22 内积与范数

内积与范数 #

这讲讲什么：给向量空间再加一层结构——内积。有了它，向量才有长度、有夹角、能谈垂直，也才证得出那条支配整个数学的不等式。
前置：02 讲的向量空间定义、06 讲的基与维数；13 讲开头给过的复数共轭与绝对值
一句话：范数不是公理，是内积的副产品；所有关于长度的定理，最后都归到 $\langle u,\cdot\rangle$ 的线性上。

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一、为什么需要它 #

前 21 讲我们手上只有两样东西：加法与标量乘法。由此长出线性组合、张成、线性无关、基、维数、线性映射、矩阵、特征值——整套理论只管结构，不管距离。

这带来一个具体的不便。取 $\mathbb{R}^2$ 的两个向量

$$u=(1,0),\qquad v=(0,1)$$

它们线性无关，这一点我们早就会判断了。但它们「垂直」吗？「一样长」吗？「谁离原点更近」？在 02 讲的框架里，这三个问题根本没有意义——向量空间的定义里没有任何一样东西能提供比较的尺度。

你可能会说：长度不是现成的吗，$\|x\|=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}$。对，但请注意两件事。

第一，这个公式对高维没有解释力。 它为什么长这样？为什么 $\mathbb{R}^3$ 里是「平方和开根」，而不是 $|x_1|+|x_2|+|x_3|$？如果换一组基，它还成立吗？光看公式答不出来。

第二，它不线性。 这才是真麻烦。$\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$ 只能算「齐次」，而

$$\|x+y\|\neq\|x\|+\|y\|$$

一般地不成立：取 $x=(1,0)$、$y=(0,1)$，左边是 $\sqrt2$，右边是 $2$。长度这个量天生不线性，可前 21 讲积累的全部工具——线性组合、基、矩阵、特征值——都是线性的。范数落在工具射程之外。

出路只有一条：别直接研究长度，先研究一个线性的对象，让长度从它派生出来。

那个对象就是点积。在 $\mathbb{R}^n$ 上

$$x\cdot y=x_1y_1+\cdots+x_ny_n$$

它对每个位置都线性：

$$(x+x')\cdot y=x\cdot y+x'\cdot y,\qquad (\lambda x)\cdot y=\lambda(x\cdot y)$$

而长度正藏在它里面：

$$\|x\|^2=x\cdot x$$

「平方」这一步，把非线性的问题拽回了线性世界。这一讲要做的，就是把点积从 $\mathbb{R}^n$ 的具体公式里抽出来，变成任何向量空间都能安装的一层结构——内积。

读完这一讲，你应该能回答：

1. 内积的五条公理里，哪一条是为了让复空间也能用才变复杂的？
2. Cauchy–Schwarz 不等式的等号条件为什么偏偏是「成比例」？
3. $\langle u,v\rangle=0$ 与 $\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$ 真的无条件等价吗？

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二、定义与最小例子 #

2.1 定义 #

设 $V$ 是数域 $\mathbb{F}$（$\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$）上的向量空间。$V$ 上的内积是一个函数，把每个有序对 $(u,v)$ 对应到一个数 $\langle u,v\rangle\in\mathbb{F}$，并满足下面五条：

① 正性（positivity）

$$\langle v,v\rangle\ge 0\quad\text{对所有 }v\in V$$

② 定性（definiteness）

$$\langle v,v\rangle=0\iff v=0$$

③ 第一个位置上的可加性

$$\langle u+v,w\rangle=\langle u,w\rangle+\langle v,w\rangle\quad\text{对所有 }u,v,w\in V$$

④ 第一个位置上的齐次性

$$\langle\lambda u,v\rangle=\lambda\langle u,v\rangle\quad\text{对所有 }\lambda\in\mathbb{F},\ u,v\in V$$

⑤ 共轭对称性

$$\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}\quad\text{对所有 }u,v\in V$$

