20 可对角化

可对角化 #

这讲讲什么：把「能不能给算子挑一组基，让它的矩阵变成对角阵」这个矩阵问题，翻译成一个纯几何问题——特征向量够不够凑成一组基。
前置：17 讲（特征值、特征向量、特征空间）；05、06 讲（基、维数、基同长定理）；08 讲（零空间与值域）；15 讲的特征多项式（只在第五、六节各用一次）
一句话：可对角化 $\iff$ $V$ 有由特征向量组成的基 $\iff$ 各特征空间的维数加起来正好等于 $\dim V$。

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一、为什么需要它 #

1.1 幂次：对角矩阵的全部好处 #

设有算子 $T$ 和一个非零向量 $v$，且 $Tv=\lambda v$。那么对任何正整数 $k$，

$$T^k v=\lambda^k v,$$

因为每作用一次只是再乘一个 $\lambda$。这条式子简单得不像话，却是整讲的动力来源。

如果 $T$ 有一整组满足 $Tv_k=\lambda_kv_k$ 的基 $v_1,\dots,v_n$，那么

$$T^k(\lambda_1\text{ 的分量},\dots,\text{各分量})=\big(\lambda_1^k c_1,\ \dots,\ \lambda_n^k c_n\big),$$

用矩阵写就是：$T$ 关于这组基的矩阵是 $D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，于是 $T^k$ 的矩阵就是

$$D^k=\begin{pmatrix}\lambda_1^k&&0\\&\ddots&\\0&&\lambda_n^k\end{pmatrix}.$$

求幂从「$k$ 次矩阵乘法」退化成「$n$ 次标量求幂」。 这就是可对角化最基本、也最实用的价值：把一个看不出结构的对象，换成一组各干各的标量。

1.2 上三角化已经做到了一半，但恰好差的那一半很贵 #

19 讲的上三角化告诉我们：复向量空间上的每个算子都有上三角矩阵，且对角线上的元素就是全部特征值（按重数计）。这已经很好了——对角线上直接读出谱。

但上三角矩阵的幂不是对角线元素各自求幂。看一个最小的例子：

$$\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}\lambda^2&2\lambda\\0&\lambda^2\end{pmatrix},\qquad \begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}\lambda^k&k\lambda^{k-1}\\0&\lambda^k\end{pmatrix}.$$

对角线确实还是 $\lambda^k$，但右上角多出一个 $k\lambda^{k-1}$。这个多出来的项就是对「差一步」的精确度量：那个 $1$ 表示 $T$ 除了在 $e_1$ 方向上缩放之外，还把 $e_2$ 沿 $e_1$ 方向「斜推」了一点，而这一推在第 $k$ 次迭代里被放大了 $k$ 倍。

只要右上角这个 $1$ 能通过换基变成 $0$，上面所有麻烦就消失了。能不能变掉，就是本讲要回答的问题。（变不掉时该怎么处理，是 31 讲广义特征向量与 Jordan 形的内容。）

1.3 一个具体样本 #

定义 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^2)$ 为

$$T(x,y)=(41x+7y,\ -20x+74y).$$

它关于标准基的矩阵是 $\begin{pmatrix}41&7\\-20&74\end{pmatrix}$，看上去毫无结构。但换成基 $(1,4),(7,5)$ 之后，矩阵变成

$$\begin{pmatrix}69&0\\0&46\end{pmatrix}.$$

为什么？因为

$$T(1,4)=(69,276)=69(1,4),\qquad T(7,5)=(322,230)=46(7,5),$$

两个基向量各自被 $T$ 拉成了自己的倍数。矩阵变成对角阵不是运气，是这两个向量恰好都是特征向量。

1.4 读完这一讲你应该能回答 #

1. 给定一个算子，不动手找基，能不能先判断它可不可对角化？
2. 「有 $n$ 个互不相同的特征值」与「可对角化」差在哪一步？
3. $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 究竟缺了什么，导致它不能对角化？

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二、定义与最小例子 #

2.1 对角矩阵 #

定义（对角矩阵）：对角线之外的元素全为 $0$ 的方阵称为对角矩阵。

例如

$$\begin{pmatrix}8&0&0\\0&5&0\\0&0&5\end{pmatrix}$$

是对角矩阵。注意两件事：

• 每个对角矩阵都是上三角矩阵，但反过来不成立。对角矩阵比同尺寸的一般上三角矩阵含有更多的 $0$。
• 若一个算子关于某组基 $v_1,\dots,v_n$ 的矩阵是对角矩阵，那么矩阵的第 $k$ 个对角元就是 $Tv_k$ 相对 $v_k$ 的系数，也就是特征值。这一点由「矩阵的第 $k$ 列是 $Tv_k$ 的坐标」直接读出（09 讲），不需要额外证明。

2.2 可对角化 #

定义（可对角化）：设 $V$ 是向量空间，$T\in\mathcal{L}(V)$。若 $T$ 关于 $V$ 的某个基具有对角矩阵，则称 $T$ 是可对角化的。

读这个定义要咬住三点：

（i）是「某个基」，不是「任意基」。 同一个算子在两组不同基下的矩阵一般不同（09 讲）。可对角化只承诺存在一组好基，不承诺随便哪组都好。

（ii）只对算子谈。 定义里要求「$V$ 的基」同时充当定义域和陪域的基，所以 $T$ 必须是 $V\to V$ 的映射。从 $V$ 到 $W$（$W\neq V$）的线性映射谈不上「关于 $V$ 的基有对角矩阵」。

