04 张成与线性无关

张成与线性无关 #

这讲讲什么：一组向量能「配方」出哪些向量（张成），以及这组向量里有没有多余的（线性无关/线性相关）
前置：向量空间（第 02 讲）。另外会用到「子空间」这个词——若还没读到 03 讲，只需记住它是对加法和标量乘法都封闭的子集
一句话：张成问「这组向量能造出多大的空间」，线性无关问「表示方式是否唯一」；而后者恰好等价于「把 $0$ 造出来只有一种笨办法」。

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一、为什么需要它 #

上一讲把「向量空间」抽成了六条性质，于是数组、函数、序列、多项式都能当向量。但光有场地不够，接下来有两个非常实际的问题：

1. 一组向量能造出什么？ 从 $v_1,\dots,v_m$ 出发，把它们各自乘上标量再加起来，得到的全部结果有多大一块？——这由张成（span）回答。
2. 这组向量里有没有多余的？ 如果少一个也照样能造出同样的东西，那个向量就是冗余的。——这由线性无关（linearly independent）判定。

看起来是「容量」和「冗余」两件事，其实是同一件事的两面。关键的推理只有三行，但它就是这一讲的思想来源，值得完整写出来。

设 $v$ 落在 $v_1,\dots,v_m$ 的张成空间里，并且有两种配方：

$$v=a_1v_1+\cdots+a_mv_m,\qquad v=c_1v_1+\cdots+c_mv_m$$

两式相减：

$$0=(a_1-c_1)v_1+\cdots+(a_m-c_m)v_m$$

于是：两种配方不同，当且仅当能用不全为零的系数把 $0$ 组合出来。换句话讲：

「表示唯一」这件事，等价于「用这组向量造 $0$，除了系数全取 $0$ 这一种笨办法之外，别无他法」。

这就是线性无关的定义。它不是凭空规定的判据，而是从「表示是否唯一」这个问题里长出来的。

读完后你应该能回答三个问题：

1. 为什么「含零向量的组一定线性相关」？
2. 为什么 $\mathbb{R}^3$ 里任意 $4$ 个向量一定线性相关，而 $3$ 个向量却不一定能张成 $\mathbb{R}^4$？
3. 「两两不成比例」能不能保证线性无关？

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二、定义与最小例子 #

2.1 先约定「向量组」怎么读 #

这一讲的对象是向量组 $v_1,\dots,v_m$，$m$ 称为它的长度。它是一个有序、可重复的表：

• 有序：$(v_1,v_2)$ 与 $(v_2,v_1)$ 是不同的组；
• 可重复：$(v,v)$ 是合法的一组，长度为 $2$。

写在文字里时通常不加圆括号，免得和「单个向量的坐标」混淆。例如

$$(4,1,6),\ (9,5,7)$$

是 $\mathbb{R}^3$ 中长度为 $2$ 的向量组；而单独出现的 $(4,1,6)$ 是一个向量。

2.2 线性组合 #

定义（线性组合）. $V$ 中向量组 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合，是指形如

$$a_1v_1+\cdots+a_mv_m\qquad(a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F})$$

的向量。系数可以取遍数域 $\mathbb{F}$，所以一个给定的组通常能造出无穷多个线性组合。

两个容易忽略的细节：组合里只有有限多项；系数允许全为零（那就得到零向量）。

例. 判断 $(17,-4,2)$ 是不是 $\mathbb{R}^3$ 中组 $(2,1,-3),\ (1,-2,4)$ 的线性组合。逐位置对照，就是要找 $a_1,a_2$ 使

$$(17,-4,2)=a_1(2,1,-3)+a_2(1,-2,4)$$

也就是

$$\begin{cases}2a_1+a_2=17\\ a_1-2a_2=-4\\ -3a_1+4a_2=2\end{cases}$$

由第一式 $a_2=17-2a_1$，代入第二式：$a_1-2(17-2a_1)=-4$，即 $5a_1=30$，得 $a_1=6$、$a_2=5$。回代第三式：$-3\times 6+4\times 5=2$，对上了。所以

$$(17,-4,2)=6(2,1,-3)+5(1,-2,4)$$

它确实是线性组合。

换成 $(17,-4,5)$ 就失败：前两式照样给出 $a_1=6$、$a_2=5$，但第三式要求 $-3a_1+4a_2=5$，算出来却是 $2$。一个方程对不上，整个方程组无解。