装了内积的向量空间，称为内积空间。

2.2 逐条读一遍 #

①② 一起看：它们说的其实是同一件事的两半。① 说 $\langle v,v\rangle$ 这个数落在非负实数里（注意：即使 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$，内积也可能取复数值，但自己和自己的内积永远是实数）；② 说它只有在 $v=0$ 时才取到 $0$。合起来就是「$\langle v,v\rangle$ 像长度的平方」——非负，且只有零向量长度为零。

③④ 一起看：它们说的是「第一个位置是线性的」。注意是第一个，不是两个都线性——⑤ 会让第二个位置变成共轭线性，这一点第三节要单独算。

⑤：交换两个位置，结果取复共轭。若 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$，每个实数都等于自己的共轭，所以 ⑤ 直接退化成对称性

$$\langle u,v\rangle=\langle v,u\rangle$$

也就是说，实空间的内积是对称的双线性型；复空间的内积是「一个位置线性、另一个位置共轭线性」的半双线性型。第三条「真的等价吗」这个问题，答案的分水岭就在这里。

2.3 最小例子：$\mathbb{R}^2$ 上的欧几里得内积 #

$$\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1y_1+x_2y_2$$

手算一个：取 $u=(1,2)$、$v=(3,-1)$，则

$$\langle u,v\rangle=1\cdot3+2\cdot(-1)=1$$

而 $\langle v,u\rangle=3\cdot1+(-1)\cdot2=1$，相等（实空间，符合 ⑤ 的退化形式）。

回看五条：① $\langle u,u\rangle=x_1^2+x_2^2\ge0$ ✓；② 平方和为零当且仅当两个分量都为零 ✓；③④ 展开即得，是分配律 ✓；⑤ 乘法可交换 ✓。

2.4 更多例子：同一个空间可以装不同的内积 #

以下每个都是货真价实的内积，建议逐个验证「哪一条最容易漏」。

(a) $\mathbb{F}^n$ 上的欧几里得内积

$$\langle (w_1,\dots,w_n),(z_1,\dots,z_n)\rangle=w_1\overline{z_1}+\cdots+w_n\overline{z_n}$$

当 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 时共轭无作用，就是普通的点积。当 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时，共轭必须有——否则 $\langle z,z\rangle=\sum z_k^2$ 可能是复数，① 就无法成立。

(b) 加权内积：取定正数 $c_1,\dots,c_n$，

$$\langle (w_1,\dots,w_n),(z_1,\dots,z_n)\rangle=c_1w_1\overline{z_1}+\cdots+c_nw_n\overline{z_n}$$

五条全部照抄 (a) 的验证，只在 ② 处多一句「$c_k>0$ 所以 $c_k|z_k|^2$ 之和为零当且仅当每个 $z_k=0$」。这一个例子就说明：内积不是唯一的，$\mathbb{F}^n$ 上装了不同内积就是不同的内积空间。

(c) 连续函数空间上的积分内积：设 $V$ 是 $[-1,1]$ 上全体连续实值函数，

$$\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}fg$$

③④ 是积分的线性，⑤ 是乘法可交换。真正要动脑的是 ②：若 $\int_{-1}^{1}f^2=0$，能否推出 $f\equiv0$？

能，但要靠连续性。若某个 $x_0$ 处 $f(x_0)\neq0$，则 $f^2$ 在 $x_0$ 的一个小邻域上有正下界，积分就严格大于零，矛盾。所以 $f$ 处处为零。

(d) 多项式空间 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 上的内积

$$\langle p,q\rangle=p(0)q(0)+\int_{-1}^{1}p'q'$$

② 的验证：$\langle p,p\rangle=p(0)^2+\int (p')^2=0$ 意味着一项一项为零，故 $p(0)=0$ 且 $p'=0$。$p'$ 恒为零说明 $p$ 是常数，再由 $p(0)=0$ 得 $p\equiv0$。✓