（iii）定义里没出现「特征值」「特征向量」。 这是故意的：定义只用矩阵说话。下一小节立刻把它翻译成向量语言——本讲几乎所有的推理都建立在这次翻译上。

2.3 枢纽：对角矩阵 $\iff$ 基向量都是特征向量 #

定理：设 $\dim V=n$，$T\in\mathcal{L}(V)$，$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的一组基。则 $T$ 关于这组基的矩阵是对角矩阵，当且仅当对每个 $k=1,\dots,n$ 都有

$$Tv_k=\lambda_kv_k$$

对某个 $\lambda_k\in\mathbb{F}$ 成立。此时该矩阵就是 $\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$。

证明。矩阵 $M(T)$ 的第 $k$ 列是 $Tv_k$ 在这组基下的坐标向量。若 $M(T)$ 是对角矩阵，第 $k$ 列只有第 $k$ 行非零，值为 $\lambda_k$，这正是「$Tv_k=\lambda_kv_k$」。反过来，若每个 $k$ 都有 $Tv_k=\lambda_kv_k$，则第 $k$ 列是 $(0,\dots,0,\lambda_k,0,\dots,0)$，所有列拼起来就是对角矩阵。$\blacksquare$

2.4 特征空间 #

要把「够不够」说清楚，得先把同一特征值的特征向量打包。

定义（特征空间）：设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda\in\mathbb{F}$。$T$ 对应于 $\lambda$ 的特征空间记作 $E(\lambda,T)$，定义为

$$E(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I)=\{v\in V:\ Tv=\lambda v\}.$$

四句要紧的观察：

1. 它是子空间，因为它是线性映射 $T-\lambda I$ 的零空间（08 讲）。特别地 $0\in E(\lambda,T)$ 恒成立。
2. 它正好是「对应 $\lambda$ 的全部特征向量再加上 $0$」。特征向量按定义非零，所以 $E(\lambda,T)$ 去掉 $0$ 就是那些特征向量。
3. $\lambda$ 是 $T$ 的特征值 $\iff E(\lambda,T)\neq\{0\}$。若 $\lambda$ 不是特征值，则 $E(\lambda,T)=\{0\}$，维数为 $0$。
4. $T$ 限制在 $E(\lambda,T)$ 上就是把每个向量乘以 $\lambda$。换句话说，特征空间是「$T$ 只做纯缩放、不做任何扭转」的最大一块。

上一条让特征空间成为可对角化的度量单位：一个特征方向贡献 $1$ 维，特征空间打包了一整束特征方向。

例：设 $T$ 关于基 $v_1,v_2,v_3$ 的矩阵是 $\operatorname{diag}(8,5,5)$。那么

$$E(8,T)=\operatorname{span}(v_1),\qquad E(5,T)=\operatorname{span}(v_2,v_3).$$

注意 $E(5,T)$ 是二维的：$v_2+v_3$、$v_2-v_3$ 这些都不是 $v_2,v_3$ 的倍数，却都以 $5$ 为特征值。特征向量远不止「矩阵里写着的那些」。

2.5 三个最小例子 #

算子	特征向量基	说明
已是对角矩阵的算子	标准基	矩阵的每一列本来就只有对角元
恒等算子 $I$	任意基	$Iv=v$ 对所有 $v\neq0$ 成立，$E(1,I)=V$
$T(w,z)=(z,w)$	$(1,1),\ (1,-1)$	分别对应 $1$ 与 $-1$，两个向量线性无关，张成 $\mathbb{R}^2$

第三个例子值得手验：$T(1,1)=(1,1)=1\cdot(1,1)$，$T(1,-1)=(-1,1)=(-1)\cdot(1,-1)$。所以 $T$ 关于基 $(1,1),(1,-1)$ 的矩阵是 $\operatorname{diag}(1,-1)$。

2.6 一个不可对角化的最小例子 #

$$A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad T(x,y)=(x+y,\ y).$$

先算特征值：$A$ 是上三角矩阵，对角线都是 $1$，所以唯一的特征值是 $1$（19 讲）。再算特征空间：

$$(T-I)(x,y)=(x+y,y)-(x,y)=(y,0),$$

所以 $E(1,T)=\operatorname{null}(T-I)=\{(x,y):y=0\}=\operatorname{span}(1,0)$，维数为 $1$。而 $\dim\mathbb{R}^2=2$，一条特征方向撑不满平面。

不想算矩阵的话也可以直接反证：设某组基的第一个向量是特征向量，由上式它必在 $x$ 轴上，记作 $(a,0)$，$a\neq0$。另一个基向量记作 $(b,c)$，$c\neq0$。若它也以 $1$ 为特征值，则 $T(b,c)=(b+c,c)$ 必须等于 $(b,c)$，即 $c=0$，矛盾。所以任何基里都凑不出两个特征向量。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 主定理：可对角化的四条等价说法 #

定理（可对角化的等价条件）：设 $V$ 有限维，$T\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 是 $T$ 的全部互异特征值。则下列四条等价：

(a) $T$ 可对角化；
(b) $V$ 有由 $T$ 的特征向量组成的基；
(c) $V=E(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T)$（直和）；
(d) $\dim V=\dim E(\lambda_1,T)+\cdots+\dim E(\lambda_m,T)$。