2.3 张成空间 #

定义（张成空间）. $V$ 中向量组 $v_1,\dots,v_m$ 的张成空间，是它的全部线性组合构成的集合：

$$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=\{a_1v_1+\cdots+a_mv_m:\ a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}\}$$

另外规定空向量组 $(\ )$ 的张成空间是 $\{0\}$。这一条是规定而不是推导，作用是让后面许多定理在 $m=0$ 时照样成立。

这个定义最容易读漏的一点是：张成空间不是「这 $m$ 个向量以及它们的倍数」，而是所有可能配方的全部结果。比如 $\operatorname{span}((1,0),(0,1))$ 就是整个 $\mathbb{R}^2$，远不止两个点。

张成空间是子空间，而且是最小的那一个。

$V$ 中向量组的张成空间，是 $V$ 的包含这组中所有向量的最小子空间。三条都要验：

• 含零向量：取全部系数为零，$0=0v_1+\cdots+0v_m$，所以 $0\in\operatorname{span}$；
• 对加法封闭：两个组合相加，把同类项并起来仍是组合

$$(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)+(c_1v_1+\cdots+c_mv_m)=(a_1+c_1)v_1+\cdots+(a_m+c_m)v_m$$

• 对标量乘法封闭：

$$\lambda(a_1v_1+\cdots+a_mv_m)=(\lambda a_1)v_1+\cdots+(\lambda a_m)v_m$$

所以它是子空间。又因为每个 $v_k$ 本身就是一个组合（取 $a_k=1$、其余系数取 $0$），它包含组里每个向量；反过来，任何包含这组向量的子空间都对加法与标量乘法封闭，因而必然包含它们的一切组合，也就包含整个张成空间。「最小」由此得证。

定义（张成，动词）. 如果 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=V$，就说 $v_1,\dots,v_m$ 张成 $V$。

例（标准向量组张成 $\mathbb{F}^n$）. 取

$$(1,0,\dots,0),\ (0,1,0,\dots,0),\ \dots,\ (0,\dots,0,1)$$

第 $k$ 个向量的第 $k$ 个坐标是 $1$，其余坐标都是 $0$。对任意 $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{F}^n$，

$$(x_1,\dots,x_n)=x_1(1,0,\dots,0)+x_2(0,1,0,\dots,0)+\cdots+x_n(0,\dots,0,1)$$

右边的系数就是坐标本身——把坐标抄下来就造出了这个向量。所以这组向量张成 $\mathbb{F}^n$。这个「抄坐标」的观察后面会反复出现。

2.4 有限维与无限维 #

定义（有限维）. 如果一个向量空间能由其中某个向量组张成，就称它是有限维的；不是有限维的，就称为无限维的。

由上一小节的例子立得：每个 $\mathbb{F}^n$（$n$ 为正整数）都是有限维的。

多项式是更好的试金石。记 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 为系数在 $\mathbb{F}$ 中的全体多项式，$\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ 为次数不高于 $m$ 的全体多项式（含零多项式）。那么

$$\mathcal{P}_m(\mathbb{F})=\operatorname{span}(1,z,z^2,\dots,z^m)$$

因为次数不高于 $m$ 的多项式本来就是 $1,z,\dots,z^m$ 的线性组合，系数就是各项系数。所以每个 $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ 都是有限维的。

$$\deg 0=-\infty$$

并且约定 $-\infty<m$ 对一切整数 $m$ 成立。有了这条，$0\in\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ 就自动满足，不必在定义里单独开口子。

为什么值得较这个真：后面很多结论（例如「$\mathcal{P}_m$ 的维数是 $m+1$」）都要靠「$0$ 在所有 $\mathcal{P}_m$ 里」才能干净地陈述。
如果不做这个约定，每次都得补一句「零多项式另算」，而这些例外会越积越多。
顺带一提，约定的选择也不是随便的：$\deg$ 在多项式乘法下满足 $\deg(pq)=\deg p+\deg q$，把 $\deg 0=-\infty$ 代进去，等式两边都是 $-\infty$，仍然成立——这正是这个约定「对」的原因。