(e) 带权指数衰减的内积

$$\langle p,q\rangle=\int_0^{\infty}p(x)q(x)e^{-x}\,dx$$

② 的验证：被积函数非负，积分为零说明 $p^2e^{-x}$ 在 $[0,\infty)$ 上处处为零（同样用连续性），而 $e^{-x}>0$，故 $p\equiv0$。这里正性由「被积函数非负」直接给出，定性由「多项式若在一段区间上为零则恒为零」给出。

2.5 内积空间的定义与约定 #

带内积的向量空间叫内积空间。最重要的是 $\mathbb{F}^n$ 配欧几里得内积；以后说「$\mathbb{F}^n$ 是内积空间」，除非另行声明，指的都是这个内积。

这里有个轻微的术语滥用要点明：内积空间 = 向量空间 + 一个指定的内积。同一个向量空间换上另一个内积，就是另一个内积空间。说「$V$ 是内积空间」时，那个内积要么隐含、要么由上下文唯一确定。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 展开公式：一切的起点 #

先算一个反复要用的式子。对任意 $u,v\in V$，

$$\begin{aligned}\|u+v\|^2&=\langle u+v,u+v\rangle\\&=\langle u,u\rangle+\langle u,v\rangle+\langle v,u\rangle+\langle v,v\rangle\\&=\|u\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2\end{aligned}$$

第一步用了 ③（第一个位置可加），第三步用了 ⑤ 把 $\langle v,u\rangle$ 换成 $\overline{\langle u,v\rangle}$，而一个复数加自己的共轭等于它的实部的两倍。

3.2 第二个位置是共轭线性的 #

定义只要求第一个位置线性，第二个位置的行为要推出来。

可加性：

$$\begin{aligned}\langle u,v+w\rangle&=\overline{\langle v+w,u\rangle}\\&=\overline{\langle v,u\rangle+\langle w,u\rangle}\\&=\overline{\langle v,u\rangle}+\overline{\langle w,u\rangle}\\&=\langle u,v\rangle+\langle u,w\rangle\end{aligned}$$

共轭齐次性：

$$\begin{aligned}\langle u,\lambda v\rangle&=\overline{\langle\lambda v,u\rangle}\\&=\overline{\lambda\langle v,u\rangle}\\&=\overline{\lambda}\,\overline{\langle v,u\rangle}\\&=\overline{\lambda}\langle u,v\rangle\end{aligned}$$

顺带得到两条常用结论：对每个 $v$，$\langle 0,v\rangle=0$（因为 $u\mapsto\langle u,v\rangle$ 是线性的，线性映射把 $0$ 送到 $0$），以及 $\langle v,0\rangle=\overline{\langle 0,v\rangle}=\overline 0=0$。

3.3 正交分解（一个构造，后面全靠它） #

问题：给定 $u,v$，且 $v\neq0$，能不能把 $u$ 拆成「$v$ 的标量倍」加上「与 $v$ 正交的一块」？

试着拆：对任意标量 $c$，恒有

$$u=cv+(u-cv)$$

现在只需要选 $c$，让第二块与 $v$ 正交：

$$0=\langle u-cv,v\rangle=\langle u,v\rangle-c\langle v,v\rangle$$

（第二个等号用了第一个位置的线性和齐次性。）于是

$$c=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}$$

分母 $\|v\|^2\neq0$ 正是因为 $v\neq0$（由定性）。代回去：

$$u=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v+w,\qquad w=u-\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v,\qquad \langle w,v\rangle=0$$

这就是正交分解。$cv$ 叫 $u$ 在 $v$ 方向上的投影，$w$ 叫残差。24 讲会用这个构造做最小化问题，23 讲会用它做 Gram–Schmidt，其源头都在这里。

3.4 Cauchy–Schwarz 不等式（完整证明） #

定理：设 $u,v\in V$，则

$$|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|$$

等号成立当且仅当 $u,v$ 成标量倍数关系。

证明

若 $v=0$，左边 $|\langle u,0\rangle|=0$，右边 $\|u\|\cdot0=0$，两端相等，结论成立。以下设 $v\neq0$。

用 3.3 的正交分解

$$u=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v+w,\qquad \langle w,v\rangle=0$$