四条一起看，含义就非常清楚了：

• (a) 是矩阵说法；
• (b) 是「特征向量够用」；
• (c) 是「特征空间把整个 $V$ 铺满，且彼此只交于 $0$」；
• (d) 是 (c) 的数字版，也是唯一一条能靠算维数来检验的。

证明骨架（每一步都要能自己补上细节）：

(a) $\iff$ (b)：直接由 2.3 的定理。矩阵对角 $\iff$ 基向量全是特征向量。

(b) $\implies$ (c)：设 $v_1,\dots,v_n$ 是由特征向量组成的基。每个 $v_k$ 属于某个 $E(\lambda_j,T)$，于是这 $n$ 个向量全落在 $\sum_j E(\lambda_j,T)$ 里。它们张成 $V$，故

$$V=E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T).$$

而由 3.2（下一个结论），这个和是直和。所以 (c) 成立。

(c) $\implies$ (d)：直和的维数等于各部分维数之和（06 讲）。

(d) $\implies$ (b)：这是唯一需要一点技巧的方向。为每个 $E(\lambda_j,T)$ 取一组基，把这 $m$ 组基拼起来，得到 $n$ 个特征向量 $v_1,\dots,v_n$，其中 $n=\dim V$（由 (d) 的等式）。要证它们构成基，只需证线性无关（06 讲基同长定理：$\dim V$ 个线性无关向量就是基）。

设 $a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0$。对每个 $j$，把所有落在 $E(\lambda_j,T)$ 里的那些项加起来，记作 $u_j$。于是 $u_j\in E(\lambda_j,T)$ 且

$$u_1+\cdots+u_m=0.$$

现在用一个事实：互不相同特征值对应的非零特征向量必然线性无关（17 讲的结论）。若某个 $u_j\neq0$，则那些非零的 $u_j$ 构成一个「互异特征值 + 非零特征向量」的组，它们之间的这个关系式是一个非平凡关系，与线性无关矛盾。所以所有 $u_j=0$。

最后，$u_j=0$ 是 $E(\lambda_j,T)$ 的基向量的一个线性组合等于零，而基是线性无关的，所以该组内的每个系数 $a$ 都等于 $0$。所有 $a_i=0$，$v_1,\dots,v_n$ 线性无关，故是基。$\blacksquare$

3.2 特征空间之和一定是直和，且维数有上界 #

定理：设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 是 $T$ 的互异特征值。则

$$E(\lambda_1,T)+\cdots+E(\lambda_m,T)$$

是直和。若 $V$ 还有限维，则

$$\dim E(\lambda_1,T)+\cdots+\dim E(\lambda_m,T)\le\dim V.$$

证明。按直和的定义，要证「若 $u_1+\cdots+u_m=0$ 且各 $u_j\in E(\lambda_j,T)$，则每个 $u_j=0$」。这正是 3.1 里用过的那条：互异特征值的非零特征向量线性无关。若某个 $u_j\neq0$，则非零的那些 $u_j$ 之间出现了一个非平凡的线性关系，矛盾。

后半句：由直和，左边等于 $\dim\big(E(\lambda_1,T)\oplus\cdots\oplus E(\lambda_m,T)\big)$，它是 $V$ 的子空间的维数，不超过 $\dim V$（06 讲，子空间维数不超过全空间）。$\blacksquare$

这个上界是理解 (d) 的关键：特征空间的维数和永远不会超过 $\dim V$。于是 (d) 那条等式不是「碰巧相等」，而是在问：

这堆特征方向，是不是一点没浪费地铺满了整个空间？

如果某个特征值的特征空间「太小」，和就严格小于 $\dim V$，缺的那部分方向必须由「$T$ 不保持直线」的方向来填，而那类方向不可能出现在特征向量基里。

3.3 充分条件：$n$ 个互不相同的特征值就够 #

定理：设 $V$ 是 $n$ 维的，$T\in\mathcal{L}(V)$ 有 $n$ 个互不相同的特征值。则 $T$ 可对角化。

证明。设互异特征值为 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$，各取一个对应的特征向量 $v_1,\dots,v_n$。由「互异特征值的特征向量线性无关」（17 讲），这 $n$ 个向量线性无关。$n$ 维空间里 $n$ 个线性无关向量构成基（06 讲基同长定理）。这组基由特征向量组成，故由 3.1 的 (a)$\iff$(b)，$T$ 可对角化。$\blacksquare$

3.4 数域会改变答案 #

看旋转 $T(x,y)=(-y,x)$，矩阵 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$（逆时针转 $90°$）。

• 在 $\mathbb{R}$ 上：特征多项式 $z^2+1$ 无实根，没有特征值。于是特征空间全是 $\{0\}$，维数和 $=0<2=\dim\mathbb{R}^2$，由 (d) 立刻可知 $T$ 在 $\mathbb{R}$ 上不可对角化。
• 在 $\mathbb{C}$ 上：特征值是 $\pm\mathrm{i}$，互异，由 3.3 立刻可知 $T$ 在 $\mathbb{C}$ 上可对角化（特征向量可取 $(1,-\mathrm{i})$ 与 $(1,\mathrm{i})$）。

同一个矩阵，换个数域，答案就变了。 说「$T$ 可对角化」时，一定要说清在哪个域上——和第一讲里「$\mathbb{C}^n$ 与 $\mathbb{R}^n$ 的维数不同」是同一类毛病。