但全体多项式 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 是无限维的，理由只有一句话：

随便取一组多项式，设这个组里多项式的最高次数为 $m$。那么组里每个多项式的次数都不超过 $m$，它们的线性组合也不会超过 $m$——于是 $z^{m+1}$ 不在张成空间里。既然没有一组能张成 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$，它就是无限维的。

注意这个论证的形状：「任取一组 → 找出一个它够不到的元素」。这是证明「不够大」的标准打法，后面还会用到。

2.5 线性无关 #

定义（线性无关）. $V$ 中的向量组 $v_1,\dots,v_m$ 称为线性无关的，如果

$$a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$$

成立的唯一方式是 $a_1=\cdots=a_m=0$。另外规定空向量组 $(\ )$ 也是线性无关的。

按第一节的推导，它等价于一句话：

$v_1,\dots,v_m$ 线性无关，当且仅当 $\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)$ 中每个向量都只能唯一地表示成 $v_1,\dots,v_m$ 的线性组合。

四个最小例子，都值得自己重做一遍：

组	结论	怎么得到
$(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0)$（在 $\mathbb{F}^4$ 中）	无关	设组合为 $0$ 得 $(a_1,a_2,a_3,0)=(0,0,0,0)$，故三个系数全为 $0$
$1,z,z^2,\dots,z^m$（在 $\mathcal{P}(\mathbb{F})$ 中）	无关	多项式恒等于 $0$ 时各项系数全为 $0$
长度 $1$ 的组 $(v)$	无关，当且仅当 $v\neq 0$	只有 $av=0$ 一种写法；$v\neq0$ 时只能 $a=0$
长度 $2$ 的组 $(u,v)$	无关，当且仅当两者谁都不是对方的标量倍	$au+bv=0$ 若有非零解，就解出了一个标量倍关系

另外一条常用事实：从线性无关组里去掉若干向量，剩下的仍然线性无关。理由很直观——若剩下的部分有不全为零的系数把 $0$ 组合出来，给被去掉的向量补上系数 $0$，就得到原组的一个非平凡关系，与无关矛盾。

2.6 线性相关 #

定义（线性相关）. 不是线性无关的向量组，称为线性相关的。换句话说：存在不全为零的 $a_1,\dots,a_m\in\mathbb{F}$ 使得

$$a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$$

这个等式习惯上称为这组向量的一个线性关系。

例. 在 $\mathbb{F}^3$ 中，$(2,3,1),(1,-1,2),(7,3,8)$ 线性相关，因为

$$2(2,3,1)+3(1,-1,2)+(-1)(7,3,8)=(0,0,0)$$

逐位置验算：第一坐标 $4+3-7=0$，第二坐标 $6-3-3=0$，第三坐标 $2+6-8=0$。

两条由定义直接可得的推论，比定义本身更常用。

推论 1：组里某个向量是其余向量的线性组合 $\Longrightarrow$ 整个组线性相关。

设 $v_k$ 等于其余某些向量的组合：$v_k=b_1v_1+\cdots+b_{k-1}v_{k-1}$，把 $v_k$ 移到另一边：

$$b_1v_1+\cdots+b_{k-1}v_{k-1}+(-1)v_k=0$$

$v_k$ 前面的系数是 $-1\neq0$，所以这是一个非平凡关系。

推论 2：任何含零向量的组都线性相关。

这是推论 1 的特例（$0$ 是前面零个向量的组合，右边为空和）：也可以直接看 $1\cdot 0=0$，系数不全为零。

顺着推论 2 再看重复向量：组 $(v,v)$ 有非平凡关系 $1\cdot v+(-1)\cdot v=0$，所以一定相关。「组里有重复」从来不是无关的。

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三、几个必须自己算一遍的结论 #

3.1 线性相关性引理：相关组里一定有个「多余的」 #

引理. 设 $v_1,\dots,v_m$ 是 $V$ 中的线性相关组。那么存在 $k\in\{1,2,\dots,m\}$ 使得

$$v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})$$

进一步，把第 $k$ 项移除之后，剩下的向量组成的组张成空间不变。

证明只有两步。因为组相关，存在不全为零的 $a_1,\dots,a_m$ 使 $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$。取使 $a_k\neq0$ 的最大的那个 $k$，则