先确认两块互相正交：

$$\left\langle\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v,\ w\right\rangle=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}\langle v,w\rangle=0$$

（第一块是 $w$ 的标量倍，$\langle v,w\rangle=\overline{\langle w,v\rangle}=\overline 0=0$。）

于是可以对这两块用毕达哥拉斯定理（它的证明见 3.6，且只用到展开公式，没有循环论证）：

$$\begin{aligned}\|u\|^2&=\left\|\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v\right\|^2+\|w\|^2\\&=\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^4}\|v\|^2+\|w\|^2\\&=\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^2}+\|w\|^2\\&\ge\frac{|\langle u,v\rangle|^2}{\|v\|^2}\end{aligned}\tag{3.1}$$

两边乘 $\|v\|^2>0$，得

$$|\langle u,v\rangle|^2\le\|u\|^2\|v\|^2$$

再开平方（两边都非负）即得

$$|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|$$

等号条件：由 (3.1)，等号成立当且仅当 $\|w\|=0$，由定性当且仅当 $w=0$，即

$$u=\frac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v$$

也就是 $u$ 是 $v$ 的标量倍。反过来，若 $u=cv$，直接计算：

$$|\langle cv,v\rangle|=|c|\,\|v\|^2,\qquad \|cv\|\,\|v\|=|c|\,\|v\|^2$$

两端相等。再补上 $v=0$ 的情形：此时 $u$ 是 $v$ 的标量倍、$v$ 也是 $u$ 的标量倍，两端仍相等。合起来就是「$u,v$ 成标量倍数关系」。$\blacksquare$

两个具体形态：

(i) 对实数 $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$，

$$\left(\sum_{k=1}^{n}x_ky_k\right)^2\le\left(\sum_{k=1}^{n}x_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}y_k^2\right)$$

就是从 $\mathbb{R}^n$ 的欧几里得内积直接抄下来的。

(ii) 对 $[-1,1]$ 上的连续实值函数，

$$\left|\int_{-1}^{1}fg\right|^2\le\left(\int_{-1}^{1}f^2\right)\left(\int_{-1}^{1}g^2\right)$$

就是从例 2.4 (c) 抄下来的。

同一个不等式，两副面孔。这正是「把点积抽象成内积」的回报：证一次，处处通用。

3.5 三角不等式 #

定理：设 $u,v\in V$，则

$$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$$

证明：由 3.1 的展开公式，

$$\begin{aligned}\|u+v\|^2&=\|u\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2\\&\le\|u\|^2+2|\langle u,v\rangle|+\|v\|^2\\&\le\|u\|^2+2\|u\|\,\|v\|+\|v\|^2\\&=(\|u\|+\|v\|)^2\end{aligned}$$

第二行用了 $\operatorname{Re}z\le|z|$，第三行用了 Cauchy–Schwarz。两边开平方即得。$\blacksquare$

等号条件：要两处同时取等。第一处要求 $\operatorname{Re}\langle u,v\rangle=|\langle u,v\rangle|$，即 $\langle u,v\rangle$ 是非负实数；第二处要求 C–S 取等，即 $u,v$ 成标量倍数关系。合起来：那个标量必须是非负实数。

反向三角不等式（常用）：由 $u=(u-v)+v$ 的三角不等式得 $\|u\|\le\|u-v\|+\|v\|$，即 $\|u\|-\|v\|\le\|u-v\|$；交换 $u,v$ 再取绝对值：

$$\big|\,\|u\|-\|v\|\,\big|\le\|u-v\|$$

它的意思是：两个向量的长度差，不会超过它们的距离。这也是「长度是连续函数」的定量版本。

3.6 毕达哥拉斯定理，以及它的逆命题 #

定理：若 $\langle u,v\rangle=0$，则

$$\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$$

证明：由 3.1，$\|u+v\|^2=\|u\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2$，而 $\langle u,v\rangle=0$ 时 $\operatorname{Re}\langle u,v\rangle=0$。$\blacksquare$