3.5 不可对角化的第二个样本（三维） #

定义 $T(a,b,c)=(b,c,0)$，它关于标准基的矩阵是

$$\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

它是严格的上三角矩阵（对角线上全是 $0$），所以由 19 讲，$T$ 的特征值只有 $0$。再算

$$E(0,T)=\operatorname{null}T=\{(a,b,c):(b,c,0)=(0,0,0)\}=\{(a,0,0)\}=\operatorname{span}(1,0,0),$$

维数为 $1$，而 $\dim\mathbb{F}^3=3$。维数和 $1\neq3$，由 (d) 知不可对角化，与 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 还是 $\mathbb{C}$ 无关。

3.6 用起来：算 $T^{100}$ #

这是可对角化最典型的应用，值得完整手算一遍。

定义 $T\in\mathcal{L}(\mathbb{F}^3)$ 为

$$T(x,y,z)=(2x+y,\ 5y+3z,\ 8z),$$

矩阵是上三角的 $\begin{pmatrix}2&1&0\\0&5&3\\0&0&8\end{pmatrix}$，所以特征值是 $2,5,8$——三个互异的值，$\dim\mathbb{F}^3=3$，由 3.3 立刻可知 $T$ 可对角化。

第一步：求特征向量。逐个解 $T(x,y,z)=\lambda(x,y,z)$。

$\lambda=2$：方程组为 $2x+y=2x$、$5y+3z=2y$、$8z=2z$，即 $y=0$、$z=0$，得特征向量 $(1,0,0)$。

$\lambda=5$：$2x+y=5x$、$5y+3z=5y$、$8z=5z$，即 $y=3x$、$z=0$，得 $(1,3,0)$。

$\lambda=8$：$2x+y=8x$、$5y+3z=8y$、$8z=8z$，即 $y=6x$、$z=y$，得 $(1,6,6)$。

验算 $\lambda=8$ 那组：$T(1,6,6)=(2+6,\ 30+18,\ 48)=(8,48,48)=8(1,6,6)$，对。

这三个向量线性无关（矩阵 $\begin{pmatrix}1&0&0\\1&3&0\\1&6&6\end{pmatrix}$ 的行列式是 $18\neq0$），故构成 $\mathbb{F}^3$ 的一组基，$T$ 关于它的矩阵是 $\operatorname{diag}(2,5,8)$。

第二步：把要算的向量翻译成这组基下的坐标。取 $(0,0,1)$，设

$$(0,0,1)=c_1(1,0,0)+c_2(1,3,0)+c_3(1,6,6).$$

比第三分量得 $6c_3=1$，故 $c_3=\frac16$；比第二分量得 $3c_2+6c_3=0$，故 $c_2=-\frac13$；比第一分量得 $c_1+c_2+c_3=0$，故 $c_1=\frac16$。即

$$(0,0,1)=\tfrac16(1,0,0)-\tfrac13(1,3,0)+\tfrac16(1,6,6).$$

第三步：把 $T^{100}$ 打上去。因为每个基向量都是特征向量，$T^{100}$ 作用后只是乘 $\lambda^{100}$：

$$\begin{aligned} T^{100}(0,0,1)&=\tfrac16\,T^{100}(1,0,0)-\tfrac13\,T^{100}(1,3,0)+\tfrac16\,T^{100}(1,6,6)\\ &=\tfrac16\left(2^{100}(1,0,0)\right)-\tfrac13\left(5^{100}(1,3,0)\right)+\tfrac16\left(8^{100}(1,6,6)\right)\\ &=\tfrac16\left(2^{100}-2\cdot5^{100}+8^{100},\ \ 6\cdot8^{100}-6\cdot5^{100},\ \ 6\cdot8^{100}\right). \end{aligned}$$

逐项核对：第一分量 $\frac16\cdot2^{100}-\frac13\cdot5^{100}+\frac16\cdot8^{100}$，对得上；第二分量 $-\frac13\cdot3\cdot5^{100}+\frac16\cdot6\cdot8^{100}=8^{100}-5^{100}$，对得上；第三分量 $\frac16\cdot6\cdot8^{100}=8^{100}$，对得上。

这里没有任何 $100$ 次矩阵乘法。全部工作量是：求三个特征向量、解一个三元一次方程组、把三个数各自取 $100$ 次方。这就是可对角化在做的事。

3.7 一个继承性质 #

定理：设 $T\in\mathcal{L}(V)$ 可对角化，$U$ 是 $V$ 的在 $T$ 下不变的子空间。则 $T|_U$ 是 $U$ 上的可对角化算子。

这里给一个不用极小多项式的初等证法（稍长，但不依赖后续内容）。

由 $T$ 可对角化，$V=\bigoplus_{j=1}^{m}E(\lambda_j,T)$（3.1 的 (c)）。任取 $u\in U$，把它按特征空间分解：

$$u=u_1+\cdots+u_m,\qquad u_j\in E(\lambda_j,T).$$

对固定的 $k$，构造多项式

$$q_k(z)=\prod_{j\neq k}\frac{z-\lambda_j}{\lambda_k-\lambda_j}.$$

它在 $\lambda_k$ 处取值 $1$，在其它 $\lambda_j$ 处取值 $0$。于是 $q_k(T)$ 在每个 $E(\lambda_j,T)$ 上就是数乘 $q_k(\lambda_j)$，作用在 $u$ 上只剩第 $k$ 项：