$$v_k=-\frac{a_1}{a_k}v_1-\cdots-\frac{a_{k-1}}{a_k}v_{k-1}$$

（下标大于 $k$ 的系数全是 $0$，所以右边只写到 $v_{k-1}$。）这就把 $v_k$ 写成了前面几项的组合。

再看第二句。设 $v_k=b_1v_1+\cdots+b_{k-1}v_{k-1}$，任取 $u=c_1v_1+\cdots+c_mv_m$，把式子里的 $v_k$ 换成右边，就得到 $u$ 的一个不含 $v_k$ 的组合式。所以去掉 $v_k$ 不会丢掉任何向量；而少一个向量，张成空间只会变小、不可能变大。两边夹起来，张成空间不变。

两个必须自己验的边界情形：

• 若 $k=1$，条件成为 $v_1\in\operatorname{span}(\ )=\{0\}$，即 $v_1=0$。所以「$k$ 能取 $1$」当且仅当组里第一个向量是零向量。这再次印证：含零向量的组必相关。
• 引理的证明在 $k=1$ 时要略作修改（右边是空和）。这类「平凡情形」在整门课里都要自己单独验一遍，别跳过。

手算例. 取 $\mathbb{R}^3$ 中的组

$$(1,2,3),\ (6,5,4),\ (15,16,17),\ (8,9,7)$$

它长度为 $4$。而 $\mathbb{R}^3$ 中长度为 $3$ 的标准组已经张成 $\mathbb{R}^3$，所以由 3.2 的定理，这组必然相关。引理保证存在 $k$，现在来找最小的那个 $k$：

• $k=1$？需要 $(1,2,3)=0$，不是。
• $k=2$？需要 $(6,5,4)=c(1,2,3)$。第一坐标给出 $c=6$，第二坐标却要求 $5=12$，不行。
• $k=3$？需要 $(15,16,17)=a(1,2,3)+b(6,5,4)$，即三个方程两个未知数：

$$\begin{cases}a+6b=15\\ 2a+5b=16\\ 3a+4b=17\end{cases}$$

由第一式 $a=15-6b$，代入第二式：$30-12b+5b=16$，即 $7b=14$，得 $b=2$、$a=3$。回代第三式：$3\times3+4\times2=17$，对上了。所以最小的 $k$ 是 $3$：

$$(15,16,17)=3(1,2,3)+2(6,5,4)$$

第三个向量是前两个的组合。去掉它以后，剩下的三个向量仍然张成原来四个向量的张成空间。

3.2 无关组不会比张成组长 #

定理. 在有限维向量空间中，每个线性无关组的长度都小于或等于每个张成组的长度。

证明是一条「换人」的流水线。设 $u_1,\dots,u_m$ 线性无关，$w_1,\dots,w_n$ 张成 $V$，要证 $m\le n$。分 $m$ 步走，每一步加进一个 $u$、踢掉一个 $w$。

• 第 1 步：$w$ 组张成 $V$，所以 $u_1$ 是它们的线性组合，于是组 $u_1,w_1,\dots,w_n$ 线性相关。由引理，这组里某个向量能被排在它前面的向量组合出来。$u_1\neq0$（无关组不含零向量），所以这个「某个向量」不可能是 $u_1$，只能是某个 $w$。踢掉它，剩下的 $n$ 个向量（$u_1$ 加上 $n-1$ 个 $w$）仍然张成 $V$。
• 第 $k$ 步：把 $u_k$ 紧接在 $u_1,\dots,u_{k-1}$ 之后插进去，得到一个长度 $n+1$ 的相关组。引理说其中某个向量能被前面的组合出来；但 $u_1,\dots,u_k$ 线性无关，所以它不可能是某个 $u$（否则某个 $u_j$ 落在它前面那些 $u$ 的张成空间里，与无关矛盾）。于是这一步至少还剩一个 $w$ 可踢——踢掉后仍然是 $n$ 个向量，仍然张成 $V$。