一行就完了。但逆命题要小心，它正是第三个问题的答案。

实空间的情形：若 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$，$\operatorname{Re}\langle u,v\rangle$ 就是 $\langle u,v\rangle$，于是

$$\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2\iff\langle u,v\rangle=0$$

无条件等价。这就是为什么「垂直 $\iff$ 勾股定理成立」在平面几何里天经地义。

复空间的情形：等价关系只到

$$\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2\iff\operatorname{Re}\langle u,v\rangle=0$$

为止。$\operatorname{Re}\langle u,v\rangle=0$ 比 $\langle u,v\rangle=0$ 弱。反例在 $\mathbb{C}^2$ 里（用 2.4 (a) 的内积）：取

$$u=(1,0),\qquad v=(i,0)$$

$$\langle u,v\rangle=1\cdot\overline{i}+0\cdot\overline{0}=-i\neq0$$

但 $\operatorname{Re}(-i)=0$，于是

$$\|u+v\|^2=\|(1+i,0)\|^2=|1+i|^2=2=1+1=\|u\|^2+\|v\|^2$$

勾股定理成立，两个向量却不正交。

顺带：平行四边形等式。把 $u+v$ 与 $u-v$ 的平方同时展开相加，

$$\begin{aligned}\|u+v\|^2+\|u-v\|^2&=\big(\|u\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2\big)\\&\quad+\big(\|u\|^2-2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2\big)\\&=2\big(\|u\|^2+\|v\|^2\big)\end{aligned}$$

交叉项正好抵消。这条恒等式不含内积，只含范数，它刻画的正是「这个范数是不是从某个内积来的」——第六节会用到。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 把内积看成「投影 × 长度」 #

在 $\mathbb{R}^2$ 里，若 $u,v$ 都是单位向量、夹角为 $\theta$，则

$$\langle u,v\rangle=\cos\theta$$

一般的 $u,v$（非零）则有

$$\langle u,v\rangle=\|u\|\,\|v\|\cos\theta$$

于是 Cauchy–Schwarz 变成了一个初等事实：余弦的绝对值不超过 $1$。

这个读法给出三条好用的直觉：

• 内积的符号告诉你夹角是锐角还是钝角。$\langle u,v\rangle>0$ 锐角，$<0$ 钝角，$=0$ 直角。
• 内积的大小（相对范数而言）告诉你「投影有多长」。固定 $\|u\|$，当 $v$ 方向不变、长度翻倍时，内积也翻倍——因为投影的「影子长度」乘上了 $v$ 的尺子。
• $\langle u,v\rangle=0$ 就是「影子长度为零」，即 $u$ 在 $v$ 上没有任何分量。

4.2 高维的角度是定义出来的，不是画出来的 #

$\mathbb{R}^2$、$\mathbb{R}^3$ 可以画图。$\mathbb{R}^{100}$ 不能。但非零向量 $x,y$ 的夹角照样可以定义：

$$\theta=\arccos\frac{\langle x,y\rangle}{\|x\|\,\|y\|}$$

这个定义有意义的唯一理由就是 Cauchy–Schwarz：它保证分数落在 $[-1,1]$ 里，$\arccos$ 才有定义。

4.3 两个记忆钩子 #

钩子一：「先平方」。

长度的一切麻烦都来自根号。遇到 $\|u+v\|$，立刻改写为 $\|u+v\|^2$ 并展开成内积。这一招能解决 90% 的范数题。

钩子二：「第一个位置直，第二个位置反」。

• $\langle \lambda u,v\rangle=\lambda\langle u,v\rangle$（直的，无横杠）
• $\langle u,\lambda v\rangle=\overline{\lambda}\langle u,v\rangle$（反的，有横杠）
• 实空间里两者看不出差别，所以初学用 $\mathbb{R}^n$ 练手不会暴露问题，换到 $\mathbb{C}$ 才翻车。