$$q_k(T)u=u_k.$$

而 $U$ 在 $T$ 下不变，故在 $T$ 的任何多项式下也不变（$TU\subseteq U$ 推出 $T^rU\subseteq U$，再线性组合），所以 $u_k=q_k(T)u\in U$。这就证明了

$$U=(U\cap E(\lambda_1,T))\oplus\cdots\oplus (U\cap E(\lambda_m,T)).$$

每个 $U\cap E(\lambda_j,T)$ 取一组基，拼起来就是 $U$ 的由特征向量组成的基（每部分的向量都以 $\lambda_j$ 为特征值，且各自属于 $U$）。所以 $T|_U$ 可对角化。$\blacksquare$

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

4.1 对角化是「换一把顺着 $T$ 的尺子」 #

想象 $T$ 是一台只会「沿某些轴缩放」的机器，但标准基的轴跟它的缩放轴不对齐。于是用标准基记录时，$T$ 的动作看起来是「又拉又扭」，矩阵里全是耦合项。

换成特征向量基，相当于把尺子摆到 $T$ 自己的缩放轴上。此时 $T$ 的每个动作都写成「第 $k$ 根轴伸长 $\lambda_k$ 倍」，不同轴之间零交流——矩阵自然是对角阵。

$A=PDP^{-1}$ 三个因子各自在干什么，可以这样记：

因子	作用
$P^{-1}$	把向量从标准坐标翻译成特征向量坐标
$D$	在特征向量坐标里各管各的缩放
$P$	把结果翻译回标准坐标

所以 $A^k=PD^kP^{-1}$：中间那台机器好取幂，两头的翻译只是换件衣服。

4.2 计数视角：数方向，不是数特征值 #

这是本讲最该记住的一条。

• 一个特征值对应「一种倍数」；
• 一个特征方向的维数 $\dim E(\lambda,T)$ 对应「几条互不相同的方向」。

$T$ 只会在自己的特征方向上乖。可对角化的意思是：这些「乖的块」既不重叠、也不留缝，正好铺满整个 $V$。

• 「不重叠」由 3.2 自动保证（特征空间之和一定是直和）——这是好消息，你从来不需要担心重复计数；
• 「不留缝」就是 3.1 的 (d)：维数和 $=\dim V$。

于是检验流程只有一条主线：

每次遇到「$T$ 可不可对角化」，就问一句「各特征空间的维数加起来够不够 $n$」。

4.3 不可对角化的几何图像：剪切 #

回到 $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，它作用为 $T(x,y)=(x+y,y)$：把每个点沿 $x$ 轴方向平移「它自己的高度」。这叫剪切。

• $x$ 轴上的点高度为 $0$，一动不动，所以 $x$ 轴是特征方向（特征值 $1$）。
• 其余每个点都被斜着推走，推的方向与原来所在的直线不平行，永远回不到自己那条线上。

结果是：整个平面只有一条特征方向，而平面需要两条。这就是「差一条方向」的直观样子，也是所有不可对角化算子的共同特征——总有一块地方在被扭，而不是被拉伸。

4.4 做题时的三步 #

1. 求特征值：上三角矩阵直接读对角线；否则解特征多项式 $=0$。
2. 对每个特征值算 $\dim E(\lambda,T)$：$\dim E(\lambda,T)=n-\operatorname{rank}(T-\lambda I)$，即解 $(T-\lambda I)v=0$ 看自由变量个数。
3. 求和与 $n$ 比：相等则可对角化，此时把各特征空间的基拼起来就是对角化用的基；小于 $n$ 则不可对角化。

这三步比「先猜能不能」快得多，而且每一步都是可验证的计算。

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五、常见误区 #

$$\dim E(\lambda,T)\le\text{代数重数},$$

而可对角化 $\iff$ 每个特征值的几何重数都等于它的代数重数。
原因是：$\dim E$ 每少一维，就有「一条本该被 $\lambda$ 管住的方向」落到了别的特征值管不着的地方；而所有代数重数加起来正好是 $n$（在 $\mathbb{C}$ 上按重数计），几何重数一旦有短缺，总和就必然 $<\dim V$。
短的那部分几何重数去向，是 31 讲广义特征空间的内容。
例：$T(x,y,z)=(2x,\ 2y+z,\ 2z)$ 的特征多项式是 $(z-2)^3$，代数重数 $3$；但 $(T-2I)(x,y,z)=(0,z,0)$，故 $E(2,T)=\{(x,y,0)\}$，几何重数 $2$。$2<3$，故不可对角化。

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六、拓展（可跳过） #

6.1 矩阵语言：$A=PDP^{-1}$ #

把 2.3 的定理写成矩阵等式，就是最常用的做题形式：若 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量 $p_1,\dots,p_n$（对应特征值 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$），令

$$P=(p_1\ p_2\ \cdots\ p_n),\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n),$$

则 $AP=PD$，即 $A=PDP^{-1}$。这里 $P$ 的列就是特征向量。

注意两处易错：$P$ 的列顺序必须与 $D$ 的对角元顺序一一对应；$P^{-1}$ 在右边，写成 $P^{-1}DP$ 是另一件事（那是在特征向量坐标下看同一个 $T$）。