$m$ 步之后所有 $u$ 都换进去了。每一步都必须踢掉一个 $w$，所以 $w$ 至少和 $u$ 一样多：$n\ge m$。

3.3 有限维空间的子空间也是有限维的 #

定理. 有限维向量空间的每个子空间都是有限维的。

证明是一个**「造不下去了，所以停」**的构造。设 $U$ 是有限维空间 $V$ 的子空间。从 $U=\{0\}$ 或某个非零的 $u_1\in U$ 开始，每一步问：

• 如果 $U=\operatorname{span}(u_1,\dots,u_{k-1})$，那就结束，$U$ 是有限维的；
• 否则 $U$ 中有向量 $u_k\notin\operatorname{span}(u_1,\dots,u_{k-1})$，把它加进来。

按这个规则挑出来的组，每一个向量都跳出了前面所有向量的张成空间。由引理的逆否形式，这样的组一定线性无关。而由 3.2，无关组的长度不能超过 $V$ 的任一张成组的长度——长度被卡住了，构造过程必然终止；终止时就说明 $U$ 已被有限个向量张成。

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四、几何直观 / 记忆钩子 #

在 $\mathbb{R}^2,\mathbb{R}^3$ 里，线性相关与线性无关有一个很干净的画面。

判别两个向量是否相关，几何上只需看一件事：它们是否落在同一条过原点的直线上（也就是是否共线）。

• 左图：$v_2$ 与 $v_1$ 共线，$v_2$ 是 $v_1$ 的标量倍，于是组 $\{v_1,v_2\}$ 线性相关——张成空间就是那条直线（一维）。
• 右图：$v_2$ 不在 $v_1$ 所在的直线上，两个向量谁也表示不了谁，组 $\{v_1,v_2\}$ 线性无关——两者一起张成整个平面（二维）。

第二张图把「组合」落到三角形上。

以那个公共顶点为起点，两条边是 $a,b$，底边是 $c$，中线是 $d$（从 $c$ 的中点连到对顶点）。它们之间只有两个自由度，因为

$$c=a-b,\qquad d=\frac{a+b}{2}$$

也就是说，$c,d$ 都是 $a,b$ 的线性组合：$a,b$ 一定，$c,d$ 就没得选了。四个向量挤在二维里，必然线性相关。「有几个独立的量」比「有几个向量」重要——这正是本讲的主线。

记忆钩子表 #

说法	一句话画面
线性组合	「按配方下料」：每个向量乘一个系数，再加起来
张成空间	「所有配方的成品清单」
张成 $V$	清单能覆盖整个空间
线性无关	「表示方式唯一」；也可以记成「$0$ 的配方只有『什么都不放』」
线性相关	「有非平凡配方能配出 $0$」＝ 组里有冗余
相关性引理	「相关组里挑出一个多余的，扔掉它，本事不变」
长度比较	「无关组是瘦子，张成组是胖子，瘦子不会比胖子多」
免算判据	「$\mathbb{R}^3$ 里超过 $3$ 个必相关；不足 $4$ 个张成不了 $\mathbb{R}^4$」

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五、常见误区 #

$$(1,0,0),\ (0,1,0),\ (1,1,0)$$

任意两个都不成比例，但第三个是前两个之和，$(1,0,0)+(0,1,0)-(1,1,0)=0$ 是一个非平凡关系，所以这组线性相关。
正确做法只有一个：回到定义，去解 $a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$。

$$(1,0),\ (2,0),\ (0,1)$$

组是相关的（$(2,0)=2(1,0)$），但 $(0,1)$ 根本不在另外两个的张成空间（$x$ 轴）里。
相关的含义是「有冗余」，不是「个个都冗余」。

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六、拓展（可选，可跳过） #

三条延伸，都只用本讲的工具。

（1）无限维的等价刻画。 $V$ 是无限维的，当且仅当 $V$ 中存在一列向量 $v_1,v_2,\dots$，使得对每个正整数 $m$，$v_1,\dots,v_m$ 都线性无关。一个方向用 3.2：若存在任意长的无关组，就不可能有有限长度的张成组；另一个方向用 3.3 的构造：只要还是有限维，每一步都能挑到一个跳出去的向量，否则空间已经被有限个向量张成了。由此可证：无限序列空间 $\mathbb{F}^\infty$ 是无限维的；$[0,1]$ 上全体连续实值函数构成的空间也是无限维的。

