $e^{\pm i\theta}$。每个共轭对对应一个二维不变平面上的旋转 $\theta$，每个 $-1$ 对应一次镜面翻面。三维特殊情形就是欧拉定理：任何转动都是绕某根轴转一个角。（这条是从特征值性质外推的，本讲不展开。）

（3）Cholesky 分解靠 QR 证。 若 $B$ 正定，则存在唯一的上三角 $R$（对角为正）使

$$B=R^*R$$

证明只有三行：先把 $B$ 写成 $B=A^*A$（$A$ 可逆），对 $A$ 做 QR 得 $A=QR$，于是 $B=A^*A=R^*Q^*QR=R^*R$——$Q$ 幺正把 $Q^*Q$ 吃掉，只剩 $R^*R$。这正是「等距不改变形状」在代数上的兑现方式。

（4）数值上的意义。 解 $Ax=b$ 走 $Rx=Q^*b$，误差不被 $Q$ 放大（$\|Q^*y\|=\|y\|$），而高斯消元里的消元因子可能放大误差；这就是 QR 在数值线性代数里地位比消元法高的原因。QR 迭代（反复 $A_k=Q_kR_k$，$A_{k+1}=R_kQ_k$）则是求特征值的实用算法，也是「$QR$ 分解为什么值得单列一节」的真正理由。

（5）奇异值的前奏。 极分解里那个 $P=\sqrt{T^*T}$，它的特征值是 $s_1,\dots,s_n$——这就是奇异值（$T^*T$ 特征值的非负平方根，降序排列）。有了它，本讲所有结论都能改写成一句更锋利的话：

$$S\text{ 是等距}\iff S\text{ 的所有奇异值都等于 }1$$

因为 $S^*S=I$ 时 $S^*S$ 的特征值全是 $1$。反过来，奇异值全为 $1$ 意味着 $\|Sv\|=\|v\|$。于是「等距」在奇异值的语言里就是「放大倍数全部为 $1$」——29 讲会把这张图完整画出来（单位圆被映成椭圆，椭圆半轴长就是奇异值）。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. $Q=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 是正交矩阵吗？$\det Q$ 是多少？由此说明什么。

2. 求 $A=\begin{pmatrix}0&2\\-1&0\end{pmatrix}$ 的极分解 $A=SP$。

3. 设 $S:V\to W$ 是等距。证明 $\dim V\le\dim W$，并举一例说明 $S$ 不必是满射。

4. 求 $A=\begin{pmatrix}2&1\\2&-1\end{pmatrix}$ 的 QR 分解，并解释为什么这里的 $R$ 是对角矩阵。

5. 用第 4 题的分解解 $Ax=b$，其中 $b=(1,1)$。

答案（点开）

1. 不是。两列 $(1,0)$ 与 $(1,1)$：内积为 $1\ne0$，长度分别是 $1$ 与 $\sqrt2$。而 $\det Q=1$。
说明「行列式为 $\pm1$」对正交性只是必要不充分——它只管体积，不管剪切。

2. 先算

$$A^{\mathsf T}A=\begin{pmatrix}0&-1\\2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\-1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&4\end{pmatrix}$$

已是正对角，特征值 $1,4$，特征方向就是标准基。故 $P=\operatorname{diag}(1,2)$，$P^{-1}=\operatorname{diag}\left(1,\tfrac12\right)$。

$$S=AP^{-1}=\begin{pmatrix}0&2\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&\tfrac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$$

验：$S$ 的两列 $(0,-1)$、$(1,0)$ 规范正交 ✓；$SP=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\-1&0\end{pmatrix}=A$ ✓。
（$S$ 是顺时针 $90^\circ$ 旋转，与 $\det A=2$、$\det P=2$ 相符。）

3. $S$ 是等距 ⟹ $S$ 单射。取 $V$ 的一组基 $v_1,\dots,v_n$，单射线性映射把线性无关组映成线性无关组，故 $Sv_1,\dots,Sv_n$ 在 $W$ 中线性无关，长度 $n\le\dim W$。
不必满射的例子：$S(x,y)=(x,y,0)$，$V=\mathbb{R}^2$、$W=\mathbb{R}^3$，像只是 $xy$ 平面，$\dim V=2<3=\dim W$。

4. $v_1=(2,2)$，$\|v_1\|=2\sqrt2$，$e_1=\left(\tfrac{1}{\sqrt2},\tfrac{1}{\sqrt2}\right)$。
$v_2=(1,-1)$，$\langle v_2,e_1\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}-\tfrac{1}{\sqrt2}=0$——已经正交，不用减。
$\|v_2\|=\sqrt2$，$e_2=\left(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\right)$。于是

$$Q=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt2}\\[2pt]\tfrac{1}{\sqrt2}&-\tfrac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix},\qquad R=\begin{pmatrix}2\sqrt2&0\\0&\sqrt2\end{pmatrix}$$