6.2 极小多项式判据（18 讲） #

有一个判定可对角化的强工具，完全绕开「求特征向量」：

$T$ 可对角化 $\iff$ $T$ 的极小多项式等于 $(z-\lambda_1)\cdots(z-\lambda_m)$，其中 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ 互不相同。

换句话说：极小多项式没有重根。 这条判据的好处是它只需要一个多项式，不需要任何基。

• $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 的极小多项式是 $(z-1)^2$，有重根，不可对角化。
• $\operatorname{diag}(6,6,7)$ 的极小多项式是 $(z-6)(z-7)$，无重根，可对角化——尽管它只有两个特征值。

它的威力在于：即使求不出特征值的精确值也照样能判。例如 $\mathbb{C}^5$ 上某个算子的极小多项式是 $z^5-6z+3$，这个五次方程的根没有根式解，只能数值近似（约 $-1.67,\ 0.51,\ 1.40,\ -0.12\pm1.59\mathrm{i}$）。近似值显示五个根互异，而极小多项式正是以这五个互异数为根的首一多项式，于是由上面的判据立刻知道它可对角化——完全不需要精确值。（极小多项式的定义与计算见 18 讲。）

6.3 一个经典应用：斐波那契数列 #

定义 $T(x,y)=(y,\ x+y)$，则 $T^n(0,1)=(F_n,F_{n+1})$（$F_0=0,F_1=1$，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$）。$T$ 的两个特征值是 $\frac{1\pm\sqrt5}{2}$，互异，故可对角化。把 $(0,1)$ 按特征向量分解，再用 $T^n$ 作用，就得到比内公式

$$F_n=\frac{1}{\sqrt5}\left[\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt5}{2}\right)^{n}\right].$$

同一条路子还能顺带证明「$F_n$ 是最接近 $\frac{1}{\sqrt5}\left(\frac{1+\sqrt5}{2}\right)^n$ 的整数」。这是「对角化 → 解递推」的标准套路。

6.4 两条继承性 #

• 对偶算子：$T$ 可对角化 $\iff$ 对偶算子 $T'$ 可对角化。
• 商算子：$T$ 可对角化且 $U$ 在 $T$ 下不变 $\implies$ 商算子 $T/U$ 在 $V/U$ 上可对角化。

这两条与 3.7（限制到不变子空间仍可对角化）一起，说明「可对角化」这个性质在自然构造下是稳定的。证明都要用到 18 讲的极小多项式判据，这里只记结论。

6.5 特征值在哪里？格什戈林圆盘 #

前面几节关心的是「能不能对角化」。还有一个完全不同、但工程上更常问的问题：

我只想大致知道特征值落在复平面的哪一块，不想真把它们解出来。

刻画多项式去求根太贵，而且很多时候根本不需要精确值——只要知道「全在左半平面」（稳定性判据）或「都在 1 附近」（扰动分析）就够了。有一条定理专门干这件事，而且证明短得出人意料。

定义（格什戈林圆盘）：设 $T\in\mathcal{L}(V)$，$v_1,\dots,v_n$ 是 $V$ 的一组基，$A$ 是 $T$ 关于这组基的矩阵。对每个 $j\in\{1,\dots,n\}$，$T$ 关于这组基的第 $j$ 个格什戈林圆盘是

$$\left\{z\in\mathbb{F}:\ |z-A_{j,j}|\le\sum_{\substack{k=1\\ k\neq j}}^{n}|A_{j,k}|\right\}$$

也就是说：圆心是第 $j$ 个对角元，半径是第 $j$ 行「除对角线外」各元素绝对值之和。

• 当 $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ 时，每个圆盘是复平面上以 $A_{j,j}$ 为心的闭圆盘；
• 当 $\mathbb{F}=\mathbb{R}$ 时，圆盘退化成实轴上的闭区间。

定理（格什戈林圆盘定理）：$T$ 的每个特征值都落在某个格什戈林圆盘里。

证明（只有四步，值得完整看一遍）：

设 $\lambda$ 是 $T$ 的特征值，$w\neq 0$ 是对应的特征向量。把 $w$ 按基展开：

$$w=c_1v_1+\cdots+c_nv_n$$

因为 $w\neq 0$，至少有一个 $c_k\neq 0$。取 $j$ 使 $|c_j|$ 是所有 $|c_k|$ 中最大的（这是全证明的关键一步）。

把 $T$ 作用到展开式两边，并利用 $Tv_k=\sum_i A_{i,k}v_i$：

$$\lambda w=\sum_{k=1}^{n}c_kTv_k=\sum_{k=1}^{n}c_k\sum_{i=1}^{n}A_{i,k}v_i=\sum_{i=1}^{n}\left(\sum_{k=1}^{n}A_{i,k}c_k\right)v_i$$

左边 $\lambda w$ 中 $v_j$ 的系数是 $\lambda c_j$，右边 $v_j$ 的系数是 $\sum_k A_{j,k}c_k$。两边比较（基下坐标唯一）：

$$\lambda c_j=\sum_{k=1}^{n}A_{j,k}c_k$$

把右边拆出 $k=j$ 那一项，移项，再取绝对值：

$$(\lambda-A_{j,j})c_j=\sum_{k\neq j}A_{j,k}c_k\quad\Longrightarrow\quad|\lambda-A_{j,j}|\cdot|c_j|\le|c_j|\sum_{k\neq j}|A_{j,k}|$$