（2）多项式空间的「长度账」。 $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ 由 $1,z,z^2,z^3,z^4$ 张成，这组长度为 $5$。于是两笔账立刻算清：不存在 $6$ 个多项式的线性无关组（无关组长不过张成组）；$4$ 个多项式也张成不了 $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$（张成组不能短于无关组，而这里有一个长度 $5$ 的无关组）。同样的账对 $\mathcal{P}_m(\mathbb{F})$ 是「最长无关组的长度是 $m+1$」。

（3）一条打包技巧：可逆的阶梯替换不改变张成空间与无关性。 设

$$w_k=v_1+v_2+\cdots+v_k\qquad(k=1,\dots,m)$$

可以证明

$$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=\operatorname{span}(w_1,\dots,w_m)$$

并且 $v_1,\dots,v_m$ 线性无关当且仅当 $w_1,\dots,w_m$ 线性无关。一个方向靠「每个 $w_k$ 都是 $v$ 的组合」；另一个方向靠逐项相减把 $v_k=w_k-w_{k-1}$ 反解回来。这类「可逆的三角替换」在消元法与基变换里到处都是——它说明换一组向量，只要替换是可逆的，张成的东西和无关性都不变。

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七、自测（先做，再看答案） #

1. $(17,-4,5)$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中组 $(2,1,-3),(1,-2,4)$ 的线性组合吗？为什么？

2. 判断 $(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中是否线性相关，写出一个非平凡线性关系，并说出这三个向量的张成空间是什么。

3. 设 $v_1,\dots,v_m$ 线性无关。证明：按原顺序取其中一部分得到的「子组」也线性无关。

4. 解释为什么 $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ 中不存在由 $6$ 个多项式组成的线性无关组。

5. 证明：若组里含零向量，则该组线性相关。

答案（点开）

1. 不是。设 $(17,-4,5)=a_1(2,1,-3)+a_2(1,-2,4)$，逐位置拆成三个方程。
由前两个方程仍得 $a_1=6$、$a_2=5$，代入第三个方程得左边 $-3\times6+4\times5=2$，而右边要求 $5$，矛盾。
一个方程对不上，方程组就无解，所以它不是线性组合。

2. 线性相关。非平凡关系：

$$(1,0,0)+(0,1,0)-(1,1,0)=(0,0,0)$$

系数 $(1,1,-1)$ 不全为零。张成空间是所有 $(x,y,0)$（$x,y\in\mathbb{R}$）构成的集合，也就是 $xy$ 平面：
第三个向量本来就在前两个的张成空间里，加进去不改变张成空间。
（顺带：任意两个都不成比例，可见「两两不成比例」在这里失效。）

3. 设子组为 $v_{i_1},\dots,v_{i_r}$，并设 $b_1v_{i_1}+\cdots+b_rv_{i_r}=0$。
给不在子组里的每个向量补上系数 $0$，就得到原组的一个线性组合，它等于 $0$。
而原组线性无关，说明这个组合的全部系数都是 $0$，特别地 $b_1=\cdots=b_r=0$。所以子组线性无关。

4. $\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ 由长度 $5$ 的组 $1,z,z^2,z^3,z^4$ 张成。
由「无关组的长度 $\le$ 张成组的长度」，$\mathcal{P}_4(\mathbb{F})$ 中任何线性无关组的长度都 $\le 5$。<br>
所以 $6$ 个多项式组成的组必然线性相关，不存在长度 $6$ 的无关组。