钩子三（图像）：把 $u$ 想成一支箭，$v$ 想成一束光的方向。$u$ 在这束光下的影子就是 $\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v$，剩余部分 $w$ 与光线平行方向垂直。正交分解 = 把箭拆成「顺着光」和「背着光」两段。在草稿纸上画一个直角三角形：斜边是 $u$，一条直角边是投影 $\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v$，另一条是 $w$。Cauchy–Schwarz 说的就是——斜边不会短于那条投影边。这张图你自己画一遍，比看任何插图都管用。

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五、常见误区 #

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六、拓展（可跳过） #

6.1 极化恒等式：从范数反推内积 #

范数是内积派生的。反过来，内积能不能由范数算出来？在实空间里可以：

$$\langle u,v\rangle=\frac{\|u+v\|^2-\|u-v\|^2}{4}$$

把 3.1 的展开公式代进去，右边是 $\dfrac{4\langle u,v\rangle}{4}$，恰好还原。

这条式子有两层意思。第一，实内积空间里「内积」与「范数」是同一个信息的两种编码，谁都不能多给一点东西。第二，它给了范数一个可检验的指纹：如果某个范数来自内积，它必须满足平行四边形等式（3.6 已算），而平行四边形等式又足以造出内积——事实上可以证明：

一个范数来自某个内积，当且仅当它满足平行四边形等式。

这条结论的完整证明（用极化恒等式定义 $\langle\cdot,\cdot\rangle$，再逐条验证五条公理）超出本讲范围，但结论值得记住：平行四边形等式是「内积范数」的身份证。

6.2 一个漂亮的应用：正交 $\iff$ 范数对一切扰动都不减 #

证明下面的等价关系：

$$\langle u,v\rangle=0\iff\text{对所有 }a\in\mathbb{F},\ \|u\|\le\|u+av\|$$

充分性：若 $\langle u,v\rangle=0$，则由勾股定理

$$\|u+av\|^2=\|u\|^2+\|av\|^2\ge\|u\|^2$$

必要性：设 $\langle u,v\rangle\neq0$。用展开公式，

$$\|u+av\|^2=\|u\|^2+2\operatorname{Re}\big(a\langle u,v\rangle\big)+|a|^2\|v\|^2$$

新添的两项里，第一项关于 $a$ 是一次的、第二项是二次的。只要 $a$ 足够小，一次项就压过二次项。具体地，取 $a=-t\,\overline{\langle u,v\rangle}$（$t>0$ 很小），则 $\operatorname{Re}(a\langle u,v\rangle)=-t|\langle u,v\rangle|^2$，于是

$$\|u+av\|^2=\|u\|^2-2t|\langle u,v\rangle|^2+t^2|\langle u,v\rangle|^2\|v\|^2<\|u\|^2$$

（当 $0<t<\dfrac{2}{\|v\|^2}$ 时）矛盾。

6.3 均值的平方不超过平方的均值 #

取 $\mathbb{R}^n$ 上两个特殊向量：$x=(a_1,\dots,a_n)$ 与 $y=(1,\dots,1)$。Cauchy–Schwarz 给出

$$\left(\sum_{k=1}^{n}a_k\right)^2\le\left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\cdot n$$

两边除以 $n^2$：

$$\left(\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)^2\le\frac{a_1^2+\cdots+a_n^2}{n}$$

左边是「均值的平方」，右边是「平方的均值」。等号成立当且仅当 $y$ 是 $x$ 的倍数，即 $a_1=\cdots=a_n$。

一条统计里天天用的不等式，在 C–S 里只是一次代入。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 在 $\mathbb{R}^2$ 上定义 $\langle (x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=2x_1y_1+3x_2y_2$。验证它是内积，并求 $\|(1,1)\|$ 与 $\langle(1,1),(2,-1)\rangle$。

2. 在 $[-1,1]$ 上的连续实值函数空间中用 $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}fg$。取 $f(x)=1$、$g(x)=x$。求 $\|f\|$、$\|g\|$、$\langle f,g\rangle$，它们正交吗？