因为 $|c_j|>0$（取的是最大值且 $w\ne 0$），两边约掉它，得

$$|\lambda-A_{j,j}|\le\sum_{k\neq j}|A_{j,k}|$$

这正是「$\lambda$ 落在第 $j$ 个圆盘里」。$\blacksquare$

两个直接可用的推论：

推论	内容
特征值的界	所有特征值都落在 $n$ 个圆盘的并集里；于是 $\lambda$ 的模不超过 $\max_j\big(|A_{j,j}|+\sum_{k\ne j}|A_{j,k}|\big)$
可逆性判据	若 $0$ 不在任何圆盘里，则 $0$ 不是特征值，故 $A$ 可逆

一个手算例子。设

$$A=\begin{pmatrix}4&1&0\\ 1&1&1\\ 0&1&3\end{pmatrix}$$

三个圆盘：

• 第 1 个：圆心 $4$，半径 $|1|+|0|=1$ → 区间 $[3,5]$
• 第 2 个：圆心 $1$，半径 $|1|+|1|=2$ → 区间 $[-1,3]$
• 第 3 个：圆心 $3$，半径 $|0|+|1|=1$ → 区间 $[2,4]$

所以三个实特征值都落在 $[-1,5]$ 内，且分别被限制在三个区间的某个里。实际算一下：特征多项式为

$$\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+8\lambda^2-19\lambda+12=-(\lambda-1)(\lambda-3)(\lambda-4)$$

特征值 $4,3,1$，确实各落在各自圆盘内（$4\in[3,5]$、$3\in[-1,3]$、$1\in[-1,3]$）。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. 判断 $B=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$ 是否可对角化，并说明理由。

2. 设 $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$。求可逆矩阵 $P$ 与对角矩阵 $D$ 使 $A=PDP^{-1}$，并用它计算 $A^3$。

3. 设 $T(x,y,z)=(2x,\ 2y+z,\ 2z)$。求 $T$ 的全部特征值与相应的 $\dim E(\lambda,T)$，并判断 $T$ 是否可对角化。

4. 设 $\dim V=4$，$T\in\mathcal{L}(V)$ 恰有两个互异特征值 $\lambda_1,\lambda_2$，且 $\dim E(\lambda_1,T)=2$、$\dim E(\lambda_2,T)=1$。能判断 $T$ 是否可对角化吗？若把条件改成 $\dim E(\lambda_2,T)=2$ 呢？

5. 设 $T\in\mathcal{L}(V)$ 可对角化。证明 $V=\operatorname{null}T\oplus\operatorname{range}T$。

答案（点开）

1. 不可对角化。$B$ 是上三角的，唯一特征值是 $2$。算 $B-2I=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$，方程 $(B-2I)(x,y)=(y,0)=(0,0)$ 给出 $y=0$，故 $E(2,B)=\operatorname{span}(1,0)$，$\dim E=1<2$。由 3.1 的 (d)，不可对角化。

2. 先求特征值：$\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)^2-1=\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4)$，故特征值为 $4$ 与 $2$。
求特征向量：$A(1,1)=(4,4)=4(1,1)$；$A(1,-1)=(2,-2)=2(1,-1)$。
取

$$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}4&0\\0&2\end{pmatrix},$$

则 $A=PDP^{-1}$。（验算 $P^2=2I$，故 $P^{-1}=\frac12P$。）
于是

$$A^3=PD^3P^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}64&0\\0&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}36&28\\28&36\end{pmatrix}.$$

直接验算：$A^2=\begin{pmatrix}10&6\\6&10\end{pmatrix}$，$A^3=A^2A=\begin{pmatrix}36&28\\28&36\end{pmatrix}$，一致。
注意 $P$ 的列序与 $D$ 的对角元序必须对应：若把 $P$ 的两列对调，$D$ 也要把 $4,2$ 对调。

3. 矩阵 $\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}$ 是上三角的，对角线全为 $2$，故唯一特征值是 $2$。
算 $(T-2I)(x,y,z)=(0,\ z,\ 0)$，故 $E(2,T)=\{(x,y,0)\}$，$\dim E(2,T)=2$。
而 $\dim\mathbb{F}^3=3$，$2\neq3$，由 3.1 的 (d) 知不可对角化。
（换个说法：$T$ 的几何重数是 $2$，代数重数是 $3$，两者不等，见误区 3。）

4. 第一种情形：$2+1=3<4=\dim V$，由 (d) 知一定不可对角化。
第二种情形：$2+2=4=\dim V$，由 (d) 知一定可对角化。
这道题的价值在于：判断可对角化不需要知道特征值具体是多少，也不需要知道别的特征值存不存在——只要维数和凑够 $n$ 就行。（若 $T$ 还有别的特征值，那么它的 $\dim E$ 至少为 $1$，总和就会超过 $4$，与 3.2 的上界矛盾，所以「恰有两个」这个前提保证了不会漏。）