5. 设组 $v_1,\dots,v_m$ 中 $v_k=0$。取 $a_k=1$、其余 $a_i=0$，则

$$a_1v_1+\cdots+a_mv_m=1\cdot 0=0$$

而系数不全为零（$a_k=1$）。按定义，这组线性相关。
注意这里用的是「存在一个非平凡关系」，而不是去解方程。

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八、复习卡 #

项	内容
向量组	有序、可重复的表 $v_1,\dots,v_m$，$m$ 是长度
线性组合	$a_1v_1+\cdots+a_mv_m$，$a_i\in\mathbb{F}$；只有有限项，系数可全为零
是不是线性组合	逐位置拆成方程组：有解就是，无解就不是
张成空间	$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=\{a_1v_1+\cdots+a_mv_m\}$，即全部线性组合
空向量组	规定 $\operatorname{span}(\ )=\{0\}$；规定空组线性无关
span 的性质	是 $V$ 的包含该组所有向量的最小子空间；必含零向量
张成 $V$	$\operatorname{span}(v_1,\dots,v_m)=V$
有限维	能由其中某个向量组张成
无限维的例子	$\mathcal{P}(\mathbb{F})$：取组内最高次数 $m$，则 $z^{m+1}$ 不在张成空间里
线性无关	$a_1v_1+\cdots+a_mv_m=0$ 只有「系数全为零」一种解
等价说法	张成空间中每个向量的表示方式唯一
线性相关	存在不全为零的系数使组合等于 $0$（非平凡线性关系）
长度 1 判定	无关 $\iff$ 该向量不是零向量
长度 2 判定	无关 $\iff$ 两者谁都不是对方的标量倍（只对长度 2 可靠）
含零向量	必相关；组里有重复向量也必相关
子组	无关组的任意子组仍无关
相关性引理	相关 $\Longrightarrow$ 存在 $k$ 使 $v_k\in\operatorname{span}(v_1,\dots,v_{k-1})$；且去掉 $v_k$ 张成空间不变
长度比较	有限维空间中：无关组长度 $\le$ 张成组长度
免算推论	$\mathbb{R}^3$ 中长度 $>3$ 必相关；长度 $<4$ 张成不了 $\mathbb{R}^4$
子空间	有限维向量空间的每个子空间都是有限维的

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九、出处与延伸（可选，不影响阅读） #

• 主线出处：本讲的顺序（向量组记号 → 线性组合 → 张成空间 → 有限维 → 线性无关 → 线性相关 → 线性相关性引理 → 无关组与张成组的长度比较 → 子空间也有限维）对应《线性代数应该这样学》（第 4 版，Sheldon Axler 著，吴俊达、何阳 译）第 2 章 2A 节，PDF 第 37–46 页（印刷页码 p23 起）。若要按编号回查：线性组合 2.2、R³ 中的组合 2.3、张成空间 2.4、张成 2.7、有限维 2.9、多项式与次数 2.10–2.12、无限维 2.13–2.14、线性无关 2.15、无关组例子 2.16、线性相关 2.17–2.18、线性相关性引理 2.19、最小 $k$ 的例子 2.21、长度比较 2.22、两个免算例子 2.23–2.24、子空间有限维 2.25。
• 配图说明：dependent.png 是本课程自制的示意图。book-p177.png 取自《线性代数应该这样学》（第 4 版）PDF 第 177 页的插图（PDF 页码 177，对应印刷页码 163），那一页属于内积空间一章的习题，原题用底边 $c$ 上的中线 $d$ 联系 $a^2+b^2=\frac12c^2+2d^2$（阿波罗尼奥斯恒等式）。本讲只借用它的向量关系 $c=a-b$、$d=\frac{a+b}{2}$，用来说明「平面里看起来有四个向量，其实只有两个自由度」。它与线性相关的定义无关，仅作直观辅助。
• 下一步：「长度为 $n$ 的无关组」正是基，$n$ 正是维数，分别见 05、06 两讲；「任意无关组都能扩充成基」的证明也会用到 3.2 与 3.3 的构造法。
• 更多练习（都来自同一节习题，可自行验算）：证明组 $(2,3,1),(1,-1,2),(7,3,c)$ 线性相关当且仅当 $c=8$；求 $t$ 使 $(3,1,4),(2,-3,5),(5,9,t)$ 线性相关（答案 $t=2$）；证明 $\mathbb{F}^\infty$ 无限维；证明「$V$ 无限维 $\iff$ 存在无穷序列使任意前 $m$ 项都线性无关」。
• 权威查证：Bronstein《数学手册》俄文第 10 版（1962）与英文第 6 版（2015）收录了「线性相关 / 线性无关」「线性包（linear hull / lineare Hülle）」等条目，可用来复核术语与结论。
• 术语别名：「张成空间」也叫「线性张成」「线性包」（linear span / linear hull）；「张成 $V$」也说「生成 $V$」（span / generate）。「线性无关」也译作「线性独立」（linearly independent）。「向量组」有的书写成「向量族」「有序列」。名称不同不影响内容。