3. 用 Cauchy–Schwarz 证明：对任意实数 $a,b$，有 $(a+b)^2\le2(a^2+b^2)$，并指出等号成立的条件。

4. 设 $\|u\|=3$、$\|u+v\|=4$、$\|u-v\|=6$，求 $\|v\|$。

5. 设 $V$ 是实内积空间。证明：$\langle u,v\rangle=0$ 当且仅当对所有 $a\in\mathbb{R}$ 都有 $\|u\|\le\|u+av\|$。

答案（点开）

1. ① $\langle(x_1,x_2),(x_1,x_2)\rangle=2x_1^2+3x_2^2\ge0$ ✓；
② 上式为零当且仅当 $x_1=x_2=0$（因系数 $2,3>0$）✓；
③④ 展开即得，两个分量各自线性 ✓；
⑤ 乘法可交换 ✓。所以是内积。
$\|(1,1)\|=\sqrt{2\cdot1+3\cdot1}=\sqrt5$；
$\langle(1,1),(2,-1)\rangle=2\cdot1\cdot2+3\cdot1\cdot(-1)=4-3=1$。

2. $\|f\|^2=\int_{-1}^{1}1\,dx=2$，故 $\|f\|=\sqrt2$。
$\|g\|^2=\int_{-1}^{1}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}=\frac23$，故 $\|g\|=\sqrt{\frac23}$。
$\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}x\,dx=0$。正交。
旁证：C–S 给出 $0\le\sqrt2\cdot\sqrt{2/3}=\frac{2}{\sqrt3}$，成立（且等号不成立，符合「不成比例」）。

3. 取 $\mathbb{R}^2$ 上的欧几里得内积，令 $x=(a,b)$、$y=(1,1)$。C–S：
$|\langle x,y\rangle|^2\le\|x\|^2\|y\|^2$，即 $(a+b)^2\le(a^2+b^2)\cdot2$。
等号成立当且仅当 $(a,b)$ 是 $(1,1)$ 的标量倍，即 $a=b$。

4. 用平行四边形等式：

$$\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)$$

代入 $16+36=2(9+\|v\|^2)$，得 $52=18+2\|v\|^2$，故 $\|v\|^2=17$，$\|v\|=\sqrt{17}$。
（注意：单靠 $\|u\|,\|u+v\|,\|u-v\|$ 这三个数就能定出 $\|v\|$，这正是内积范数的特殊性——一般范数做不到。）

5. 充分性：若 $\langle u,v\rangle=0$，由勾股定理 $\|u+av\|^2=\|u\|^2+\|av\|^2\ge\|u\|^2$。
必要性：设 $\langle u,v\rangle\neq0$（此时必有 $v\neq0$）。对任意实数 $a$，

$$\|u+av\|^2=\|u\|^2+2a\langle u,v\rangle+a^2\|v\|^2$$

取 $a=-t\langle u,v\rangle$，其中 $t>0$ 且 $t<\dfrac{2}{\|v\|^2}$，则

$$\|u+av\|^2=\|u\|^2-2t\langle u,v\rangle^2+t^2\langle u,v\rangle^2\|v\|^2=\|u\|^2-\langle u,v\rangle^2\,t\big(2-t\|v\|^2\big)<\|u\|^2$$

因为 $\langle u,v\rangle^2>0$ 且 $t(2-t\|v\|^2)>0$。这与「对所有 $a$ 都有 $\|u\|\le\|u+av\|$」矛盾。
故必有 $\langle u,v\rangle=0$。