5. 取由特征向量组成的基 $v_1,\dots,v_n$，设 $Tv_k=\lambda_kv_k$。把这些下标分成两组：

$$S_0=\{k:\lambda_k=0\},\qquad S_1=\{k:\lambda_k\neq0\}.$$

断言 $\operatorname{null}T=\operatorname{span}\{v_k:k\in S_0\}$。一方面，$k\in S_0$ 时 $Tv_k=0$，故 $\supseteq$ 成立。另一方面，若 $v=\sum c_kv_k$ 且 $Tv=0$，则 $\sum c_k\lambda_kv_k=0$；由 $v_k$ 线性无关，每个 $c_k\lambda_k=0$；当 $k\in S_1$ 时 $\lambda_k\neq0$，故 $c_k=0$，于是 $v$ 只由 $S_0$ 中的向量组合而成。
同理 $\operatorname{range}T=\operatorname{span}\{v_k:k\in S_1\}$：$\subseteq$ 因为 $Tv=\sum_{S_1}c_k\lambda_kv_k$；$\supseteq$ 因为 $k\in S_1$ 时 $v_k=T\left(\frac{1}{\lambda_k}v_k\right)$。
两块张成整个 $V$（合起来覆盖全部基向量），且交集为 $\{0\}$（两组基向量互不重叠），故 $V=\operatorname{null}T\oplus\operatorname{range}T$。
注意反过来不成立：$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ 的 $\operatorname{null}T=\{0\}$、$\operatorname{range}T=\mathbb{R}^2$，$V=\operatorname{null}T\oplus\operatorname{range}T$ 成立，但它不可对角化。所以这是可对角化的必要条件，不是充分条件。（把它加强成「对每个 $\lambda$ 都有 $V=\operatorname{null}(T-\lambda I)\oplus\operatorname{range}(T-\lambda I)$」才等价于可对角化。）

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八、复习卡 #

项	内容
对角矩阵	对角线之外全 $0$；每个对角矩阵都是上三角，反之不然
可对角化	存在 $V$ 的某个基，使 $M(T)$ 是对角矩阵
枢纽翻译	基 $v_1,\dots,v_n$ 下矩阵对角 $\iff$ 每个 $Tv_k=\lambda_kv_k$（对角元即特征值）
特征空间	$E(\lambda,T)=\operatorname{null}(T-\lambda I)=\{v:Tv=\lambda v\}$，是子空间，恒含 $0$
特征值 $\iff$ 非零特征空间	$\lambda$ 是特征值 $\iff E(\lambda,T)\neq\{0\}$；非特征值给 $\{0\}$，维数 $0$
主定理	可对角化 $\iff$ 有特征向量基 $\iff V=\bigoplus E(\lambda_j,T)\iff \dim V=\sum\dim E(\lambda_j,T)$
直和免费	互异特征值对应的特征空间之和一定是直和；$\sum\dim E\le\dim V$
充分条件	$n$ 维空间上 $n$ 个互异特征值 $\Rightarrow$ 可对角化（不必要！）
维数算法	$\dim E(\lambda,T)=n-\operatorname{rank}(T-\lambda I)$
两个重数	几何重数 $=\dim E(\lambda,T)$ $\le$ 代数重数（特征多项式里根的次数）；可对角化 $\iff$ 处处取等
最小反例	$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$：特征值 $1$（重数 $2$），$\dim E=1$，不可对角化
三维反例	$T(a,b,c)=(b,c,0)$：唯一特征值 $0$，$\dim E=1$，不可对角化
依赖数域	旋转 $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$：$\mathbb{R}$ 上不可对角化，$\mathbb{C}$ 上可以
幂的算法	$A^k=PD^kP^{-1}$；$T^k(\sum c_kv_k)=\sum c_k\lambda_k^kv_k$
与可逆无关	可对角化不蕴含可逆，可逆也不蕴含可对角化
继承性	不变子空间上的限制可对角化；对偶算子、商算子同理

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主要出处：Sheldon Axler《线性代数应该这样学》第 4 版，第 5 章 5D 节「可对角化算子」（PDF p150–159，印刷 p136–145）。本讲的定义与结论顺序与该节一致：对角矩阵（5.48）→ 例（5.49）→ 可对角化（5.50）→ 换基例子（5.51）→ 特征空间（5.52）→ 例（5.53）→ 特征空间之和是直和（5.54）→ 四条等价条件（5.55）→ 不可对角化的三维算子（5.57）→ 特征值足够多（5.58）→ 计算 $T^{100}$（5.59）→ 无精确特征值仍可判定（5.60）→ 极小多项式判据（5.62）→ 限制于不变子空间（5.65）。
• 本讲未纳入的内容：同节的格什戈林圆盘与圆盘定理（5.66–5.67）属于特征值定位，与本讲主线（对角化判据）关系较远，只在拓展里提了一句的习题结论（对偶算子、商算子）也没有展开。
• 可对角化判据的另外几种等价形式（都在原书 5D 节末的习题里）：$\mathbb{C}$ 上 $T$ 可对角化 $\iff$ 对每个 $\lambda$ 都有 $V=\operatorname{null}(T-\lambda I)\oplus\operatorname{range}(T-\lambda I)$；$\iff$ 极小多项式与其导数无公共零点（后者不需要知道任何特征值，用多项式的欧几里得算法即可判定）。
• 术语别名：可对角化 = diagonalizable；对角矩阵 = diagonal matrix；特征空间 = eigenspace；几何重数 = geometric multiplicity；代数重数 = algebraic multiplicity。
• 想深挖时：极小多项式与可对角化的完整理论见 18 讲；上三角化见 19 讲；不可对角化时如何补救（广义特征向量、Jordan 形、分块对角化）见 31–33 讲。