$R$ 是对角阵，因为 $v_2$ 在 $e_1$ 上的分量为 $0$——即原始两列已经正交，Gram–Schmidt 没有「减」的动作，非对角元自然消失。
（验：$Q$ 右乘 $R$，第一列 $2\sqrt2\cdot e_1=(2,2)$ ✓，第二列 $\sqrt2\cdot e_2=(1,-1)$ ✓。）

5. $Rx=Q^{\mathsf T}b$：

$$Q^{\mathsf T}b=\begin{pmatrix}\tfrac{1}{\sqrt2}&\tfrac{1}{\sqrt2}\\\tfrac{1}{\sqrt2}&-\tfrac{1}{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sqrt2\\0\end{pmatrix}$$

回代：$\sqrt2\,x_2=0\Rightarrow x_2=0$；$2\sqrt2\,x_1=\sqrt2\Rightarrow x_1=\tfrac12$。
验：$A\left(\tfrac12,0\right)=\left(1,1\right)=b$ ✓。

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八、复习卡 #

项	内容
等距定义	$\|Sv\|=\|v\|$ 对一切 $v\in V$（$\mathcal{L}(V,W)$）
立即可得	等距必单射；故 $\dim V\le\dim W$
核心等价	保范数 $\iff$ 保内积 $\iff S^*S=I$ $\iff$ 把规范正交基送到规范正交组
保内积的推导	展开 $\|S(u+v)\|^2$ 得实部；把 $v$ 换成 $iv$ 得虚部
幺正算子	可逆的等距（$V\to V$）；有限维下「可逆」可删
幺正矩阵	列（等价地：行）规范正交；$Q^*Q=QQ^*=I$；$Q^{-1}=Q^*$
实情形别名	正交算子 / 正交矩阵（$Q^{\mathsf T}Q=I$）
矩形矩阵	$A^*A=I$（单射保范）与 $AA^*=I$（满射保范）不等价
极分解	$T=S\sqrt{T^*T}$；$S$ 幺正，$\sqrt{T^*T}$ 正
极分解的来源	复数 $z=(z/\lvert z\rvert)\lvert z\rvert$ 的矩阵版
$P$ 唯一吗	唯一（正平方根唯一）；$S$ 在 $T$ 可逆时唯一，$T$ 奇异时有无穷多
恒等式	$\lVert\sqrt{T^*T}v\rVert=\lVert Tv\rVert$；$\lvert\det T\rvert=\det\sqrt{T^*T}$
QR 分解	列线性无关时 $A=QR$ 唯一；$Q$ 幺正，$R$ 上三角、对角为正
QR 怎么算	对 $A$ 的列做 Gram–Schmidt；$Q$ 的列 = 结果，$R_{jk}=\langle v_k,e_j\rangle$
R 为什么上三角	$\operatorname{span}(v_1..v_k)=\operatorname{span}(e_1..e_k)$，故 $j>k$ 时 $\langle v_k,e_j\rangle=0$
QR 解方程	$Ax=b\Rightarrow Rx=Q^*b$，再回代
对角为正的作用	锁住符号自由度（排除 $(-Q)(-R)$），保证唯一
向前看	$\sqrt{T^*T}$ 的特征值 = 奇异值；等距 $\iff$ 全部奇异值 $=1$（见 29 讲）

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 本讲主体：等距映射的定义与五条等价刻画、幺正算子与幺正矩阵、QR 分解及其 $3\times3$ 算例，见《线性代数应该这样学》（第四版，吴俊达、何阳译）第 7 章 7D 节，印刷页码 p214–222。
• 极分解：同一部书 7F 节「极分解」，印刷页码 p237–238（定义 7.93）。它的证明借助奇异值分解，与历史顺序相反——极分解更早被提出，现在反过来当推论。
• 奇异值的定义与例：7E 节，印刷页码 p224–226（定义 7.65，等距由「所有奇异值等于 1」刻画在 p226 前后）。
• Cholesky 分解：7D 节末，印刷页码 p220–222（定理 7.63），证明确实依赖 QR 的唯一性。
• 术语别名：等距映射 = isometry；幺正算子 = unitary operator，实情形常称正交变换/正交算子；幺正矩阵 = unitary matrix，实情形常称正交矩阵；极分解 = polar decomposition；QR 分解 = QR factorization（有的书写 QL、RQ，方向不同，内容同类）；Cholesky 分解 = 平方根法。
• 想深挖：数值线性代数教材（Golub & Van Loan 一类）会讲 QR 的 Householder / Givens 实现，与 Gram–Schmidt 的数值稳定性差别很明显（经典 Gram–Schmidt 会丢失正交性，需要修正版或 Householder 反射）。这一层本讲不涉及。
• 历史注记：Cholesky 分解由 André-Louis Cholesky（1875–1918）发现，他去世后于 1924 年发表；QR 分解的现代数值形式则与 1950 年代电子计算机上的特征值计算需求直接相关。