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八、复习卡 #

项	内容
内积五条	正性 $\langle v,v\rangle\ge0$；定性 $\langle v,v\rangle=0\iff v=0$；第一位置可加；第一位置齐次；共轭对称 $\langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}$
内积空间	向量空间 + 一个指定的内积；换内积 = 换空间
范数	$\|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}$，是非负实数
范数两条	$\|v\|=0\iff v=0$；$\|\lambda v\|=|\lambda|\,\|v\|$
展开公式	$\|u+v\|^2=\|u\|^2+2\operatorname{Re}\langle u,v\rangle+\|v\|^2$（一切的起点）
第二位置	可加但共轭齐次：$\langle u,\lambda v\rangle=\overline{\lambda}\langle u,v\rangle$
正交	$\langle u,v\rangle=0$；零向量与所有向量正交，且是唯一与自身正交的向量
正交分解	$u=\dfrac{\langle u,v\rangle}{\|v\|^2}v+w$，$\langle w,v\rangle=0$（$v\neq0$）
Cauchy–Schwarz	$|\langle u,v\rangle|\le\|u\|\,\|v\|$；等号 $\iff$ 成标量倍数关系
三角不等式	$\|u+v\|\le\|u\|+\|v\|$；等号 $\iff$ 一方是另一方的非负实数倍
反向三角	$\big|\|u\|-\|v\|\big|\le\|u-v\|$
勾股定理	$\langle u,v\rangle=0\Rightarrow\|u+v\|^2=\|u\|^2+\|v\|^2$
勾股逆命题	仅实空间成立；复空间只到 $\operatorname{Re}\langle u,v\rangle=0$
平行四边形等式	$\|u+v\|^2+\|u-v\|^2=2(\|u\|^2+\|v\|^2)$；是「范数来自内积」的判据
典型反例	$\max\{|x|,|y|\}$ 与 $\|x\|+|y|$ 不来自内积（违反平行四边形等式）
解题第一反应	遇长度先平方，改写为内积

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线出处：本讲内容对应《线性代数应该这样学》（第 4 版，Sheldon Axler 著，吴俊达、何阳 译）第 6 章 6A 节「内积和范数」，PDF 第 165–177 页（印刷页码 152–164）。按编号回查：点积 6.1、内积 6.2、五个内积例子 6.3(a)–(e)、内积空间 6.4、记号 6.5、内积的基本性质 6.6、范数 6.7、范数例 6.8、范数的基本性质 6.9、正交 6.10、正交性与 $0$ 6.11、毕达哥拉斯定理 6.12、一种正交分解 6.13、Cauchy–Schwarz 6.14、例 6.16、三角不等式 6.17、平行四边形等式 6.21。
• 原文的证明顺序：先证正交分解 6.13，再用它 + 勾股 6.12 证 Cauchy–Schwarz 6.14，最后用 C–S 证三角不等式 6.17。本文的第三节完全照这个顺序，没有调换——因为这条链每往前一步都依赖前一步，换顺序就得另找证明。
• 关于共轭放在哪一侧：第 4 版把齐次性放在第一个位置，因此 $\mathbb{C}^n$ 上的欧几里得内积写作 $\sum w_k\overline{z_k}$；不少物理文献把共轭放在第一个位置。两种约定给出的范数相同，但 $\langle u,\lambda v\rangle$ 到底是 $\lambda\langle u,v\rangle$ 还是 $\overline{\lambda}\langle u,v\rangle$ 会互换。照抄任何资料之前先确认它的约定。
• 习题来源：本讲第六节 6.1 的极化恒等式、6.2 的正交等价条件，分别对应该节习题第 26、6 题；平行四边形等式作为「范数来自内积」的判据，对应该节习题第 28 题（其证明思路是先用极化恒等式造内积，再验证五条公理）。
• 术语别名：内积 = 数量积 / 标量积（scalar product）；范数 = 长度 / 模（norm，复数情形下叫 moduli 的模）；共轭对称也叫 Hermite 对称；实空间里内积就是对称正定双线性型。
• 延伸阅读：关于「角度在高维需由 Cauchy–Schwarz 授权」这一点，该节习题第 16 题直接作为论述题提出；关于 $p$-范数只在 $p=2$ 时来自内积，见同节习题第 25 题。
• 历史注记：Cauchy 于 1821 年给出离散形式的版本，Bunyakovsky 于 1859 年给出积分形式，Schwarz 数十年后独立发现并使之广为人知，不等式因三人得名。勾股定理在 $\mathbb{R}^2$ 的特例，古巴比伦人早在三千五百多年前就已掌握，希腊人两千五百多年前重新发现并给出证明。